автоматична система управління

1. 61
1.3. Складання рівняння і передавальних функцій елементів
структурних схем САР
Рівняння (1.14) визначає як динаміку процесів, що відбуваються у
системах, так і їх статику, тобто характеризує роботу систем як у перехід-
них, так і в усталених режимах. Відповідно до основних режимів роботи
автоматичних систем їх характеристики поділяють на дві групи: статичні і
часові (динамічні) [1].
Статична характеристика – залежність усталеного значення регульо-
ваної величини від усталених значень сигналів керування та зовнішніх
збурень. Із (1.14) при 

t ( 0


dt
d
p ) отримаємо рівняння статики ав-
томатичної системи:
y
A
C
x
A
B
y
W
x
W
z y
x
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
(
)
0
( 



Замінюючи у виразах характеристичних багаточленів оператор р на
нуль, маємо:
y
k
x
k
a
yc
a
xb
z y
x



 0
0
0
0
/
/ (1.15)
На підставі рівняння статики (1.15) будуються регулювальні та наван-
тажувальні статичні характеристики системи (рис. 1.11), які є прямими лі-
ніями, оскільки статичні передавальні коефіцієнти 0
0 / a
b
kx  і 0
0
/ a
c
ky
 є
сталими.
За відсутності зовнішніх збурень (у=0) регулювальна характеристика
проходить через початок координат. При збуреннях характеристики змі-
щуються праворуч відносно початкової. Навантажувальні характеристики
являють собою сімейство спадних прямих. Чим більше сигнал управління

2. 62
х, тим вище значення регульованої величини при одному й тому значенні
зовнішнього збурення.
Таким чином, знання статичних характеристик дозволяє оцінити ко-
ефіцієнти підсилення системи, рівень її протидії зовнішнім збуренням, за
необхідності визначити шляхи корегування параметрів kx, ky з метою за-
безпечення відповідності характеристик вимогам технічних умов.
1.3.1. Стандартні (типові) впливи
Дослідження динаміки систем автоматики передбачає подання на їх
вхід сигналів управління та збурювальних впливів. Очевидно, що порів-
няння динамічних властивостей систем, різних за своєю структурою і кон-
струкцією, має сесн лише при однаковому характері зміни сигналів, що
діють на них. З цією метою теорія автоматичного регулювання пропонує
використання кількох стандартних (типових) сигнальних впливів.
Введення стандартних сигналів, крім того, забезпечує можливість
оцінки реакції автоматичної системи на складні вхідні дії. Це досягається
розкладом збурення на суму сигналів з наступною оцінкою реакцій систе-
ми на кожну із складових цього впливу. Реакція на складний сигнал визна-
чається як сума реакцій на типові сигнали розкладу.
а) б)

3. 63
Як стандартні (рис. 1.12) сигнали прийняті: одинична ступінчаста
функція 1(t); одиничний імпульс δ(t); k(t)- функція; одинична синусоїдаль-
на функція sin(t).
Одинична ступінчаста функція (рис. 1.12, а)являє собою вхідний си-
гнал, який у момент часу t = 0 миттєво змінюється від нуля до одиниці:
( ) 1( ),
x t t

де ( ) 0
x t  при t < 0; ( ) 1
x t  при t ≥ 0.
Ступінчаста зміна вхідного сигналу характерне для вмикання або
вимикання електричних кіл або кінематичних ланцюгів, стрибкоподібних
змін навантаження і т.д.
Рисунок 1.12. Стандартні (типові) управляючі впливи:
а – одинична ступінчаста функція; б – одиничний імпульс;
в – k(t)-функція; г – одинична синусоїдальна функція
Одиничний імпульс – вхідний сигнал )
(
1
)
/
(
)
( t
dt
d
t 
 (рис. 1.12,б),
який діє у момент часу t = 0 і який при нескінченно великій амплітуді hи та
нескінченно малій тривалості tи має потужність, що дорівнює одиниці
 1
)
( dt
t
 . Прикладами імпульсних впливів є: удар снаряда по корпусу або
башті танка, дія сили відбою (віддачі) при пострілі гармати, дія вибухової
хвилі, тощо.

4. 64
k(t)-функція (рис. 1.12, в) являє собою сигнал, що змінюється у часі
за лінійним законом та визначається інтеграл від 1(t):
 

 p
k
t
dt
t
kt
t
k /
)
(
1
)
(
)
(  .
Прикладами такого вхідного сигналу може служити повертання опе-
ратором пульта керування під час слідкування за ціллю, зміна курсу ма-
шини під час маневру.
Одинична синусоїдальна функція – вхідний сигнал (рис. 1.12, г),
що змінюється за гармонічним законом:
( ) 1sinω ,
x t t

де 1 – амплітуда гармонічного сигналу; ω 2π/T
 – кутова частота сигналу.
Синусоїдальні дії характерні для коливань корпусу танка, його
озброєння, обертання колінчастих валів, роторів поршневих насосів.
1.3.2. Часові (динамічні) характеристики пристроїв автоматики
Часовою (динамічною) характеристикою називається закон зміни у
часі регульованої величини z(t) при поданні у систему управляючих ко-
манд x(t), y(t) – сигналів управління та зовнішніх збурень. Як останні вико-
ристовуються стандартні вхідні дії: одинична ступінчаста функція 1(t),
одиничний імпульс δ(t), k(t)-функція.
Нехай рівняння руху автоматичної системи має вигляд
( ) ( ) ( ) ( ).
A p z t B p x t

Структурна схема, що відповідає цьому рівнянню, наведена на рис. 1.13, а.
При подаванні на вхід системи (рис. 1.13, б) одиничної ступінчастої
функції f(t) = 1(t) регульовану величину називатимемо перехідною функ-
цією та позначатимемо H(t).

5. 65
На підставі структурної схеми (рис. 1.13, б) маємо:
( ) ( ) 1( ),
H t W p t
 
тобто динамічна характеристика повністю визначається передавальною
функцією системи.
Згідно з рівнянням (1.7) перехідна функція може бути знайдена і на
підставі розв’язання рівняння руху системи:
1 2
1 2 0 0
( ) ... / ,
n
t t t
n
H t C e C e C e b a

 
     (1.16)
де λі – корені характеристичного багаточлена А(р) = 0; Сі – сталі інтегру-
вання, що визначаються з урахуванням початкових умов.
Рисунок 1.13. Перетворення лінійною системою стандартних впли-
вів: а – сигналу x(t); б – одиничної ступінчастої функції;
в – одиничного імпульсу; г – k(t)- функції
Залежно від сполучення конструктивних параметрів системи можли-
ві такі види перехідних функцій (рис. 1.14): коливальна (1), аперіодична
(2), гармонічна (3).
Перехідна функція для складних технічних систем може бути визна-
чена експериментально. Для цього на вхід системи подається ступінчастий
сигнал, значення якого приймається за одиницю, а реакція системи на цей
сигнал осцилографується.
г)
x(t) z(t)
а)
G(t)
δ(t) W(p)
в)
H(t)
f(t)
W(p)
б)
K(t)
к(t) W(p)

6. 66
Реакція системи на одиничний імпульс називається імпульсною пе-
рехідною функцією або функцією ваги і позначається G(t).
Відповідно до рис. 1.13 , в запишемо: ( ) ( )δ( ).
G t W p t
 Беручи до ува-
ги рівняння (1.16), та отримуємо вираз одиночного імпульсу )
(
1
)
( t
p
t 

 :
( ) ( ) 1( ) ( ).
G t W p p t pH t
   (1.17)
Таким чином, функція ваги є першою похідною від перехідної функ-
ції одиничної ступінчастої функції.
Знаючи аналітичний вираз перехідної функції (1.16), на підставі
(1.17) можна одержати і рівняння імпульсної перехідної функції:
1 2
1 1 2 2
( ) ... .
n
t t t
n n
G t C e C e C e
 
  
    (1.18)
Підставляючи у рівняння (1.18) числові значення, отримують часову
(динамічну) характеристику системи – графік імпульсної перехідної функ-
ції.
Реакція системи на k(t)-сигнал називається К(t)-функцією.
p
t
H
k
p
t
p
W
t
k
p
W
t
K /
)
(
/
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
( 




2
x(t)=f(t)
t
Н
1 3
Рисунок 1.14. Види перехідних функ-
цій: 1 – коливальна; 2 – аперіодич-
на; 3 – гармонічна

7. 67
тобто К(t)-функція може бути визначена інтегруванням перехідної функції
системи.
Зв’язок між перехідною функцією H(t), функцією ваги G(t) та К(t)-
функцією дозволяє використовувати будь-яку з них при дослідженні дина-
міки та порівнянні автоматичних систем.
1.3.3. Частотні характеристики автоматичних пристроїв
Особливе місце серед характеристик автоматичних систем займають
їх частотні характеристики – залежності амплітуди та фази вимушених
усталених коливань регульованої величини z(t) від частоти сигналу управ-
ління x(t). При дії на вхід системи одиничного синусоїдального сигналу на
її виході встановлюються вимушені гармонічні коливання (рис. 1.15, а).
Частота вимушених коливань з амплітудою Zm на виході системи дорівнює
частоті вхідного сигналу x(t), а амплітуда Zm та фаза φ залежать від конс-
труктивних параметрів і є функціями частоти (рис. 1.15, б):
( ) (ω)sin(ω (ω)).
m
z t Z t 
 
На основі структурної схеми маємо:
(ω)sin(ω (ω)) ( ) 1sinω .
m
Z t W p t

  
Використовуючи комплексні подання гармонічних сигналів на вході
та виході системи, визначимо передавальну функцію у комплексній формі:
( ( ))
( )
(ω)
( ω) (ω) .
1
j t
j
m
m
j t
Z e
W j Z e
e
  
 


 

8. 68
Передавальна функція системи, записана у комплексному вигляді,
визначає амплітуду і фазу усталеного вихідного сигналу (регульованої ве-
личини) на всьому діапазоні зміни частот від ω = 0 до ω = ∞ сигналу уп-
равління.
Рисунок 1.13. Перетворення лінійною системою гармонічного сигналу:
а – структурна схема системи; б – перехідний процес при гармонічному
впливі; в – амплітудно-фазова частотна характеристика
Отже, частотна передавальна функція W(jω) може служити частот-
ною характеристикою автоматичної системи.
Найпростіше передавальна функція у комплексній формі W(jω) може
бути одержана за відомою передавальною функцією W(р) шляхом форма-
льної заміни оператора р уявним аргументом jω:
( ) ( ω).
p j
W p W j




Розкриваючи значення ( )
W p , знаходимо:
z(t)= Zm(ω)sin(ωt+φ(ω))
x(t)=sinωt
W(n)
a)
б)
ωt
φ
φ
zm
z
x
1
в)
zm(ωi)
ωi
φ(ωi)
ω= ω=0
P(ω)
φ(ωi)
jQ(ω)
K

9. 69
1
1 1 0
1
1 1 0
( ω) ( ω) ( ω) ... ω
( ω) .
( ω) ( ω) ( ω) ... ω
m m
m m
n n
n n
B j B j B j B j B
W j
A j A j A j A j A




   
 
   
Виділяючи у чисельнику і знаменнику дійсну та уявну частини, має-
мо:
(ω) (ω)
( ω) ,
(ω) (ω)
B jB
W j
A jA
 


 

де 2 4
0 2 4
(ω) ω ω ...;
B B B B
     3 5
1 3 5
(ω) ω ω ω ...;
B B B B
    
2 4
0 2 4
(ω) ω ω ...;
A A A A
     3 5
1 3 5
(ω) ω ω ω ....
A A A A
    
Після звільнення від ірраціональності у знаменнику частотна переда-
вальна функція приводиться до форми запису комплексного числа:
( )
( ω) (ω) (ω) (ω) ,
j
m
W j P jQ Z e  
  
де 2 2
(ω) (ω) (ω) (ω)
(ω) ;
( (ω)) ( (ω))
A B A B
P
A A
   


 

2 2
(ω) (ω) (ω) (ω)
(ω) ;
( (ω)) ( (ω))
A B A B
Q
A A
   


 

2 2
(ω) (ω) (ω);
m
Z P Q
  (ω) arctg (ω)/ (ω).
Q P
 
Задаючись значеннями частоти вхідного сигналу від 0 до ∞ та визна-
чаючи для кожної частоти Р(ω) та Q(ω), можна на комплексній площині
P(ω), jQ(ω) побудувати графічне зображення (годограф) частотної переда-
вальної функції – амплітудно-фазову частотну характеристику (АФЧХ)
автоматичної системи (рис. 1.13, в).

10. 70
Використання частотних характеристик дозволяє робити висновки
щодо амплітуд Zm та фаз φ вимушених коливань регульованої величини без
розв’язання диференціального рівняння руху системи, що значно спрощує
процес дослідження.
У загальному випадку вектор, що з’єднує початок координат з і-ю
точкою на годографі, визначає амплітуду Zm(ωі) вихідного сигналу при ча-
стоті вхідного ωі, а кут між віссю абсцис та вектором – фазовий зсув φ(ωі)
вихідного сигналу відносно сигналу керування.
Застосування на практиці АФЧХ дозволяє повністю описувати усі
можливі усталені режими вимушених гармонічних коливань автоматичних
систем.
1.3.4. Типові динамічні ланки
Штучно виділений елемент автоматичної системи, що відповідає
якому-небудь „елементарному” диференціальному рівнянню, далі назива-
тимемо типовою динамічною ланкою.
Кожна типова динамічна ланка характеризується: рівнянням руху,
перехідною функцією, функцією ваги, частотними характеристиками.
У теорії автоматичного регулювання прийнято такі типові ланки:
безінерційна ланка; інерційна ланка першого порядку; інерційна ланка
другого порядку; диференціююча ланка; інтегруюча ланка.
У загальному випадку будь-яка автоматична система складається як з про-
стих, так і з складних ланок. Проте при виконанні розрахунків таких сис-
тем будь-яка складна динамічна ланка може бути замінена кількома прос-
тими (типовими) ланками.

11. 71
1.3.5. Структурні схеми автоматичних систем
Будь-яка складна автоматична система може бути подана поєднан-
ням типових динамічних ланок.
Графічне зображення автоматичної системи у вигляді з’єднаних між
собою динамічних ланок називається структурною схемою системи. У за-
гальному випадку структурна схема – структурне зображення системи ди-
ференціальних рівнянь, що описують рух її елементів.
Основними елементами структурних схем є (рис. 1.16):
динамічні ланки(а) направленої дії з відомими передавальними фу-
нкціями (зображуються прямокутниками, всередині яких записується пе-
редавальна функція елемента);
зв’язки (б), що вказують напрямок передавання дії позначаються
лініями зі стрілками);
суматори (в), які забезпечують алгебраїчне підсумовування вхідних
впливів (кружечки, розділені на 4 сектори); якщо вплив (дія) мають знак
„мінус”, то сектор суматора зафарбовується;
вузли розгалуження (г) дії (впливу) на два або більше напрямки
(позначаються великими чорними точками).
z
z
x
x
x
г)
x2
x=x1+x2
x1
y=y1-y2
y1
y2
в)
x z
W (p)
а)
y
x
б)
Рисунок 1.16. Основні елементи структурних
схем:
а – динамічна ланка; б – зв’язки;
в – суматори; г – вузли розгалуження

12. 66
Таблиця 1. Типові динамічні ланки
№
з/п
Найме-
нуван-
ня
Диф. рівняння
руху та
його структурне
зображення
Передавальна
функція W(p)
Перехідна функ-
ція H(t)
Імпульсна перехі-
дна функція G(t)
Реакція на одиноч-
ний синусоїдальний
сигнал 1 sin ωt
АФЧХ
Приклади застосування у
зразках БТОТ
1
Безіне-
рційна
ланка
0 0 .
a z b x

0 0
( ) / / ,
W p z x b a k
  
k – статичний
передавальний
коефіцієнт
( ) 1( ).
H t k t
  ( ) δ( ).
G t k t
 ( ) sinω( ).
z t k t

( ω) / ω /ω
W j k j jk
  Електронні та напівпровід-
никові підсилювачі ТАС,
потенціометри, ПУ, ОТ, ГП
золотникового типу, транс-
форматори, електричні кола
з активними опорами.
2
Інерційна
ланка
першого
порядку
1 0 0
/ .
a dz dt a z b x
 
1 0 0
( ) ,
a p a z b x
 
( ) / /( 1),
W p z x k Tp
  
0 0
/
k b a

– статичний
передавальний
коефіцієнт ланки;
1 0
/
T a a

–стала часу лан-
ки.
( ) (1 ).
t
T
H t k e

 
1
( ) ( ) .
t
T
G t pH t k e
T

  


 ))
(
sin(
)
( 


 t
Zm
t
p
W 
sin
1
)
( 

2 2 2 2
(1 ω ) ω
( ω) .
(1 ω )(1 ω ) 1 ω 1 ω
k j T k kT
W j j
j T j T T T

  
   
( ω) /( ω 1).
W j k T j
 
Двигун незалежного збу-
дження, башта танка, коло
постійного струму з актив-
ним опором та індуктивніс-
тю.
ωt
z
x
z(t) x(t)
z
x
K G(t)
δ(t)
t
H
P(ω)
jQ(ω)
=
=
t
H(t)
1(t)
x z
1

Tp
K
T
K
G
δ(t)
G(t)
t
z
x
ωt
φ(ω)
z(t)
x(t)
K
z(ω0
)
jQ(ω)


 0


=
ω
0
P(ω
)
K
H(t)
1(t)
H
t

13. 67
3
Інерцій-
на ланка
другого
порядку
2
2 1 0 0
2
d z dz
a a a z b x
dt dt
  
2
2 1 0 0
( ) .
a p a p a z b x
  
2 2
2 1
( ) ,
1
z k
W p
x T p T p
 
 
0 0
/
k b a
 – стати-
чний передаваль-
ний коефіцієнт
ланки; 1 1 0
/
T a a
 ,
2
2
0
a
T
a

–сталі
часу ланки.
1 2
1 2
( ) ,
t t
H t C e C e k
 
  
2 1
1 2
1 2
( ) λ (1 ) λ (1 ) .
λ λ
t t
k
H t e e
 
 
   
 

2 2
2 1
( ω) .
( ω) ω+1
k
W j
T j T j


ЕМП з поперечним полем, гі-
роскопічний датчик швидкості
системи стабілізації, датчик
вітру.
4
Дифе-
реци-
руюча
0 0 / ,
a z b dx dt

0 0 .
a z b px

( ) / ,
W p z x kp
 
0 0
/
k b a
 –
статичний пере-
давальний коефі-
цієнт ланки.
( ) 1( ) δ( ).
H p kp t k t
  
2
( ) δ( ) δ ( ).
G p kp t k t
  ( ) sinω cosω .
z t kp t k t
  ( ω) ω
W j jk

Диференцируючі ланки є:
тахогенератори, що працю-
ють як датчики ТБО, дифе-
ренціюючі трансформатори,
електричні RC-контури.
5
Інтег-
руюча
ланка
0 0
/
k b a
 – ста-
тичний переда-
Гідравлічний двигун (цилі-
ндр), вал, редуктор, переда-
ча, інтегрувальний електри-
чний двигун.
t
δ(t)
G1(t)
G3(t)
G2(t)
H2(t) H3(t)
H
K
t
H1(t)
1(t)
T1=0
ω=∞
zm
T1>0
K
φ
ω=0
P(ω)
jQ(ω)
φ(ω)
z(t)
z
x
x(t)
ωt
x z
f(t)
H(t)
G(t)
t
δ(t) ω=
∞
jQ(ω
)
P(ω)
ωt
x(t)
z(t)
z,
x
kp
x z
t
H(t)
f(t)
G(t)
δ(t)
t
ωt
z(t)
x(t)
z,
x
jQ(ω
)
P(ω)
ω=0

14. 68
0 0 ,
a z b xdt
 
/ ,
z xk p

вальний коефіці-
єнт ланки.
p
k
p
W 
)
(
( ) 1( )/
H t k t p kt
  
( ω) / ω /ω
W j k j jk
  
*

15. 66
Комбінації ланок у структурних схемах можуть бути: послідовна, пара-
лельна, зустрічно-паралельною (рис.1.16), складною з перехресними
зв’язками.
У результаті проведених перетворень початкова структурна схема сис-
теми перетворюється до вигляду, наведеному на рис. 1.18.
Рисунок 1.18. Еквівалентна структурна схема
Порядок приведення схем з’єднання динамічних ланок до еквівалент-
них структурних схем надається в [1], а схеми з’єднання та їх передавальні
функції наведені в табл. 1.2. Передавальні функції полегшують дослідження
системи методами теорії автоматичного регулювання, викладеними вище.
x z
Wекв(p)
z1
x z2 z
…
W2(p)
W1(p) Wn(p)
zn-1
zn
zi
z2
x
……
W1(p)
Wn(p)
W2(p)
z
z1
z1
а)
б)
в)
zзз
θ
x
Wзз(p)
Wn(p) z
Рисунок 1.17. Схеми з’єднань динамічних
ланок:
а – послідовне; б – паралельне; в – зустріч-
но-паралельне

16. 67
Таблиця 1.2 Схеми з’єднання ланок та їх передавальні функції
Схема з’єднання ланок
Рівняння сигналу,
що регулюється
Передавальна функція
Послідовне 1 2
( ) ( )... ( ) .
n
z W p W p W p x
 екв
1
( ) / ( ).
n
i
i
W p z x W p

  
Паралельне 1 2
( ) ( ) ... ( ) .
n
z W p x W p x W p x
    екв
1
( ) / ( )
n
i
i
W p z x W p

  
Зустрічно-
паралельне
ЗЗ.
x z
  
екв
ЗЗ ЗЗ
/
( ) .
1 /
z z z
W p
x z z

  
   
=
П
екв
П ЗЗ
( )
( ) .
1 ( ) ( )
W p
W p
W p W p


При зустрічно-паралельному з’єднанні ланок (рис. 1.17, в) вихідна
величина ланки або ланцюжка ланок прямого кола (П) через спеціальну лан-
ку або коло ланок зворотного зв’язку (ЗЗ) з передавальною функцією Wзз(p)
діє на вхід з’єднання, змінюючи величину сигналу управління.
Еквівалентні перетворення структурних схем
Множина автоматичних систем має складну багатоконтурну структуру,
зумовлену наявністю цілого ряду перехресних зв’язків. Спрощення складних
структурних з’єднань ланок досягається на основі загальних правил їх екві-
валентних перетворень.
1.3.6 . Зворотні зв’язки та їх вплив на властивості систем автома-
тики
Зворотним зв’язком називається дія вихідної величини якого-небудь
елемента автоматичної системи на вхід цього елемента або на вхід одного з
попередніх елементів.

17. 68
Зворотні зв’язки, що охоплюють окремі елементи або кола елементів,
називаються місцевими зворотними зв’язками.
Якщо зворотний зв’язок охоплює усю автоматичну систему, тобто
з’єднує її вихід з входом, то такий зворотний зв’язок називається головним.
Схематично ці перетворення показані у таблиці 1.3
Таблиця 1.3
Дія
Початкова структурна
схема
Еквівалентна схема
Зміна порядку під-
сумовування сигна-
лів
Зміна положення
точок відбору сиг-
налів.
Перенесення сума-
тора через динаміч-
ну ланку
Перенесення точок
відбору сигналів че-
рез динамічну ланку
Точка переноситься
з входу ланки на її
вихід
x1 x
x2 x3
y
1 2
y
y
x1
W(p)
z
x2
z1
y z
W(p)
z
x1
W(p)
W(0)
x2
x1 x
x3 x2
y
1
2
y
y
y
y
1/W(p)
W(p)
z
z1
x
z
x
W(p)
x
z
1/W(p)
W(p)
x

18. 69
Точка переноситься
з виходу ланки на її
вхід
За характером дії зворотні зв’язки поділяють на жорсткі та гнучкі.
Жорсткий зворотний зв’язок – зв’язок, що діє у системі постійно,
тобто як в усталеному, так і в перехідному режимах. Він реалізується за до-
помогою безінерційних ланок, наприклад, паралелограм них тяг виробу 1Г42,
і має передавальну функцію вигляду
ЗЗ ЗЗ ЗЗ
( ) / ,
W p z z k
 
тобто дія жорсткого зворотного зв’язку на вхід з’єднання у будь-який момент
часу є пропорційною вихідній величині.
Гнучкий зворотний зв’язок – зв’язок, який діє у системі тільки тоді,
коли має місце зміна у часі вихідної величини, тобто у перехідному режимі.
Гнучкі зворотні зв’язки реалізуються за допомогою диференціюючих дина-
мічних ланок, наприклад, гіротахометра, і мають передавальну функцію ви-
гляду
ЗЗ ЗЗ ЗЗ
( ) / .
W p z z k p
 
Таким чином, дія гнучкого зворотного зв’язку на вхід з’єднання є пропорцій-
ним похідній від вихідної величини.
y
z
z
W(p) y
W(p)
W(p)
z
z

19. 70
Залежно від знака зворотні зв’язки можуть бути додатними і
від’ємними.
Додатний зворотний зв’язок збільшує сигнал на вході прямого лан-
цюга з’єднання елементів.
Від’ємний зворотний зв’язок зменшує вхідний сигнал прямого лан-
цюга з’єднання елементів.
За фізичною природою реалізації зворотні зв’язки можуть бути внут-
рішні та зовнішні.
Внутрішні зворотні зв’язки – зв’язки, що органічно входять у струк-
туру елементів і являють собою природну залежність вхідного сигналу від
вихідної величини.
Зовнішні зворотні зв’язки – зв’язки, що створюються штучно шляхом
введення в автоматичну систему додаткових елементів з метою одержання
бажаних статичних і динамічних характеристик.
Розглянемо вплив зовнішніх від’ємних гнучких і жорстких зворотних
зв’язків на властивості автоматичної системи (рис.1.18), яка описується ди-
ференціальним рівнянням другого порядку:
2
2 1 0 0
2
.
d z dz
a a a z b x
dt dt
   (1.19)
Структурна схема такої системи, що відповідає рівнянню (1.19), наве-
дена на рис.1.18, а. Тут 2
2
0
,
a
T
a
 1 1 0
/
T a a
 – сталі коефіцієнти часу системи;
0 0
/
k b a
 – статичний передавальний коефіцієнт. Вважаючи, що 1 2
2
T T
 , ма-
ємо перехідну функцію системи 1( )
z t , наведену на рис. 1.18, г.

20. 71
При охопленні системи жорстким від’ємним зворотним зв’язком (рис.
1.18, б) знаходимо еквівалентну передавальну функцію зустрічно-
паралельного з’єднання:
2 2
2 1
екв 2 2
ЗЗ 2 1 ЗЗ
2 2
2 1
1
( ) .
(1 )
1
1
k
k
T p T p
W p
kk T p T p kk
T p T p
 
 
  

 
(1.20)
Приводимо рівняння (1.20) до стандартного вигляду:
екв 2 2
2 1
( ) ,
( ) 1
k
W p
T p T p


 
 
де
ЗЗ
;
1
k
k
kk
 

2
2
2
ЗЗ
;
1
T
T
kk
 

1
1
ЗЗ
.
1
T
T
kk
 

Перехідна характеристика z2(t) системи при охопленні її жорстким
від’ємним зворотним зв’язком наведена на рис. 1.18, г. Аналіз передавальних
функцій початкової системи та системи, охопленої жорстким від’ємним
x z2
  1
1
2
2
2 

 p
T
p
T
K
-KЗЗ
z
z3
z1
z1
x
1
1
2
2
2 
 p
T
p
T
K
1
1
2
2
2 


 p
T
p
T
K
x z3
2
z2
x
  1
1
2
2
2 




p
T
p
T
K
  1
1
2
2
2 




p
T
p
T
K
б)
а)

21. 72
Рисунок 1.18. Вплив зворотних зв’язків на властивості автоматичної
системи: а – початкова структурна схема; б – охоплення системи ЖЗЗ;
в – охоплення системи ГЗЗ; г – перехідні характеристики.
зворотним зв’язком, а також їх перехідних характеристик z1(t), z2(t) дозволяє
зробити наступні висновки:
- охоплення системи жорстким від’ємним зворотним зв’язком (ЖЗЗ) не
змінює характеру передавальної функції;
- статичний передавальний коефіцієнт системи зменшується тим силь-
ніше, чим більшим є коефіцієнт зворотного зв’язку. отже, із зростанням ЗЗ
k
знижується усталене значення вихідної величини z;
- сталі часу системи при введенні ЖЗЗ зменшуються, при цьому збіль-
шується коливальність вихідного сигналу (коефіцієнт затухання коливань d0
знижується):
1 1 0
0 0
2 2 ЗЗ ЗЗ
.
2 2 1 1
T T d
d d
T T kk kk

  
 
При охопленні системи гнучким від’ємним зворотним зв’язком ( рис.
1.18, в) еквівалентна передавальна функція матиме такий вигляд:
t
x z3
2
-KЗЗp
1
1
2
2
2 
 p
T
p
T
K
x=1(t
)
K
′
K
z2
г)
в)

22. 73
2 2
2 1
екв 2 2
ЗЗ 2 1 ЗЗ
2 2
2 1
1
( ) ,
( ) 1
1
1
k
k
T p T p
W p
kk p T p T kk p
T p T p
 
 
  

 
або у стандартній формі:
екв 2 2
2 1
( ) ,
1
k
W p
T p T p


 
де 1 1 ЗЗ
T T kk
  – стала часу.
Перехідна характеристика z3(t) системи при охопленні її гнучким
від’ємним зворотним зв’язком наведена на рис. 1.18, г.
Таким чином, гнучкий зворотний зв’язок (ГЗЗ) не змінює характеру пе-
редавальної функції системи. Статичний передавальний коефіцієнт при вве-
денні ГЗЗ залишається незмінним, тобто не змінює усталеного значення ви-
хідної величини. Змінюється лише стала часу Т1, зменшуючи коливальність
системи:
1 1 ЗЗ
0 0
2 2
.
2 2
T T kk
d d
T T


  
Формування потрібних властивостей автоматичних систем за допомо-
гою введення зворотних зв’язків широко застосовується при синтезі автома-
тичних пристроїв і дозволяє використовувати одні й ті самі структурні еле-
менти для вирішення різних задач автоматичного керування та регулювання.