Part of the course of Probability Theory, Random Processes and Mathematical Statistics

1. СТАЦІОНАРНІ ВИПАДКОВІ ПРОЦЕСИ

4. Стаціонарність –
властивість процесу не змінювати свої характеристики з часом
Які характеристики?

5. Означення. Випадковий процес )(t , Τt  називається
стаціонарним (у вузькому розумінні), якщо послідовність його
скінченновимірних функцій розподілу не залежить від зсуву в
часі, тобто, коли для будь-яких Τttt n ...,,, 21 має місце:
)...,,,;...,,,()...,,,;...,,,( 21212121 ttttttxxxFtttxxxF nnnn 

6. Означення. Випадковий процес )(t , Τt  називається
стаціонарним у широкому розумінні, якщо його моментні
функції першого та другого порядку не залежать від зсуву в
часі, тобто, для будь-яких Τttt 21,, має місце:
,)( constmt M
 RttRttR  )(),( 1221 , 12 tt  .
!!! Для стаціонарного в широкому розумінні випадкового
процесу математичне сподівання не залежить від часу, а
кореляційна функція залежить тільки від різниці часових
аргументів.

7. Випадкові процеси
Стаціонарні у широкому розумінні
(слабо стаціонарні)
Стаціонарні
у вузькому
розумінні

8. Властивості кореляційної функції )(R дійсного слабо
стаціонарного випадкового процесу:
consttRR 
)()0()( 0
 
D !!!
     RR ,       ,0 RR .
Означення. Слабо стаціонарні випадкові процеси )(t і )(t
називаються стаціонарно зв’язаними, якщо їх взаємна
кореляційна функція залежить лише від різниці аргументів,
тобто   RttRttR  )(),( 1221 .

9. Синусоїда з випадковою фазою
    ,,2sin)( 00 ttfAt  ,
де 0,0 00  fA - дійсні константи,
 - випадкова вел., рівномірно розподілена в інтервалі  , .
Обгрунтувати
0)(  tM     120
2
0
21 2cos
2
, ttf
A
ttR  
      ,,2cos
2
0
2
0
 f
A
R

10. )(t
-1
1
-5 -3 -1 1 3 5 t

11. Спектральне зображення кореляційної функції слабо
стаціонарного випадкового процесу.
Спектральна функція
Теорема Хінчина. Для того, щоб функція     ,, R
являла собою кореляційну функцію деякого дійсного
гільбертового слабо стаціонарного випадкового процесу
),(),( tt , необхідно і достатньо, щоб її можна було
зобразити у вигляді:
     fdGfτR  2cos
0


 ,
де   ,0),( ffG - неспадна, неперервна зліва функція, для
якої має місце: 0)0( G і      tRGfG
f
D

)0(lim .

12. Функція )( fG називається спектральною функцією дійсного
слабо стаціонарного випадкового процесу, а її аргумент f з
фізичної точки зору трактується як частота.
Нехай )(t - слабо стаціонарний випадковий процес з mt )(M .
Дисперсія )(tD цього процесу характеризує повну середню
потужність центрованого процесу mtt  )()(  
. Тоді
спектральна функція  fG при кожному f дорівнює середній
потужності процесу )(t
 , що припадає на частотний діапазон
 f,0 . Якщо 210 ff  , то середню потужність   21, ffIP процесу
)(t
 , що припадає на частотний діапазон  21, ff можна знайти
наступним чином:
      1221, fGfGffIP  .

13. Формула обернення
 
 
  



dR
f
fG 


0
2sin2
.
)( fG
)0(R
f2f1f0

14. Слабо стаціонарні випадкові процеси з неперервним
спектром. Спектральна щільність потужності
Означення. Якщо існує така функція   ,0),( ffS , що при
будь-яких f виконується співвідношення:
   
f
dxxSfG
0
,
то  fS називається спектральною щільністю потужності
слабо стаціонарного випадкового процесу   ,),( tt .

15. Якщо  fG неперервно-диференційовна, то
  ,0),(
)(
)( ffG
df
fdG
fS .
  ffS  ,0 і  


0
)()0( tRdffS D
якщо 210 ff  , то середня потужність   21, ffI p слабо
стаціонарного випадкового процесу )(t
 з неперервним
спектром, що припадає на частотний діапазон  21, ff
визначається наступним чином:
        dffSfGfGffI
f
f
p 
2
1
1221,
.

16.      


0
2cos dfffSR 
       dfRfS 2cos4
0




17. Приклад 1.    ,,,2


 
eR
τ
0,0  
  222
2
4
4
f
fS



,
  









 farctgfG
22 2

18. 
)(R
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5
1
2

19. f
)( fS
1
2
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5

20. f
)( fG
0
0.5
1
0 0.5 1 1.5 2 2.5
1
2

21. Приклад 2.
   ,,,2cos)( 0
2


 
feR 0,0,0 0  f
 
    










 2
0
222
0
22
2
4
1
4
1
2
ffff
fS
      .ffarctgffarctgfG 

















 00
2
22







22. 1
2

)(R
-0.5
0
0.5
1
1 2 3 4 5

23. f
)( fS
1
2
0
1
2
0 1 2 3 4 5

24. f
)( fG
0
0.5
1
0 1 2 3 4 5
1
2

25. f
)( fS
1
2
0
1
2
3
4
0 0.5 1 1.5 2 2.5 f
)( fS
1
2
0
1
2
0 1 2 3 4 5
0 20 40 60 80 100
10
5
5
10
yt
t
0 20 40 60 80 100
10
5
5
10
xt
t

27. Слабо стаціонарні випадкові процеси з дискретним
спектром
Приклад: Синусоїда з випадковою фазою








.,
2
,0,0
)(
0
2
0
0
ff
A
ff
fG
2
2
0A
)( fG
f0f0

28. Загальний випадок
      


n
k
kkkkk ttftfmt
1
,,2sin2cos)(  ,
де nkfm kk ,1,0,0,  - дійсні константи;
nkkk ,1,,  - некорельовані випадкові величини,
nkkkkk ,1,1,0   DDMM ;

29.   mt M     


n
k
kk ttfttR
1
12
2
21 2cos,  .
Випадковий процес є стаціонарним у широкому розумінні з
математичним сподіванням mt )(M та кореляційною функцією
      

,,2cos
1
2
 fR
n
k
kk . 


n
k
kRt
1
2
)0()( D
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 f
)( fG

30. 0 1 2 3
2
1
0
1
2
S0k
k dt
0 1 2 3
4
2
0
2
4
S1k
k dt
0 1 2 3
4
2
0
2
4
S2k
k dt
0 1 2 3
4
2
0
2
4
S3k
k dt

31. 0 1 2 3
10
0
10
20
Sk
k dt
10
8
6
4
2
0
0 2 4 6 8 10 f
)( fG

32. Узагальнення для комплекснозначних процесів
Функція     ,, R являє собою кореляційну функцію
деякого комплекснозначного неперервного в
середньоквадратичному розумінні гільбертового слабо
стаціонарного випадкового процесу   ,),( tt тоді і тільки тоді,
коли її можна зобразити у вигляді:
        


,,1,2exp  -ifdFfiR ,
де     ,, ffF - неспадна неперервна зліва дійсна функція,
яка задовольняє умовам:     )()0(,0 tRFF D .
Функція     ,, ffF називається спектральною
функцією комплекснозначного слабо стаціонарного
випадкового процесу.

33. Теорема Вінера-Хінчина.
     


 dffifPR  2exp ,
        


,,2exp fdfiRfP 

34. Означення. Взаємною спектральною щільністю потужності
двох стаціонарно зв’язаних випадкових процесів )(t та
  ,),( tt , взаємна кореляційна функція     ,, R
яких задовольняє умові  


 dR , називається функція виду:
        dRfifP 


 2exp , ),( f .