1. Locus and Complex Numbers

2. Locus and Complex Numbers
Circles
y
R
R
R
R
zz  R 2
x

3. Locus and Complex Numbers
Circles
y
R
R
R
R
zz  R 2
or
z R
x

4. Locus and Complex Numbers
Circles
y
R
y
R

R
R
x
x
R
zz  R 2
or
z R
 z    z     R 2

5. Locus and Complex Numbers
Circles
y
R
y
R

R
R
x
x
R
zz  R 2
or
 z    z     R 2
z R
z   R
or

6. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16

7. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4

8. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16

9. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0

10. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25

11. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5

12. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5
 z  3  2i  z  3  2i   25

13. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5
 z  3  2i  z  3  2i   25
(ii) Find the centre and radius of;
a) z  5  i  2

14. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5
 z  3  2i  z  3  2i   25
(ii) Find the centre and radius of;
a) z  5  i  2
centre : 5,1
radius : 2 units

15. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5
 z  3  2i  z  3  2i   25
(ii) Find the centre and radius of;
a) z  5  i  2
centre : 5,1
radius : 2 units
b)  z  4  i  z  4  i   49

16. e.g. (i) Express these circles in terms of z
a) x 2  y 2  16
z 4
 zz  16
b) x 2  y 2  6 x  4 y  12  0
x 2  6 x  y 2  4 y  12
 x  32   y  22  25
z  3  2i  5
 z  3  2i  z  3  2i   25
(ii) Find the centre and radius of;
a) z  5  i  2
centre : 5,1
radius : 2 units
b)  z  4  i  z  4  i   49
centre :  4 ,  1
radius : 7 units

17. c) 3 z  z  2  i

18. c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2

19. c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5

20. c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8

21. c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8
2
2
1 
1  45
x

  y  
4 
8  64


22. c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8
2
2
1 
1  45
x

  y  
4 
8  64

 1 , 1 
centre : 

 4 8
3 5
radius :
units
8

23. d) zz  2 z  z   0
c) 3 z  z  2  i
3z  z  2i
9 x 2  9 y 2   x  2    y  1
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8
2
2
1 
1  45
x

  y  
4 
8  64

 1 , 1 
centre : 

 4 8
3 5
radius :
units
8

24. c) 3 z  z  2  i
d) zz  2 z  z   0
3z  z  2i
x2  y2  4x  0
9 x  9 y   x  2    y  1
2
2
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8
2
2
1 
1  45
x

  y  
4 
8  64

 1 , 1 
centre : 

 4 8
3 5
radius :
units
8
 x  22  y 2  4

25. c) 3 z  z  2  i
d) zz  2 z  z   0
3z  z  2i
x2  y2  4x  0
9 x  9 y   x  2    y  1
2
2
2
2
9x2  9 y2  x2  4x  4  y2  2 y 1
8x2  4x  8 y 2  2 y  5
1
1
5
x2  x  y2  y 
2
4
8
2
2
1 
1  45
x

  y  
4 
8  64

 1 , 1 
centre : 

 4 8
3 5
radius :
units
8
 x  22  y 2  4
centre :  2 ,0 
radius : 2 units

26. Lines

27. Lines
y
c
x
Im z   c

28. Lines
y
c
y
x
Im z   c
k
x
Re z   k

29. Lines
y
c
y
x
x
k
Im z   c
Re z   k
y
x

30. Lines
y
c
y
x
x
k
Im z   c
Re z   k
y
1
2
x

31. Lines
y
c
y
x
x
k
Im z   c
Re z   k
y
1
2
x
z  1  z  2

32. e.g . z  1  i  z  2  i

33. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12

34. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1

35. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0

36. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1

37. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1
1  2 ,1  1
M 

2 
 2
  1 ,0 


2 


38. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1
1  2 ,1  1
11
M 

m
2
2 

1 2
2
  1 ,0 



3
 2 

39. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1
1  2 ,1  1
11
M 

m
2
2 

1 2
2
  1 ,0 



3
 2 
 required slope is 
3
2

40. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1
1  2 ,1  1
11
M 

m
2
2 

1 2
2
  1 ,0 



3
 2 
3
1
y0   x 
2
2
 required slope is 
3
2

41. e.g . z  1  i  z  2  i
 x  12   y  12   x  22   y  12
x2  2x 1 y2  2 y 1  x2  4x  4  y2  2 y 1
6x  4 y  3  0
OR  bisector of 1,1 and  2,1
1  2 ,1  1
11
M 

m
2
2 

1 2
2
  1 ,0 



3
 2 
3
1
y0   x 
2
2
3
2 y  3 x 
2
6x  4 y  3  0
 required slope is 
3
2

42. ii  Sketch z  2i  z  4i

43. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2

44. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2

45. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2
Rays
y

x

46. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2
Rays
y

x
arg z  

47. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2
Rays
y
y


x
arg z  

x

48. ii  Sketch z  2i  z  4i
y
4
1
x
-2
Rays
y
y


x
arg z  

x
arg z     

49. e.g. z  1 and 0  arg z 

4

50. e.g. z  1 and 0  arg z 
z 1

4
y
1
-1
1
-1
x

51. e.g. z  1 and 0  arg z 
z 1
y
1

4
arg z 

4

4
-1
1
-1
x
arg z  0

52. e.g. z  1 and 0  arg z 
z 1
y
1

4
arg z 

4

4
-1
1
-1
x
arg z  0

53. e.g. z  1 and 0  arg z 
z 1
y
1

4
arg z 

4

4
-1
1
x
arg z  0
-1
Patel: Exercise 4M; 1ac, 2bd, 3, 4, 5bd, 6
Patel: Exercise 4N; 1a to j, 2ace, 3ace etc, 4ace
Cambridge: Exercise 1F; 1 to 5 ace etc, 6, 7 ac, 8