1. WAWASAN MATEMATIKA
DAN
WAWASAN PENDIDIKAN
MATEMATIKA
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

2. Matematika, bagi kebanyakan orang merupakan beban berat, ilmu yang terkunci
dengan tujuh segel, yang dihadapi tanpa ada hubungan dengan kehidupan seharihari. Tetapi bagi sebagian kecil orang, matematika merupakan suatu kesenangan
mental yang mengandung sifat ilmiah, suatu kunci untuk memahami gejala-gejala
alam, teknik dan bermasyarakat. Mengapa terdapat dua macam pendapat yang
sedemikian besar perbedaannya? Jawaban pertanyaan ini adalah bagaimana cara
matematika diajarkan. Adalah tidak benar bahwa hasil belajar seseorang dalam
matematika hanya karena mempunyai atau tidak mempunya bakat, dan rajin atau
tidak rajinnya dalam mata pelajaran matematika, tetapi .(Hermann Meier,
Kompedium Didaktik Matematika).
1.
2.
3.
4.
5.
6.
Telah disepakati bahwa karakteristik matematika diantaranya adalah
memiliki objek abstrak
bertumpu pada kesepakatan
berpola pikir deduktif
memiliki simbol yang kosong dari arti
memperhatikan semesta pembicaraan
konsisten dalam sistemnya.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

3. • Matematika yang diajarkan di sekolah adalah
bagian-bagian dari matematika yang dipilih
berdasarkan atau berorientasi pada kepentingan
kependidikan dan perkembangan IPTEK. Bagian
matematika yang dipilih diantaranya adalah
matematika yang dapat menata nalar, membentuk
kepribadian, menanamkan nilai-nilai, memecahkan
masalah, dan melakukan tugas tertentu. Hal ini
menunjukkan bahwa matematika sekolah tidaklah
sepenuhnya sama dengan matematika sebagai ilmu.
Dikatakan demikian karena tidak sepenuhnya sama,
yaitu memiliki perbedaan antara lain (1) penyajian,
(2) pola pikir, (3) keterbatasan semesta, (4) dan
tingkat keabstrakan. Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

4. Tujuan pendidikan matematika SMP adalah:
• melatih cara berpikir dan bernalar dalam
menarik kesimpulan
• mengembangkan aktivitas kreatif yang
melibatkan imajinasi, intuisi, dan penemuan
dengan mengembangkan pemikiran divergen,
orisinil, rasa ingin tahu, membuat prediksi dan
dugaan, serta mencoba-coba.
• Mengembangkan kemampuan memecahkan
masalah.
• Mengembangkan kemampuan menyampaikan
informasi atau mengkomunikasikan gagasanMinilabdocx
gagasan.
http://minilabdocx.blogspot.com

5. Kemampuan Umum Hasil Belajar Matematika Menurut Winter
1.
2.
3.
Mampu berargumentasi, didalamnya tercakup pendasaran, penyusunan secara
logis, penataan secara berurutan, pengujian kembali, pengamatan sepenuhnya,
tetap berpegang pada kesepakatan, bersedia mendengar argumen orang lain,
dan bersedia menerima argumentasi yang tak dapat dibantah lagi.
Kreatif, didalamnya tercakup besedia untuk menemukan jalan pemecahan soal,
membuat variasi, membuat alternatif, dan mengadakan kemungkinankemungkinan baru.
Mampu mematematisasikan situasi (kehidupan nyata), didalamnya tercakup
menangkap dan menguraikan situasi, memperoleh data, dan merumuskan
saling keterkaitan hubungan situasi, dan memilih cara kerja penyelesaian
masalah.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

6. KAJIAN TEORI
• Robert M. Gagne, secara garis besar ada dua macam objek
•
•
yang dipelajari siswa dalam matematika, yaitu ubjek-objek
langsung (direct objects) dab objek-objek tak langsung
(indirect obeject).
Objek-objek langsung dari pembelajaran matematika tardiri
atas fakta-fakta matematika, keterampilan-keterampilan
(prosedur-prosedur) matematika, konsep-konsep matematika,
dan prinsip-ptinsip matematika.
Objek-objek tak langsung dari pembelajaran matematika
meliputi kemampuan berpikir logis, kemampuan memecahkan
masalah, kemampuan berpikir analitis, sikap positif terhadap
matematika, ketelitian, ketekunan, kedisiplinan, dan hal-hal
lain yang secara implisit akan dipelajari jika siswa
mempelajari matematika.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

7. •
1.
2.
3.
4.
Penjelasan tentang objek-objek langsung dari matematika
Fakta-fakta matematika adalah konvensi-konvensi (kesepakatan) dalam
matematika yang dimasukkan untuk memperlancar pembicaraanpembicaran (semesta) dalam matematika. Menurut Gagne, fakta hanya
dapat dipelajari dengan dipakai berulang-ulang dan dihapal. Misal
lambang untuk bilangan tujuh adalah “7” dan lambang untuk operasi
penjumlahan adalah “+”.
keterampilan-keterampilan matematika adalah operasi-operasi dan
prosedur-prosedur dalam matematika, yang masing-masing merupakan
suatu proses untuk mencari atau memperoleh suatu hasil tertentu.
Konsep-konsep matematika. Konsep adalah suatu ide abstrak yang
memungkinkan orang untuk mengklarifikasikan apakah sesuatu objek
tertentu merupakan contoh atau bukan contoh dari ide abstrak tersebut.
Suatu konsep yang berada dalam lingkup ilmu matematika disebut
konsep matematika. Contoh konsep matematika diantaranya : segitiga,
kubus, persamaan, bilangan cacah, variabel, konstanta, pangkat,
perkalian, dan lain-lain.
Prinsip-prinsip matematika. Prinsip adalah suatu pernyataan yang
bernilai benar yang memuat dua konsep atau lebih dan menyatakan
hubungan antar konsep-konsep tersebut.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

8. Menurut Gagne, kegiatan belajar matematika tediri atas empat fase yang
terjadi secara berurutan, yaitu :
1. Fase aprehensi, yaitu siswa menyadari adanya rangsangan yang terkait
2.
3.
4.
dengan kegiatan belajar yang ia lakukan. Rangsangan tersebut bisa
berupa materi pelajaran yang ada pada halaman sebuah buku, sebuah
soal yang diberikan guru sebagai pekerjaan rumah, atau seperangkat alat
peraga yang berguna untuk membantu dalam pemahaman konsep
tersebut.
Fase akuisisi, yaitu pemerolehan, penyerapan, atau internalisasi terhadap
fakta, keterampilan, konsep, atau prinsip yang menjadi sasaran dari
berbagai kegiatan belajar tersebut.
Fase penyimpanan, yaitu siswa menyimpan hasil kegiatan belajar yang
diperoleh dalam ingatan jangka pendek dan ingatan jangka panjang.
Fase pemanggilan, yaitu berusaha memanggil kembali hasil-hasil belajar
yang diperoleh dan telah disimpan dalam ingatan, baik menyangkut fakta,
keterampilan, konsep, maupun prinsip. Fase ini terjadi biasanya ketika
siswa mengerjakan soal-soal latihan, pada saat tes, tau pada saat
mempelajari materi berikutnya yang ada kaitannya dengan materi
pelajaran yang telah dipelajari sebagai prasyarat.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

9. HAKIKAT MATEMATIKA
•
•
Apakah matematika itu?
Berbagai jawaban muncul tentang pengertian matematika, dipandang dari pengetahuan dan
pengalaman dari masing-masing yang berkepentingan.
• Beberapa pengertian yang muncul :
- Matematika adalah bahasa numerik
- Matematika adalah bahasa yang dapat menghilangkan sifat kabur, majemuk, dan
emosional
- Matematika adalah berpikir logis
- Matematika adalah sarana berpikir
- Matematika adalah logika pada masa dewasa
- Matematika adalah sains mengenai kuantitas dan besaran
- Matematika adalah sains yang bekerja menarik kesimpulan-kesimpulan yang perlu
- Matematika adalah ilmu yang abstrak dan deduktif
- dan lain-lain
Beberapa pengertian yang muncul diatas berfokus pada tinjauan pembuat pengertian itu.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

10. MENYELESAIKAN
MASALAH PEMBUKTIAN
DAN
MENUNJUKKAN BENAR ATAU
SALAHNYA
SUATU PERNYATAAN MATEMATIKA
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

11. • Langkah-langkah yang digunakan dalam pembelajaran matematika ketika
akan menemukan atau membuktikan suatu pernyataan matematika adalah :
–
–
–
terjemahkan setiap istilah dengan definisinya
analisa arti dari hipotesis dan kesimpulan
coba membuktikan dengan menggunakan salah satu dari metoda pembuktian
• Jika pernyataan berupa implikasi; coba buktikan dengan bukti langsung. Bila
gagal, coba dengan bukti tak langsung. Bila tidak berhasil juga coba dengan
bukti kontradiksi.
• Apa pun metoda yang digunakan, dalam melakukan proses pembuktian
diperlukan titik awal.
Proses maju:
hipotesis
aksioma & teorema
kesimpulan
Namun seringkali, proses maju sukar untuk digunakan dalam pembuktian
sesuatu yang tidak sederhana. Sehingga kita harus mengkombinasikan
dengan proses mundur.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

12. Contoh 1:
Tunjukkan bahwa jika segitiga siku-siku RST dengan
sisi tegak r, s, dan sisi miring t mempunyai luas t2/4,
maka segitiga tersebut sama kaki.
Solusi.
A: Segitiga RST dengan sisi r, s dan sisi miring t dengan luas t2/4.
A1: rs/2 = t2/4
A2: (r2+s2) = t2.
A3: rs/2 = (r2+s2)/4
A4: (r2-2rs+s2) = 0
A5: (r-s)2 = 0.
B2: r-s = 0
B1: r = s
B: Segitiga RST sama kaki.
t
r
s
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

13. • Contoh 2.
Tunjukkan bahwa untuk setiap bilangan real positif x dan y
yang berbeda berlaku
(x+y)/2 > √x√y.
Solusi.
• B: (x+y)/2 > √x√y
• B1: (x+y)2 /4 > xy
• B2: (x+y)2 > 4xy
• B3: x2 +2xy+y2 > 4xy
• B4: x2 - 2xy+y2 > 0
• B5: (x-y)2 > 0
• B6: x ≠ y.
Bukti.
Karena x dan y berbeda maka
(x-y)2 > 0.
Ini berarti x2 +2xy+y2 > 4xy.
Sehingga, (x+y)2 > 4xy yang
memberikan (x+y)/2 > √x√y.
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

14. Contoh 3:
Buktikan bahwa untuk setiap n bilangan bulat positif berlaku:
1²+2²+3²+…+n² = n(n+1)(2n+1)/6
• Bukti dengan induksi matematika:
n=1  1² = 1(1+1)(2.1+1)/6=1
benar
n=2  1²+2² = 2(2+1)(2.2+1)/6=5
benar
n=k  1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6 anggap benar
Akan dibuktikan bahwa untuk n=k+1
1²+2²+3²+…+k²+(k+1)²=(k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6 adalah benar
1²+2²+3²+…+k² = k(k+1)(2.k+1)/6
1²+2²+3²+…+k²+(k+1)² = k(k+1)(2k+1)/6 + (k+1)²
= (k+1)(k(2k+1)/6 + 6(k+1)/6)
= (k+1)(2k²+k+ 6k+6)/6
= (k+1)(2k²+7k+6)/6
= (k+1)(k+2)(2k+3)/6
= (k+1)((k+1)+1)(2(k+1)+1)/6
Minilabdocx
Terbukti Benar
http://minilabdocx.blogspot.com

15. • Pembuktian Langsung
Sebelumnya sudah dibuktikan teorema bahwa : 1+2+3+…+n=n(n+1)/6
Sudah diketahui bahwa (n+1)3 = n3 + 3n2 + 3n + 1
(n+1)3 – n3
= 3n2
+
3n
+
1
3
3
2
n
– (n-1) = 3(n-1)
+
3(n-1) +
1
3
3
2
(n-1) – (n-2) = 3(n-2)
+
3(n-2) +
1
……………………………..
33 – 23
= 3.22
+
3.2
+
1
3
3
2
2
– 1
= 3.1
+
3.1
+
1
+
(n+1)3 – 13
n3 +3n2+3n
= 3(12+22+32+....+n2) + 3(1+2+3+…+n) + n
= 3(12+22+32+....+n2) + 3n(n+1)/2 + n
3(12+22+32+....+n2) = n3 + 3n2 + 3n - 3n(n+1)/2 - n
6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n(n+1) - 2n
6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 6n2 + 6n - 3n2 -3n - 2n
6(12+22+32+....+n2) = 2n3 + 3n2+ n
6(12+22+32+....+n2) = n(2n2 + 3n + 1)
6(12+22+32+....+n2) = n(n+1)(2n+1)
Terbukti benar
12+22+32+....+n2 = n(n+1)(2n+1)/6
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com
Kalikan 2

16. Contoh 4:
Tentukan bilangan prima terkecil yang dapat membagi
999 99 + 99 999
Solusi
1. Bahwa setiap bilangan ganjil jika dipangkatkan dengan sembarang
bilangan asli hasilnya adalah bilangan ganjil:
Maka 999 99 dan 99999 adalah bilangan ganjil
2. Bahwa jumlah dua buah bilangan ganjil adalah bilangan genap
Maka 999 99 + 99 999 adalah bilangan
3. Bahwa genap bilangan genap habis dibagi 2
setiap
Maka 999 99 + 99 999 adalah bilangan genap dan habis dibagi 2
4. Bahwa 2 merupakan bilangan prima terkecil
Maka bilangan prima terkecil yang dapat membagi 999 99 + 99 999 adalah 2
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

17. • -Diketahui segitiga ABC dengan sudut A dua kali sudut B. Buktikan bahwa pada segitiga
tersebut berlaku: a2 = b (b + c)
Bukti:
C
∠BAC = 2∠ABC
D
Tarik garis AD sedemikian sehingga
∠BAD=∠CAD dengan D berada pada BC.
Dapat dipastikan bahwa ∠BAD=∠ABC
sehingga ABD merupakan segitiga sama
kaki dan AD=BD.
B
A
Menurut aturan segitiga bahwa AB=c, BC=a, dan AC=b. Jika BD=AD=x maka CD=a-x
Perhatikan segitiga ABC dan segitiga ADC.
∠DAC=∠ABC, ∠ACD=∠ACB, dan dipastikan ∠ADC=∠BAC. Menurut konsep
kesebangunan jika dua segitiga memiliki sudut-sudut yang bersesuaian sama besar maka
kedua segitiga pasti sebangun. karena ∆ABC sebangun ∆ADC, sehingga berlaku:
AB/AD = BC/AC = AC/CD
-
c/x = a/b = b/(a-x)
c/x = a/b
b.c = a.x
x = bc/a
…. 1)
a/b = b/(a-x)
b2 = a(a - x)
b2 =
a2 - ax
b2=
a2 - a. bc/a
Dari …1)
2
2
a=
b + bc
a2=
b(b + c)
Terbukti
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com

18. TERIMA KASIH…
MAAF ATAS SEGALA
KEKURANGAN
SELESAI
Minilabdocx
http://minilabdocx.blogspot.com