1. Complex Numbers &
Trig Identities
(i) Express cos 2 and sin 2 in terms of cos  and sin 

2. Complex Numbers &
Trig Identities
(i) Express cos 2 and sin 2 in terms of cos  and sin 
cos 2  i sin 2  cos  i sin  
2

3. Complex Numbers &
Trig Identities
(i) Express cos 2 and sin 2 in terms of cos  and sin 
cos 2  i sin 2  cos  i sin  
 cos 2   2i sin  cos  sin 2 
2

4. Complex Numbers &
Trig Identities
(i) Express cos 2 and sin 2 in terms of cos  and sin 
cos 2  i sin 2  cos  i sin  
 cos 2   2i sin  cos  sin 2 
By equating real and imaginary parts
2

5. Complex Numbers &
Trig Identities
(i) Express cos 2 and sin 2 in terms of cos  and sin 
cos 2  i sin 2  cos  i sin  
 cos 2   2i sin  cos  sin 2 
By equating real and imaginary parts
2
cos 2  cos 2   sin 2 
sin 2  2 sin  cos

6. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 

7. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
3

8. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
3

9. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
3

10. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
3
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 

11. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
3
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
 3sin  1  sin 2    sin 3 
 3sin   3sin 3   sin 3 
 3sin   4sin 3 

12. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
3
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
 3sin  1  sin 2    sin 3 
 3sin   3sin 3   sin 3 
 3sin   4sin 3 
cos3  cos3   3sin 2  cos 

13. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
3
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
 3sin  1  sin 2    sin 3 
 3sin   3sin 3   sin 3 
 3sin   4sin 3 
cos3  cos3   3sin 2  cos 
 cos3   3 1  cos 2   cos 
 cos3   3cos   3cos3 
 4cos3   3cos 

14. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
sin 3
tan 3 
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
cos3
 3sin  1  sin 2    sin 3 
3sin  cos 2   sin 3 

3
3
cos3   3sin 2  cos 
 3sin   3sin   sin 
3
 3sin   4sin 3 
cos3  cos3   3sin 2  cos 
 cos3   3 1  cos 2   cos 
 cos3   3cos   3cos3 
 4cos3   3cos 

15. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
sin 3
tan 3 
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
cos3
 3sin  1  sin 2    sin 3 
3sin  cos 2   sin 3 

3
3
cos3   3sin 2  cos 
 3sin   3sin   sin 
3
3sin  cos 2   sin 3 
 3sin   4sin 
cos3 

3
2
cos3   3sin 2  cos 
cos3  cos   3sin  cos 
cos3 
3
2
 cos   3 1  cos   cos 
3sin  sin 3 

 cos3   3cos   3cos3 
cos  cos3 

3
cos3  3sin 2 
 4cos   3cos 

3
cos  cos 2 
3

16. (ii) Express sin3 ,cos3 and tan 3 in terms of sin ,cos  and tan 
cos3  i sin 3   cos   i sin  
 cos3   3i sin  cos 2   3sin 2  cos   i sin 3 
By equating real and imaginary parts
sin 3
tan 3 
sin 3  3sin  cos 2   sin 3 
cos3
 3sin  1  sin 2    sin 3 
3sin  cos 2   sin 3 

3
3
cos3   3sin 2  cos 
 3sin   3sin   sin 
3
3sin  cos 2   sin 3 
 3sin   4sin 
cos3 

3
2
cos3   3sin 2  cos 
cos3  cos   3sin  cos 
cos3 
3
2
 cos   3 1  cos   cos 
3sin  sin 3 

3
 cos3   3cos   3cos3 
cos  cos3   3tan   tan 

3
cos3  3sin 2 
1  3tan 2 
 4cos   3cos 

3
cos  cos 2 
3

17. (iii) Show that x  cos

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0

18. (iii) Show that x  cos
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0

19. (iii) Show that x  cos
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0
let x  cos 

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0

20. (iii) Show that x  cos

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0
let x  cos 
2(4cos3   3cos  )  1  0
2cos3  1  0
1
cos3 
2

21. (iii) Show that x  cos

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0
let x  cos 
2(4cos3   3cos  )  1  0
2cos3  1  0
1
cos3 
2
 5 7
3  , ,
3 3 3
 5 7
 , ,
9 9 9

22. (iii) Show that x  cos

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0
let x  cos 
2(4cos3   3cos  )  1  0
2cos3  1  0
1
cos3 
2
 5 7
3  , ,
3 3 3
 5 7
 , ,
9 9 9

5
7
x  cos ,cos ,sin
9
9
9

23. (iii) Show that x  cos

9
is a solution to 8 x 3  6 x  1  0
8 x3  6 x  1  0
2(4 x 3  3 x)  1  0
let x  cos 
2(4cos3   3cos  )  1  0
2cos3  1  0
1
cos3 
2
 5 7
3  , ,
3 3 3
 5 7
 , ,
9 9 9

5
7
x  cos ,cos ,sin
9
9
9
 x  cos

9
is a solution

24. (iii) Evaluate cos

9
cos
2
5
cos
9
9

25. (iii) Evaluate cos


9
cos
2
5
cos
9
9
5
7
x  cos ,cos ,sin
are the roots of 8x 3  6 x  1  0
9
9
9

26. (iii) Evaluate cos

9
cos
2
5
cos
9
9

5
7
x  cos ,cos ,sin
are the roots of 8x 3  6 x  1  0
9
9
9
1
 
8

5
7 1
cos cos cos

9
9
9 8
product of roots

27. (iii) Evaluate cos

9
cos
2
5
cos
9
9

5
7
x  cos ,cos ,sin
are the roots of 8x 3  6 x  1  0
9
9
9
1
 
8

5
7 1
cos cos cos

9
9
9 8
but cos
7
2
  cos
9
9
product of roots

28. (iii) Evaluate cos

9
cos
2
5
cos
9
9

5
7
x  cos ,cos ,sin
are the roots of 8x 3  6 x  1  0
9
9
9
1
 
8

5
7 1
cos cos cos

9
9
9 8
but cos

7
2
  cos
9
9
2
5
1
cos
 cos cos

9
9
9
8
product of roots

29.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n

30.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
z n  cos n  i sin n
n

31.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn

32.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 

33.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 
1
z  n  2 cos n
z
n
zn 
1
 2i sin n
n
z

34.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 
1
z  n  2 cos n
z
n
v
Express cos3  in terms of cos n
zn 
1
 2i sin n
n
z

35.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 
1
z  n  2 cos n
z
n
v
Express cos3  in terms of cos n
3
3
z  1
2 cos   

z

3 1
3
3
8 cos   z  3 z   3
z z
zn 
1
 2i sin n
n
z

36.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 
1
z  n  2 cos n
z
n
v
Express cos3  in terms of cos n
3
3
z  1
2 cos   

z

3 1
3
3
8 cos   z  3 z   3
z z
1
1
  z 3  3   3 z  

 

z  
z

zn 
1
 2i sin n
n
z

37.  iv 
1
1
n
If z  cos   i sin  , find z  n and z  n
z
z
n
z n  cos n  i sin n
1
 z n  cos n   i sin  n 
zn
 cos n  i sin n
cos is even function  cos x   cos x 


sin is odd function  sin  x    sin x 
1
z  n  2 cos n
z
n
v
zn 
1
 2i sin n
n
z
Express cos3  in terms of cos n
3
3
z  1
2 cos   

z

3 1
3
3
8 cos   z  3 z   3
z z
1
1
  z 3  3   3 z  

 

z  
z

8cos3   2cos3  6cos 
1
3
 cos   cos 3  cos
4
4
3

38. Cambridge: Exercise 7B; 2 to 5, 7 to 12