Поняття, основні властивості та моделі випадкової складової часових рядів

1. ЧАСОВІ РЯДИ: МОДЕЛІ
ВИПАДКОВОЇ СКЛАДОВОЇ
Володимир Бахрушин
Професор, д.ф.-м.н.
Vladimir.Bakhrushin@gmail.com

2. Основні визначення
Часовий ряд та його випадкову компоненту можна
розглядати як реалізації певного випадкового процесу.

3. Основні визначення
cov Y t1 ,Y t2
M
D t
2
t
Y t1
t
m t1
Y t2
cov Y t ,Y t
cov Y t ,Y t
m t2

4. Математичне сподівання та
стандартне відхилення

5. Кореляційна функція
Y t1 ,Y t2
cov Y t1 ,Y t2
t1
cov Y t ,Y t
D t
t2

6. Автокореляційна функція
Y(t) = sin(t/2) + ε;
ε = N(0, 2)

7. Автокореляційна функція
Вибіркові оцінки значень автокореляційної функції можна
отримати за формулою:
n
n
y t
y
y t
y
t 1
.
n
n
y t
y
2
t 1
Чисельник цієї формули є оцінкою автоковаріації.
Автокореляційна функція має такі властивості:
1;
0
1;
.
Рекомендується обмежуватися значеннями
n / 4.

8. Частинна автокореляційна
функція
Значення частинної автокореляційної функції є
очищеними від опосередкованого впливу проміжних членів
ряду, що розташовані між y(t) та y(t + τ). Їхні оцінки можна
отримати за формулами:
part
2
1
2
3
1
1
2
2
2
1
part
1
1
1
1
1
3
2
1
2
2
2
1
3
1
2
1
2
1
1
1
2
2
2
2 3
2
2
1
2
2
1
1
2
3

9. Частинна автокореляційна
функція
На практиці для розрахунку значень частинної
автокореляційної функції використовують такий алгоритм.
Значення ρpart(1) = ρ(1).
Для розрахунку наступних значень будують послідовність:
yt
1j
yt
1
2j
yt
2
...
jj
yt
j
t
де ε(t) є білим шумом.
Коефіцієнти ij оцінюють за методом найменших квадратів і
беруть p part j
jj

10. Стаціонарність часових рядів
Часовий ряд називають строго стаціонарним, якщо
сумісний розподіл n спостережень y(t1), y(t2), …, y(tn) є таким
самим, як і для n спостережень y(t1 + τ), y(t2 + τ), …, y(tn + τ) за
будь-яких m, t1, t2, …, tn, τ.
Часовий ряд називають слабко стаціонарним, якщо його
математичне сподівання, дисперсія та коваріація не залежать
від часу.
Стаціонарні часові ряди є ергодичними: для них середнє
за часом збігається із середнім за спостереженнями. Тому
основні характеристики процесу можна оцінити за однією
реалізацією.

11. Стаціонарність часових рядів

12. Білий шум
Прикладом стаціонарного процесу є білий шум. Він
задовольняє такі вимоги:

13. Білий шум

14. ARMA (АРКС) моделі
Модель
Рівняння моделі
МА(1)
МА(2)
МА(q)
АR(1)
АR(2)
АR(p)
ARMA(1,1)
ARMA(p,q)
ut
t
ut
ut
t
t
1 t 1
1u t 1
t
1u t 1
1u t 1
ut
ut
...
1u t 1
ut
ut
2u t 2
2 t 2
2 t 2
1 t 1
ut
1 t 1
2u t 2
2u t 2
...
1 t 1
put p
2 t 2
t
pu t p
1u t 1
...
q t q
t
1 t 1
...
q t q
t
t

15. ARMA (АРКС) моделі
Модель
Білий шум
МА(1)
МА(q)
АR(1)
АR(p)
ARMA(1,1)
ARMA(p,q)
АКФ
Усі нулі
Нулі після ρ(1)
Нулі після ρ(q)
Геометрично згасає
після ρ(1)
Геометрично згасає
після ρ(p)
Геометрично згасає
після ρ(1)
Геометрично згасає
після ρ(p)
ЧАКФ
Усі нулі
Згасає після h(1)
Згасає після h(p)
Нулі після h(1)
Нулі після h(р)
Згасає після h(1)
Згасає після h(p)

16. Марковський процес
Марковським називають процес, значення якого для всіх
моментів часу ti залежать від значень у попередні моменти
ti – 1, але не залежать від більш ранніх моментів часу ti – 2, ti – 3,
…
Марковський процес є авторегресією першого порядку і
може бути описаний формулою:
t
де
t
t 1
є білим шумом, а | | < 1.
t

17. Марковський процес
Дисперсія марковського процесу:
D( t )
де
2
0
2
0
2
/ 1
– дисперсія білого шуму.
D( t )
2
0,
,

18. Марковський процес

19. Марковський процес
Графік марковського процесу є рядом більш-менш
регулярних осциляцій. Середня відстань між піками:
d
2
arccos 0,5
1
Автокореляційна функція марковського процесу:
Звідсі:
1
Значення частинної автокореляційної функції марковського
процесу дорівнюють нулю для всіх , крім = 1.