日曜数学会Vol5で発表したスライドです。 Bessel関数の基本と実用について書いています。

1. 1
Bessel関数に親しもう!
日曜数学者
Kuma
日曜数学会 vol.5
2016年3月26日
2
0
( 1)
( )
! ( 1) 2
mm
m
x
J x
m m





  
  
    


2. Agenda
2
1. 自己紹介
2. Bessel関数は難しくない？
3. カメラのレンズとBessel関数
4. LTEもWiMAXもBessel関数~FM変調~

3. 3
自己紹介
HN：Kuma
経歴：工学修士卒→エンジニア→研究者
【免責事項】数学と本業の接点はなし。独学です！
好きな分野：理論物理学、解析学、工学理論
趣味：野鳥観察、日本酒、ガジェットと電波、ゆるキャラ

4. Bessel関数は難しくない？
4
2
0
( 1)
( )
! ( 1) 2
mm
m
x
J x
m m





  
  
    
第１種Bessel関数
( )cos( ) ( )
( ) lim
sin( )
n n
n
J x n J x
Y x
n






→
第２種Bessel関数
第１種Bessel関数(各νについて）
2 2 2
'' ' ( ) 0x y xy x y   Besselの微分方程式
なんか減衰振動っぽい？？
なるほど、さっぱりわからん

5. Bessel関数は難しくない？
5第１種Bessel関数Jの近似
減衰振動で近似できる
次数は位相の違いだけ
2 2 1
( ) cos
4
2 2 1
( ) sin
4
v
v
J x x
x
Y x x
x






 
 
 
 
 
 
;
;
X>>1
漸近展開

6. Bessel関数のルーツ
6
太鼓の膜の振幅を解析→Besselの微分方程式に帰着
振幅=0
円対象な波動 がBessel関数の正体
角度の条件⇔ベッセルの次数n
振幅の条件⇔ゼロ点の次数m
𝜆0 𝜆1 𝜆 𝑚
x＝L
𝜆 𝑚
,
( ) n m
nR J
L

 
 
  
 
2 2
2 2
1
0
R R n
R
   
  
    
   

7. 7http://web.tuat.ac.jp/~katsuaki/el/EL2008/slide_hikari04.pdf
2
( sin )
( )
sin
sin
,
1.22
m
J ka
I
ka
ka
F F
w F



 





で暗点と なる 。
カメ ラ の 値を 光波長を と し て
第一暗環半径
𝜃
𝑎
𝑤
種別 記録密
度比
スポット
サイズ
F値 波長
CD 1 720 nm 0.77 780 nm
DVD 1.4倍 600 nm 0.77 650 nm
(赤)
BD 6.4倍 285 nm 0.59 405 nm
(青)
カメラのF値とBessel関数

8. RRH
（増幅機)
局舎
全国へ
セクタ２
セクタ１
電波の繋がる仕組み
BBU
(変調部)
SW(ルータ)
伝送装置
F[Hz]
FM FM FM
ユーザー1 ユーザー2
800 MHz帯
LTE
Ether

9. 9
FM変調のスペクトルはBessel関数
cos( sin ) ( )cos( )n
n
m t J m n t 


 
http://www11.atwiki.jp/denpaarray/pages/40.html
http://www.circuitdesign.jp/jp/technical/modulation/modulation_FM.asp
FM変調の例：FMラジオ、通信
中心周波数
高さ=ベッセル
高次
FM
FM波形
高次

10. 10
まとめ
Bessel関数は減衰振動と思えば良い
円対象+波動 ⇒Besselの出番？
Besselは身近で活躍している

11. 11
太鼓の膜の振動とBessel
2 2 2
2
2 2 2
2 2 2
2
2 2 2 2
( , , )
1 1
u u t
u u u
c
t x y
u u u u
c
t
 
    

   
  
   
    
    
    
極座標
振幅
振幅=0
角度の条件⇔ベッセルの次数n
振幅の条件⇔ゼロ点の次数m
x＝L
𝜆 𝑚
2
2
2
2
2
2
2 2
2 2
( ) ( ) ( )
1
0
u T t R
T
c T
t
n
R R n
R
 



   
 

 

 
  

   
     
   
を仮定
,
,
( ) cos
( ) cos( )
( )
n m
n m
n
c
T t t
L
n
R J
L

 

 
  
  
 

 

      

12. 12
太鼓の膜の振動とBessel
http://www.natural-science.or.jp/article/20101108184753.php
(n,m)=(0,0) (n,m)=(0,1) (n,m)=(0,2)
(n,m)=(1,0) (n,m)=(1,1) (n,m)=(1,2)
叩く場所が対称性を失うと
高次ベッセル関数が出る傾向
中心を叩くと0次ベッセルのみ

13. 13
なぜ回折像がベッセル関数になるか
回折像はレンズの開口形状のフーリエ変換となる
（フレネル-キルヒホフの公式)
円形の開口関数のフーリエ変換はJ(x)/xである
波面
sin( )kx t 
ホイヘンスの素元波
※二次元フーリエ変換を指す

14. フレネルーキルヒホフの積分公式
14第 4 章 フレネル・キルヒホッフの回折理論 (東海大)
'
1
( )
4
' , ( , ')
'
S
jkR jkR
S
jk
e e U
U P U
n R R n
e
R W r r


  
  
  
  

 

r r
r r
r r
が素元波
/ nは閉曲面 の法線方向の方向微分
電磁波の空間部分U(x,y,z)はHelmholtz方程式に従う。
Green関数論を用いると
R
0 0
0
' '
( ) ( ', ') ' ',
x y
jk x y
s s
S
U P A x y e dx dy A
 
  
 
 
ス ク リ ーンま で（ 距離s ) が波長に比べ十分遠いと し て
は開口面上の電界振幅
A(x,y)の二次元フーリエ変換！
ホイヘンスの原理
の正当化