Μαθηματικά και Τέχνη - Εργασία μαθητών - Γυμνάσιο Νέας Ερυθραίας - Σχολ. έτος 2017-18

1. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ
Ομαδική εργασία:
Λυδία Ντίλιου
Κων/νος Παντελαίος
Δήμητρα Παπαδημητρίου
Πόπη Παπουλή – Σωτηροπούλου
Ανδρομάχη Παππά
Επιβλέπουσα Καθηγήτρια: Μαρία Πελεκάνου
Β4 (Ομάδα 1)
2018

2. ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ ΤΕΧΝΗ
Μαθηματικά & Τέχνη:
Βρείτε τι σχέση έχουν
Μαθηματικά & Τέχνη:
Βρείτε τι σχέση έχουν

3. "Ο μαθηματικός όπως ένας ζωγράφος ή
ένας ποιητής είναι ένας σχεδιαστής. Ο
ζωγράφος φτιάχνει σχέδια με σχήματα
και χρώματα, ο ποιητής με ιδέες. Τα
μαθηματικά σχεδιάσματα, όπως εκείνα
του ποιητή ή του ζωγράφου πρέπει να
είναι όμορφα. Δεν υπάρχει μόνιμη θέση
στον κόσμο για άσχημα μαθηματικά"
Ηardy
Άγγλος μαθηματικός στο βιβλίο του :
" Η Απολογία ενός μαθηματικού"

4. Η ΣΧΕΣΗ ΤΩΝ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΩΝ ΜΕ
ΤΗΝ ΤΕΧΝΗ
Τα μαθηματικά και η τέχνη γενικότερα μολονότι,
φαινομενικά τουλάχιστον, αποτελούν δυο
ξεχωριστά – διακριτά πεδία της ανθρώπινης
δραστηριότητας, εντούτοις είναι δυνατόν να
συνδυαστούν και να δώσουν δημιουργίες οι οποίες
αποτελούν αξιοθαύμαστο μείγμα εντυπωσιακής
πολυπλοκότητας και εκπληκτικής ομορφιάς.
Ιστορικά, τα μαθηματικά, μολονότι θεωρούνται
κυρίως λογική – αναλυτική επιστήμη, έχουν παίξει
σημαντικό ρόλο στην εξέλιξη της τέχνης, η οποία
απευθύνεται κυρίως στο συναίσθημα.

5. Πηγή έμπνευσης στην τέχνη αποτέλεσε η
γεωμετρία. Γεωμετρία είναι ο κλάδος των
μαθηματικών που ασχολείται με χωρικές
σχέσεις, δηλαδή με τη σύνθεση του χώρου
που ζούμε. Εμπειρικά, αλλά και
διαισθητικά, οι άνθρωποι χαρακτηρίζουν
τον χώρο μέσω συγκεκριμένων
θεμελιωδών ιδιοτήτων, που ονομάζονται
αξιώματα. Τα αξιώματα δε μπορούν να
αποδειχτούν, αλλά μπορούν να
χρησιμοποιηθούν σε συνδυασμό με
μαθηματικούς ορισμούς για τα σημεία, τις
ευθείες, τις καμπύλες, τις επιφάνειες και τα
στερεά για την εξαγωγή λογικών
συμπερασμάτων

6. Βλέπετε γωνίες;

7. Βλέπετε τρίγωνα;

8. ΦΡΑΚΤΑΛ
Με τον διεθνή όρο φράκταλ (fractal,
ελληνικά μορφόκλασμα ή μορφοκλασματικό
σύνολο) στα Μαθηματικά, τη Φυσική αλλά και σε
πολλές επιστήμες ονομάζεται ένα
γεωμετρικό σχήμα που επαναλαμβάνεται αυτούσιο
σε άπειρο βαθμό μεγέθυνσης κι έτσι συχνά
αναφέρεται σαν "απείρως περίπλοκο". Το φράκταλ
παρουσιάζεται ως "μαγική εικόνα" που όσες φορές
και να μεγεθυνθεί οποιοδήποτε τμήμα του θα
συνεχίζει να παρουσιάζει ένα εξίσου περίπλοκο
σχέδιο με μερική ή ολική επανάληψη του αρχικού.
Χαρακτηριστικό επομένως των φράκταλ είναι η
λεγόμενη αυτο-ομοιότητα (self-similarity) σε
κάποιες δομές τους, η οποία εμφανίζεται σε
διαφορετικά επίπεδα μεγέθυνσης.

9. Φράκταλ απαντώνται και στη φύση, χωρίς όμως να
υπάρχει άπειρη λεπτομέρεια στη μεγέθυνση όπως
στα φράκταλ που προκύπτουν από μαθηματικές
σχέσεις. Ως παραδείγματα φράκταλ στη φύση,
αναφέρονται το σχέδιο των νιφάδων του χιονιού, τα
φύλλα των φυτών ή οι διακλαδώσεις των αιμοφόρων
αγγείων. Ο όρος προτάθηκε από τον Μπενουά
Μάντελμπροτ (Benoît Mandelbrot) το 1975 και
προέρχεται από τη λατινική λέξη fractus, που
σημαίνει "σπασμένος", "κατακερματισμένος".

11. ΕΡΓΑ ΠΟΥ ΕΧΕΙ ΑΠΟΔΕΙΧΘΕΙ Η
ΣΥΝΔΕΣΗ ΤΟΥΣ ΜΕ ΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Ο Βιτρούβιος άνθρωπος φτιάχτηκε από τον
Λεονάρντο ντα Βίντσι και απεικονίζει μία
γυμνή αντρική φιγούρα σε δύο θέσεις
εγγεγραμμένη σε ένα κύκλο και ένα
τετράγωνο. Σύμφωνα με τις σημειώσεις του
ντα Βίντσι στο κείμενο που συνοδεύει το
έργο, οι οποίες μάλιστα είναι γραμμένες με
καθρεπτιζόμενη γραφή, το σχέδιο έγινε για
τη μελέτη των αναλογιών του (ανδρικού)
ανθρώπινου σώματος.

12. Συγκεκριμένα στο σχέδιο:
 Μια παλάμη έχει πλάτος τεσσάρων
δακτύλων
 Το πόδι έχει πλάτος τέσσερις παλάμες
 το ύψος του ανθρώπου είναι τέσσερις
πήχεις (και άρα 24 παλάμες)
 Το μήκος των χεριών του άντρα σε διάταση
είναι ίσο με το ύψος του

13. Ο Βιτρούβιος άνθρωπος

14. ΜΟΝΑ ΛΙΖΑ
Ο Leonardo da Vinci (1402-1519) είναι
γνωστός για τα επιτεύγματά του τόσο στις
επιστήμες όσο και στις καλές τέχνες. Στα έργα
του χρησιμοποίησε παραστατική γεωμετρία
προκειμένου να δημιουργήσει τα πρώτα
παραμορφωμένα πλέγματα, τα οποία όταν
ειδωθούν από κάποια συγκεκριμένη γωνία
εμφανίζονται κανονικά. Η Μόνα Λίζα (αλλιώς
γνωστή ως Τζοκόντα) είναι ένα πορτραίτο του
16ου αιώνα, που ζωγράφισε ο Leonardo Da
Vinci κατά τη διάρκεια της ιταλικής
αναγέννησης. Βρίσκεται στο μουσείο του
Λούβρου στο Παρίσι και είναι ίσως ο πιο
διάσημος πίνακας ζωγραφικής στον κόσμο

16. Αρκετοί ζωγράφοι χρησιμοποιούσαν την
παραδοσιακή γεωμετρία που βασιζόταν στα
τρίγωνα, τα τετράγωνα, τους κύκλους, τις
ελλείψεις, κλπ, αλλά και τη νέα γεωμετρία με
περιστρεφόμενες καμπύλες, σπιράλ και ίνες,
οι οποίες περιτυλίσσονται μεταξύ τους, έτσι
ώστε να δίνουν περίπλοκα σχήματα, ώστε οι
λεπτομέρειες να χάνονται στο άπειρο.
Τα έργα του Van Gogh χαρακτηρίζουν
χαοτικές δίνες που ακολουθούν με ακρίβεια
τις μαθηματικές περιγραφές των αναταράξεων
σε ρευστά υλικά, όπως οι στροβιλισμοί του
νερού σε ένα ταραγμένο ποτάμι ή οι
ανεμοστρόβιλοι.

18. ΕΡΓΑ ΤΕΧΝΗΣ ΠΟΥ ΣΥΝΔΕΟΝΤΑΙ ΜΕ ΤΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΣΤΗ ΓΕΩΜΕΤΡΙΚΗ ΕΠΟΧΗ
Στο τέλος της Γεωμετρικής περιόδου στην αρχαία
ελληνική τέχνη κατασκευάστηκαν αγγεία που ήταν
διακοσμημένα με διάφορα γεωμετρικά μοτίβα.
Ειδικότερα:
Στο τέλος της περιόδου βάφεται μαύρη όλο και
μεγαλύτερη επιφάνεια του αγγείου.
Τα διακοσμητικά θέματα είναι περιορισμένα:
Tεθλασμένες γραμμές, τρίγωνα και κυρίως
ομόκεντροι κύκλοι οι οποίοι σχεδιάζονταν με πολλά
πινέλα που ήταν εφαρμοσμένα στο διαβήτη.

20. Η ΜΕΛΛΙΣΣΑ ΓΝΩΡΙΖΕΙ ΑΝΩΤΕΡΑ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ
Από όλα τα κανονικά επίπεδα σχήματα,
εκείνα που η μέλισσα θα μπορούσε να
χρησιμοποιήσει για την κατασκευή των
κελιών της, είναι τρία. Το ισόπλευρο
τρίγωνο, το τετράγωνο και το κανονικό
εξάγωνο. Μόνον αυτά τα τρία γεωμετρικά
σχήματα «κλείνουν» ακριβώς το επίπεδο
χωρίς να αφήνουν κενά μεταξύ τους.

21. Οι μέλισσες λοιπόν έλυσαν ένα
δύσκολο μαθηματικό πρόβλημα :
«Τι σχήμα πρέπει να πάρει μια δοσμένη
ποσότητα ύλης, ώστε να έχει τη μεγαλύτερη
χωρητικότητα, σταθερότητα και τη μικρότερη
δυνατή επιφάνεια, προϋποθέτοντας λιγότερη
εργασία κατασκευής»

23. ΤΑ ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΚΑΙ Η ΜΟΥΣΙΚΗ
«Δεν θα υπήρχε (μουσική) αρμονία αν
δεν υπήρχαν αριθμοί. Δεν θα υπήρχε
αρμονία αν δεν υπήρχε ο άνθρωπος για
να την ακούσει και να την κρίνει ως
τέτοια, για να γίνουν οι αριθμοί
εργαλεία. Δεν υπάρχει αρμονία από
μόνη της»
Ρούντολφ Τάσνερ

24. Η ιδέα της σύνδεσης των μαθηματικών και
της μουσικής γεννήθηκε πριν από 26
ολόκληρους αιώνες στην αρχαία Ελλάδα
από τον Πυθαγόρα, μαθηματικό και ιδρυτή
της πυθαγόρειας σχολής σκέψης. Ο
φιλόσοφος γνώριζε πολύ καλά τη σχέση
της μουσικής με τους αριθμούς. Οι ειδικοί
ερευνητές θεωρούν ότι το πιθανότερο είναι
πως ο ίδιος και οι μαθητές του συνέβαλαν
στη σχέση της μουσικής και των αριθμών
μελετώντας το αρχαίο όργανο μονόχορδο.

25. Η Μουσική είναι ένα ποιοτικό φαινόμενο όπως η αίσθηση
του ωραίου, της ανάμνησης και της λήθης, του ευχάριστου
και του δυσάρεστου

26. Πέρα από το μονόχορδο, ο Πυθαγόρας
πειραματίστηκε και με άλλα υλικά και τις
ιδιότητές τους που συνθέτουν τα μουσικά
διαστήματα. Ο χωρισμός και καθορισμός
των μουσικών διαστημάτων που πέτυχε,
ήταν ένα τεράστιας σημασίας επίτευγμα
τόσο για τη μουσική όσο και για τα
μαθηματικά. Πέρα από τη μεγάλη σημασία
για τη θεωρία της μουσικής, ο υπολογισμός
του έδωσε την ευκαιρία να κατασκευαστούν
μουσικά όργανα με μεγαλύτερη ακρίβεια
από πριν.

27. ΡΥΘΜΟΣ-ΑΡΙΘΜΟΙ
Την διάρκεια των ήχων τη μετράμε με ισόχρονες
κινήσεις του χεριού ή του ποδιού που λέγονται
χρόνοι. Όταν κάποιος παίζει ένα μουσικό όργανο
για να έχει σωστή μελωδία πρέπει να υπολογίζει
το χρόνο που θα διαρκέσουν οι νότες που θα
παίξει .Συγκεκριμένα οι νότες έχουν διαφορετική
χρονική διάρκεια μεταξύ τους και για αυτό τον
λόγο έχουν διαφορετική ονομασία .Για παράδειγμα
η μεγαλύτερη χρονική διάρκεια που μπορεί να έχει
μια νότα είναι 4 χρόνοι και ονομάζεται ολόκληρο
και συμβολίζεται σε κλάσμα 4/4. Έπειτα σε
χρονική διάρκεια ακολουθεί το μισό που διαρκεί 2
χρόνους και συμβολίζεται σε 2/4 εν συνεχεία το
τέταρτο που διαρκεί ένα χρόνο και συμβολίζεται σε
1/4.

29. Βιβλιογραφία
https://el.wikipedia.org/wiki
http://en.wikipedia.org/wiki/Mathematics_and_art –
http://www.britannica.com/bps/media-view/97443/1/0/0
http://maths-art.blogspot.gr/
https://el.wikipedia.org/wiki/%CE%9C%CE%B1%CE%B8%CE%B7%CE%BC%CE%B1
Φίλη Χ.: Γεωμετρία και Τέχνη: Δυο παράλληλες αναζητήσεις, Πρακτικά
του 17ου Πανελληνίου Συνεδρίου Μαθηματικής Παιδείας, Ε.Μ.Ε.,
2000.