Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ

3,948 views

Published on

Δείτε μια όμορφη συλλογή επαναληπτικών θεμάτων που μας προσφέρει ο αγαπητός συνάδελφος Γιώργος Μαυρίδης, τον οποίο και ευχαριστώ πολύ.

30 επαναληπτικά Γ τάξης ΓΠ

  1. 1. Επαναληπτικά Θέματα 319 Επαναληπτικά Θέματα 1. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) α f x βln 2 x x =+ − όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Να βρείτε: i) το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f ii) τη συνάρτηση ( )f x′ iii) τους α και β ώστε η εφαπτομένη ( )ε της καμπύλης της f στο σημείο της ( )Μ 1,2 να είναι κάθετη στην ευθεία ( )n με εξίσωση 1 y x 3 = iv) για α 2= και β 1= , το όριο ( ) ( )x 2 lim x 2 f x . → ′− ⋅ 2. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( ) x f x αx 1 e , x− =+ ∈ όπου α σταθερός πραγματικός αριθμός. Η εφαπτομένη της καμπύλης της συ- νάρτησης f στο σημείο της ( )( )Α 0,f 0 σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία π . 4 i) Να αποδείξετε ότι α 2= . ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο 1 1 Β ,f . 2 2          iii) Να βρείτε τα ακρότατα της συνάρτησης f. iv) Να υπολογίσετε το όριο ( ) x 23 x 2 f x e lim . 4x 9→ ′′ ⋅ −
  2. 2. 320 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 3. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 4x αx β f x , x e + = ∈ όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί. Η γραφική παράσταση της συνάρτη- σης f τέμνει τον άξονα x x′ στο σημείο με τετμημένη 1 4 − και τον άξονα y y′ στο σημείο με τεταγμένη 1. i) Να αποδείξετε ότι α 4= και β 1.= ii) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της γραφικής παράστασης της συ- νάρτησης f στο σημείο της ( )( )Μ 0,f 0 . iii) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 4x 4 f x 4f x e ′ + =για κάθε x .∈  iv) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. v) Να αποδείξετε ότι ( )f x 1≤ για κάθε x .∈ 4. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )2 f x ln x α= + όπου α ένας σταθερός θετικός πραγματικός αριθμός. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της συνάρτησης f. ii) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. iii) Αν η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της ( )( )Α 1,f 1 σχηματίζει με τον άξονα x x′ γωνία 45°, να αποδείξετε ότι: α) α 1= β) η συνάρτηση ( ) ( )g x f x x= − είναι γνησίως φθίνουσα.
  3. 3. Επαναληπτικά Θέματα 321 5. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 f x αx βx 3= + + , x ∈  όπου α, β σταθεροί πραγματικοί αριθμοί με α 0.≠ i) Να βρείτε τους α, β, ώστε η συνάρτηση f να έχει στη θέση x 1= τοπικό ακρότατο ίσο με 4. Τι είδους ακρότατο είναι αυτό; ii) Για α 1= − και β 2,= να βρείτε: α) την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο της ( )Μ 2,3 β) το εμβαδό του τριγώνου που σχηματίζει η ευθεία ( )ε με τους άξονες x x′ και y y.′ 6. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 f x x= , x ∈  και το σημείο ( )Μ x,y της γραφικής της παράστασης. i) Nα αποδείξετε ότι η απόσταση d του σημείου Μ από το σημείο ( )Α 3,0 δί- νεται από τον τύπο ( ) 4 2 d x x x 6x 9= + − + για κάθε x .∈  ii) Nα βρείτε τις συντεταγμένες του σημείου Μ για τις οποίες η απόσταση ( )d x γίνεται ελάχιστη. iii) Nα υπολογίσετε την ελάχιστη τιμή της απόστασης ( )d x . iv) Αν η απόσταση ( )d x είναι ελάχιστη, να αποδείξετε ότι η ευθεία ΜΑ είναι κάθετη στην εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο Μ. 7. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 5 2 f x x 80x 144x 1=− + − + , x ∈  i) Nα βρείτε το συντελεστή διεύθυνσης ( )λ x της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f σε κάθε σημείο της ( )( )M x,f x . ii) Nα αποδείξετε ότι για x 2= o συντελεστής διεύθυνσης ( )λ x γίνεται μέγιστος. iii) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο της με τετμημένη x 2.= iv) Nα υπολογίσετε το όριο ( ) ( ) h 0 f 2 h f 2 lim . h→ + −
  4. 4. 322 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 8. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μετα- βλητής Χ με κάποιες από τις αντίστοιχες συχνό- τητες. Η σχετική συχνότητα της τιμής x4 είναι 4f 0,4.= H συχνότητα 1ν και η μέση τιμή x είναι το τοπι- κό ελάχιστο και το τοπικό μέγιστο αντίστοιχα της συνάρτησης ( ) 3 2 f x 2x 3x 6 x, x= − + − ∈  i) Nα βρείτε το μέγεθος ν του δείγματος. ii) Να αποδείξετε ότι 1ν 2= και x 3.= iii) Να βρείτε τη συχνότητα 3ν . iv) Να υπολογίσετε τη διάμεσο του δείγματος. 9. Έστω οι παρατηρήσεις 1 2 νt , t , ..., t ενός δείγματος μεγέθους ν, οι οποίες δεν είναι όλες ίσες μεταξύ τους και έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) 4 f x x 4sx x, x= − + ∈  η οποία παρουσιάζει για x s= ελάχιστο ίσο με 7. i) Nα αποδείξετε ότι s 0.≠ ii) Να βρείτε την τυπική απόκλιση s. iii) Nα βρείτε τη μέση τιμή x. iv) Nα εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. ix iν 1 2 2 3 4 6 Σύνολο ν
  5. 5. Επαναληπτικά Θέματα 323 10. Έστω οι παρατηρήσεις 1 2 3 4 5t , t , t , t , t ενός δείγματος μεγέθους 5 με μέση τιμή x 0≠ και τυπική απόκλιση s. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) 3 x 3x 2 , x 1 f x x 1 x 10s, x 1  − + ≠ = −  − = η οποία είναι συνεχής. i) Nα αποδείξετε ότι ( ) 2 f x x x 2= + − για κάθε x 1.≠ ii) Nα εξετάσετε αν το παραπάνω δείγμα είναι ομοιογενές. iii) Nα βρείτε την εξίσωση της ευθείας ( )ε που εφάπτεται στη καμπύλη της συνάρτησης f στο σημείο ( )( )Μ 1,f 1 . iv) Aν η ευθεία ( )ε διέρχεται από το σημείο x K s, 5       , να αποδείξετε ότι: α) x 30= και s 3= β) 1 2 3 4 5t t t t t 150+ + + + = γ) 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5t t t t t 4545.+ + + + = 11. Οι τιμές σε ευρώ ενός προϊόντος σε 50 διαφορετικά καταστήματα ακολουθούν την κανονική κατανομή και έχουν διάμεσο δ = 40 ευρώ. i) Nα βρείτε τη μέση τιμή. ii) Aν το άθροισμα των τετραγώνων των τιμών του προϊόντος στα 50 καταστή- ματα είναι 80200, να βρείτε: α) τη διακύμανση β) το συντελεστή μεταβολής. iii) Aν στην περίοδο των εκπτώσεων οι τιμές του παραπάνω προϊόντος μειωθούν σε κάθε κατάστημα κατά 20%, τότε: α) να βρείτε τη νέα μέση τιμή β) να εξετάσετε αν θα μεταβληθεί ο συντελεστής μεταβολής.
  6. 6. 324 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 12. Στο διπλανό πίνακα δίνονται οι τιμές μιας μετα- βλητής X με τις αντίστοιχες συχνότητες και σχε- τικές συχνότητες iν , i 1, 2, 3, 4= και if , i 1, 2, 3, 4= . Οι αριθμοί α και β είναι οι θέσεις των τοπικών ακροτάτων της συνάρτησης ( ) 3 25 11 f x x x 2x 1 3 2 = − + + , x ∈ . i) Nα αποδείξετε ότι α 2= και β 0,2.= ii) Nα συμπληρώσετε τον παραπάνω πίνακα. iii) Να βρείτε τη μέση τιμή και τη διάμεσο. iv) Nα βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης ( )ε της καμπύλης της συνάρτησης f στο σημείο της ( )( )Μ 0,f 0 . v) Oι τετμημένες 10 σημείων της εφαπτομένης ( )ε έχουν μέση τιμή x 2,3= και τυπική απόκλιση s 0,1.= Nα βρείτε τη μέση τιμή y και την τυπική απόκλιση ys των τεταγμένων αυ- τών των σημείων. 13. Οι παρατηρήσεις 1 2 νt , t , , t ενός δείγματος μεγέθους ν έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Η συνάρτηση ( ) ( ) x f x x s e 2x, x= − + ∈ παρουσιάζει για x 0= ελάχιστο ίσο με 9. i) Να αποδείξετε ότι s 1= και x 5.= ii) Να αποδείξετε ότι το δείγμα δεν είναι ομοιογενές iii) Aν έχουμε κανονική κατανομή και 135 από τις παρατηρήσεις βρίσκονται στο διάστημα ( )3,4 να βρείτε: α) το μέγεθος ν του δείγματος β) το πλήθος των παρατηρήσεων που βρίσκονται στο διάστημα ( )5,7 . iv) Προσθέτουμε σε κάθε μία από τις παρατηρήσεις 1 2 νt , t , ,t την ίδια θετική ποσότητα c. Να βρείτε την ελάχιστη τιμή της c ώστε το δείγ- μα των παρατηρήσεων που προκύπτουν να είναι ομοιογενές. ix iν if 1 α β 2 2α 3 α+1 4 Σύνολο
  7. 7. Επαναληπτικά Θέματα 325 14. Έστω οι συνάρτηση ( ) x f x e x 39, x= − + ∈  και οι παρατηρήσεις ( ) ( ) ( )1 2 100f x f x ...f x< < οι οποίες έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Aν το δείγμα των παραπάνω παρατηρήσεων δεν είναι ομοιογενές, να αποδείξετε ότι: i) η ελάχιστη τιμή της f είναι 40 ii) x 40> iii) s 4> iv) η συνάρτηση ( ) 3 2 g x x 6x 3s x x, x= + + ⋅ + ∈  είναι γνησίως αύξουσα. 15. Έστω ο δειγματικός χώρος { }Ω 1, 2, 3, ...,19, 20= ενός πειράματος τύχης με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Έστω επίσης Α, Β δύο ενδε- χόμενα του Ω τέτοια, ώστε { }Α Β 2, 3, 5, 7,11∪ = , { }Β Α 2, 7− = και { }Α Β 5∩ = . i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β. ii) Nα βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί το Α και όχι το Β. iii) Nα βρείτε την πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ακριβώς ένα από τα Α και Β. iv) Aν x είναι η μέση τιμή και 2 s η διακύμανση των αριθμών 3α, 5α, 7α όπου α Ω∈ να βρείτε την πιθανότητα του ενδεχομένου { }2 Γ α Ω /s 8x= ∈ < .
  8. 8. 326 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 16. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 2 2x f x x 4x λ = + + όπου λ ένας αριθμός που επιλέγουμε τυχαία από το σύνολο { }Ω 1, 2, 3, ..., 99,100 .= i) Nα βρείτε τη συνάρτηση ( )f x .′ ii) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: “ η συνάρτηση f έχει πεδίο ορισμού σύνολο . ” Β: “ η εφαπτομένη της καμπύλης της f στο σημείο της με τετμημένη 0 λ x 2 = σχηματίζει με τον άξονα x x′ οξεία γωνία. ” 17. Δίνεται η συνάρτηση ( ) ( )f x x α ημx, x=+ ∈  όπου α αριθμός που επιλέγουμε τυχαία από το σύνολο { }Ω 1, 2, 3, 4, 5 .= i) Nα βρείτε τη συνάρτηση ( )f x′ . ii) Nα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ( )ε της γραφικής παράστασης της f στο ση- μείο της ( )Ο 0,0 έχει εξίσωση y αx= . ii) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: “ η ευθεία ( )ε είναι παράλληλη στην ευθεία ( )η με εξίσωση y 2x 7= + ”. Β: “ η ευθεία ( )ε διέρχεται από το σημείο ( )Μ α,4α 3− ”.
  9. 9. Επαναληπτικά Θέματα 327 18. Έστω ο δειγματικός χώρος { }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6= του πειράματος ρίψης ενός αμερόληπτου ζαριού. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) ( ) αx f x 4 α e αx 4, x= − + − ∈  όπου α Ω.∈ i) Nα βρείτε τις συναρτήσεις ( )f x′ και ( )f x′′ . ii) Nα αποδείξετε ότι η εφαπτομένη ( )ε της καμπύλης της f στο σημείο της ( )( )Μ 0, f 0 έχει εξίσωση ( )y α 5 α x α.= − ⋅ − iii) Για α 4= να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f′ είναι σταθερή. iv) Nα υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: Α: “ η ευθεία ( )ε είναι παράλληλη στην ευθεία ( )η με εξίσωση y 4x= ” Β: “ η συνάρτηση f′ είναι γνησίως φθίνουσα ”. 19. Έστω ο δειγματικός χώρος { }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6= ενός πειράματος τύχης. Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω ισχύ- ουν οι σχέσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5 Ρ 6 Ρ 1 2 3 4 5 6 = = = = = . i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω. ii) Nα υπολογίσετε τη μέση τιμή x, τη διάμεσο δ και το εύρος R των παραπάνω πιθανοτήτων. iii) Δίνεται η συνάρτηση ( ) α f x xln x , x 0 x = − > όπου α Ω∈ και τα ενδεχόμενα: ( ) 1 Α α Ω / f 1 δ  ′=∈ <    και ( ){ }Β α Ω / f 3 0′′=∈ < . α) Να παραστήσετε με αναγραφή των στοιχείων τους τα ενδεχόμενα Α και Β. β) Να εξετάσετε αν τα ενδεχόμενα Α και Β είναι ασυμβίβαστα. γ) Να εξετάσετε αν η πραγματοποίηση του ενδεχομένου Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του ενδεχομένου Β. δ) Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α, Β, Α Β.−
  10. 10. 328 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 20. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 1 f x 4x 3x , x 2 = − + ∈ και δυο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. Αν οι πιθανότητες ( )Ρ Α και ( )Ρ Α Β∪ των ενδεχομένων Α και Α Β∪ είναι διαφορετικές μεταξύ τους και συμπίπτουν με τα τοπικά ακρότατα της συνάρτησης f, να βρείτε τις πιθανό- τητες των ενδεχομένων: i) A και Α Β∪ ii) Β Α− iii) να μην πραγματοποιηθεί κανένα από τα Α, Β iv) Α Β,− αν είναι γνωστό ότι η πιθανότητα να πραγματοποιηθούν συγχρόνως τα Α,Β είναι ίση με 1 . 8 21. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x 1 x= + − και δύο συμπληρωματικά ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω. i) Να βρείτε το πεδίο ορισμού της f. ii) Να βρείτε τη μέγιστη τιμή της f. iii) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )Ρ Α Ρ Β 2.+ ≤ 22. Έστω ο δειγματικός χώρος { }Ω 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7= ενός πειράματος τύχης και Α, Β δύο ενδεχόμενα του Ω. Έστω επίσης, η συνάρ- τηση ( ) ( )3 2 f x 2x 3x 6P A x 4, x= − + ⋅ − ∈  . i) Nα βρείτε τις συναρτήσεις ( )f x′ και ( )f x .′′ ii) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f′ ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. iii) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) 3 f x 6P A 2 ′ ≥ − για κάθε x .∈  iv) Aν τα απλά ενδεχόμενα του Ω είναι ισοπίθανα και ισχύει η σχέση ( ){ }Α Β x Ω / f x 20′′∩ = ∈ < , να αποδείξετε ότι: α) ( ) 2 Ρ Α Β 7 ∩ = β) ( ) 1 Ρ Α 4 > γ) η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα.
  11. 11. Επαναληπτικά Θέματα 329 23. Στο διπλανό σχήμα φαίνεται το πολύγωνο αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων το οποίο αναφέρεται στις ηλικίες των καθη- γητών ενός σχολείου. Οι ηλικίες κυμαίνο- νται από 26 έως 56 έτη. Επίσης, 12 καθη- γητές έχουν ηλικία τουλάχιστον 38 και λι- γότερο από 44 έτη. i) Να αποδείξετε ότι στο σχολείο υπάρχουν 30 καθηγητές. ii) Να κατασκευάσετε το ιστόγραμμα και το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων. iii) Να υπολογίσετε τη διάμεσο δ των ηλικιών των καθηγητών. iv) Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους παραπάνω καθηγητές. Να βρείτε την πιθα- νότητα ο καθηγητής αυτός να είναι: α) μικρότερος των 44 ετών β) τουλάχιστον 41 ετών γ) τουλάχιστον 35 και μικρότερος των 50 ετών. 24. Έστω ο δειγματικός χώρος { }Ω 1, 2, 3, ..., ν= ενός πειράματος τύχης, με ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα. Η διάμεσος δ και το εύ- ρος R των αριθμών 1, 2, 3, ..., ν συνδέονται με τη σχέση R δ 4= + . i) Nα αποδείξετε ότι ν 11.= ii) Eκλέγουμε τυχαία έναν αριθμό α από το σύνολο Ω. Να βρείτε την πιθανό- τητα η μέση τιμή των αριθμών α, α 2, α 4, α 6+ + + να είναι μεγαλύτερη από τη διασπορά τους. Ο 26 32 38 44 50 56 iF % 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100
  12. 12. 330 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 25. Ο διπλανός πίνακας αφορά την κατανομή των αθροιστικών σχετικών συχνοτήτων του ύψους των μαθητών ενός Λυκείου. Τα δε- δομένα έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις. Επιλέγουμε τυχαία έναν από τους παραπά- νω μαθητές. Αν η πιθανότητα ο μαθητής να ανήκει στη δεύτερη κλάση είναι ίση με την πιθανότητα να έχει ύψος τουλάχιστον 177 cm, να βρείτε: i) τις αθροιστικές σχετικές συχνότητες 2F και 4F ii) το μέσο ύψος των παραπάνω μαθητών iii) την πιθανότητα ο μαθητής να έχει ύψος λιγότερο από 177 cm iv) την πιθανότητα ο μαθητής να έχει ύψος τουλάχιστον 172 cm και λιγότερο από 187 cm. 26. Δίνεται η συνάρτηση ( ) 3 2 f x 4x 5x 2x 6, x= − + + ∈ και τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω τέτοια, ώστε οι πιθανότητες ( )Ρ Α Β∩ και ( )Ρ Α Β∪ να είναι οι θέσεις των τοπικών ακρότατων της συνάρτησης f. i) Nα μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία. ii) Να βρείτε τις πιθανότητες ( )Ρ Α Β∩ και ( )Ρ Α Β∪ . iii) Να υπολογίσετε τη μέση τιμή και τη διάμεσο των παρατηρήσεων ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ , Ρ Α , Ρ Β , Ρ Α Β , Ρ Α Β , Ρ Ω .∅ ∩ ∪ Ύψος σε cm [ )− Αθροιστική σχετική συχνότητα iF 157–167 0,2 167–177 177–187 0,9 187–197
  13. 13. Επαναληπτικά Θέματα 331 27. Έστω { }Ω 1, 2, 3, 4, 5= ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και η συνάρτηση ( ) 1 f x αln x x , x 0 x =− + − > όπου α Ω∈ . Για τις πιθανότητες των απλών ενδεχόμενων των Ω ισχύουν οι σχέσεις ( ) ( ) ( ) ( ) ( )Ρ 2 Ρ 3 Ρ 4 Ρ 5 Ρ 1 2 3 4 5 = = = ≤ . Επίσης, η μέση τιμή των πιθανοτήτων των απλών ενδεχομένων του Ω είναι ίση με τη διάμεσό τους. i) Nα βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχόμενων του Ω. ii) Να βρείτε τη συνάρτηση ( )f x′ iii) Να υπολογίσετε την πιθανότητα να υπάρχει εφαπτομένη της καμπύλης της f παράλληλη στον άξονα x x.′ 28. Έστω ο δειγματικός χώρος { }1 2 3Ω ω ,ω ,ω= ενός πειράματος τύχης. Οι πιθανότητες ( )1P ω , ( )2P ω και ( )3P ω είναι μη μηδενικές και τέτοιες, ώστε ( ) ( ) ( )3 2 1 P ω P ω 1 P ω 3 2 2 + + =. Έστω επίσης η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( )3 2 3 2 1f x 2P ω x 3P ω x 6P ω x= ⋅ + ⋅ + ⋅ , x ∈  . i) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης της καμπύλης της f στο σημείο της ( )( )M 1,f 1 . ii) Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f′ έχει ένα μόνο ακρότατο. Ποιο είναι το είδος αυτού του ακρότατου; iii) Αν η συνάρτηση f′ παρουσιάζει το ακρότατο στο σημείο 0 1 x 3 = − , να βρείτε: α) τις πιθανότητες ( )1P ω , ( )2P ω , ( )3P ω β) τα στοιχεία του ενδεχομένου Α του δειγματικού χώρου Ω για το οποίο ισχύει ( ) 2 P A 3 = .
  14. 14. 332 Μαθηματικά και Στοιχεία Στατιστικής Γ΄ Λυκείου 29. Δίνεται η συνάρτηση ( )f x x ln x= − , x 0> και τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω για τα οποία ισχύει ( )P A B 0∩ ≠ . i) Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να αποδείξετε ότι ( )P A B 0∪ > . iii) Να αποδείξετε ότι ( ) ( )P A B 1 ln P A B∪ ≥ + ∪   . iv) Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) ( ) P A ln P A B P A B   ≥ −  ∩   . 30. Δίνεται ένας δειγματικός χώρος Ω ο οποίος αποτελείται από ισοπίθανα απλά ενδεχόμενα πεπερασμένου πλήθους και δύο ενδεχόμενά του Α και Β για τα ο- ποία ισχύει ( ) 1 P A B 3 ∩ =. Δίνεται επίσης η συνάρτηση ( ) ( ) ( ) ( )3 2 f x x 3N A x N A N Ω x 8= + ⋅ + ⋅ ⋅ + , x ∈  η οποία δεν έχει ακρότατα. i) Να αποδείξετε ότι ( )N A 0> . ii) Να βρείτε την πιθανότητα ( )P A . iii) Αν η καμπύλη της συνάρτησης f διέρχεται από το σημείο ( )M 1,1− , να υπολογίσετε: α) το πλήθος των απλών ενδεχομένων του δειγματικού χώρου Ω β) το όριο ( ) ( )x 2 f x lim f x→− ′ .

×