3. ,.ΠΡΟΛΟΓΟΣ
Ο J.L. KeZley στο πρόλογο του κλασσικού τώρα συγγράμματος Γενικής Τοπολο
γίας που εξέδωσε στο 1955 γράφει χαρακτηριστικά: «με δυσκολία έχω αποτραπεί από
τους φίλους μου να δώσω [στο βιβλίο αυτό] τον τίτλο: Αυτά που θα έπρεπε να
γνωρίζει κάθε νέος αναλύστας». Εξ άλλου η Γενική Τοπολογία είναι μια μαθηματική
περιοχή με αφηρημένο χαρακτήρα, και με αποτελέσματα που συχνά παρουσιάζουν
έντονο μαθηματικόΕ::νδιαφέρον, χωρίς όμως ναείναι άμεσα φανερή η χρησιμότητα KCf:l
ευρύτερη σημασία τους.
Η φιλοσοφία που διέπει το παρόν σύγγραμμα βασίζεται στις παραπάνω δύο επιση
μάνσεις: με την οργανική και συστηματική σύνδεση της Γενικής Τοπολογίας με την
Μαθηματική Ανάλυση, ιδιαίτερα με την Συναρτησιακή Ανάλυση, εξυπηρετείται η
εκπαιδευτική ανάγκη παροχής καταλλήλων κινήτρων για τις τοπολογικές έννο·ιες που
εισάγονται και μελετούνται, ενώ συγχρόνως αναδεικνύεται η συνάφεια που αυτές έχουν
με την Μαθηματική Ανάλυση. .
Η Γενική Τοπολογία έχει δύο ισχυρούς στυλοβάτες: το θεώρημα κατηγορίας Bαire
(για πλήρεις μετρικούς χώρους και επίσης για συμπαγείς τοπολογικούς χώρους) και το
θεώρημα συμπάγειας Tychonoff Πρόκειται για δύο αποτελέσματα κυριολεκτικά
απεριόριστης γονιμότητας με θεμελιώδη και κεντρική. σημασία.
Η Συναρτησιακή Ανάλυση, η μελέτη δηλαδή των γραμμικών χώρων με νόρμα και
γενικότερα των τοπολογικών γραμμικών χώρων, στηρίζεται στη Γενική Τοπολογία,
και ιδιαίτερα στα θεωρήματα Bαire και Tychonoff, καθώς και σ' ένα εξ ίσου
θεμελιώδες και γόνιμο αποτέλεσμα γραμμικού χαρακτήρα: το θεώρημα Hαhn-Bgnαch
(στην αναλυτική ή στη γεωμετρική του μορφή). Αμέσως επόμενο σε σημασία μετά τα
τρία αυτά θεμελιώδη αποτελέσματα είναι για την Γενική Τοπολογία και την Συναρτη
σιακή Ανάλυση το προσεγγιστικό θεώρημα των Stone- Weierstrαss.
Έτσι μια σχηματική, αλλά με σημαντικό μαθηματικό περιεχόμενο, αναδιατύπωση
της φιλοσοφίας που διέπει την ενοποιημένη παρουσίαση της Γενικής Τοπολογίας και
της Συναρτησιακής Α νάλυσης την οποία φιλοδοξούμε να παρουσιάσουμε στο παρόν
σύγγραμμα περιγράφεται με την ακόλουθη εξίσωση:
Συναρτησιακή Ανάλυση =Γενική Τοπολογία +Θεώρημα Hαhn-Bαnαch.
4. ιν
Το βιβλίο, που απευθύνεται κατά κύριο λόγο στους φοιτητές του Μαθηματικού
Τμήματος, καλύπτει την ύλη των εισαγωγικών μαθημάτων της Γενικής Τοπολογίας
και της Συναρτησιακής Ανάλυσης. Επίσης αναπτύσσει ορισμένα θέματα αυτών των
περιοχών που βρίσκονται πέραν της συνηθισμένης ύλης αυτών των μαθημάτων, όπως
είναι π.χ. η μελέτη των Βαίre-1 συναρτήσεων, στην παράγραφο 4, ή η μελέτη της
χωριστής συνέχειας και της ασθενούς συμπάγειας, στις παραγράφους 15, 17, 18. Δεν
θα διαφύγει της προσοχής του αναγνώστη ότι η παρουσίαση της ύλης δεν είναι
ομοιόμορφη. Στο βασικό μέρος της ύλης η παρουσίαση συντελείται με βραδύτητα και
με έμφαση στη διδακτική πλευρά, όπως είναι η λεπτομέρεια στην απόδειξη και η
αναφορά σε παραδείγματα, ενώ στο πιο προχωρημένο μέρος της ύλης η παρουσίαση
προϋποθέτει ένα πιο ώριμο αναγνώστη. Ουσιαστικό μέρος του βιβλίου αποτελούν και
οι Ασκήσεις (συνολικά σχεδόν 650 τον αριθμό), που κυμαίνονται από τις απλές
εφαρμογές των ορισμών ως τις πολύ απαιτητικές. Η επίλυση ενός σημαντικού αριθμού
από αυτές από τον αναγνώστη κρίνεται αναγκαία για την κατανόηση και την εμβάθυνση
της θεωρίας.
Οι προαπαιτούμενες γνώσεις για την μελέτη του συγγράμματος αυτού δεν είναι
ιδιαίτερα μεγάλες. Κυρίως απαιτείται αυτό που συνήθως αποκαλείται «μαθηματική
ωριμότητα», και την οποία ο αναγνώστης μπορούμε να υποθέσουμε ότι έχει αποκτήσει,
αν έχει μια καλή γνώση της Πραγματικής Ανάλυσης, όπου αρκετές από τις
τοπολογικές, αναλυτικές, και γεωμετρικές έννοιες εμφανίζονται και χρησιμοποιούνται
σε περισσότερο προσιτή και λιγότερο αφηρημένη μΌρφή. ' Οσα στοιχεία συνολοθεω
ρίας χρειάζονται, περιγράφονται σ' ένα ολιγοσέλιδο παράρτημα. Εξ άλλου γνώση της
Θεωρίας Μέτρου δεν' προϋποτίθεται, εκτός από ένα σημαντικό σημείο (συγκεκριμένα
στην απόδειξη του θεωρήματος Grοthendίeck με το οποίο συντελείτω η μετάβαση από
την τοπολογική κατά σημείο σύγκλιση στην συναρτησιακή ασθενή σύγκλιση), στην
Παράγραφο 17, όπου όμως περιγράφεται και ένας τρόπος με τον οποίο η χρήση αυτή
παρακάμπτεται.
Έχουμε προσπαθήσει στον παρόν σύγγραμμα, ξεκινόντας από βασικές και
στοιχειώδεις έννοιες, να αναπτύξουμε κατά τρόπο μεθοδικό και ενοποιημένο τα βασικά
εργαλεία και αποτελέσματα της Γενικής Τοπολογίας και της Συναρτησιακής Ανάλυσης
που είναι αναγκαία για την Παιδεία ενός Μαθηματικού, και να εισαγάγουμε τον
αναγνώστη σε μερικά από τα κύρια θέματα έρευνας με τα οποία ασχολείται σήμερα η
Συναρτησιακή Ανάλυση.
Εκφράζουμε τις θερμές ευχαριστίες μας στις Εκδόσεις Συμμετρία, και ιδιαίτερα
.στον διευθυντή της κ. Σωτήρη Παπαδάμη, για τη μεγάλη κατανόηση και υπομονή που
έδειξε σ' όλα τα στάδια της εκτύπωσης του βιβλίου μας, καθώς και στις
φωτοσυνθέτριες κυρίες Κική Ρίγκου και Ρένα Στούπα και στις σχεδιάστριες κυρίες
Μπιάνκα-Ελένη Δελφίνο, Άνκα Ιονέσκο, Μιμίκα Τσακίρη και Δέσποινα Τσιβεριώτη
για την επαγγελματική τους ευσυνειδησία και τις μεγάλες προσπάθειες που κατέβαλαν
για την άρτιq., τυπωμένη εμφάνιση του παρόντος συγγράμματος.
Αθήνα, 30 Ιανουαρίου 1988 Σ.Ν., Θ.Ζ., Ν.Κ., Β.Φ.
7. νιι
14. Συμπαγείς χώροι και σχετικές έννοιες 379
Βασικές ιδιότητες συμπαγών χώρων 379
Θεώρημα Stone- Weierstrass 385
Θεώρημα Ascoli 389
Συμπαγή κυρτά σύνολα 390
Τοπικά συμπαγείς χώροι 397
'Εννοιες συναφείς προς την συμπάγεια 40 Ι
Παρασυμπαγείς χώροι 404
Ασκήσεις 409
15. Χωριστά συνεχείς συναρτήσεις 419
Θεωρήματα Eberlein Ι και Namioka 422
Θεώρημα των Amir-Lindenstrauss, Gulko 426
16. Θεώρημα Tychonoff και εφαρμογές στη Γενική Τοπολογία 436
Θεώρημα Tychonoff 437
Η συμπαγοποίηση κατά Stone-Cech 439
Θεώρημα A~coli 11 443
Ασκήσεις 445
17. Συνέπειες του θεωρήματος Tychonoff στη Συναρτησίακή Ανάλυ-
ση 450
Το θεώρημα Αλάογλου και μερικές συνέπειες του 450
Αυτοπάθεια 457
Ασθενώς συμπαγώς παραγόμενοι χώροι 462
Χώροι Banach με βάση Schauder 11 473
Ασκήσεις 482
18. Εφαρμογές του θεωρήματος Namioka στη Συναρτησιακή Ανάλυ-
ση 489
Το θεώρημα του Szlenk 489
Σημεία συνέχειας 494
Ιδιότητα Radon-Nikodym 497
Παράρτημα: Στοιχε,ία συνολοθεωρίας 500
Βιβλιογραφία 504
Ευρετήριο 507
8.
9. 1. ΒΑΣΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ
Στην παράγραφο αυτή ορίζονται οι μετρικοί χώροι, δίνονται τα σημαντικό
τερα παραδείγματα μετρικών χώρων, εισάγονται οι βασικές τοπολογικές έννοιες
(όπως τα ανοικτά σύνολα, κλειστά σύνολα, εσωτερικό, κλειστότητα, σημεία συσ
σώρευσης) και ιδιότητες μετρικών χώρων, οι ακολουθίες και η σύγκλιση ακο
λουθιών, και η συνέχεια των συναρτήσεων μεταξύ μετρικών χώρων.
ΟΡΙΣΜΟΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ ΚΑΙ ΠΑΡΑΔΕΙΓΜΑΤΑ
Η ανάπτυξη του Απειροστικού Λογισμού και της Πραγματικής Ανάλυσης
βασίζεται στις ιδιότητες των πραγματικών αριθμών. Διάφορες ανισότητες, καθώς
και η σύγκλιση ακολουθιών, στηρίζονται σε πολύ απλές ιδιότητες της απόλυτης
τιμής των πραγματικών αριθμών. Η πιο βασική ιδtότητα της απόλυτης τιμής
είναι χωρίς αμφιβολία η λεγόμενη τριγωνική ανισότητα:
Ix-yl~lx-zl+lz-yl για κάθε x,Y,zEIR.
Ο αναγνώστης μπορεί να ανατρέξει σε πολλές αποδείξεις του Απειροστικού
Λογισμού για να πεισθεί ότι η τριγωνική ανισότητα, σε συνδυασμό με μερικές
άλλες τετριμμένες και προφανείς ιδιότητες απόλυτης τιμής, είναι αρκετές για την
ανάπτυξη βασικών αποτελεσμάτων στη Μαθηματική Ανάλυση.
Επίσης, όπως θα δούμε παρακάτω, υπάρχουν άλλα σύνολα, πιο πολύπλοκα
στη δομή τους από τους πραγματικούς αριθμούς και χρήσιμα στην Μαθηματική
Ανάλυση, στα οποία ορίζεται με τρόπο φυσιολογικό μια έννοια «απόστασης»
μεταξύ δ()ο στοιχείων του συνόλου, με ιδιότητες αντίστοιχες προς τις βασικές
ιδιότητες των απολύτων τιμών πραγματικών αριθμών.
Για αυτούς τους λόγους είναι χρήσιμο να απομονώσουμε αυτές τις βασικές
ιδιότητες οπουδήποτε εμφανίζονται, σε μια γενική μαθηματική έννοια που
περιλαμβάνεται στον παρακάτω ορισμό.
10. 2
1.1. Ορισμός. 'Εστω Χ αυθαίρετο σύνολο. Μια συνάρτηση
ρ: XχX-1R
λέγεται μετρική στο Χ αν ικανοποιεί τις παρακάτω ιδιότητες:
(ί) ρ(x,y)~O για κάθε Χ,ΥΕΧ,
(ίί) Ρ(Χ,Υ) = Ο αν και μόνο αν Χ = Υ,
(ίίί) Ρ(Χ,Υ)=Ρ(Υ,Χ) για κάθε Χ,ΥΕΧ (η συμμετρική ιδιότητα της ρ), και
(ίν) Ρ(Χ,Υ) ~ ρ(χ,Ζ) +Ρ(Ζ,Υ) για κάθε Χ,Υ,Ζ Ε Χ (η τριγωνική ιδιότητα της ρ).
Ο μη αρνητικός (από την ιδιότητα (ί)) πραγματικός αριθμός Ρ(Χ,Υ) ειναι η
απόσταση (ως προς τη μετρική ρ) των σημείων Χ και Υ. Το ζεύγος (Χ,ρ) είναι
μετρικός χώρος.
Στο ίδιο σύνολο Χ είναι δυνατόν να ορισθούν διαφορετικές μεταξύ τους
μετρικές Ρ Ι' Ρ2 ,..., οπότε προκύπτουν διαφορετικοί μετρικοί χώροι (Χ, Ρ ι ), (Χ, Ρ2 ),... ;.
Ωστόσο, όταν αναφερόμαστε σε μια σταθερή μετρική ενός συνόλου Χ, και δεν
υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, συχνά χρησιμοποιούμε την έκφραση «μετρικός
χώρος Χ» παραλείπωντας την αναφορά στη μετρική (όπως όταν αναφερόμαστε
στο σύνολο των πραγματικών αριθμών συνήθως, και αν δεν κάνουμε ρητή μνεία
κάποιας άλλης μετρικής, εννοούμε την μετρική που προκύπτει από την απόλυτη
τιμή).
Προτού προχωρήσουμε παραπέρα ορίζουμε μερικούς από τους πιο σημαντι
κούς μετρικούς χώρους, που θα μελετήσουμε παρακάτω. Ο αναγνώστης θα πρέπει
να εξετάσει προσεκτικά αυτά τα παραδείγματα, τα οποία θα καταστήσουν σαφή
τη γενικότητα της έννοιας του μετρικού χώρου.
1.2. Παράδειγμα. (Η συνηθισμένη μετρική στο IR). Θέτουμε
ρ: IR χ IR - IR,
με Ρ(Χ,Υ) = Ι Χ -Υ Ι. Είναι σαφές, και ήδη το έχουμε αναφέρει, ότι η Ρ είναι μετρι
κή, η συνηθισμένη μετρική, στο IR. Αυτή η μετρική είναι το πρότυπο, το απλού
στερο, και το σημαντικώτερο συγχρόνως παράδειγμα μετρικής.
1.3. Παράδειγμα. (Μετρικές στο IRk για k = 1,2,...). (ί) Υποθέτουμε ότι
k = Ι ,2,... και θέτουμε
με
Ρ Ι, Ρ2, Ροο: IR χ IR - IR,
k
Ρι (Χ,Υ) = Σ Ι Χί -Υί Ι,
Ρ2(Χ,Υ)= (i=t Ιxi -Yi 12)1/2
1=1
, και
Ροο(Χ,Υ) = max {Ι Χί -Υί Ι: ί = Ι ,2,...,k},
όπου Χ =(XI ,...,Xk), Υ =(Υι "",Yk) Ε IRk.
Το ότι οι συναρτήσεις Ρ ι, Ροο είναι πράγματι μετρικές στο IRk και ότι η
συνάρτηση Ρ2 ικανοποιεί τις ιδιότητες (ί), (ίί) και (ίίί) του Ορισμοί) 1.1 είναι
απλή επαλήθευση και αφήνεται στον αναγνώστη. Η τριγωνική ιδιότητα για την
Ρ2 έπεται από την γνωστή
11. 3
Ανισότητα Cauchy-Schwarzo Αν χι 'ooo,Xk, Υι ,000,Yk είναι πραγματικοί αριθμοί
τότε
[Υπενθυμίζουμε την απόδειξη της ανισότητας:
k k k
Για κάθε Ζ Ε IR θέτουμε f(z) = Ζ2 Σ ΧΙ + 2Ζ Σ ΧίΥί + Σ ΥΤ ο Προφανώς ισχύει
ί=1 ί=l ί=Ι
f(z) ~ Ο για κάθε Ζ Ε IRo 'Αρα έχουμε
Η τριγωνική ιδιότητα, Ρ2(Χ,Υ) ~ Ρ2(Χ,Ζ) +Ρ2(Ζ,Υ) για Χ = (Χι ,000,Xk), Υ = (Υι ,0~0'Yk),
z=(zJ,ooo,Zk) ElRk, προκύπτει αν εφαρμόσουμε την ανισότητα Cauchy-Schwarz
για τους πραγματικούς αριθμούς Χ J- Ζ J'000' Xk - Zk, Ζ Ι - Υ J,000, Zk - Yk ο
Η μετρική Ρ2 ονομάζεται Ευκλείδια μετρική, και ο μετρικός χώρος (lRk ,Ρ2)
k-διάστατος ΕυκλείδlOς χώροςο
(ίί) Γενικώτερα για Ι ~ Ρ <+00 και k = Ι ,2'000 θέτουμε
όπου X=(XJ,ooo,~k), Y=(YJ,ooo,Yk)ElRko
Το ότι η συνάρτηση Ρρ ικανοποιεί τις ιδιότητες (ί), (ίί), (ίίί) του Ορισμοί) 101
είναι απλή επαλήθευση και αφήνεται στον αναγνώστη ο Η τριγωνική ιδιότητα για
την Ρρ προκί)πτει από την
Ανισότητα τού Minkowskίo Αν Ι ~ Ρ < +00 και χι ,000'Xk, Υ J,000,Yk είναι πρα
γματικοί αριθμοί τότε ισχί)ει
Η ανισότητα του Minkowski είναι προφανής για Ρ = Ι και για Ι <Ρ <+00
προκύπτει από την
Ανισότητα του H6ldero Αν 1< p,q < +00, με
Ι Ι
- + - = Ι τότε για κάθε
Ρ q ,
πραγματικούς αριθμοί)ς χι ,000,Xk, Υι ,000,Yk ισχί)ει
[Υπενθυμίζουμε την απόδειξη της ανισότητας του HoIdero Παρατηροί)με ότι
12. 4
k k k
αρκεί να αποδείξουμε ότι αν Σ Ι Χί Ι Ρ = Σ Ι Υί Ι q = Ι τότε Σ Ι ΧίΥί Ι ~ ι.
ί=1 ί=1 ί=1 .
Θέτουμε f: IR+ - IR~ ώστε f(x) = χρ-Ι. Προφανώς η f είναι ι-ι και επί, και
άρα υπάρχει η ΓΙ: IR+ - IR+ και ΓΙ (Χ) = Xq-I. Για κάθε α,β ;;:::0, αν Ει ,Ε2 είναι.
τα εμβαδά των περιοχών του σχήματος ισχύει
Υ
b~------------~
χ
Ει =ιαχρ-ι dx = αΡ και
ο Ρ
αΡ βq
Αλλά προφανώς Ε ι +Ε2 ;;::: α .β. 'Αρα α· β ~ - + -. Εφαρμόζοντας την
Ρ q
παραπάνω σχέση για α = Ι Χί Ι και β =Ι Υί Ι ,για κάθε ί = J,2,...,k, και προσθέτοντας
κατά μέλη προκύπτει
Από την ανισότητα του H6lder προκύπτει η ανισότητα του Minkowski ως εξής:
Εφαρμόζοντας την ταυτότητα
( Ι α Ι +Ι β Ι )Ρ = ( Ι α Ι +Ι β Ι )Ρ -ι . Ι α Ι +(Ι α Ι +Ι β Ι )Ρ -ι . Ι β Ι ,
για α =Χί, β =Υί, για κάθε ί = Ι ,...,k, και προσθέτοντας κατά μέλη προκύπτει
k Ρ k k
~(I Χί Ι + Ι Υί ι) = ~ (Ι Χί Ι + Ι Υί Ι )ρ-Ι ·1 Χί Ι + ~ (Ι Χί Ι +Ι Υί Ι )Ρ-Ι • Ι Υί Ι.
Από την ανισότητα του H61der έχουμε
t,(ΙΧ; Ι +1 Υ;Ι).-1·1 Χ; Ι,;;; (t,(Ι Χ; Ι +ΙΥ; Ι)')'/•. (~IΧ; 1.)'/Ό και
~(ΙΧ; Ι + ΙΥ;Ι)'-1·1 Υ; Ι,;;; (~(ΙΧ; Ι +1 Υ; 1).)'/•. (t, ΙΥ;Ι,)1, .
13. 5
Συνεπώς ισχύει
απ οπου προκύπτει άμεσα η ανισότητα του Minkowski.
Η τριγωνική ιδιότητα Ρp(X,Y)~Ρp(X,Z)+Ρp(Z,Y) για x=(xI,...,Xk),
Υ = (Υι ,...,Yk), Ζ =(Ζι ,...,Zk)E IRk, προκύπτει αν εφαρμόσουμε την ανισότητα του
Minkowski για τους πραγματικούς αριθμούς χι -Ζι ,...,Xk -Zk, Ζι -Υι ,...,Zk -Yk.
Τον μετρικό χώρο (lRk,Ρρ) συμβολίζουμε με .€Ι.Για ρ=2 o.e~ είναι ο k-διά
στατος Ευκλείδιος χώ ρος που είδαμε στο (ί).
1.4. Παράδειγμα (Μετρικές σε πεπερασμένο γινόμενο μετρικών χώρων). Έστω
(Χι ,σι ),...,(Χη ,ση) πεπερασμένο πλήθος μετρικών χώρων, και το καρτεσιανό
η
γινόμενο Χ = ΠΧί .
ί=Ι
Θέτουμε
Ρ ι , Ρ2 , Ροο: Χ χ χ ...... IR,
η
με Ρι(Χ,Υ)= Σσί(Χί,Υί),
ί=Ι
όπου Χ=(Χι, ...,Χ η ), Υ=(Υι,...,Υη)εχ.
Το ότι οι συναρτήσεις Ρ Ι' Ρ2, Ροο είναι μετρικές στο Χ αποδεικνύεται ανάλογα
με το παράδειγμα 1.3 (ί), και η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη.
Γενικώτερα, όπως στο παράδειγμα 1.3 (ίί), μποροί)με στο καρτεσιανό γινό
μενο Χ να ορίσουμε, για Ι ~ Ρ <+00, την συνάρτηση
με
για Χ =(χι ,... ,Χ η ), Υ = (Υι ,.··,Υη) εΧ.
Το ότι η συνάρτηση Ρρ είναι μετρική στο Χ αποδεικνύεται ανάλογα με το
παράδειγμα 1.3 (ίί), και η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη.
14. 6
1.5. Παραδείγματά (Μετρικές σε χώρους ακολουθιών). (i) Έστω 1~P < +00.
ΘέΤόυμε
00
.ep = {(Xn) ε ιRfN: Σ Ι xn Ι Ρ < +οο} ,
η=1
και
00 )Ι/Ρ
Ρρ(Χ,Υ)= (~IXη-YηIP ,
όπου Χ = (Χ π ), Υ = (Υπ) e.ep •
Για Χ =(Χπ ), Υ =(Υπ) e.ep , από την ανισότητα του Minkowski (παράδειγμα
1.3),
ΠΡΟΚύ(πτει ότι )ι/ρ ()ι/ρ Ι/ρ
~IXη-YηIΡ ,;;; ~IXηIΡ +(~IYηIΡ) <+00.
Συνεπώς ισχύει Ρρ (Χ, Υ) <+00 για κάθε Χ, Υ e.ep .
Το ότι η Ρρ πληροί τις ιδιότητες (ί), (ίί) και (ίίί) του Ορισμού. 1.1 είναι απλή
επαλήθευση. Η τριγωνική ιδιότητα για την Ρρ προκύπτει εύκολα από την ανισό
τητα του Minkowski. Συνεπώς ο (.ep , Ρρ) είναι μετρικός χώρος.
(ίί) Θέτουμε
και
Ρ",,(Χ,Υ) = sup {Ι χΠ -Υπ Ι :η = Ι,2,... },
όπου Χ =(Χπ ), Υ =(Υπ) ε~ao.
Το ότι η Ρao είναι μετρική στο .eao είναι απλή επαλήθευση του ορισμού 1.1.
(ίίί) Θέτουμε
Co = {(Χπ ) ε IRIN : limxn= o}~
π
και
Po(X,y)=sup{lxn-Ynl: n= 1,2,... },
όπου x=(xn),Y=(Yn)eco·
Προφανώς η Ρο πληροί τις ιδιότητες του ορισμού Ι. Ι, και άρα είναι μετρική
στο co • Όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό, κάθε μηδενική
ακολουθία είναι φραγμένη, και άρα Co c..e"". Από τους ορισμούς των μετρικών
στον .e"" και τον Co προκύπτει ότι
Ρο = Ροο Ι Co χ Co .
1.6. Παράδειγμα (Μετρική σε αριθμήσιμο γινόμενο μετρικών χώρων). Έστω
(Xn , σπ ), η = Ι ,2,..., ακολουθία μετρικών χώρων, ώστε σπ (Χ,Υ) ~ Ι για κάθε
00
Χ, Υ ε ΧΠ και η = Ι ,2,..., και το καρτεσιανό γινόμενο Χ = Π Χπ .
π=1
Θέτουμε
ρ: XxX-IR,
με
15. 7
όπου Χ = (X n), Υ = (Υπ) ε Χ.
Η συνάρτηση Ρ είναι μετρική στο Χ (η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη)
και λέγεται μετρική γινόμενο.
1.7. Παραδεί'{ματα (Μετρικές σε χώρους συνεχών συναρτήσεων). 'Εστω α, β ε IR,
με α < β, και C ([ α, β]) το σύνοΛο των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που
ορίζονται στο κλειστό διάστημα [α, β] .
Όπως είναι γνωστό από τον Απειροστικό Λογισμό, κάθε συνεχής πραγματι
κή συνάρτηση στο [α, β] είναι φραγμένη και ολοκληρώσιμη κατά Riemann.
Θέτουμε
Poo(f, g) = sup { Ι f(x) - g(x) Ι : α:::;;: χ:::;;: β} και
ρ) (f, g) = Ιαβ
Ι f - g Ι,
όπου f,gεC([α,β]).
Από τις ιδιότητες της απόλυτης τιμής πραγματικοί) αριθμού προκί)πτει ότι η
Ροο αποτελεί πράγματι μετρική στο C([a, β]).
Η απόσταση Poo(f,g) είναι η μεγαλύτερη κάθετη απόσταση μεταξί) των
γραφημάτων της f και της g (βλ. Σχήμα).
ο α β
χ
Από τις ιδιότητες του ολοκληρώματος Riemann προκύπτουν άμεσα οι (ί), (ίίί)
και (ίν) του ορισμού 1.1, για την ρ) . Επίσης αν f = g τότε Ιβ Ι f - g Ι = Ο. Θα απο-
Ι
β - α
δείξουμε ότι, αν Ι f -g Ι = Ο τότε f = g. Αρκεί να αποδείξουμε ότι αν h ε C ([α, β]),
α (β
ώστε h(x);;::: Ο για κάθε Χ ε [α, β], και Jα h = Ο, τότε h = Ο. Έστω ότι υπάρχει
t) ε(α,β) ώστε h(t))>O. Από την συνέχεια της h, υπάρχει ε>Ο και t2 ε(α,β),
με t) <t2 , ώστε h(x);;::: ε, για κάθε Χ ε [t), t2]. Συνεπώς, από τις ιδιότητες του ολο
κληρώματος Riemann, προκύπτει ότι
Ι
β
ιιι ft2
Ιβh= h+ h+ h;;:::ε(t 2 -t))>0,
α α Ιι t 2
16. 8
άτοπο.,.' Αρα h(x) = Ο για κάθε χ ε (α, β), και επειδή η h είναι συνεχής, έχουμε
h(x)=O για κάθε χε [α,β]. Η απόσταση pl(f,g) είναι ίση με το εμβαδόν της
περιοχής που περικλείεται μεταξύ των γραφημάτων των f και g και των ευθειών
χ =α και χ =β (βλ. Σχήμα).
·Υ
α
β
1.8. Παράδειγμα. Έστω Χ αυθαίρε,το σύνολο. Θέτουμε
για κάθε Χ, Υ ε Χ.
Ρ(Χ,Υ)=Ο αν Χ=Υ,
= Ι αν Χ#Υ
χ
Είναι προφανές ότι η Ρ είναι μετρική στο Χ. Η μετρική αυτή είναι η διακριτή
μετρική.
1.9. .Qαράδειγμα. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος. Θέτουμε!';;
σ(Χ,Υ) = min {Ι, Ρ(Χ,Υ)}
για κάθε Χ, Υ ε Χ.
Η επαλήθευση ότι η σ είναι μετρική στον Χ είναι εύκολη και αφήνεται στον
αναγνώστη.
ΒΑΣΙΚΕΣ ΤΟΠΟΛΟΓΙΚΕΣ ΕΝΝΟΙΕΣ ΜΕΤΡΙΚΩΝ ΧΩΡΩΝ
Επεκτείνοντας την έννοια του ανοικτού διαστήματος πραγματικών αριθμών
σε κάθε μετρικό χώρο εισάγουμε τον επόμενο ορισμό.·
1.10. Ορισμός. ' Εστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Χ Ε Χ και ε> Ο. Ανοικτή σφαίρα
κέντρου χ και ακτίνας ε (ως προς την μετρική ρ) είναι το σύνολο των στοιχείων
του Χ που η απόστασή τους από το χ είναι γνήσια μικρότερη.του ε~
17. 9
Την ανοικτή σφαίρα κέντρου Χ και ακτίνας ε την συμβολίζουμε με Sp(x,E) ή,
όταν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, απλώς με S(x, ε). Δηλαδή
S(x,E)={yEx: Ρ(Χ,Υ)<ε}.
1.11. Παραδείγματα. (i) Στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, για κάθε
Χ ε IR και ε> Ο ισχύει
S(x, ε) = (Χ -ε, χ + ε).
Γενικώτερα, κάθε ανοικτό διάστημα (α, β), με α,β ε IR και α < β, είναι η α-
νοικτή σφαίρα κέντρου
α+β
2
και ακτίνας
β-α
- -
2
(ίί) Στον k-διάστατο Ευκλείδισ χώρο IRk, για Χ = (Χι '''',Xk) ε IRk και ε> Ο
ισχύει
k
S(X,E) = fy = (Υι '''',Yk): Σ (Χί _Υί)2 < ε2 }.
ί=1
Για k =2 η ανοικτή σφαίρα S(X,E) είναι το εσωτερικό κύκλου (βλ. Σχήμα)
και για k = 3 το εσωτερικό σφαίρας (βλ. Σχήμα).·
18. ιο
(ίίί) Στον μετρικό χώρο (lRk, ρ,) (παράδειγμα 1.3),για κάθε Χ = (Χ, '''',Xk) και
ε> Ο ισχύει
k
S(χ,ε) = {Υ =(Υ, '''''Yk): Σ Ι Xi -Yi Ι <ε}.
i=I
Στην ειδική περίπτωση k = 2 η ανοικτή σφαίρα είναι το εσωτερικό τετραγώνου
(βλ. Σχήμα).
Ι
Ι
Ι
Χ2- -------1----
Ι
Ι
Ι
Ι
(ίν) Στον μετρικό χώρο (lRk,poo) (παράδειγμα 1.3),για κάθε X=(X"""Xk) και
ε >0 ισχύει
S(χ,ε) =(Χι -ε,Χι + ε) χ .. • χ (Χk-ε'Χk +ε).
19. 11
Για k = 2 η ανοικτή σφαίρα S(x, ε) είναι το εσωτερικό τετραγώνου (βλ. Σχήμα)
ι
ι
!
και για k = 3 το εσωτερικό κύβου (βλ. Σχήμα).
χ2+ελF__________________________~________v
20. 12
(ν) Στον μετρικό χώρο (C([α,β]),ροο) (παράδειγμα 1.7), για κάθε fεC([α,β])
και ε> Ο έχουμε
S(f,ε)={gεC([α,β]): If(χ)-g(χ)l<ε, για κάθε χε [α,β]}.
Δηλαδή, η ανοικτή σφαίρα κέντρου f και ακτίνας ε αποτελείται από τις συνεχείς
συναρτή σεις g : [α, β] -+ IR, των οποίων το γράφημα περιέχεται γνή σια μεταξύ των
γραφημάτων των συναρτήσεων [-ε και [+ε (βλ. Σχήμα).
/'
/"
α
/
/
/
r .................
/ ................. f(χ)+ε
/
/
/
χ
/
/'
./
f(χ)-ε'--
/
./
/
___~-f
9
β
(νί) Έστω σύνολο Χ και Ρ η διακριτή μετρική στο Χ. Για κάθε Χ ε Χ και
ε> Ο ισχύει
S(χ,ε) = {Χ} αν
= Χ αν
ε~ 1,
1< ε.
Αν σε ένα σύνολο Χ είναι ορισμένη μια μετρική Ρ και το Υ είναι ένα αυθαί
ρετο υποσύνολο του Χ, τότε, κατά τρόπο φυσιολογικό, είμαστε σε θέση να ορί
σουμε μια μετρική στο Υ, τον περιορισμό Ρ Ι Υ χ Υ της Ρ στο Υ χ Υ. Μ' αυτό τον
τρόπο, τα υποσί)νολα όλων των παραδειγμάτων που είδαμε παραπάνω είναι
μετρικοί χώροι.
1.12. Ορισμός. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Υ C Χ. Σχετική μετρική (πο
Υ (ως προς την ρ) είναι ο περιορισμός της συνάρτησης Ρ στο Υ χ Υ.
21. 13
Από τούς ορισμούς της ανοικτής σφαίρας (1.10) και της σχετικής μετρικής
(1.12) ΠΡOKύ~πι εύκολα το εξής:
1.13. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Υ C Χ και σ η σχετική μετρική
στο Υ;.: Τότε για κάθε ΥΕΥ και ε>Ο ισχύει Sσ(Υ,ε)=Sρ(Υ,ε)nΥ.
Μια πρώτη ένδειξη της χρησιμότητας της τριγωνικής ανισότητας δίνεται
στην επόμενη
1.14. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Χ Ε Χ και ε> Ο. Για κάθε
Υ Ε S(Χ,ε), υπάρχει η> Ο, ώστε S(y, η) C S(χ,ε).
Απόδειξη. Έστω ΥΕS(χ,ε). Επιλέγουμε η EIR, ώστε O<η~ε-ρ(x,y). Αν
ΖΕS(Υ,η), τότε ρ(y,z)<η~ε-ρ(x,y). Άρα ρ(z,x)~ρ(z,y)+ρ(y,x)<ε. Συνε
. πώς Ζ Ε S(Χ, ε).
Η έννοια του ανοικτού συνόλου, που εισάγουμε με τον παρακάτω ορισμό, είναι
η βασική τοπολογική έννοια για την κλάση των μετρικών χώρων. Θα κάνουμε
συστηματική χρήση αυτής της έννοιας στην μελέτη των μετρικών χώρων. Όπως
θα δούμε παρακάτω, η γενική μελέτη των τοπολογικών χώρων (στην οποία δεν
υπάρχει κάποια μετρική) ξεκινά από την έννοια του ανοικτού συνόλου.
1.15. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και G C Χ. Το G είναι ανοικτό
(ως προς την μετρική ρ) αν για κάθε στοιχείο Χ Ε G υπάρχει ανοικτή σφαίρα με
κέντρο το Χ που περιέχεται στο G.(Δηλαδή, για κάθε Χ Ε G υπάρχει ε> Ο, ώστε
S(χ,ε) C G).
Αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, ως προς την μετρική που αναφερόμαστε,
λέμε απλώς ότι το G είναι ανοικτό σύνολο.
Από την πρόταση 1.14 και τον ορισμό του ανοικτού συνόλου (1.15) προκύ
πτει το εξής
1.16. Πόρισμα. Κάθε ανοικτή σφαίρα σ' ένα μετρικό χώρο είναι ανοικτό
σύνολο.
Το επόμενο θεώρημα μας δίνει τις βασικές ιδιότητες της οικογένειας των
ανοικτών υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου.
1.17. Θεώρημα. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος. Ισχύουν τα εξής:
(ί) Το (25 και το Χ είναι ανοικτά υποσύνολα του Χ.
(ίί) Η ένωση ανοικτών υποσυνόλων του Χ είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ.
(ίίί) Η τομή πεπερασμένου πλήθους ανοικτών υποσυνόλων του Χ είναι
ανοικτό υποσύνολο του Χ.
Απόδειξη. (ί) Από τον ορισμό του ανοικτού συνόλου (1.15) προκύπτει άμεσα
ότι το (25 και το Χ είναι ανοικτά.
(ίί) Έστω (Gj)j Ε ι οικογένεια ανοικτών υποσυνόλων του Χ και G = Uj Ε Ι G j •
Για κάθε Χ Ε G υπάρχει ί Ε Ι ώστε Χ Ε G j • Επειδή το G j είναι ανοικτό, υπάρχει
ε> Ο ώστε S(x, ε) C G j • Άρα S(χ,ε) C G. Επομένως το G είναι ανοικτό υποσύ
νολο του Χ.
n
(ίίί) Έστω G J ,G2 ,... ,Gn ανοικτά υποσύνολα του Χ, G=(lGj, και xEG.
1=1
22. 14
Επειδή το G j είναι ανοικτό, υπάρχει εί > Ο, ώστε S(Χ, εί) C Gi για κάθε ί = Ι ,2,...,n.
Θέτουμε ε=mίn{ει,ε2,...,εη }>0. Προφανώς S(χ,ε)CGί για κάθε ί= Ι,2,...,n.
'Αρα S(χ,ε) C G. Συνεπώς το G είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ.
'Οπως προκύπτει από το επόμενο παράδειγμα, η τομή άπειρου πλήθους ανοι
κτών υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου δεν είναι πάντοτε ανοικτό, και έτσι η
ιδιότητα (ίίί) στο θεώρημα Ι.17 δεν είναι δυνατόν να γενικευθεί.
1.18. Παράδειγμα. Έστω το σίJνολο IR των πραγματικών αριθμών, με την
συνηθισμένη μετρική. 'Οπως προκίJπτει, από το παράδειγμα Ι.ΙΙ (i) και το πό-
ρισμα Ι. Ι6, τα ανοικτά διαστήματα (- *'+) για κάθε η = Ι,2,... είναιανοι-
00 ( Ι Ι)κτά σίJνολα. Προφανώς ισχύει n - - , - = {Ο}, και το μονοσίJνολο {Ο} δεν
Ω=! η η
είναι ανοικτό σίJνολο, γιατί για κάθε ε>Ο ισχύει (-ε,ε)Q:{Ο}.
Όπως είδαμε (πόρισμα Ι.Ι6) κάθε ανοικτή σφαίρα, σ' ένα μετρικό χώρο
είναι ανοικτό σύνολο. Συνεπώς, όπως προκύπτει από το θεώρημα Ι.Ι7, η ένωση
ανοικτών σφαιρών είναι ανοικτό σί)νολο. Εύκολα αποδεικνύεται ότι το παραπά
νω αποτελεί χαρακτηρισμό των ανοικτών συνόλων.
1.19. Πρόταση. 'Ενα υποσύνολο ενός μετρικού χώρου είναι ανοικτό αν και
μόνο αν είναι ίσο με την ένωση ανοικτών σφαιρών του χώρου.
Απόδειξη. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και G C Χ.
( ~ ) Εφ' όσον το G είναι ανοικτό, για κάθε Χ Ε G υπάρχει εχ > Ο, ώστε
S(χ,εχ)CG. Συνεπώς G=UχΕGS(χ,ε χ ).
( <:= ) Προκύπτει άμεσα από το πόρισμα Ι.16 και το θεώρημα 1. Ι7.
1.20. Παραδείγματα. (ί) Έστω Χ αυθαίρετο σύνολο και Ρ η διακριτή μετρική
στο Χ. Από το παράδειγμα 1.11 (vί) και την πρόταση l.19 προκύπτει ότι κάθε
υποσύνολο του Χ είναι ανοικτό.
(ίί) Όπως προκίJπτει από το παράδειγμα 1.11 (ί) και την πρόταση 1.19 ένα
υποσύνολο του συνόλου IR των πραγματικών αριθμών εί ναι ανοικτό αν και μόνο
αν είναι ένωση ανοικτών διαστημάτων με πεπερασμένα άκρα. Συνεπώς τα δια
στήματα της μορφής (-ΟΟ,α) και (α,+οο) είναι ανοικτά σίJνολα.
(ίίί) Τα κλειστά και τα ημιανοικτά διαστήματα του IR δεν είναι ανοικτά
σύνολα. (Η απόδειξη αφήνεται στον αναγνώστη).
(ίv) Στον 2-διάστατο Ευκλείδιο χώρο 1R2 τα σίJνολα της μορφής
Α = {(Χ, Υ): Υ = αχ + β}, όπου α, β Ε IR, δηλαδή οι ευθείες του επιπέδου, δεν είναι
ανοικτά σίΝολα. Πράγματι για κάθε Ζ Ε Α και ε> Ο ισχύει S (Ζ, ε) ct Α.
23. 15
Τα ανοικτά σύνολα ενός υποσυνόλου ενός μετρικού χώρου, εφοδιασμένου με
τη σχετική μετρική, καθορίζονται από τα ανοικτά σύνολα του αρχικού μετρικού
χώρου, με μια πολύ απλή σχέση που περιγράφεται από την επόμενη
1.21. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Υ C Χ, σ η σχετική μετρική
στο Υ και G C Υ. Το G είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ αν και μόνο αν υπάρχει
Α ανοικτό υποσύνολο του Χ ώστε G = Α n Υ.
Απόδειξη. ( ~ ) Εφ' όσον το G είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ, για κάθε
Υ ε G, υπάρχει ε> Ο, ώστε Sσ (Υ, ε) C G. 'Αρα έχουμε ότι G = UYE G Sσ(Υ,ε). Συνε
πώς, από την πρόταση 1.13, προκύπτει ότι G = (U YEG Sp (Υ,ε)) n Υ, και, θέτοντας
Α = UyEG Sρ(Υ,ε), έχουμε το συμπέρασμα.
( ~ ) Έστω Υ ε G. Τότε, επειδή G C Α και το Α είναι ανοικτό υποσύνολο
του Χ, υπάρχει ε> Ο ώστε Sp (Υ, ε) C Α. Συνεπώς, από την πρόταση 1.13, προκύ
πτει Sσ(Υ, ε) = Sp (Υ, ε) n Υ C Α n Υ =G. 'Αρα το G είναι ανοικτό υποσύνολο του
Υ.
Όπως είδαμε, με διάφορα παραδείγματα, κάθε' σύνολο σ' ένα μετρικό χώρο
δεν είναι κατ' ανάγκη ανοικτό. Στην πραγματικότητα, στους μετρικούς' χώρους
που μελετούμε και που έχουν σημασία στην Μαθηματική Ανάλυση, τα περισσό
τερα σίΝολα δεν είναι ανοικτά. Γι' αυτό έχει σημασία να γνωρίζουμε πόσο ένα
σί>νολο προσεγγίζεται, κατά κάποιο τρόπο, από ένα ανοικτό σύνολο. Οι βασικές
ιδιότητες των ανοικτών συνόλων, όπως περιγράφηκαν στο θεώρημα 1.17, έχουν
ως αποτέλεσμα κάθε σύνολο Α (σ' ένα μετρικό χώρο) να περιέχει ένα μεγαλύ
τερο δυνατό ανοικτό σύνολο: το εσωτερικό ΑΟ του Α, που δίνεται από τον επόμενο
1.22. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Εσωτερικό του
συνόλου Α (ως προς την μετρική ρ) είναι η ένωση όλων των ανοικτών υποσυνό
λων του Χ που περιέχονται στο Α.
Το εσωτερικό του συνόλου Α το συμβολίζουμε με ΑΟ ή intpA (όταν υπάρχει
κίνδυνος σύγχυσης ως προς την μετρική που αναφερόμαστε) ή intxA (όταν το Α
είναι υποσύνολο δύο μετρικών χώρων και υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης του χώρου
ως προς τον οποίο θεωρούμε το εσωτερικό του Α).
Δ ηλαδή ισχύει
ΑΟ = U {ο C Χ: G ανοικτό και G C Α}.
Από τον ορισμό του ΑΟ προκύπτει ότι ΑΟ C Α.
Επίσης από τον ορισμό του εσωτερικού συνόλου (1.22) και το θεώρημα 1.17
προκί>πτουν τα εξής:
1.23. Πρόταση. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Τότε ισχύουν τα
εξής:
(i) Το εσωτερικό Α Ο του Α είναι το μεγαλύτερο ανοικτό υποσύνολο του Χ που
περιέχεται στο Α.
(ii) Το Α είναι ανοικτό υποσίΝολο του Χ αν και μόνο αν Α = ΑΟ •
Η επόμενη πρόταση χαρακτηρίζει τα στοιχεία ενός συνόλου που ανήκουν
στο εσωτερικό του.
24. 16
1.24. Πρόταση. Αν (Χ, ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ τότε
ΑΟ={ΧΕΑ: υπάρχει ε>Ο ώστε S(χ,ε)CΑ}.
Απόδειξη. Αν χ Ε Α και υπάρχει ε> Ο ώστε S(x, ε) C Α τότε, από τον ορισμό
του ΑΟ , προκύπτει ότι S(χ,ε)CΑΟ . Άρα ΧΕΑΟ .
Έστω χ Ε ΑΟ . Τότε υπάρχει G ανοικτό υποσύνολο του Χ ώστε χ Ε G C Α και,
επειδή το G είναι ανοικτό, υπάρχει ε> Ο ώστε S(Χ, ε) C G C Α.
1.25. Παραδείγματα. (ί) Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, με την συνη
θισμένη μετρική, το εσωτερικό κάθε διαστήματος της μορφής [α,βJ, (α,βJ, [α,β)
και (α, β), όπου α, β Ε IR, είναι το ανοικτό διάστημα (α, β).
(ίί) Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών, με την συνηθισμένη μετρική, το
εσωτερικό του συνόλου <Q των ρητών, και IR"'- <Q των αρρήτων, είναι το κενό
σύνολο. Πράγματι, όπως γνωρίζουμε από τις ιδιότητες των πραγματικών
αριθμών, μεταξύ κάθε δίJΟ πραγματικών αριθμών υπάρχει ένας ρητός και ένας
άρρητος αριθμός.
Γενικώτερα στον k- διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, για k = Ι ,2,..., κάθε υποσύ
k
νολο της μορφής Π Αϊ, όπου Αϊ = Q ή Αϊ = IR"'-<Q για κάθε ί = 1,2,...,k, έχει
ϊ=Ι
εσωτερικό το κενό σύνολο.
(ίίί) Στον 2-διάστατο Ευκλείδιο χώρο IR2, το εσωτερικό κάθε ευθείας είναι το
κενό σύνολο. Η απόδειξη ουσιαστικά έχει δοθεί στο παράδειγμα 1.20 (ίν).
(ίν) Στον k-διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, για k = 1,2,..., το εσωτερικό του
συνόλου A={x=(xI,...,Xk)ElRk: xτ+"'+X~~ Ι} είναι η μοναδιαία σφαίρα
S(O,I) ={x=(xI,...,Xk)ElRk: xT+···+x~<l}.
Πράγματι, είJκολα αποδεικνύεται ότι, για κάθε Χ = (Χ Ι,... , Xk) Ε IRk, ώστε
Χ1 + ... + x~ = Ι, και για κάθε ε> Ο ισχίJει S(Χ, ε) <t Α, ενώ για κάθε Χ Ε S (Ο, 1), από
την πρόταση 1.14, προκύπτει ότι υπάρχει ε>Ο ώστε S(χ,ε)CS(Ο,I)CΑ.
(ν) Στον k-διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, το εσωτερικό του συνόλου
{X=(XI,...,Xk)ElRk: l~xΊ+"'+x~<2}, είναι το σύνολο
{X=(XI,...,Xk)ElRk: l<xT+···+x~<2}.
Τα συμπληρώματα των ανοικτών συνόλων, σ' ένα μετρικό χώρο, αποτελούν
μια οικογένεια συνόλων, τα κλειστά σύνολα, που είναι επίσης πολύ βασική και
χρήσιμη (όπως και η οικογένεια των ανοικτών συνόλων), και έχει βασικές ιδιό
τητες, που είναι δυϊκές (υπό την έννοια των συνολοθεωρητικών κανόνων de
Morgan) προς τις ιδιότητες των ανοικτών.
1.26. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και F C Χ. Το F είναι κλειστό
(ως προς την μετρική ρ) αν το X--F είναι ανοικτό.
Αν δεν υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης, ως προς την μετρική που αναφερόμαστε,
λέμε απλώς ότι το F είναι κλειστό σύνολο.
1.27. Παραδείγματα. (ί) Κάθε υποσίΝολο ενός αυθαίρετου συνόλου Χ είναι
κλειστό, ως προς την διακριτή μετρική.
25. 17
(ίί) Ένα κλειστό διάστημα [α, β] είναι κλειστό υποσύνολο του συνόλου IR
των πραγματικών αριθμών, επειδή το συμπλήρωμα του
IR" [α, β] = ( - 00 , α) U (β, +00) είναι ανοικτό υποσύνολο του IR.
(ίίί) Κάθε διάστημα της μορφής (-00 ,α] (αντ. [α, +00)) είναι κλειστό υποσύ
νολο των πραγματικών αριθμών, επειδή το συμπλήρωμα του IR'( -οο,α] = (α, +00)
(αντ. IR" [α, + 00) = (-00, α)) είναι ανοικτό.
(ίν) Τα ανοικτά και τα ημιανοικτά διαστήματα του IR, με πεπερασμένα άκρα,
δεν είναι κλειστά σύνολα.
(ν) Στον 2-διάστατο Ευκλείδιο χώρο 1R2 , οι ευθείες, δηλαδή τα σύνολα της
μορφής Α ={(Χ,Υ): Υ =αχ + β}, όπου α,β Ε IR, είναι κλειστά σύνολα.
Πράγματι αν Ζ Ε IR2" Α και Ο < ε < δ, όπου δ η απόσταση του σημείου Ζ από
την ευθεία Υ = αχ + β, τότε S (Ζ, ε) C IR2,Α.
ο
Το επόμενο θεώρημα μας δίνει τις βασικές ιδιότητες της οικογένειας των
κλειστών υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου.
1.28. Θεώρημα. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος. Ισχύουν τα εξής:
(ί) Το g και το Χ είναι κλειστά υποσύνολα του Χ.
(ίί) Η ένωση πεπερασμένου πλήθους κλειστών υποσυνόλων του Χ είναι
κλειστό υποσύνολο του Χ.
(ίίί) Η τομή κλειστών υποσυνόλων του Χ είναι κλειστό υποσύνολο του Χ.
Απόδειξη. (ί) Από τον ορισμό του κλειστού συνόλου (1.26) και το θεώρημα
1.17 (ί), προκύπτει ότι το g και το Χ είναι κλειστά υποσύνολα του Χ.
n
(ίί) Έστω F I ,F2 ,••• ,Fn κλειστά υποσύνολα του Χ και F= UFj • Επειδή
1=1
n n
X---F = Χ --- (U F j ) = n (Χ --- Fi ) και το Χ --- F j είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ
.. ί= i=1
για κάθε ί = 1,2,...,n, από το θεώρημα 1.17 (ίίί), προκύπτει ότι το X---F είναι
ανοικτό. ' Αρα το F είναι κλειστό υποσύνολο του Χ.
(iii). , Εστω (Fi)i ε ι οικογένεια κλειστών υποσυνόλων του Χ και F = nj ε ι Fi .
26. 18
Επειδή χ, F =χ, (njE1Fj) =U jΕΙ(Χ' F j) και το χ, Fj είναι ανοικτό υποσύ
νολο του Χ για κάθε i Ε Ι, από το θεώρημα 1.17 (ii), προκύπτει ότι το Χ" F είναι
ανοικτό. 'Αρα το F είναι κλειστό υποσύνολο του Χ.
'Οπως προκύπτει από το επόμενο παράδειγμα, η ένωση άπειρου πλήθους
κλειστών υποσυνόλων ενός μετρικού χώρου δεν είναι πάντοτε κλειστό.
1.29. Παράδειγμα. Έστω το σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, με την
συνηθισμένη μετρική. Τα κλειστά διαστήματα [0,1- ~. ] ' για κάθε η = 1,2,...,
είναι κλειστά σύνολα και ισχύει ϋ rο, 1- _1] = [0,1), αλλά το σύνολο [0,1) δεν. η=l~ η
είναι κλειστό (παράδειγμα 1.27 (ίv)).
1.30. Πρόταση. 'Εστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Υ C Χ, σ η σχετική μετρική
στο Υ και F C Υ. Το F είναι κλειστό υποσύνολο του (Υ, σ) αν και μόνο αν
υπάρχει Κ κλειστό υποσύνολο του Χ ώστε F = Κ n Υ.
Απόδειξη. ( ~ ) Εφ' όσον το F είναι κλειστό υποσύνολο του Υ, το Y--F
είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ. 'Αρα υπάρχει Α ανοικτό υποσύνολο του Χ, ώστε
Y--F = Α n Υ (πρόταση 1.21). Θέτουμε Κ = Χ-- Α. Το Κ είναι κλειστό υποσύνο
λο του Χ και ισχύει F = Κ n Υ.
( ~ ) Εφ' όσον F =Κ n Υ, έχουμε Υ --F =(Χ --Κ) n Υ και, επειδή το Χ -- Κ
είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ, το Υ -- F είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ (πρό
ταση 1.21). 'Αρα το F είναι κλειστό υποσύνολο του Υ.
Η παρατήρηση που απαιτείται εδώ, για να δικαιολογήσουμε τον επόμενο
ορισμό, είναι ακριβώς δυϊκή της παρατήρησης πριν από τον ορισμό του εσωτερι
κού (1.22). Και στην περίπτωση των κλειστών συνόλων, οι βασικές ιδιότητές
τους, όπως περιγράφηκαν στο θεώρημα Ι .28, έχουν σαν αποτέλεσμα κάθε σύνολο
Α (σ' ένα μετρικό χώρο) να περιέχεται σ' ένα μικρότερο δυνατό κλειστό σύνολο:
την κλειστότητα Α.
1.31. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μερικός χώρος και Α C Χ. Κλειστότητα του συνό
λου Α, (ως προς την μετρική ρ), είναι η τομή όλων των κλειστών υποσυνόλων του
Χ που περιέχουν το Α.
Την κλειστότητα του Α την συμβολίζουμε με Α, ή clp A (όταν υπάρχει κίνδυ
νος σύγχυσης ως προς την μετρική που αναφερόμαστε), ή c1x Α (όταν το Α είναι
υποσίΝολο δύο μετρικών χώρων και υπάρχει κίνδυνος σύγχυσης του χώρου ως
προς τον οποίο θεωρούμε την κλειστότητα του Α).
Από τα παραπάνω έχουμε
Α = n {F C-X: F κλειστό και Α C F}.
Από τον ορισμό του Α προκύπτει ότι Α C Α.
Επίσης από τον ορισμό της κλειστότητας συνόλου και το θεώρημα 1.28
προκύπτουν τα εξής.
27. 19
1.32. Πρόταση. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Τότε ισχύουν τα
εξής:
(ί) Η κλειστότητα Α, του Α, είναι το μικρότερο κλειστό υποσύνολο του Χ που
περιέχει το Α.
(ίί) Το Α είναι κλειστό αν και μόνο αν Α = Α.
Η επόμενη πρόταση χαρακτηρίζει τα στοιχεία ενός μετρικοί) χώρου που ανή
κουν στην κλειστότητα ενός υποσυνόλου του.
1.33. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Τότε
Α = {Χ Ε Χ: S(Χ, ε) n Α # 0 για κάθε ε> ο}.
Απόδειξη. 'Εστω Χ Ε Χ ώστε S(Χ, ε) n Α # 0 για κάθε ε> Ο. Υποθέτουμε ότι
Χ ~ Α. Τότε υπάρχει F κλειστό υποσύνολο του Χ, ώστε Α C F και χ Φ F. ' Αρα
χ Ε Χ-- F, και επειδή το Χ - F είναι ανοικτό, υπάρχει ε> Ο ώστε S(X, ε) C Χ -- F.
Συνεπώς S(χ,ε)CΧ--Α, δηλαδή S(χ,ε)nΑ=0, άτοπο. Άρα ΧΕΑ.
Έστω ΧΕΑ. Υποθέτουμε ότι υπάρχει ε>Ο ώστε S(χ,ε)nΑ=0. Τότε
Α C Χ ---S (Χ, ε). Θέτουμε F = Χ--- S(x, ε). Το F είναι κλειστό και AC F. Άρα,
από τον ορισμό του Α (1.3 Ι), προκύπτει ότι Χ Ε F, άτοπο.
1.34. Παραδείγματα. (ί) Στο σί)νολο των πραγματικών αριθμών IR, με την
συνηθισμένη μετρική, η κλειστότητα κάθε διαστήματος της μορφής (α, β), (α, β],
[α,β) και [α,β], όπου α,βΕIR με α<β, είναι το κλειστό διάστημα [α,β].
(ίί) Στο σί)νολο των πραγματικών αριθμών IR, με την συνηθισμένη μετρική, η
κλειστότητα του συνόλου ΙΝ των φυσικών αριθμών είναι το ίδιο το σί)νολο ΙΝ.
Πράγματι για κάθε Χ Ε IR ---ΙΝ υπάρχει ε> Ο, ώστε (Χ - ε, Χ + ε) n ΙΝ = 0.
(ίίί) Στο σύνολο των πραγματικών αριθμών IR, με την συνηθισμένη μετρική, η
κλειστότητα του συνόλου <Q των ρητών και IR ....... <Q των αρρήτων, είναι ολόκληρο
το σίΝολο IR.
Πράγματι, επειδή μεταξί) δί)ο πραγματικών αριθμών υπάρχει ένας ρητός και
ένας άρρητος αριθμός, για κάθε Χ Ε IR και ε> Ο ισχύει (Χ - ε, Χ + ε) n <Q # 0 Ικαι
(Χ - ε, Χ +ε) n (IR ....... <ρ) # 0.
Γενικώτερα στον k- διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, για k = Ι ,2,,,., κάθε υποσύ-
n
νολο της μορφής Π Aj , όπου Aj = <Q ή A j = IR ....... <Q για κάθε ί = Ι ,2,...,k, έχει
j=I
κλειστότητα ολόκληρο το σύνολο IRk.
(ίν) Στον k-διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, για k = Ι ,2,,,., η κλειστότητα της
μοναδιαίας σφαίρας S(O, Ι) είναι το σύνολο {Χ =(χι ,,,.,xk) Ε IRk: χτ + ... +x~ ~ Ι}.
Πράγματι για κάθε X=(XI,:'j.,Xk)ElRk, με XT+"'+X~~I, και ε>Ο ισχί)ει
S(χ,ε)nS(0.,1)#0, ενώ για κάθε X=(XI,,,,,Xk)ElRk, με Xτ+"'+X~> Ι, θέ
τουμε ε=xτ+"'+X~-I>O και έχουμε S(χ,ε)nS(0,1)=0.
(ν) Στον k-διάστατο Ευκλείδιο χώρο IRk, για k = 1,2,.", η κλειστότητα του
συνόλου {Χ = (Χι '''',Xk) Ε Rk: Ι ~ ΧΤ + '" + x~ < 2} είναι το σύνολο
{x=(xI,,,,,Xk)ElRk: l~xT+"·+x~~2}.
Στην συνέχεια ορίζουμε σε ένα μετρικό χώρο την έννοια της απόστασης
28. 20
στοιχείου από (μη κενό) σύνολο και περιγράφουμε την κλειστότητα ενός (μη
κενού) συνόλου μέσω της έννοιας αυτής.
1.35. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, 0 =1= Α C Χ και Χ Ε Χ. Απόσταση
του χ από το Α είναι ο μη αρνητικός αριθμός inf{p(x,y):YEA}.
Την απόσταση του στοιχείου Χ από το σύνολο Α την συμβολίζουμε με ρ(χ,Α).
1.36. Πρόταση. Αν (Χ, ρ) μετρικός χώρος, 0 =1= Α C Χ και Χ Ε Χ, τότε Χ Ε Α αν
και μόνο αν ρ(χ,Α) = Ο.
Απόδειξη. ( ~) Υποθέτουμε ότι ρ(χ,Α)=δ>Ο. Τότε, εφ' όσον ισχύει
Ρ(Χ,Υ) ~ δ για κάθε Υ ΕΑ, προκύπτει ότι S (Χ, ~) n Α = 0, άτοπο (πρόταση
1.33).
( ~ ) Για κάθε ε> Ο υπάρχει Υ Ε Α ώστε Ρ(Χ,Υ) <~και άρα Α n S (Χ, ε) =1= 0.
Συνεπώς, από την πρόταση 1.33, προκύπτει ότι Χ Ε Α.
Η επόμενη απλή πρόταση περιγράφει με ακρίβεια το δυϊσμό που υπάρχει
μεταξύ των εννοιών εσωτερικού και κλειστότητας (που είναι άμεση επέκταση του
δυϊσμού που υπάρχει μεταξύ των εννοιών ανοικτού συνόλου και κλειστού
συνόλου), και τον τρόπο με τον οποίο η μια έννοια καθορίζει την άλλη.
1.37. Πρόταση. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Ισχύουν οι εξής
σχέσεις:
(i) (Χ--Α)-= Χ-- ΑΟ
(ίί) (Χ-- Α)Ο = Χ-- Α
Απόδειξη. (ί) Έστω Χ Ε (Χ --Α)-. Από την πρόταση 1.33, προκύπτει ότι
S(χ,ε)n(Χ--Α)=Ι=0 για κάθε ε>Ο. Άρα S(χ,ε)<tΑ για κάθε ε>Ο. Συνεπώς
xfAO, και άρα ΧΕΧ--ΑΟ. Έστω ΧΕΧ--ΑΟ. Τότε, επειδή x~AO, ισχύει ότι
S(χ,ε) n (Χ--Α) =1= 0 για κάθε ε> Ο. 'Αρα Χ Ε (Χ--Α)- (πρόταση 1.33). Συνεπώς
(Χ --Α) - = Χ --ΑΟ •
'. (ίί) Έστω Χ Ε (Χ--Α)Ο. Τότε υπάρχει ε> Ο ώστε S(χ,ε) C Χ--Α. Επομένως
S(x,t) n Α = 0, και άρα Χ ~ Α, δηλαδή Χ Ε Χ--Α. Έστω Χ Ε Χ --Α. Τότε Χ ~ Α.
Άρα υπάρχει ε> Ο, ώστε S(Χ, ε) n Α = 0, δηλαδή S(Χ, ε) C Χ -- Α. Συνεπώς
ΧΕ(Χ--Α)Ο. Επομένως (Χ--Α)Ο=Χ--Α.
Τέλος, η κλειστότητα ενός συνόλου περιγράφεται με την έννοια των σημείων
συσσώρευσης ενός συνόλου σ' ένα μετρικό χώρο. Η έννοια αυτή θα μας είναι
συχνά χρήσιμη, όπως συμβαίνει και με την ειδική περίπτωση των πραγματικών
αριθμών στον Απειροστικό Λογισμό.
1.38. Ορισμός. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ.
(i) 'Ενα στοιχείο Χ Ε Χ λέγεται σημείο συσσώρευσης του Α, αν κάθε ανοικτή
σφαίρα κέντρου Χ περιέχει τουλάχιστον ένα στοιχείο του Α διαφορετικό του Χ.
Δηλαδή, για κάθε ε>Ο ισχύει (S(Χ,ε),,{χ})nΑ=Ι=0.
(ίί) 'Ενα στοιχείο Χ Ε Α λέγεται μεμονωμένο σημείο του Α αν δεν είναι σημείο
συσσώρευσης του Α. Δηλαδή αν υπάρχει ε>Ο ώστε S(Χ,ε)nΑ={χ}.
Το σύνολο των σημείων συσσώρευσης του Α το συμβολίζουμε με Α'.
29. 21
1.39. Παραδείγματα. (ί) Σ' ένα αυθαίρετο σύνολο Χ, με την διακριτή μετρι
κή, κάθε στοιχείο του είναι μεμονωμένο σημείο, όπως προκύπτει από το παρά
δειγμα 1.11 (νί).
(ίί) Στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, το σύνολο των σημείων
συσσώρευσης των διαστημάτων της μορφής [α,β), (α,β], [α,β] και (α, β), όπου
α, β Ε IR με α < β, είναι το κλειστό διάστημα [α, β] .
(ίίί) Στο σύνολο IR των πραγματικών αριθμών ισχύει: ΙΝ' = Ζ' = 0 και
IR' = <Q', = (IR........ <ρ)' = IR. Πράγματι, για κάθε χ Ε IR είναι σαφές ότι υπάρχει ε> Ο
ώστε {(χ-ε,χ+ε),,-{Χ})ΓιIΝ={(χ-ε,χ+ε),,-{χ})ΓΙ g-=0, και άρα x~lN'
και χ Φ Ζ'. Επίσης για κάθε χ Ε IR, από γνωστό θεώρημα του Απειροστικού
Λογισμού, ισχύει (χ--ε,χ+ε),,{χ}ΓΙ 1R#0, (χ-ε,χ+ε),{χ}nQ#0,
(χ-ε,χ +ε) ,{x}ΓI(1R ,,(1))#0.
1.40. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, Α C Χ και χ Ε Χ. Αν το χ είναι
σημείο συσσώρευσης του Α, τότε για κάθε ε> Ο, το σύνολο S(Χ, ε) n Α είναι απει
ροσύνολο.
Απόδειξη. Έστω ότι υπάρχει ε>Ο ώστε (S(Χ,ε)-{χ})nΑ={χl,...,Χn }. Θέ
τουμε δ = min {Ρ(Χ, χι ),..., ρ(χ,χn )} > Ο. Προφανώς ισχύει (S(χ,δ)--{χ})n Α = 0,
άτοπο.
1.41. Πρόταση. Αν (Χ, ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ τότε ισχύει Α = Α' U Α.
Απόδειξη. Από την πρόταση 1.33 και τον ορισμό 1.38, προκύπτει ότι
Α' UACA.
'Εστω Χ Ε Α. Προφανώς αν Χ ~ Α, από την πρόταση Ι .33, προκύπτει ότι
(S(Χ,ε)-{χ})ΓιΑ#0 για κάθε ε>Ο, και άρα χεΑ'. Συνεπώς ACA' UA.
Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Όπως είδαμε ισχύει Α C Α C Χ.
Ιδιαίτερο ενδιαφέρον παρουσιάζουν εκείνα τα υποσύνολα του μετρικού χώρου,
που η κλειστότητά τους είναι ολόκληρος ο χώρος.
1.42. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και D C Χ. Το D είναι πυκνό
υποσύνολο του Χ αν D = Χ.
. Η επόμενη πρόταση χαρακτηρίζει τα πυκνά υποσύνολα ενός μετρικού χώρου
και δικαιολογεί τον όρο «πυκνό».
1.43. Πρόταση. Έστω (Χ,ρ) μετρικός χώρος και D C Χ. Το D είναι πυκνό
υποσύνολο του Χ αν και μόνο αν το D τέμνει κάθε ανοικτή σφαίρα του Χ,
(δηλαδή αν ισχύει D n S(x, ε) # 0 για κάθε Χ Ε Χ και κάθε ε> Ο) αν και μόνο αν
D n G # 0 για κάθε μη κενό ανοικτό υποσύνολο G του Χ.
Απόδειξη. Η πρόταση προκύπτει άμεσα από την Πρόταση 1.19, την Πρόταση
1.33 και τον ορισμό του πυκνού συνόλου (1.42).
1.44. Ορισμός. Ένας μετρικός χώρος είναι διαχωρίσιμος αν έχει ένα αριθμή
σιμο πυκνό υποσύνολο.
1.45. Παραδείγματα. (ί) Το σύνολο IR των πραγματικών αριθμών, με την
30. 22
συνηθισμένη μετρική, είναι διαχωρίσιμος επειδή το σύνολο των ρητών ~ είναι
αριθμήσιμο και πυκνό υποσύνολο του IR (παράδειγμα 1.34 (ίίί)).
(ίί) Ο Ευκλείδιος χώρος IRk είναι διαχωρίσιμος για κάθε k = ],2,....
Πράγματι, εύκολα αποδεικνύεται ότι το αριθμήσιμο σύνολο ~k, δηλαδή το
σύνολο των στοιχείων του IRk με ρητές συΥτεταγμένες, είναι πυκνό υποσύνολο
του IRk .
(ίίί) Για κάθε Ι ~ Ρ < +00 ο μετρικός χώρος ,€P (παράδειγμα 1.5) είναι διαχω
ρίσιμος.
Πράγματι θέτουμε
ο = {Χ = (xη)ε'€P: Xn ε <ρ, για κάθε η = Ι ,2,..., και το σίJνολο {η ε ΙΝ: Xn# ο}
είναι πεπερασμένο}.
Το σύνολο Ο είναι αριθμήσιμο υποσύνολο του..e Ρ • Θα αποδείξουμε ότι
S(Υ,ε)nD:;i=0, για κάθε Y=(Yn)e..e p και ε>Ο.
00 ε Ρ
Έστω ε>Ο και Y=(Yn)E..e p . Τότε υπάρχει ΝεlΝ, ώστε Σ IYnI P < 2'
n=N+1
ε Ρ
Για κάθε n=I,2,,,.,N υπάρχει qnE~, ώστε Iqn-YnI P<2N' Θέτουμε
Χ = (xn), όπου
για η = ],,,., Ν,
για η =Ν + 1,,,.
Προφανώς Χ ε Ο . Επίσης ισχύει
'Αρα το Ο είναι πυκνό υποσίJνολο του ,€p.
(ίv) Στο μετρικό χώρο C[α,β], των συνεχών πραγματικών συναρτήσεων που
ορίζονται στο κλειστό διάστημα [α, β], με την μετρική ρ"" (παράδειγμα 1.7), το
σίJνολο των πολυωνίJμων με ρητούς συντελεστές είναι ένα αριθμήσιμο καιπυκνό
(από το κλασσικό προσεγγιστικό θεώρημα Weierstrass του Απειροστικού
Λογισμού) σίJνολο. Έτσι ο μετρικός χ(ορος (C [α, β], Ροο) είναι διαχωρίσιμος.
ΑΚΟΛΟΥΘΙΕΣ ΣΕ ΜΕΤΡΙΚΟΥΣ ΧΩΡΟΥΣ
Η έννοια της σίJγκλισης ακολουθιών σε μετρικούς χώρους είναι κεντρική
στη Μαθηματική Ανάλυση, όπως η έννοια της σίJγκλισης ακολουθιών πραγμα
τικών αριθμών είναι κεντρική στον Απειροστικό Λογισμό. Στις ιδιότητες
της σύγκλισης φαίνεται η μεγάλη χρησιμότητα της τριγωνικής ανισότητας. Η
σίJγκλιση έχει μεγάλη σημασία, τόσο για την εσωτερική μελέτη των μετρικών
χώρων (πληρότητα, συμπάγεια), όσο και για τη μελέτη συναρτήσεων που ορί
ζονται μεταξύ μετρικών χώρων (συνέχεια). 'Αλλωστε η σίJγκλιση ακολουθιών
αποτελεί ένα μέσο περιγραφής των τοπολογικών εννοιών (όπως κλειστό,
ανοικτό, κλειστότητα, εσωτερικό, κλπ.) των μετρικών χώρων. 'Οπως θα δούμε
31. 23
αργότερα (ιδίως στην παράγραφο 8) στους γενικούς τοπολογικούς χώρους δεν
είναι δυνατόν να περιγράψουμε τις τοπολογικές έννοιες με τη σύγκλιση ακολου
θιών, αλλά χρειαζόμαστε να μελετήσουμε τη σύγκλιση πιο πολύπλοκων μαθημα
τικών αντικειμένων, των λεγομένων δΙΚΤΙJων.
1.46. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος. Μια ακολουθία (xn ) στοιχείων
του Χ συγκλίνει στο χ ε Χ (ως προς την μετρική ρ), ή το χ είναι όριο της (xn ), καθώς
το π τείνει στο 00, αν για κάθε ε> Ο υπάρχει Πσ εΝ, ώστε Ρ (Χη , χ) < ε για κάθε
π ~ Π σ • Όταν η ακολουθία (xn ) συγκλίνει στο χ γράφουμε limxn = χ ή Xn - Χ.
n
Από τον ορισμό προκύπτει άμεσα, ότι μία ακολουθία (xn ) συγκλίνει στο Χ, ως
προς την μετρική ρ, αν και μόνο αν η ακολουθία πραγματικών αριθμών (Ρ(Χη ,Χ))
συγκλίνει στο μηδέν..
1.47. Παραδείγματα. (ί) Στο σΙΝολο των πραγματικών αριθμών, η έννοια της
σΙJγκλισης ακολουθίας που ορίσαμε συμπίπτει με την έννοια της σύγκλισης
ακολουθίας, την γνωστή από τον Απειροστικό Λογισμό.
(ίί) 'Εστω (xn ) ακολουθία στοιχείων του k- διάστατου Ευκλείδιου χώρου IRk ,
για k = Ι ,2,..., δηλαδή Xn = (χΑ ,...,X~) για κάθε π = 1,2,..., και Χ = (χΙ ,...,xk ) ε IRk .
Θα αποδείξουμε ότι lim Xn = Χ αν και μόνον αν lim X~ = χί , για κάθε
n n
ί = Ι ,:..,k. Πράγματι αν lim Χ η = Χ, επειδή Ι ΧΑ -χί Ι ~ Ρ2 (Xn ,Χ) για κάθε ί = Ι ,2,...,k,
n
ΠΡΟΚΙJπτει, από τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας, ότι limxA = χί για κάθε
n
ί =1 ,2,...,k. Αν lim X~ = χί για κάθε ί = 1,2,...,k, τότε για κάθε ε> Ο υπάρχει
n
. . ε
π(ί) ε Ν ώστε Ι X~ -χΙ 1<.Jk για κάθε η ~π(ί). Θέτουμε
no=max{n(l),...,n(k)} και έχουμε, για κάθε n~nσ
Ρ2(Χη,Χ) = (Σ ι X~ -χί 12)1/2< ε.
1=1
(ίίί) 'Εστω (Χι ,σ 1),..., (Xn , ση) πεπερασμένο πλήθος μετρικών χώρων και Ρι η
n
μετρική στο καρτεσιανό γινόμενο Χ = Π Χί , που ορίζεται στο παράδειγμα 1.4.
ί=Ι
Μια ακολουθία (Xm ) στοιχείων του Χ, με Xm =(xA1'''''X~) για m = 1,2,...,
συγκλίνει στο Χ = (Χ Ι ,... , xn ) ε Χ, ως προς την μετρική Ρ ι, αν και μόνο αν
lim X~ = χί για κάθε ί = Ι, ...,Π.
n
Η απόδειξη είναι ανάλογη με την απόδειξη του παραδείγματος (ίί) και αφή
νεται στον αναγνώστη.
(ίν) Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και (Χ η ) μια τελικά σταθερή ακολουθία
στοιχείων του Χ (δηλαδή υπάρχει Πσ ε Ν και Χ ε Χ ώστε Xn =χ για κάθε n~πo)'
Από τον ορισμό 1.46 ΠΡΟΚΙJΠτει ότι lim Χη = Χ.
n
(ν) Έστω Χ αυθαίρετο σίJνολο και Ρ η διακριτή μετρική στο Χ (παράδειγμα
1.8). Μία ακολουθία (xn ) στο Χ συγκλίνει σε ένα στοιχείο Χ ε Χ, αν και μόνο αν
είναι τελικά σταθερή. Πράγματι, αν limxn =Χ τότε υπάρχει Π σ ε Ν,ώστε Ρ(Χη ,Χ) < Ι
n
32. 24
για κάθε π ~ Π σ . Συνεπώς, από τον ορισμό της διακριτής μετρικής, προκύπτει ότι
χ π = Χ, για κάθε π ~ Π()' ΤΟ αντίστροφο προκύπτει από το παράδειγμα (ίν).
1.48. Πρόταση. Έστω (ΧΠ , Ρπ), π = 1,2,..., ακολουθία μετρικών χώρων, με
Ρπ (Χ, Υ) ~ Ι για κάθε Χ, Υ Ε Χ και π = Ι ,2,..., και Ρ η μετρική γινόμενο στο καρτε-
00
σιανό γινόμενο Χ = Π Χπ · Μια ακολουθία (xm) στο Χ, με Xm= (X~)π ε Ν,
η=Ι
συγκλίνει στο Χ = (χΠ ) Ε Χ, ως προς την μετρική ρ, αν και μόνο αν η ακολουθία
(X~)mEIN συγκλίνει στο χΠ για κάθε π = 1'2'....
Απόδειξη. ( ~ ) Από, τον ορισμό της μετρικής γινόμενο Ρ (παράδειγμα 1.6)
προκύπτει ότι ρπ(x~,xΠ)~2Π .p(xm,X), για κάθε π= 1'2'.... Συνεπώς, εφ' όσον
lim Ρ (Xm,Χ) = Ο, έχουμε lίm Ρπ (X~, χΠ ) = Ο, δηλαδή lim X~ = χΠ για κάθε π = 1,2,....
m m
. 00 1 ε
( ~ ) 'Εστω ε> Ο. Υπάρχει Ν Ε ΙΝ ώστε Σ -π < 2' . Εφ' όσον
π=Ν+Ι 2
limx~ =χΠ για κάθε π = 1,2,... ,Ν,υπάρχει m(n)E ΙΝ ώστε
m
ρπ(x~,xΠ) ε
2Π < 2Ν '
για κάθε m~m(n).
Θέτουμε mo=max{m(I),...,m(N)}. Για κάθε m~mo ισχύει
limxm = Χ.
m
Ρπ (Χ::Ι ,χΠ ) + Σ
2Π
η=Ν+Ι
ρπ(x~,xΠ) < ~ +
2Π 2
ε
2' =ε. 'Αρα
Η μοναδικότητα του ορίου μιας συγκλίνουσας ακολουθίας, μια απλή αλλά
εντελώς βασική ιδιότητα που ισχύει για τους πραγματικούς αριθμούς, ισχύει και
στη γενικότερη περίπτωση των μετρικών χώρων. Βασικό ρόλο στην απόδειξη
της (εκτός από την πάντοτε αναγκαία τριγωνική ιδιότητα) παίζει η ιδιότητα (ί)
του ορισμού 1.1 της μετρικής: αν Ρ(Χ, Υ) = Ο τότε χ = Υ. Δηλαδή, δύο διαφορετικά
σημεία σ' ένα μετρικό χώρο έχουν οπωσδήποτε (γνήσια) θετική απόσταση. Η
απόδειξη της μοναδικότητας του ορίου ακολουθιών είναι άλλωστε και η βασική
αποστολή της ιδιότητας (ί) του ορισμού 1.1.
1.49. Πρόταση (μοναδικότητα ορίου ακολουθιών). Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώ
ρος και (Χ π ) ακολουθία στο Χ. Αν Χπ -Χ και Χπ -Υ τότε Χ =Υ.
Α 'δ ξ Υ θ' '....ι.. θ' Ρ(Χ,Υ) > Ο Τ' ,πο ει η. πο ετουμε οτι Χ -r- Υ και ετουμε ε = 2 . οτε υπαρχουν
ΠΙ,Π2Ε IΝ,ώστε Ρ(Χπ,χ)<ε για κάθε Π~ΠI και Ρ(Χπ,Υ)<ε για κάθε Π~Π2'
Θέτουμε Πσ = max {π Ι, Π2}' Αν π ~ Πσ τότε Ρ (Χ, Υ) ~ Ρ(Χ, χπ ) + Ρ(Χπ,Υ) < 2ε = Ρ(Χ,Υ)
άτοπο.
Ο αναγνώστης θα πρέπει να προσέξει τι ισχυρίζεται και τι δεν ισχυρίζεται η
πρόταση 1.49. Έτσι η πρόταση δεν ισχυρίζεται όη όλες οι ακολουθίες συγκλί
νουν σε ένα μοναδικό όριο. Αυτός είναι ένας καταφανώς ψευδής ισχυρισμός. Οι
33. 25
περισσότερες ακολουθίες (σε μετρικούς χώρους, ή απλώς στους πραγματικούς
αριθμούς) δεν συγκλίνουν. Για παράδειγμα, η ακολουθία Xn =η, η = Ι ,2,..., δεν
συγκλίνει. Επίσης η ακολουθία Xn = (_I)n, η = Ι ,2,..., δεν συγκλίνει.
Η πρόταση 1.49 ισχυρίζεται κάτι διαφορετικό: Αν υποθέσουμε ότι μία ακολου
θία σ' ένα μετρικό χώρο συγκλίνει, τότε το όριο αυτής της ακολουθίας είναι
μοναδικό.
Όπως γνωρίζουμε, σ' ένα μετρικό χώρο (Χ, Ρ), αν 0# Α C Χ τότε Χ Ε Α αν
και μόνο αν ρ(χ,Α) = Ο (πρόταση 1.36). Με την βοήθεια αυτής της πρότασης και
της σύγκλισης ακολουθιών, αποδεικνύουμε ένα χρήσιμο χαρακτηρισμό των στοι
χείων της κλειστότητας του Α.
1.50. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος, 0# Α C Χ και Χ Ε Χ. Τότε
Χ ε Α αν και μόνο αν υπάρχει ακολουθία (xn) στο Α ώστε lim Xn = Χ.
n
Απόδειξη. ( ~) Από την πρόταση 1.36,για κάθε nΕIΝ υπάρχει X nΕ Α ώστε
Ι
Ρ(Xη,X)~-. 'ΑραΙίmχn=χ.
η η
( ~ ) Από την υπόθεση και τον ορισμό της σύγκλισης ακολουθίας (1.46)
προκύπτει ότι ρ(χ,Α) = ο. 'Αρα Χ Ε Α (πρόταση 1.36).
Από την πρόταση 1.50 προκύπτει το εξής.
1.51. Πόρισμα. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος και Α C Χ. Το Α είναι κλειστό
αν και μόνο αν κάθε ακολουθία στοιχείων του Α, αν συγκλίνει, συγκλίνει σε
στοιχείο του Α.
Η έννοια της υπακολουθίας είναι εξαιρετικά χρήσιμη. Αρκεί να θυμηθούμε
μια από τις πιο θεμελιώδεις και χρήσιμες ιδιότητες ακολουθιών πραγματικών
αριθμών: Κάθε φραγμένη ακολουθία έχει μια συγκλίνουσα υπακολουθία. Αυτή η
ιδιότητα Bolzano- Weierstrass ήταν η αφετηρία για την απόδειξη εξαιρετικά
βασικών ιδιοτήτων των πραγματικών αριθμών και συναρτήσεων ορισμένων.στους πραγματικούς αριθμούς (π.χ. ότι κάθε συνεχής πραγματική συνάρτηση,
ορισμένη σ' ένα κλειστό διάστημα, είναι ομοιόμορφα συνεχής, απ' όπου αποδει
κνύει κανείς ότι κάθε τέτοια συνάρτηση είναι ολοκληρώσιμη κατά Riemann).
Κάτι ανάλογο προς την ιδιότητα Bolzano- Weierstrass δεν ισχύει σ' αυτή τη
γενικότητα σε μετρικούς χώρους. Όμως, η ανίχνευση συγκλινουσών υπακολου
θιών έχει συνήθως μεγάλη σημασία. Προς το παρόν, σ' αυτή την παράγραφο,
περιοριζόμαστε στον ορισμό της υπακολουθίας. και την ανάπτυξη μερικών
απλών ιδιοτήτων. Οι υπακολουθίες θα έχουν βασικό ρόλο στην μελέτη των
συμπαγών μετρικών χώρων (παράγραφος 5).
1.52. Ορισμός. 'Έστω (xn) ακολουθία στοιχείων ενός συνόλου Χ. Αν (nk)
είναι μια γνήσια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, η ακολουθία (Xnk ) είναι
υπακολουθία της (xn ). Δηλαδή, αν Χ: ΙΝ -. Χ είναι μια ακολουθία στο Χ, μια υπακο
λουθία της Χ ορίζεται από μία γνήσια αύξουσα συνάρτηση φ: ΙΝ -. ΙΝ, και είναι η
ακολουθία Χ ο φ: Ν -. Χ.
34. 26
1.53. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ) μετρικός χώρος. Μια ακολουθία (Xn ) στο Χ
συγκλίνει (σε ένα στοιχείο Χ ε Χ) αν και μόνο αν κάθε υπακολουθία της συγκλί
νει (στο Χ).
Απόδειξη. ( ~ ) 'Εστω (Xnk ) υπακολουθία της (Xn ) και ε> Ο. Από την υπό
θεση υπάρχει Π σ ε ΙΝ, ώστε Ρ(Χη ,Χ) <ε για κάθε π ~ Πσ . Επειδή η (nk) είναι γνή
σια αύξουσα ακολουθία φυσικών αριθμών, υπάρχει ko ε ΙΝ ώστε llko ~ Πσ , και αν
k;::: ko τότε llk;::: llko ;::: Πσ . 'Αρα για κάθε k;::: ko ισχύει P(Xnk ,Χ) < ε. Συνεπώς
1imxn =Χ.
k k
( ?= ) Είναι προφανές, εφ' όσον η ακολουθία (xn ) είναι υπακολουθία της
(Xn ).
1.54. Πρόταση. Έστω (Xn ) ακολουθία στοιχείων ενός μετρικού χώρου (Χ,ρ)
και Χ ε Χ. Αν η (xn ) δεν συγκλίνει στο Χ, τότε υπάρχει υπακολουθία (xnk ) της
(xn ) και ε> Ο, ώστε P(Xnk ,χ);::: ε για κάθε k = 1,2,....
Απόδειξη. Επειδή η (Xn ) δεν συγκλίνει στο Χ, υπάρχει ε> Ο ώστε, για κάθε
π ε ΙΝ υπάρχει m ε ΙΝ, με π <m, ώστε ε ~ P(Xm ,Χ). Η υπακολουθία ορίζεται, χρη
σιμοποιώντας αυτή την παρατήρηση, επαγωγικά με την ακόλουθη διαδικασία:
Για Πσ = Ι υπάρχει πι ε ΙΝ ώστε ε ~ Ρ(Χηl ,Χ). Υποθέτουμε ότι για k ε ΙΝ έχουμε
ορίσει φυσικούς αριθμούς Π ι < Π2 < ... < llk, ώστε ε ~ Ρ (Χπ;, Χ) για κάθε ί = Ι ,2,...,k.
Τότε υπάρχει llk+lEIN, με llk<nk+l, ώστε Ρ(ΧηΗI,χ);:::ε.
ΣνΝΕΧΕΙΣ ΣνΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
Η μελέτη των πραγματικών αριθμών, στον Απειροστικό Λογισμό, είναι
διπλή. Αφ' ενός μελετούμε τις εσωτερικές ιδιότητες των πραγματικών αριθμών
(όπως είναι η ύπαρξη πραγματικών αριθμών με ειδικές ιδιότητες, Π.χ. οι άρρητοι
και οι υπερβατικοί, η ύπαρξη αριθμών που ορίζονται με ειδικό τρόπο, όπως οι π,
e, γ (αριθμός Euler), κ.ά.) ή ιδιότητες υποσυνόλων πραγματικών αριθμών (~.χ.
κλειστό, φραγμένο, διάστημα), αφ' ετέρου μελετούμε συναρτήσεις μεταξύ
πραγματικών αριθμών. Ο Απειροστικός Λογισμός, κατά κύριο λόγο, ασχολείται
μξ τις ολοκληρώσιμες κατά Riemann, τις συνεχείς και τις διαφορίσιμες συ
ναρτήσεις.
Ανάλογα και η μελέτη των μετρικών χώρων είναι διπλή. Μελετούμε τόσο την
εσωτερική δομή των μετρικών χώρων, όσο και 'συναρτήσεις μεταξύ μετρικών
χώρων. Η κυριότερη κλάση συναρτήσεων μεταξύ μετρικών χώρων είναι η κλάση
των συνεχών συναρτήσεων. Ο δε ορισμός της συνέχειας συναρτήσεων μετ~ξύ
μετρικών χώρων είναι φυσιολογική γενίκευση του ορισμού της συνέχειας
πραγματικών συναρτήσεων με πραγματικές τιμές.
Η δε σημασία των συνεχών συναρτήσεων μεταξύ μετρικών χώρων είναι τόση
ώστε μερικές φορές να διατυπώνεται με τον παρακάτω κάπως υπερβολικό αφορι
σμό: «Οι μετρικοί χώροι ορίζονται μόνο ώστε να είναι δυνατή η εισαγωγή των
μεταξύ τους συνεχών συναρτή σεων».
1.55. Ορισμός. Έστω (Χ,ρ), (Υ,σ) μετρικοί χώροι. Μια συνάρτηση f: Χ - Υ
35. 27
λέγεται συνεχής (ως προς τις μετρικές ρ, σ) στο χο Ε Χ αν για κάθε ε> Ο υπάρχει
δ> Ο, ώστε για κάθε χ Ε Χ, με Ρ(Χο ,Χ) < δ, ισχύει σ (f(xo ), f(x)) < ε. Δηλαδή η f
είναι συνεχής στο χο , αν για κάθε ε> Ο υπάρχει δ> Ο, ώστε f(S(xo ,δ)) C s(f(Xo ),ε).
Η f είναι συνεΧ17ς αν είναι συνεχής σε κάθε χ Ε Χ.
1.56. Παραδείγματα συνεχών συναρτήσεων. (ί) Κάθε σταθερή συνάρτηση
f: Χ -+ Υ, μεταξύ δύο μετρικών χώρων (Χ,ρ) και (Υ,σ), είναι συνεχής, εφ' όσον
σ(f(χ),f(χι))=σ(Υο,Υο)=Ο για κάθε Χ,Χι Ε Χ, όπουΥο είναι η σταθερή τιμή της
f.
(ίί) Έστω σύνολο Χ, Ρ η διακριτή μετρική στο Χ, και (Υ, σ) μετρικός χώρος.
Κάθε συνάρτηση f: Χ -+ Υ είναι συνεχής. Πράγματι, για κάθε χ Ε Χ και για
κάθε ε>Ο ισχύει f('S(χ,I))={f(Χ)}CS(f(χ),ε).
(ίίί) Η έννοια της συνέχειας για πραγματικές συναρτήσεις πραγματικής μετα
βλητής, δηλαδή για συναρτήσεις f: Α -IR με Α C IR, συμπίπτει με την γνωστή
έννοια της συνέχειας. από τον Απειροστικό Λογισμό, αν στο σύνολο IR έχουμε
την συνηθισμένη μετρική και στο Α την σχετική, ως προς την συνηθισμένη,
μετρική.
Το επόμενο θεώρημα, το οποίο χαρακτηρίζει κατά διάφορους τρόπους τις
συνεχείς συναρτήσεις, θα μας είναι εξαιρετικά χρήσιμο στη συνέχεια. Θα δούμε
παρακάτω, όταν μελετήσουμε συνεχείς συναρτήσεις μεταξύ τοπολογικών χώρων,
(στην παράγραφο 8), ότι ακριβώς οι ίδιες ισοδυναμίες ισχύουν γενικά. Αλλά και
η απλή εξέταση των ισοδυναμιών του θεωρήματος 1.57 δείχνει ότι η έννοια της
συνέχειας μιας συνάρτησης είναι καθαρά τοπολογική (εκφράζεται δηλαδή
τελείως με τοπολογικές έννοιες, όπως τα ανοικτά σύνολα, τα κλειστά σύνολα,
την κλειστότητα συνόλων).
1.57. Θεώρημα. Έστω (Χ,ρ), (Υ,σ) μετρικοί χώροι και f: Χ -+ Υ. Τα εξής
είναι ισοδύναμα:
(ί) Η f είναι συνεχής.
(ίί) Αν το G είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ, τότε η αντίστροφη εικόνα
ΓΙ (G) είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ.
(ίίί) Αν το F είναι κλειστό υποσύνολο του Υ, τότε η αντίστροφη εικόνα ΓΙ (F)
είναι κλειστό υποσύνολο του Χ.
(ίν) Για κάθε Α C Χ ισχίJει f(A )C~(A))-
Απόδειξη. (ί) =:> (ίί) Έστω χ Ε ΓΙ (G). Επειδή το G είναι ανοικτό υποσύνολο
του Υ και f(x) Ε G, έπεται ότι υπάρχει ε> Ο ώστε S υ(χ),ε) C G. Από την συνέ
χεια της f στο Χ, υπάρχει δ> Ο ώστε f(S(x, δ)) C G. 'Αρα S(Χ,δ) C ΓΙ (G). Συνε
πώς η αντίστροφη εικόνα ΓΙ (G) είναι ανοικτό υποσύνολο του Χ.
(ίί) =:> (ίίί) Επειδή το Y,"""",F είναι ανοικτό υποσύνολο του Υ, από την υπόθεση,
έχουμε ότι το ΓΙ (Y,"""",F) είναι ανοικτό υποσίJνολο του Χ. Αλλά
ΓΙ (Y,"""",F) = Χ,"""",Γ Ι (F). 'Αρα η αντίστροφη'εικόνα ΓΙ (F) είναι κλειστό υποσύνο
λο του Χ.
(ίίί) =:> (ίν) Έστω Α C Χ. Αν Χ Ε Α τότε f(x) Ε f(A) C f(A): Αρα Α C Γ ι (1 (Α)).
Επειδή το f(A) είναι κλειστό υποσύνολο του Υ, από την υπόθεση, έχουμε ότι το
ΓΙ (f(A)) είναι κλειστό υποσύνολο του Χ. 'Αρα, από την πρόταση 1.32, προκύ
πτει ότι ΑCΓΙ(f(Α)), δηλαδή ότι f(A)Cf(A).
36. 28
(ίν) ~ (ί) Έστω χο ε Χ και θα αποδείξουμε ότι η f είναι συνεχής στο Χο .
Έστω ε> ο. Αρκεί να αποδείξουμε ότι υπάρχει δ> Ο ώστε S(X() ,δ) CΓ Ι (S(f(χο),ε).
Θέτουμε Α = ΓΙ (S(f(Χο),ε)) = {Χ ε Χ: σ (f(xo),f(x)) <ε} .Υποθέτουμε ότι για κάθε
δ>Ο ισχύει S(χο ,δ)ΓΊ(Χ"'-..Α)#0. Από την πρόταση 1.33 προκύπτει ότι
χο ε (Χ'-Α)-. 'Αρα f(xo) ε f(X '-Α)-). Από την υπόθεση έχουμε
f(X'-A)-)C(f(X'-A))-. Συνεπώς f(xo) ε (f(X'-A))-. Επομένώς, από την
πρόταση 1.33, προκύπτει ότι S(f(Χο),ε)ΓΊf(Χ'-Α)#0, δήλαδή υπάρχει
Χ ε Χ 'Α ώστε σ (f(xo), f(x)) < ε, άτοπο. Άρα η f είναι .συνεχής στο Χο .
Ένας περαιτέρω πολύ χρήσιμος χαρακτηρισμός των συνεχών συναρτήσεων
μεταξύ μετρικών χώρων, δίδεται μέσω της σύγκλισης ακολουθιών, με την απο
καλούμενη αρχή της μεταφοράς [σύγκλισης ακολουθιών], γνωστός στην ειδική
μορφή των πραγματικών αριθμών από τον Απειροστικό Λογισμό. Ο χαρακτη
ρισμός αυτός, σε αντίθεση με τους χαρακτηρισμούς του προηγούμενου θεωρή
ματος 1.57, δεν μεταφέρεται αυτούσιος στην περίπτωση των τοπολογικών χώρων
(όπως θα δούμε στην παράγραφο 8). Αυτή η παρατήρηση είναι αντίστοιχη της
παρατήρησης που αναφέραμε παραπάνω, σχετικά με την ανεπάρκεια των ακολου
θιών να περιγράψουν τις τοπολογικές έννοιες σ' ένα αυθαίρετο τοπολογικό
χώρο.
1.58. Πρόταση. Έστω (Χ, ρ), (Υ,σ) μετρικοί χώροι και [: Χ --+ Υ.Τα ακόλου
θα είναι ισοδύναμα:
(ί) Η f είναι συνεχής στο Χ ε Χ.
(ίί) Για κάθε ακολουθία (xn) στο Χ, αν limxn = Χ τότε limf(xn) = f(x).
n n
Απόδειξη. (ί) ~ (ίί) Έστω ότι υπάρχει ακολουθία (Xn) στο Χ, ώστε limxn =χ
n
και η (f(xn)) δεν συγκλίνει στο f(x). Από την πρόταση 1.54, υπάρχει υπακολου
θία (f(xnk )), της f(xn), και ε> Ο ώστε cr(f(xnk),f(x))~ ε για κάθε k = 1'2'.... Από
την υτcόθεση υπάρχει δ>Ο ώστε f(S(χ,δ))CS(f(χ),ε). Άρα ισχύει Ρ(Χnk,Χ)~δ
για κάθε k = 1,2,..., άτοπο (πρόταση 1.53).
(ίί) ~ (ί) Υποθέτουμε ότι η f δεν είναι συνεχής στο Χ. 'Αρα υπάρχει ε> Ο,
ώστε για κάθε δ> Ο ισχύει f (S (Χ, δ)) <t S(f(x), ε). Για κάθε η = Ι ,2,... επιλέγουμε
xnΕ S ( Χ, *),ώστε f(xn) ~ S(f(X), ε). Τότε έχουμε lί:;ιxn = Χ,αλλά η ακολουθία
(f(xn)) δεν συγκλίνει στο f(x), άτοπο.
1.59. Πόρισμα. Έστω (Xn, Ρη), η = 1,2,..., ακολουθία μετρικών χώρων, με
00
Ρη (Χ, Υ) ~ 1 για κάθε Χ, Υ ε Χ και η = 1,2,..., Χ = Π Xn το καρτεσιανό γινόμενο,
n=1
και Ρ η μετρική γινόμενο στο Χ. Για κάθε m = 1,2,... η προβολή TCm: Χ --+ Xm, με
TCm(X)=Xm, όπου X=(Xn), είναι συνεχής συνάρτηση.
Απόδειξη. Το συμπέρασμα είναι άμεση συνέπεια των προτάσεων 1.48 και
1.58.
"1.60. Ορισμός. Έστω (Χ, ρ), (Υ,σ) μετρικοί χώροι και f: Χ --+ Υ. Η f είναι
