10. Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø × Ô Ø Ø ØÓ × ÒÓÐÓ F[x] Ò ÒÙ×Ñ Ø
ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F¸ Ø ÔÓÙ Ò ÒÛ×Ø ´ Ð Ô Ì ÑÓ µº
ÈÖ Ø × ½º½º¾º ³ ×ØÛ φ(x) θ(x) Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ ¸ Ø Ø ×Õ
½º Ø φ(x)+θ(x) = 0 Ø deg( φ(x)+θ(x) ) ≤ max( deg φ(x), deg θ(x) )º
À Ò × Ø Ø ×Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ×Õ × Ò Ò × Ñ ÒÓ ×Ø Ò Ô Ö ÔØÛ×
ÔÓÙ Ø Ó ÔÓÐÙôÒÙÑ ÕÓÙÒ ØÓÒ Ó Ñ ÒØ ØÓÙ Ñ ×ØÓ Ñ ÓÙ
×ÙÒØ Ð ×Ø
¾º deg( φ(x) · θ(x) ) = deg φ(x) + deg θ(x)º
Ô Ü º ³ Ñ × ×ÙÒ Ô ØÛÒ ÓÖ×ÑôÒº
× × ½º½
½º ³ ×ØÛφ(x) ∈ F[x]º ÜØ Ø ÙÔ ÖÕ θ(x) ∈ F[x] Ø ØÓÓô×Ø φ(x) θ(x) =
1 Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ φ(x) ´ ÓÔ Ø ØÓ θ(x)µ Ò ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
¾º ³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x]º ÜØ Ø φ(x) θ(x) = 0 Ò Ñ ÒÓ Ò
ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ Ò Ô Ø φ(x) θ(x) Ò ØÓ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
¿º ÜØ Ø Ò ÙÔ ÖÕ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ R[x] Ø ØÓÓ ô×Ø (φ(x))11 =
(x + 1)22 + (x − 1)2004º
11. ½º¾º Ö Ø Ø Ø ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ
½º¾ Ö Ø Ø Ø ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ Ò Û ÔÓÐÙô¹
ÒÙÑ
ËØ Ô Ñ Ò Ó Ñ Ø ×ØÓ × ÒÓÐÓ F[x] ×Õ Ò Ð Ö ÑÓ Ö ×
ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ò ÐÓ Ó Ñ ØÓÒ ÒÛ×Ø Ð Ö ÑÓ Ø Ö × ×ØÓ × ÒÓÐÓ Z
ØÛÒ Ö ÛÒ Ö ÑôÒº ÙØ Ñ Ò Ø ÙÒ Ø Ø Ø Ò Ô×Øô×ÓÙÑ Ø Ø
Ó × ÒÓÐ Z F[x] ÕÓÙÒ × Ñ ÒØ ÓÑÓ Ø Ø º
³ ×ØÛ Ó ÔÓÐÙôÒÙÑ φ(x), θ(x) ∈ F[x]º Â Ð Ñ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x)
Ö ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ θ(x) ×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ φ(x) | θ(x) Ò ÙÔ ÖÕ
π(x) ∈ F[x] Ø ØÓÓ ô×Ø θ(x) = φ(x) π(x)º ÈÓÐÐ ÓÖ ÒØ Ò ÔÓ Ñ Ø ØÓ
φ(x) Ö ØÓ θ(x) Ð Ñ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ θ(x) Ò ÔÓÐÐ ÔÐ × Ó ØÓÙ φ(x)
Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ θ(x) Ö Ø Ô ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x)º
Ó Ñ Ñ Ö Ñ × ×ÙÒ Ô ØÓÙ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÙ ÓÖ×ÑÓ ¸ Ø ÓÔÓ
ÕÖ ×ÑÓÔÓÓ Ñ ×ÙÕÒ ×Ø Ô Ñ Ò ÕÛÖ Ø Ö Ò ÓÖ º
½º ÌÓ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ö Ø Ô ÐÐÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ÈÖ Ñ Ø¸
φ(x) ∈ F[x] Û ÒÛ×Ø Ò ×Õ φ(x) 0 = 0º
ÇÔ Ø ØÓ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ 0 Ö Ñ ÒÓ ØÓ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ÔÓÑ ÒÛ
×Ø Ô Ñ Ò ¸ Ø Ò Ö ÓÙÑ φ(x) | θ(x) ÒÒÓÓ Ñ Ø φ(x) = 0º
¾º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø φ(x) | θ(x)º Ì Ø ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ π(x) ∈ F[x] Ø ØÓÓ
ô×Ø θ(x) = φ(x) π(x)º ÈÖ Ñ Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ò ÐÐÓ π (x) ∈ F[x] Ñ
θ(x) = φ(x) π (x)¸ Ø Ø Õ Ñ θ(x) = φ(x) π(x) = φ(x) π (x)º Ð
φ(x) ( π(x) − π (x) ) = 0 Ô ØÓ φ(x) Ò Ò ØÓ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
ÕÓÙÑ π(x) − π (x) = 0¸ Ö π(x) = π (x)º
¿º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø φ(x) | θ(x)¸ Ø Ø deg( φ(x) ) ≤ deg( θ(x) )¸ ÓÔ Ø Ò
φ(x) | θ(x) θ(x) | φ(x)¸ Ø Ø deg( φ(x) ) = deg( θ(x) )º ÈÖ Ñ Ø¸ ØÓ ØÓ Ò
ÔÖÓ Ò Ô Ø Ò ÈÖ Ø × ½º½º¾º
º à ´Ñ Ñ Ò µ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ c Ö ÐÐÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
ÈÖ Ñ Ø¸ π(x) ∈ F[x] ÕÓÙÑ φ(x) = c · ( c−1 · φ(x) )º
º Ò φ(x) | θ(x)¸ Ø Ø 0 = c ∈ F[x] ÕÓÙÑ Ø c · φ(x) | θ(x)º
³ Ö Ò φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0¸ Ø Ø ØÓ ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
a−1
n · φ(x) Ö ØÓ θ(x)º
º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) Ö ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ θ(x) Ø ØÓ
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ θ(x) Ö ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ σ(x)¸ Ø Ø ÔÖÓ Òô ØÓ φ(x) Ö ØÓ
σ(x)º
º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) Ö Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ θ1(x) θ2(x)¸
Ø Ø ØÓφ(x) Ö ØÓÔÓÐÙôÒÙÑÓα(x)·θ1(x)+β(x)·θ2(x)¸ Ð Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ
α(x), β(x) ∈ F[x]º ´ Ø µº
³ Ò Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ p(x) ∈ F[x] Ð Ø Ò Û Ó Ô ØÓÙ
12. Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
F ´ Ò Û Ó ×ØÓ F[x]µ Ò Ó Ñ ÒÓ Ö Ø ØÓÙ ×ØÓ F[x] Ò Ø ×Ø Ö
ÔÓÐÙôÒÙÑ Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ Ø ÑÓÖ c p(x)¸ c ∈ Fº Á×Ó Ò Ñ ØÓÔÓÐÙôÒÙÑÓ
p(x) ∈ F[x] Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ F Ò Ô Ø ×Õ × p(x) = φ(x) θ(x)¸ Ñ
φ(x), θ(x) ∈ F[x] ÔÖÓ ÔØ Ø Ò Ô Ø φ(x), θ(x) Ò ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
À ÒÒÓ ØÓÙ Ò ô ÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Ò × Ñ ÒØ ×Ø Ñ Ð Ø ØÛÒ ÔÓÐÙ¹
ÛÒ ÑÛÒº ³ÇÔÛ Ó Ñ ×Ø Ô Ñ Ò ¸ Ø Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ ÕÓÙÒ Ø Ø
Ò ÐÓ Ñ Ø Ø Ø ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ö ÑôÒ ×ØÓÙ Ö ÓÙ º ËÙ ÖÑ Ò
×Õ ØÓ Ü × Ñ ÒØ ôÖ Ñ º
 ôÖ Ñ ½º¾º½º Ã Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ö Ø Û ¹
Ò Ñ ÒÓ Ò ô ÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ ×ØÓ F[x] Ø ÑÓÒ ØÖ ÔÓº ËÙ Ö Ñ Ò
ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÑÓÒ ÑÓÒ Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ pi(x) ∈ F[x], i = 1, 2, . . . , n
ÑÓÒ c ∈ F Ø ØÓ ô×Ø ¸ Ò Ò Ð ÙÔ Ý × Ö ØÛÒ Ô Ö ÒØÛÒ¸
φ(x) = c p1(x) p2(x) · · · pn(x)º
Ò Ô Ü Ø Ô ÖÜ Ø ØÓÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ò ÓÐ
ÑÔÓÖÓ × Ò Ó ØôÖ ¸ ÑÓÒ Ø Ø Ñ Ø ØÓ Ö Ô Ø ÒÒÓ
ÔÓÙ Ò ÔØÙÕ Ó Ò ×Ø Ô Ñ Ò º ØÓ Ð Ó ÙØ Ô Ü ÙØÓ ØÓÙ
 ÛÖ Ñ ØÓ Ó Ö Ø Ö º
Ô ØÓÒ ÓÖ×Ñ ØÓÙ Ò ô ÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Ô Ø Ø Ð Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ Ñ
Ñ 1 Ò Ò Û º ÌÓ Ò ÔÓ Ò Ó Ñ ÑÛ Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ Ñ
Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ 1 Ò Ò Û Ó Ò Ò ÐÓÙ ÓÐÓ Ü ÖØ Ø Ô ØÓ
× ÒÓÐÓ F ØÛÒ ×ÙÒØ Ð ×ØôÒº
Ô× Ð Ñ Ò Ô× Ñ ÒÓÙÑ Ø Õ × Ñ × Ô ÔÓÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ ×Ù¹
ÒØ Ð ×ØôÒ Ü Ø ÞÓÙÑ Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ò Ò Û Óº Ô Ö Ñ ¸ ØÓ
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ x2 + 2 Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôÒ Ö ÑôÒ¸
ÐÐ Ò Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ ØÛÒ Ñ ôÒ Ö ÑôÒ¸ Ó x2 + 2 =
(x + i
√
2) · (x − i
√
2)º
ÈÖ Ø × ½º¾º¾º Ã Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) Ö Ø Ô ´ØÓÙÐ Õ ¹
×ØÓÒµ Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
Ô Ü º  ÖÑ ×ÓÙÑ Ô Û ×ØÓ Ñ ¸ ×ØÛ n¸ ØÓÙ φ(x)º Ò ØÓ φ(x)
Ò Ò Û Ó¸ Ø Ø ÙØ Ö Ø Ô ØÓÒ ÙØ ØÓÙº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ φ(x)
Ò Ò Ò Û Ó Ø Ð Ø Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑ Ñ Ñ Ñ Ö Ø ÖÓ ØÓÙ
n ÖÓ ÒØ Ô Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ØÓ φ(x) ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ×Ø Ö
ÔÓÐÙôÒÙÑ φ1(x) φ2(x) Ø ØÓ ô×Ø φ(x) = φ1(x) φ2(x)º Ì φ1(x) φ2(x)
ÕÓÙÒ Ñ Ñ Ö Ø ÖÓ ØÓÙ n ÔÓÑ ÒÛ Ô Ø Ò ÙÔ × Ø Ô Û
Ò Ô ÙØ Ö Ø Ô Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑÓ¸ Ö ØÓ φ(x) Ö Ø
Ô Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
20. ½ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
Ô Ü º ³ × × º
ÈÖ Ø × ½º¾º½½º ³ ×ØÛ p(x), p1(x), . . . , pn(x) ∈ F[x] Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ
Ô ØÓÙ Fº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ p(x) Ö ØÓ Ò Ñ ÒÓ p1(x) · · · pn(x)¸
Ø Ø ÙÔ ÖÕ c ∈ F Ø× ô×Ø p(x) = c pi(x) ÔÓ Ó Ø iº
Ô Ü º Ô ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ p(x) Ò Ò Û Ó ÕÓÙÑ Ø p(x)| p1(x)
Ø Ñº º º( p(x), p1(x) ) = 1 ´ Ø Ð Ô × × ½º¾ ´ µ)º Ò p(x)| p1(x)
Õ Ðô ¸ Ò Ñº º º( p(x), p1(x) ) = 1¸ Ø Ø Ô Ø Ò ÙÔ × Ø Ò ÈÖ ¹
Ø × ½º¾º ÕÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ p(x) Ö ØÓ Ò Ñ ÒÓ p2(x) · · · pn(x)º
ÇÔ Ø Ô Ð Ø p(x)| p2(x) Ø Ñº º º( p(x), p2(x) ) = 1º ËÙÒ Õ ÞÓÒØ ÙØ
Ø × × Ô Ô Ö ×Ñ Ò Ñ Ø Ø Ð ÜÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ 1 ≤ i ≤ n
Ø× ô×Ø p(x)| pi(x)º Ì ÔÓÐÙôÒÙÑ ÑÛ p(x) pi(x) Ò Ò Û ÓÔ Ø
Ò ×Ø ÙÔ ÖÕ c ∈ F Ø× ô×Ø p(x) = c pi(x)º
ÌôÖ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓ Â ôÖ Ñ ½º¾º½º
Ô Ü ØÓÙ ½º¾º½  ÖÑ ×ÓÙÑ Ô Û ×ØÓ Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x)º
Ò deg( φ(x) ) = 1¸ Ø Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) Ò Ò Û Ó ØÓ ôÖ Ñ
×Õ ´ ô ÛÖÓ Ñ Ø ÕÓÙÑ Ò Ñ ÒÓ Ñ Ò Ò Û Ó ÖÓ µº ÍÔÓ ØÓÙÑ
Ø ØÓ ôÖ Ñ ×Õ Ð Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ Ñ Ñ Ñ Ö Ø ÖÓÙ ØÓÙ ÑÓ
ØÓÙ φ(x)º Ò ØÓ φ(x) Ò Ò Û Ó¸ Ø Ø Ô Ð ØÓ ôÖ Ñ ×Õ º ÍÔÓ ØÓÙÑ
Ø ØÓ φ(x) Ò Ò Ò Û Óº ³ Ö ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓÐÙôÒÙÑ φ1(x) φ2(x) Ø ØÓ
ô×Ø φ(x) = φ1(x) φ2(x)º Ç Ñ ØÛÒ φ1(x) φ2(x) Ò Ñ Ö Ø ÖÓ ØÓÙ
ÑÓ ØÓÙ φ(x)¸ Ö ØÓ ôÖ Ñ ×Õ ÙØ Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ ¸ ÔÓØ ØÓ
φ(x) ÑÔÓÖ Ò Ö ×Ø ÑÓÖ φ(x) = c p1(x) p2(x) · · · pn(x) Ñ c ∈ F[x]
Ø pi(x) ÑÓÒ Ò Û º
ÙÔÓ ×ÓÙÑ ØôÖ Ø φ(x) = c1p1(x)p2(x) · · · pn(x) = c2q1(x)q2(x) · · ·
qm(x)¸ ÔÓÙ c1, c2 ∈ F Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ p1(x), p2(x), . . . , pn(x), q1(x), q2(x),
. . . , qm(x) Ò ÑÓÒ Ò Û Ô ØÓÙ Fº ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ qm(x) Ö
ØÓ Ò Ñ ÒÓ c1 p1(x) p2(x) · · · pn(x)¸ ÔÓÑ ÒÛ × Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò
ÔÖ Ø × ÙÔ ÖÕ c ∈ F Ø× ô×Ø qm(x) = c pi(x) ÔÓÓ Ø iº ÐÐ Ø
qm(x) pi(x) Ò ÑÓÒ ¸ ÓÔ Ø qm(x) = pi(x) ÐÐ ÞÓÒØ ¸ Ò Ò ¸
Ø × Ö ØÛÒ Ô Ö ÒØÛÒ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓ ×ÓÙÑ Ø qm(x) = pn(x)º ÌôÖ
Ô Ø ×Õ × c1 p1(x) p2(x) · · · pn(x) = c2 q1(x) q2(x) · · · qm(x) ÕÓÙÑ Ø
c1 p1(x) p2(x) · · · pn−1(x) = c2 q1(x) q2(x) · · · qm−1(x)º Ç Ñ ÑÛ ØÓÙ
ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ c1 p1(x) p2(x) · · · pn−1(x) Ò Ñ Ö Ø ÖÓ Ô ØÓÒ Ñ ØÓÙ φ(x)¸
ÔÓÑ ÒÛ Ô Ø Ò ÙÔ × Ø Ô Û ÕÓÙÑ Ø c1 = c2¸ n − 1 = m − 1
ÐÐ ÞÓÒØ ¸ Ò Ò ¸ Ø Ò × Ö ØÛÒ Ô Ö ÒØÛÒ pi(x) = qi(x)º
21. ½º¾º Ö Ø Ø Ø ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ ½
È Ö Ø Ö × º
½º ËØ Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ö × Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Û Ò Ñ ÒÓ Ò ô ÛÒ
ÑÓÒ ôÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ó Ô Ö ÓÒØ pi(x) Ò Ò Ø Ò ÖÑ ¹
ÒÓ¸ ÓÔ Ø ÑÔÓÖÓ × Ñ Ò Ö ÝÓÙÑ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ×Ø ÑÓÖ φ(x) =
c1pν1
1 (x)pν2
2 (x) · · · pνm
m (x)¸ ÔÓÙ ØôÖ Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ pi(x) Ò Ö¹
Ñ Ò Ø νi Ò Ø Ó Ö Ó Ö ÑÓ º À ÑÓÒ ÙØ Ö
ÓÒÓÑ Þ Ø Ò ÐÙ× ØÓÙ φ(x) × Ò Ñ ÒÓ ÑÓÒ ôÒ Ò ô ÛÒ
ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ô ØÓÙ F º
¾º ³ÇÔÛ ÕÓÙÑ Ô× Ñ Ò Õ × Ñ × Ô ÔÓÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ ×ÙÒØ Ð ×ØôÒ ¹
Ü Ø ÞÓÙÑ Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ò Ò Û Óº ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ
Ø Ò ÒØ×ØÓÕ Ò ÐÙ× Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ × Ò Ñ ÒÓ ÑÓÒ ôÒ Ò ô Û¹
Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº Ô Ö Ñ ¸ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ x4 − x2 − 2 ∈ R[x] Õ
Ø Ò Ò ÐÙ× x4 − x2 − 2 = (x2 − 2) (x2 + 1)¸ Òô ØÓ Ó ÔÓÐÙôÒÙ¹
ÑÓ¸ Ò ÛÖ Û ×ØÓÕ Ó ØÓÙ C[x]¸ Õ Ø Ò Ò ÐÙ× x4 − x2 − 2 =
(x +
√
2) (x −
√
2) (x − i) (x + i)º
¿º ³ÇÔÛ Ð ÔÓÙÑ ¸ ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ü Ò Ñ Ò Ò Ò ØÖ ÔÓ Ò ÙÔÓ¹
ÐÓ ÞÓÙÑ ØÓÙ Ò Û ÓÙ Ô Ö ÓÒØ ×Ø Ò Ò ÐÙ× Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙº
ÌÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ ÔÖÓ× ÓÖ×ÑÓ ØÛÒ Ò ô ÛÒ Ô Ö ÒØÛÒ Ò ÔÓÐÙ¹
ÛÒ ÑÓÙ Ò ÔÓÐ × ÓÐÓ Ò Ò ÐÓ Ó Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ØÓÙ ÔÖÓ×¹
ÓÖ×ÑÓ ØÛÒ ÔÖôØÛÒ Ô Ö ÒØÛÒ ×ØÓÙ ÓÔÓÓÙ Ò Ð Ø Ò Ö Ó
Ö Ñ º
ÉÖ ×ÑÓÔÓôÒØ Ø Ò Ò ÐÙ× Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ × Ò Ñ ÒÓ Ò ô ÛÒ ÔÓ¹
ÐÙÛÒ ÑÛÒ ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ô×ÓÙÑ Ò Ò ÐÐÓ ØÖ ÔÓ ÙÔÓÐÓ ×ÑÓ ØÓÙ Ñ ×ØÓÙ
ÓÒÓ Ö Ø ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº ËÙ ÖÑ Ò ÕÓÙÑ º
ÈÖ Ø × ½º¾º½¾º ³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x] ×ØÛ
φ(x) = c1 pξ1
1 (x) pξ2
2 (x) · · · pξm
m (x) θ(x) = c2 pν1
1 (x) pν2
2 (x) · · · pνm
m (x)
Ó Ò Ð × ØÓÙ × Ò Ñ ÒÓ ÑÓÒ ôÒ Ò ô ÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ ÔÓÙ Ø ξi
νi Ò Õ Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ Ò Ñ Ò Þ Ø ×Ø Ò ¹
ÒØ ×ØÓ Õ Ò ÐÙ× ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙº  ØÓÙÑ µi = min( ξi, νi )º Ì Ø ×Õ
Ѻ º º φ(x), θ(x) = pµ1
1 (x) pµ2
2 (x) · · · pµm
m (x)º
Ô Ü º À Ô Ü Ò ÔÐ Ò Ø Û × × ´ Ð Ô × × ½º¾
´½ µ)º
Ð Õ ×ØÓ ÃÓ Ò ÈÓÐÐ ÔÐ × Ó ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ
ÈÖÒ ô×ÓÙÑ ØÓÒ ÓÖ×Ñ ØÓÙ Ð Õ×ØÓÙ ÓÒÓ ÔÓÐÐ ÔÐ ×ÓÙ Ó ÔÓÐÙÛÒ ¹
ÑÛÒ Ð Ñ Ò Ô Ö Ø Ö ×ÓÙÑ Ø¸ Ò φ(x), θ(x) ∈ F[x] Ò Ñ Ò ¸ Ø Ø
ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÑÓÒ ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ × ØÛÒ φ(x) θ(x)º
22. ½ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
ÇÖ ×Ñ ½º¾º½¿º ³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x] Ó Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ
×ØÛ
φ(x) = c1 pξ1
1 (x) pξ2
2 (x) · · · pξm
m (x) θ(x) = c2 pν1
1 (x) pν2
2 (x) · · · pνm
m (x)
Ó Ò Ð × ØÓÙ × Ò Ñ ÒÓ ÑÓÒ ôÒ Ò ô ÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ ÔÓÙ Ø ξi νi
Ò Õ Ø Ò Ò Ñ Ò Ø Ò Ò Ô Ö ÓÒØ Ò Ñ Ò Þ Ø ×Ø Ò ÒØ ×ØÓ ¹
Õ Ò ÐÙ× ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙº Â ØÓÙÑ Mi = max( ξi, νi )º Ì Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
φ(x), θ(x) = pM1
1 (x) pM2
2 (x) · · · pMm
m (x) Ð Ø Ð Õ ×ØÓ Ó Ò ÔÓй
Ð ÔÐ × Ó ØÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ φ(x) θ(x) º
ÌÓ Ð Õ×ØÓ ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó Ó ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ φ(x) θ(x) ØÓ ×Ùѹ
ÓÐ ÞÓÙÑ Ñ m(x) = º ºÔº( φ(x), θ(x) ) ÔÐ m(x) = [ φ(x), θ(x) ]º
ËØ Ò Ô Ñ Ò ÔÖ Ø × Ò Ø Ò Õ Ö Ø Ö×Ñ ØÓÙ º ºÔº Ó ÔÓÐÙÛÒ ¹
ÑÛÒº
ÈÖ Ø × ½º¾º½ º ³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x]º ³ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ m(x) ∈ F[x]
Ò ØÓ º ºÔº ØÛÒ φ(x) θ(x) Ò Ñ ÒÓÒ Ò
(i) φ(x)| m(x) θ(x)| m(x)º Ð ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ m(x) Ò Ó Ò ÔÓй
Ð ÔÐ × Ó ØÛÒ φ(x) θ(x)º
(ii) ÌÓ m(x) Ò ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
(iii) Ò µ(x) ∈ F[x] Ñ φ(x)| µ(x) θ(x)| µ(x)¸ Ø Ø m(x)| µ(x)º Ð
Ó Ò ÔÓÐÐ ÔÐ × Ó ØÛÒ φ(x) θ(x) Ò ÔÓÐÐ ÔÐ × Ó ØÓÙ m(x)º
Ô Ü º À Ô Ü Ò ÔÐ Ò Ø Û × × º
ÈÖ Ø × ½º¾º½ º ³ ×ØÛ Ó Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ φ(x), θ(x) ∈ F[x]º
Ì Ø ØÓ º ºÔº ØÛÒ Ó ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ò ØÓ ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ ØÓ Ñ Ö Ø ÖÓ
Ñ ¸ ØÓ ÓÔÓ Ó Ö Ø Ô ØÓ φ(x) θ(x)º
Ô Ü º ³ ×ØÛ
V = { σ(x) ∈ F[x] | σ(x) ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒφ(x) θ(x) }º
ÌÓ × ÒÓÐÓ V Ô Ö Õ Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ º Ô× ¸ ÔÛ ÕÓÙÑ Ô Ö Ø Ö ¹
× ¸ ØÓ V Ô Ö Õ ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑ º ³ ×ØÛ m(x) ∈ V Ò ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
Ñ ØÓÒ Ñ Ö Ø ÖÓ Ñ º
ÌÓ m(x) Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÔÓÙ Ò ×ØÓ × ÒÓÐÓ Vº ÈÖ Ñ Ø¸ Ò
σ(x) Ò Ò ×ØÓÕ Ó ØÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ V¸ Ø Ø Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ö ¹
× ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ ÔÓÐÙôÒÙÑ π(x), υ(x) ∈ F[x] Ø ØÓ ô×Ø σ(x) =
π(x) m(x) + υ(x) Ñ deg( υ(x) ) < deg( m(x) )¸ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ υ(x) Ò ØÓ
Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø deg( υ(x) ) < deg( m(x) )º Ì ÔÓÐÙôÒÙ¹
Ñ φ(x) θ(x) ÖÓ Ò ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ σ(x) − π(x) m(x) = υ(x) ´ Ø µº
Ð ØÓ υ(x) Ò ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒ φ(x) θ(x) ¸ Ö Ò ×ØÓÕ Ó
ØÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ Vº ÌÓ ØÓ Ò ØÓÔÓ Ô Ø Ò ÔÐÓ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ m(x)º ³ Ö
υ(x) = 0º
23. ½º¾º Ö Ø Ø Ø ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ¸ Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ ½
È Ö Ø Ö × º ³ ×ØÛ Ó Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ φ(x), θ(x) ∈ F[x]¸ Ò ÙÔÓ¹
×ÓÙÑ Ø Ó Ñ ×ØÓ ÑÓ ×ÙÒØ Ð ×Ø ØÛÒ φ(x) θ(x) Ò ÒØ×ØÓÕ
c r¸ Ø Ø ÔÖÓ Òô º ºÔº( φ(x), θ(x) ) = º ºÔº( c−1φ(x), r−1θ(x) )º ÔÓ¹
Ñ ÒÛ Ø Ò Ö × ØÓÙ º ºÔº Ó ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ö Ò “Ô ÖÓÖ× Ó Ñ ” ×
ÑÓÒ ÔÓÐÙôÒÙÑ º
ËÕ Ð Ó Á×Õ Ü ×Õ × ÔÓÙ ×ÙÒ ØÓÒ Ñ ×ØÓ ÓÒ Ö Ø ØÓ
Ð Õ×ØÓ ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó Ó ÑÓÒ ôÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ φ(x) θ(x)º
º ºÔº( φ(x), θ(x) )·Ñº º º( φ(x), θ(x) ) = φ(x) · θ(x) º
Ø Ò Ô Ü Ø ×Õ × ÙØ Ð Ô ³ × × ½º¾ ´½ µº
È Ö Ø Ö × º ÅÔÓÖÓ Ñ Ò Ò ×ÓÙÑ ØÓÒ ÓÖ×Ñ ØÓÙ º ºÔº Ó ÔÓÐÙ¹
ÛÒ ÑÛÒ ÓÖ×ÓÙÑ ØÓ Ð Õ×ØÓ ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó Ô Ö××ÓØ ÖÛÒ¸ Ô Ó¸
ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº Å Ð×Ø ×Õ Ñ ÒØ×ØÓÕ ÔÖ Ø × Ñ Ø Ò ÈÖ Ø × ½º¾º½ º
Ç ÙÔÓÐÓ ×Ñ ØÓÙ Ð Õ×ØÓÙ ÓÒÓ ÔÓÐÐ ÔÐ ×ÓÙ Ô Ö××ÓØ ÖÛÒ ØÛÒ Ó
ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ ÑÔÓÖ Ò Ò Õ ×Ø Ò Ö × ØÓÙ º ºÔº Ó ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Û Ü º
³ ×ØÛ φ(x), θ(x), σ(x) ∈ F[x]¸ Ø Ø º ºÔº( φ(x), θ(x), σ(x) ) =
º ºÔº( º ºÔº( φ(x), θ(x) ), σ(x) )º ÈÖ Ñ Ø ×ØÛ m1(x) = º ºÔº( φ(x), θ(x) )
m2(x) = º ºÔº( º ºÔº( φ(x), θ(x) ), σ(x) ) = º ºÔº( m1(x), σ(x) )º
³ ×ØÛ m(x) Ò ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒ φ(x) θ(x)¸ Ö m1(x)| m(x) Ò
ÑÛ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÓÙ σ(x)¸ ÔÓÑ ÒÛ m2(x)| m(x)º
ÐÐ m1(x)| m2(x) ØÓ m1(x) Ò ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒ φ(x) θ(x)¸ Ö
ØÓ m2(x) Ò Ò ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒ φ(x) θ(x)¸ Ô× ØÓ σ(x)| m2(x)º
³ Ö ØÓ m2(x) Ò Ò ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó ØÛÒ φ(x), θ(x) σ(x)¸ ØÓ ÓÔÓÓ
Ö ØÓ ´ØÙÕ Óµ ÓÒ ÔÓÐÐ ÔÐ ×Ó m(x)º
ËÙÒ Ôô m2(x) = º ºÔº( φ(x), θ(x), σ(x) )º
× × ½º¾
½º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ö ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
θ(x) ∈ F[x]º ÜØ Ø 0 = c ∈ F ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ c φ(x) Ö
ØÓ θ(x)º
¾º ³ ×ØÛ φ(x) = anxn+an−1xn−1+ · · · a1x+a0 Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓÑ Ö ÓÙ
×ÙÒØ Ð ×Ø º ÜØ Ø Ó Ö Ó Ö Ñ c Ö ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x)
´ Ð ÙÔ ÖÕ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ π(x) Ñ Ö ÓÙ ×ÙÒØ Ð ×Ø Ø× ô×Ø
φ(x) = c · π(x) µ Ò Ñ ÒÓ Ò Ó c Ö ai, i = 0, 1, . . . , nº
¿º ³ ×ØÛ φ1(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · a1x + a0, φ2(x) = bmxm +
bm−1xm−1 + · · · b1x + b0 ∈ F[x] Ñ Ò Ø i Ø ØÓÓ ô×Ø ai = bi = 0º
ÜØ Ø φ1(x)| φ2(x) φ2(x)| φ1(x) Ò Ñ ÒÓ Ò φ1(x) = φ2(x)º
26. ¾¼ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
½º¿ Ê Þ ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ
³ ×ØÛ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x]º ³ ÕÓÙÑ Ó × Ö Þ Ø ´ÔÓÐÙÛÒÙ¹
Ñ µ Ü×Û× φ(x) = 0 ØÓ ÔÖ Ð Ñ Ø Ô ×Ó ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ö Þ
Ôô ÙÔÓÐÓ ÞÓÒØ º ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ ×ÕÓÐ Ó Ñ Ñ ØÓ ÔÖ Ð Ñ ÙØ
Ô ÐÓ Ñ ÒÓ ØÓ Â Ñ Ð ô Â ôÖ Ñ Ø ³ Ð Ö º
³ ×ØÛ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x]
a ∈ F¸ ØÓ ×ØÓÕ Ó anan + an−1an−1 + · · · + a1a + a0 ØÓÙ ×ÙÒ ÐÓÙ F ØÓ
×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ Ñ φ(a) ØÓ ÓÒÓÑ ÞÓÙÑ Ø Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ×Ø × aº
³ÇÔÛ Ð ÔÓÙÑ Ò ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ Ø Ò ØÑ ÒÓ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ×Ø × a Ò
ÕÓÙÑ Ô Ö Ò “ ÒØ Ø ×Ø ×ÓÙÑ ” Ø Ñ Ø Ð Ø x Ñ ØÓ ×ØÓÕ Ó a ÔÐô
Ò ÒÓÙÑ Ø ÔÖ Ü º
Ô Ö Ñ ØÑ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ 3x3 −2x2 +3x−2 ×Ø × ½»¾ Ò
× Ñ 3(1/2)3 − 2(1/2)2 + 3 1/2 − 2 = 3 1/8 − 2 1/4 + 3 1/2 − 2 = −5/8º
³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x] a ∈ Fº Ì Ø φ(a) + θ(a) = (φ + θ)(a)
φ(a) · θ(a) = (φ · θ)(a)º Ð ÒØ Ø ×Ø × Ø Ñ Ø Ð Ø Ø Ò
Ö × Ø ØÑ Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ Ò ×ÙÑ ×Ø Ñ Ø Ò ÔÖ × × ØÓÒ
ÔÓÐÐ ÔÐ × ×Ñ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº
³ Ò ×ØÓÕ Ó ξ ∈ F Ð Ø Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x) = anxn +
an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x] Ò φ(ξ) = 0¸ Ð ØÑ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ
×Ø × ξ Ò ØÓ Ñ Òº
Ô Ö Ñ ØÓ 2 ∈ R Ò Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ x2 − x − 2 ∈ R[x]¸ Ó
22 − 2 − 2 = 0º ÐÐ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = x2 + 2 ∈ R[x] Ò ÙÔ ÖÕ
Ò Ò ξ ∈ R Ø ØÓÓ ô×Ø φ(ξ) = 0º Ò Ò Ò ÙÔ ÖÕ ξ ∈ F Ø× ô×Ø
φ(ξ) = 0¸ Ø Ø Ð Ñ Ø ØÓ φ(x) Ò Õ Ö Þ ×ØÓ Fº
ÈÖ Ø × ½º¿º½º ³ ×ØÛ φ(x) ∈ F[x]º ³ Ò ×ØÓ Õ Ó a ∈ F Ò Ö Þ ØÓÙ φ(x)
Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ x − a Ö ØÓ φ(x)º
Ô Ü º Ô ØÓÒ Ð Ö ÑÓ Ø Ö × ÕÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕÓÙÒ
π(x), υ(x) ∈ F[x] Ø ØÓ ô×Ø φ(x) = π(x) (x − a) + υ(x) Ñ ØÓ υ(x) ×Ø Ö
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ¸ Ó ØÓ x−a Ò ÔÖÛØÓ ÑÓº ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ a Ò Ö Þ ØÓÙ
φ(x)º ÒØ ×ØôÒØ ×Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ×Õ × ØÓ x Ñ ØÓ a ÕÓÙÑ φ(a) =
π(a) (a − a) + υ(x)º Ð 0 = φ(a) = π(a) (a − a) + υ(x)º ³ Ö υ(x) = 0º
ÌÓ ÒØ×ØÖÓ Ó Ò ÔÖÓ Ò º
ËØ Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø × ÔÓ Ü Ñ Ø ØÓ a ∈ F Ò Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙ¹
ÛÒ ÑÓÙ φ(x) Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ x − a Ö ØÓ φ(x)º Á×Õ Ø Ð Öô
Ò Ø ÖÓº
È Ö ×Ñ ½º¿º¾º ÌÓ ÙÔ ÐÓ ÔÓ Ø Ö × ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x) Ñ ØÓ x − a
×Ó Ø Ñ φ(a)¸ Ø Ò Ø Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ×Ø × aº
27. ½º¿º Ê Þ ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ ¾½
³ ×ØÛ φ(x) ∈ F[x] φ(x) = c pν1
1 (x) pν2
2 (x) · · · pνm
m (x) Ò ÐÙ× ØÓÙ ×
Ò Ñ ÒÓ Ò ô ÛÒ ÑÓÒ ôÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº Ò a ∈ F¸ Ø Ø ÔÖÓ Òô ØÓ x − a
Ö ØÓ φ(x) Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ x−a Ö Ö ô Ò Ò Ô ØÓÙ Ò Û ÓÙ
Ô Ö ÓÒØ pi(x) ´ Ø µº Ð Ò Ñ ÒÓ Ò pi(x) = x − a ÔÓÓ iº
ÔÓÑ ÒÛ ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ø × ÓÖ Ø Ö Þ ξj ∈ F ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x) ×Ó
Ó ÓÖ Ø Ó Ô Ö ÓÒØ Ø ÑÓÖ x − ξj ×Ø Ò Ò ÐÙ× ØÓÙ × Ò Ñ ÒÓ
Ò ô ÛÒ ÑÓÒ ôÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒº
Ç Ø νj Ò Ô Ö ÓÒØ Ø ÑÓÖ x − ξj ×Ø Ò Ò ÐÙ× ØÓÙ ÔÓÐÙÛ¹
Ò ÑÓÙ ÓÒÓÑ Þ Ø ÔÓÐÐ ÔÐ Ø Ø Ø Ö Þ ξj º
Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ×ÙÞ Ø × Ô Ø ÔÓÑ Ò ÔÖ Ø × º
ÈÖ Ø × ½º¿º¿º ³ ×ØÛ φ(x) ∈ F[x] Ò Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ÌÓ φ(x)
Õ ØÓ ÔÓÐ deg( φ(x) ) ØÓ ÔÐ Ó Ö Þ ×ØÓ Fº
Ô Ü º ³ Ñ × Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò º
ô Ð Ñ Ò Ô× Ñ ÒÓÙÑ Ø Ò Ò Û Ó ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x]
Ñ Ñ Ñ Ð Ø ÖÓ ØÓÙ 1¸ ÔÖÓ Òô ¸ Ò Õ Ö Þ ×ØÓ Fº Ò Ð ÑÛ
Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ×ØÓ F[x]¸ ÔÓÙ Ò Õ Ö Þ ×ØÓ F¸ Ò Ò Û Óº
Ô Ö Ñ ¸ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ (x2 + 1) (x2 + 2) ∈ R[x] Ò Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ R
Ò Õ Ö Þ ×ØÓ Rº ËØ Ò Ô Ö ÔØÛ× ÑÛ ÔÓÙ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ò ÑÓ
2 3 ÕÓÙÑ Ø Ò ÔÖ Ø × º
ÈÖ Ø × ½º¿º º ³ ×ØÛ φ(x) ∈ F[x] Ñ Ñ 2 3º ÌÓ φ(x) Õ Ö Þ ×ØÓ
F Ò Ñ ÒÓ Ò Ò Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ Fº
Ô Ü º ÍÔÓ ØÓÙÑ Ø ØÓ φ(x) Ò Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ Fº ÔÓÑ ÒÛ
ÙÔ ÖÕÓÙÒ Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑ φ1(x), φ2(x) ∈ F[x] Ø ØÓ ô×Ø φ(x) =
φ1(x) φ2(x) Ñ deg( φ1(x) ), deg( φ2(x) ) ≤ deg( φ(x) )º Ô ÑÛ Ó ¹
Ñ ØÓÙ φ(x) Ò 2 3¸ Ô Ø Ø Ó Ñ Ò Ô Ø φ1(x) φ2(x)
Ò ×Ø Ò ×Ó Ñ 1º Ð Ò Ô Ø φ1(x), φ2(x) Ò Ø
ÑÓÖ ax + b Ñ a, b ∈ F a = 0¸ ÓÔ Ø ØÓ ×ØÓÕ Ó a−1b ∈ F Ò Ö Þ ØÓÙ
φ(x)º
³ ÕÓÙÑ ¸ Ô Ö Ñ ¸ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ x2 + 2 Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ
R ´ Ö Ò Õ Ö Þ ×ØÓ Rµº Ò ÑÛ ÛÖ ×ÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÙØ
Õ ×ÙÒØ Ð ×Ø Ô ØÓ C¸ Ø Ø Ð ÔÓÙÑ Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÙØ Ò Ð Ø ×ØÓ
Ò Ñ ÒÓ x2 + 2 = (x +
√
2i) (x −
√
2i)º Ð Õ Û Ö Þ ØÓÙ Ñ Ó
Ö ÑÓ ξ1 =
√
2i ξ2 = −
√
2iº ËØ Ô Ñ Ò ×ÕÓÐ Ó Ñ ØÓ Ô Ø
Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø Ò Ò Û Ó Ô ØÓÙ R Ô
ØÓÙ Cº
28. ¾¾ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
Ã Ø ÖÕ ÙÔ Ò ÙÑ ÞÓÙÑ Ø Ò z = a + bi Ò Ò Ñ Ö Ñ ¸
Ø Ø Ó ×ÙÞÙ ØÓÙ Ò Ó Ñ Ö Ñ ¯z = a − biº Å Ð×Ø ×Õ
z1 + z2 = z1 + z2¸ z1 z2 = z1 z2 z ¯z ∈ Rº
Ø Ô Ñ Ò Ò Ò Ó Ò Ò ÖÓÙÑ ØÓ Â Ñ Ðô Â ôÖ Ñ Ø
³ Ð Ö ¸ ØÓ ÓÔÓÓ ÔÐô Ô Ö ØÓÙÑ ÕÛÖ Ô Ü
 ôÖ Ñ ½º¿º ´Â Ñ Ðô  ôÖ Ñ Ø ³ Ð Ö µº ³ ×ØÛ φ(x) = anxn+
an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ Ñ Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø º
Ì Ø ØÓ φ(x) Õ Ñ Ñ Ö Þ º
ÈÖ Ø × ½º¿º º Ñ ×Ø Ö ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = anxn +an−1xn−1 +
· · · +a1x+a0 Ñ Ñ Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø ÑÓ n ÙÔ ÖÕÓÙÒ z1, z2, . . . , zn ∈ C
´ Õ Ø Ò Ö Ñ Ò µ Ø× ô×Ø φ(x) = anxn +an−1xn−1 + · · · +a1x+
a0 = an(x − z1) · · · (x − zn)º
Ô Ü º Å Ô Û ×ØÓ Ñ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ØÓ ÔÓØ Ð ×Ñ Ò Ñ ×Óº
Á×Ó Ò Ñ ÑÔÓÖÓ × Ñ Ò ØÙÔô×ÓÙÑ ØÓÒ ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÈÖ Ø × Û
Ü “Ì Ñ Ò Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ Ô ØÓÙ C Ò Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ ÑÓ Ò ”
ÈÖ Ø × ½º¿º º ³ ×ØÛ φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ R[x]
z Ñ Ñ Ö Þ ØÓÙº Ì Ø Ó ¯z Ò Ö Þ ØÓÙ φ(x)
Ô Ü º Ô ÓÑ Ö Ñ z Ò Ö Þ ØÓÙÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ ÕÓÙÑ φ(z) =
anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 = 0 ÔÓÑ ÒÛ Ó ×ÙÞÙ Ñ ¹
Ö Ñ φ(z) ×Ó Ø Ñ Ñ Òº Ð anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 =
anzn + an−1zn−1 + · · · + a1z + a0 = 0º ÔÓÑ ÒÛ an ¯zn + an−1¯zn−1 + · · · +
a1¯z + a0 = φ(¯z) = 0º
Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÈÖ Ø × Ô Ø Ñ × ØÓ Ü ÔÓØ Ð ×Ñ º
ÈÖ Ø × ½º¿º º ½º à ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = anxn +an−1xn−1 + · · · +a1x+
a0 ∈ R[x] Ô Ö ØØÓ ÑÓ Õ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ö Þ º
¾º Ì Ò Û ÔÓÐÙôÒÙÑ Ô ØÓÙ R Ò Ø ÔÖÛØÓ Ñ Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ
Ø ÑÓÖ ax2 + bx + c¸ ÔÓÙ b2 − 4ac < 0º
¼
ÌÓ ôÖ Ñ ÙØ Ô Õ ÔÖôØ ÓÖ ØÓ ½ Ô ØÓÒ Gauss ×Ø ØÓÖ
ØÓÙ ØÖ º È Ö Ñ Ò ×Ø Ò Á×ØÓÖ Ñ Ø Ò ÓÒÓÑ × ÙØ Ø ¸ Ø Ò ÔÓÕ Ò ¸
Ò Ö Ó Ñ Ð Ñ ØÛÒ Å Ñ Ø ôÒ Ø Ò Ô ÐÙ× ÔÓÐÙÛÒÙÑ ôÒ Ü ×ô× ÛÒ Ø ÑÓÖ
anxn
+an−1xn−1
+ · · · +a1x+a0 = 0 Ñ ÔÖ Ñ Ø Ó ´ Ñ Ó µ ×ÙÒØ Ð ×Ø º Ô Ø Ø
ÕÓÙÒ Ó ÔÓÐÐ ÔÓ Ü º ô Ò ÒÓÙÑ Ô Ü ¸ Ø Ð Ó ÒÛ×Ø ÔÓ Ü
ÕÖ × ÑÓÔÓ Ó Ò Ñ × ÔÓÙ ÙÔ Ö ÒÓÙÒ ØÓÙ × ÓÔÓ ÙØÓ ØÓÙ Ð ÓÙº
³ Ò Ð Ó ×ØÓ ÓÔÓ Ó¸ Ñ Þ Ñ ÕÖ × Ñ ÔÐ ÖÓ ÓÖ ¸ Ô ÖÓÙ× ÞÓÒØ Ü ÔÓ Ü ÙØÓ ØÓÙ
 ÛÖ Ñ ØÓ ¸ Ò ØÓ Ð Ó ØÛÒ B. Fine G. Rosenberger¸ “ÌÓ Â Ñ Ð ô  ôÖ Ñ Ø
³ Ð Ö ”¸ Springer-Verlag 1997º
29. ½º¿º Ê Þ ÈÓÐÙÛÒ ÑÛÒ ¾¿
Ô Ü º ½º ³ Ò ÔÖÛØÓ ÑÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ò Ø ÑÓÖ ax + b Ñ a = 0¸
ÓÔ Ø Ó ÔÖ Ñ Ø Ö Ñ −b/a Ò Ñ Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙº ÍÔÓ ØÓÙÑ
Ø ØÓ ÔÓØ Ð ×Ñ ×Õ Ð Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ Ô ÖØØÓ ÑÓ Ñ ÖÓØ ÖÓÙ
×ÓÙ Ñ 2k + 1º ³ ×ØÛ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) Ñ Ñ 2(k + 1) + 1º Ô Ø
ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ø Ø Ò ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Õ Ñ Ñ Ö Þ ¸ ×ØÛ z¸ Ø Ø
Ó ×ÙÞÙ ¯z Ò Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙº ÔÓÑ ÒÛ Ø ÑÓÒôÒÙÑ x − z
x− ¯z ÖÓ Ò ØÓ φ(x)º ³ Ö ØÓ Ò Ñ ÒÓ (x−z) (x− ¯z) Ö ØÓ φ(x) ×ØÓ C
´ Ð Ô ÈÖ Ø × ½º¾º½¼µº ÐÐ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ (x − z) (x − ¯z) Õ ÔÖ Ñ Ø Ó
×ÙÒØ Ð ×Ø ´ Ø µ¸ ÔÓÑ ÒÛ ØÓ Ô Ð Ó Ø Ö × ¸ ×ØÛ π(x)¸ Ò Ò
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø ´ Ð Ô × × ½º¾ ´ µ) Ñ Ñ
×Ó Ñ 2k + 1º Ô Ø Ò ÙÔ × ØÓ π(x) Õ ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ö Þ ¸
Ö ØÓ φ(x) Õ ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ö Þ º
¾º ÈÖÓ Òô Ø ÔÖÛØÓ Ñ ÔÓÐÙôÒÙÑ Ø ÔÓÐÙôÒÙÑ Ø ÑÓÖ ax2+
bx + c¸ ÔÓÙ b2 − 4ac < 0 Ò Ò Û Ô ØÓÙ Rº Ã ÐÐÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
ÙØ ÖÓÙ ÑÓ Ò Ò Ò Û Óº ³ ×ØÛ φ(x) Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ deg( φ(x) ) ≥
3º ³ÇÔÛ ×ØÓ ½º ÕÓÙÑ Ø ØÓ φ(x)¸ Ò Ò Õ Ñ ÔÖ Ñ Ø Ö Þ ¸
Ô Ö Õ Ò Ò Ô Ö ÓÒØ Ø ÑÓÖ (x−z) (x− ¯z)º ³ Ö Ò Ò Ò Û Óº
× × ½º¿
½º ³ ×ØÛ φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x]º
i) ÜØ Ø ØÑ ØÓÙ φ(x) ×Ø × 0 ×Ó Ø Ñ a0º ÇÔ Ø Ò
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Õ Ö Þ ØÓ Ñ Ò Ò Ñ ÒÓ Ò Õ Ñ Ò ×Ø Ö
ÖÓº
ii) ÜØ Ø ØÑ ØÓÙ φ(x) ×Ø × 1 ×Ó Ø Ñ n
i=0 aiº ÇÔ Ø
Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Õ Ö Þ ØÓ Ò Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ ÖÓ×Ñ ØÛÒ
×ÙÒØ Ð ×ØôÒ ØÓÙ ×Ó Ø Ñ Ñ Òº
¾º Æ Ö Ó Ò Ó Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ 2x3 − 3x2 + 6x − 5º
´È Ö Ø Ö ×Ø Ø ØÓ ÖÓ×Ñ ØÛÒ ×ÙÒØ Ð ×ØôÒ ØÓÙ Ò ×Ó Ñ Ñ Òºµ
¿º ³ ×ØÛ φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x] r ∈ Fº
ÇÖ ÞÓÙÑ Ø Ò Ô Ò× fr : F[x] → F Ñ fr( φ(x) ) = φ(r) Ô ØÓ
ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ F[x] ×ØÓ ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Fº ÜØ Ø fr Ò
Ö ÑÑ º Ò fr Ô Ò ½ ¹ ½
³ ×ØÛ f4, r Ó Ô ÖÓÖ×Ñ Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ò× ×ØÓ ÒÙ×Ñ Ø
ÕôÖÓ F4[x] ØÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ Ñ Ñ ØÓ ÔÓÐ Ø ×× Ö º Æ Ö Ø Ñ
× ØÓÙ ÔÙÖ Ò Ø f4, rº
30. ¾ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
º ÖÑ ÞÓÒØ Ô Û ×ØÓ Ñ Ò ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x) = anxn +
an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x]¸ ô×Ø Ñ ÐÐ Ô Ü Ø ÈÖ ¹
Ø × ½º¿º¾º
º ³ ×ØÛφ(x), θ(x) ∈ F[x] Ñ ÑÓ n k ÒØ×ØÓÕ m = max(n, k)º
ÜØ Ø φ(x) = θ(x) Ò Ñ ÒÓ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒm+1 ØÓ ÔÐ Ó ×ØÓÕ
a ∈ F[x] Ø ØÓ ô×Ø φ(a) = θ(a)
º ³ ×ØÛ φ(x) = x3 + x2 − 2x − 1 ∈ R[x] ξ Ñ Ö Þ ØÓÙº ÜØ Ø
ØÓ ξ2 − 2 Ò Ö Þ ØÓÙ φ(x)º Ì ×ÙÑÔ Ö Ò Ø ØÓ Ó ØÛÒ ÖÞôÒ ØÓÙ
φ(x)
31. ½º º Ö ÑÑ Ô ÓÒ × ¸ È Ò ÈÓÐÙôÒÙÑ ¾
½º Ö ÑÑ Ô ÓÒ × ¸ È Ò ÈÓÐÙô¹
ÒÙÑ
³ ×ØÛ A Ò Ø ØÖ ÛÒ ÔÒ φ(x) Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº ËØ Ò Ô Ö Ö Ó
ÙØ Ø × Ù ×ÓÙÑ Ò Ò ÐÐÓ Ø ØÖ ÛÒ ÔÒ ÔÓÙ ÒØ ×ØÓ Õ ×ØÓÒ
Ó ÒØ ÔÒ ×ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ Ñ Ð Ø ×ÓÙÑ Ø Ø ÔÓÙ Ð ÖÓÒÓÑ
Ô ØÓÒ ÖÕ ÔÒ ØÓÔÓÐÙôÒÙÑÓº Ç Ø Ø ÙØ Ñ ÕÖ ×Ñ ×ÓÙÒ
×Ø Ô Ñ Ò Ð º
³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ dimF V = m¸ ÔÓÙ F Ò ØÓ × ÒÓÐÓ
ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôÒ Ñ ôÒ Ö ÑôÒ¸ f : V → V Ñ Ö ÑÑ Ô Ò×
φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x]º Ì Ö ÑÑ Ô Ò×
anfn + an−1fn−1 + · · · + a1f + a01V : V → V Ø Ò ×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ Ñ φ(f)º
Ô Ö Ñ ¸ Ò φ(x) = 2x2 + 3x − 2 f : R2 → R2 Ñ f( (x, y) ) =
(x + 2y, x − y)¸ Ø Ø Ö ÑÑ Ô Ò× φ(f) : R2 → R2 Ò Ü
φ(f)(x, y) = (7x + 6y, 3x + y)º
³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x] f : V → V Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× º Ì Ø
×Õ φ(f) + θ(f) = (φ + θ)(f) φ(f) · θ(f) = (φ · θ)(f)º
³ ×ØÛ ØôÖ A ∈ Fm×m φ(x) = anxn+an−1xn−1+ · · · +a1x+a0 ∈ F[x]º
ÌÓÒ ÔÒ anAn +an−1An−1 + · · · +a1A+a0Im ∈ Fm×m ØÓÒ ×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ
Ñ φ(A)º Ô Ö Ñ ¸ Ò φ(x) = 2x2 + 3x − 2 A =
1 2
1 −1
,
Ø Ø φ(A) = 2
1 2
1 −1
2
+ 3
1 2
1 −1
− 2
1 0
0 1
=
7 6
3 1
. ³ÇÔÛ
Ð ÔÓÙÑ ØÓÒ ÙÔÓÐÓ ×Ñ ØÓÙ φ(A) ÔÐô ÒØ ×ØÓ Ñ Ø Ñ Ø Ð Ø x
Ñ ØÓÒ ÔÒ A Ø ÐÓ Ñ Ø ÔÖ Ü º
³ ×ØÛ φ(x), θ(x) ∈ F[x] A ∈ Fm×mº ³ÇÔÛ ÔÖÒ¸ ×Õ φ(A) + θ(A) =
(φ + θ)(A) φ(A) · θ(A) = (φ · θ)(A)º
³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ dimF V = m f : V → V Ñ
Ö ÑÑ Ô Ò× º ³ÇÔÛ ÒÛÖ ÞÓÙÑ ¸ Ò ˆu Ò Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ
V ¸ Ø Ø ÓÖ Þ Ø Ó ÔÒ A = (f : ˆu) Ø Ö ÑÑ Ô Ò× º Ü ÐÐÓÙ¸
Ò Ó Ò m × m ÔÒ A Ñ Ø Ø Ñ Ò × ˆu ØÓÙ ÕôÖÓÙ V ¸ Ø Ø
ÓÖ Þ Ø Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× f : V → V Ñ ÔÒ A = (f : ˆu)º ÔÓÑ ÒÛ ¸
Ò A ∈ Fm×m¸ φ(x) = anxn + an−1xn−1 + · · · + a1x + a0 ∈ F[x] ˆu
Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ ÕôÖÓÙ V ¸ ØÓ ÖôØ Ñ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ Ò ÔÓ Ò
Ö ÑÑ Ô Ò× ÔÓÙ ÓÖ Þ Ø Ô ØÓÒ ÔÒ φ(A) ÒØ×ØÖÓ ¸ ×ØÛ
V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ dimF V = m f : V → V Ñ Ö ÑÑ
Ô Ò× ¸ Ò ˆu Ò Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V ¸ ÔÓ Ò Ó ÔÒ Ø
Ö ÑÑ Ô Ò× φ(f)
32. ¾ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
Ù× ÑÔÓÖÓ × Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ ØÓÒÔÒ φ(A) ÒÓÒØ Ø ÔÖ Ü
ÔÛ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÛ Ñ Ø ¸ Ø Ø ÒÛ×Ø ¸ Ò ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ Ø Ö ÑÑ
Ô Ò× ÔÓÙ ÓÖ Þ Ø Ô ØÓÒ ÔÒ ÙØ Òº
ËØ ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø ¸ Ò V = R2 ˆu = { (1, 0), (0, 1) } Ò
ÒÓÒ × ¸ Ø Ø Ó ÔÒ A =
1 2
1 −1
ÓÖ Þ Ø Ö ÑÑ Ô Ò×
f : R2 → R2 Ñ f( (x, y) ) =
1 2
1 −1
x
y
= (x + 2y, x − y)
Ó ÔÒ φ(A) =
7 6
3 1
ÓÖ Þ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× g : R2 → R2 Ñ
g( (x, y) ) =
7 6
3 1
x
y
= (7x+6y, 3x+y)º ³ÇÔÛ Ô× Ö ÑÑ
Ô Ò× φ(f) ÓÖ Þ ØÓÒ ÔÒ (φ(f) : ˆu) =
7 6
3 1
º Ð φ(f) = gº
 ô×ÓÙÑ ØôÖ Ñ Ò ÒØÑ ØôÔ× ØÓÙ ÔÖÓ ÓÙÑ ÒÓÙ ÖÛØ Ñ ØÓ º
³ ×ØÛ f, g : V → V Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ× ˆu Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ
V A = (f : ˆu)¸ B = (g : ˆu) Ó ÒØ×ØÓÕÓ ÔÒ º ÍÔ Ò ÙÑ ÞÓÙÑ Ô
Ø Ö ÑÑ ³ Ð Ö ´Ì ÑÓ µ ظ λ, µ ∈ F¸ ×Ø Ö ÑÑ Ô Ò×
λf +µg¸ Û ÔÖÓ Ø × ˆu¸ ÒØ×ØÓÕ ÓÔÒ λA+µBº Ô× ×Ø Ö ÑÑ
Ô Ò× f ◦ g¸ Û ÔÖÓ Ø × ˆu¸ ÒØ×ØÓÕ ØÓ Ò Ñ ÒÓ ÔÒ ÛÒ A · Bº À
ÙÔ Ò Ñ× ÙØ Ò Ö Ø Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò Ü ÔÖ Ø × º
ÈÖ Ø × ½º º½º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ dimF V = m¸ ÔÓÙ F
Ò ØÓ × ÒÓÐÓ ØÛÒ ÔÖ Ñ Ø ôÒ Ñ ôÒ Ö ÑôÒ¸ f : V → V Ñ Ö ÑÑ
Ô Ò × ¸ ˆu Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V A = (f : ˆu) Ó ÒØ ×ØÓ ÕÓ
Ô Ò º ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = anxn +an−1xn−1 + · · · +a1x+a0 ∈ F[x]
Ó ÒØ ×ØÓ ÕÓ Ô Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò × φ(f) Ò Ó Ô Ò φ(A)¸
Ð φ(A) = (φ(f) : ˆu)º
Ô Ü º À Ô Ü Ò Ñ × Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ò Ø Û × ×
´ Ð Ô ÈÖ Ø × ¾º½º µº
È Ö Ø Ö × ½º º¾º
½º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ñ dimF V = m¸ f : V → V Ñ Ö Ñ¹
Ñ Ô Ò× ¸ ˆu, ˆv Ó Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V
A = (f : ˆu)¸ B = (f : ˆv) Ó ÒØ×ØÓÕÓ ÔÒ º Ï ÒÛ×Ø Ò Ó
ÔÒ A B Ò ÑÓÓ¸ Ð ÙÔ ÖÕ ÒØ×Ø ÝÑÓ m × m ÔÒ
P Ø ØÓÓ ô×Ø B = P−1APº ÔÓÐÙôÒÙÑÓφ(x) ∈ F[x] Ó ÔÒ
φ(A) = (φ(f) : ˆu) φ(B) = (φ(f) : ˆv) Ø Ö ÑÑ Ô Ò×
φ(f) Ò ÑÓÓ¸ Ñ Ð×Ø ×Õ φ(B) = P−1φ(A)P ´ Ø µº Ô Ø Ò
33. ½º º Ö ÑÑ Ô ÓÒ × ¸ È Ò ÈÓÐÙôÒÙÑ ¾
Ô Ö Ø Ö × ÙØ ÓÐ Ô Ø ØÓ Ü ÔÓØ Ð ×Ñ º ³ ×ØÛ A B Ó
ÑÓÓ ÔÒ ¸ Ø Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ó ÔÒ φ(A)
φ(B) Ò ÑÓÓº
ÈÖÓ×ÓÕ ¸ ØÓ ÒØ×ØÖÓ Ó Ò ×Õ º Ç ÔÒ A =
0 −1
−1 0
B =
0 1
−1 −1
Ò Ò ÑÓÓ ´ Ø µº ÐÐ Ó ÔÒ φ(A)
φ(B)¸ ÔÓÙ φ(x) = x6 − 1 Ò ÑÓÓ ´ Ø µº
¾º ³ ×ØÛ A ∈ Fn×n Ø ÑÓÖ A =
B 0
0 C
¸ ÔÓÙ B ∈ Fk×k
C ∈ F(n−k)×(n−k)º ÈÖÓ Òô ¸ Ù× Ö Ñ n¸ ×Õ An =
Bn 0
0 Cn º ³ÇÔÛ Ô× Ö Ó Ö Ñ µ ÕÓÙÑ µA =
µB 0
0 µC
º ÇÔ Ø ¸ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ó ÔÒ φ(A)
Ò Ø ÑÓÖ φ(A) =
φ(B) 0
0 φ(C)
º
Ô× Ò Ó ÔÒ A ∈ Fn×n Ò Ø ÑÓÖ A =
B D
0 C
¸
ÔÓÙ B ∈ Fk×k¸ C ∈ F(n−k)×(n−k) D ∈ Fk×(n−k)º Ì Ø ¹
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ó ÔÒ φ(A) Ò Ø ÑÓÖ φ(A) =
φ(B) E
0 φ(C)
¸ ÔÓÙ E ∈ Fk×(n−k)º
× × ½º
½º ³ ×ØÛ Ö ÑÑ Ô Ò× f : R3 −→ R3 Ñ f((x, y, w)) =
= (x+y, y+z, x+z) ØÓÔÓÐÙôÒÙÑÓφ(x) = x3−2x2+3x−2º Æ ÙÔÓ¹
ÐÓ × Ø ØÓÒ ÔÒ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× φ(f) Û ÔÖÓ Ø Ò ÒÓÒ
× Ñ Ø Û ÔÖÓ Ø × ˆu = { (1, 1, 0), (0, 1, 1), (1, 0, 1) }º
¾º i) ³ ×ØÛ ξ ∈ F¸ φ(x) ∈ F[x] A Ò m × m ôÒÓ ÔÒ Ñ
Ð Ø ×ØÓÕ Ø ÙÖ ÛÒÓÙ × Ñ ξº ÜØ Ø Ó ÔÒ
φ(A) Ò Ó Ñ Ò ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò ØÓ ξ Ò Ö Þ ØÓÙ
ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x)º
ii) ³ ×ØÛ ξi ∈ F, i = 1, 2, . . . , m¸ φ(x) ∈ F[x] A Ò m × m ¹
ôÒÓ ÔÒ ÔÓÙ ÙÖ ôÒÓ ÔÓØ Ð Ø Ô Ø ξiº ÜØ
Ø Ó ÔÒ φ(A) Ò Ó Ñ Ò ÔÒ Ò Ñ ÒÓ Ò Ø ξi Ò
Ö Þ ØÓÙ ÔÓÐÙÛÒ ÑÓÙ φ(x)º
34. ¾ Ã Ð Ó ½º ÈÓÐÙôÒÙÑ
¿º ÜØ Ø ÔÒ A ∈ Fm×m ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
φ(x) ∈ F[x] ÑÓ ØÓ ÔÓÐ m2 Ø ØÓÓ ô×Ø Ó ÔÒ φ(A) Ò Ò Ó Ñ ¹
Ò ÔÒ º ´ ÔÒ A ∈ Fm×m Ó ÔÒ Am2
, Am2−1, . . . ,
A, I Ò Ö ÑÑ Ü ÖØ Ñ ÒÓµº
º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ π : V → V Ñ ÔÖÓ ÓÐ ¸ Ð
π Ò Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× Ñ π2 = πº ÜØ Ø Ò π Ò Ò
Ñ Ò Ô Ò× ¸ Ó Ø Ø ÙØÓØ ¸ Ø Ø ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ x(x−1) Ö
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) ∈ F[x] Ñ Ø Ò Ø Ø φ(π) = 0º
³ ×ØÛ θ(x) = anxn +an−1xn−1 + · · · +a1x+a0 ∈ F[x]º Æ Ö Ò
Ò ×ÙÒ Ø× ô×Ø Ô Ò× θ(π) Ò Ò ÔÖÓ ÓÐ º
º ³ ×ØÛ A ∈ Fn×n Ò Ñ ÒÓ Ò ÑÓ ÔÒ ¸ Ð ÙÔ ÖÕ Ø
Ö Ó k Ø ØÓÓ ô×Ø Ak = 0º ÜØ Ø Ò φ(x) = (−1)k−1xk−1 +
· · · + x2 − x + 1¸ Ø Ø Ó ÔÒ φ(A) Ò ÒØ×ØÖ ÝÑÓ º ´Â ÛÖ ×Ø ØÓ
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ xk + 1 Ò Ð ×Ø ØÓ × Ò Ñ ÒÓ Ô Ö ÒØÛÒµº
º ³ ×ØÛ f : V → V Ö ÑÑ Ô Ò× º ÜØ Ø f Ò ×ÓÑÓÖ ×Ñ
Ò Ñ ÒÓ Ò ÙÔ ÖÕ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ φ(x) = anxn +an−1xn−1 + · · · +a1x+
a0 ∈ F[x] Ñ a0 = 0 Ø ØÓÓ ô×Ø φ(f) Ò Ò Ñ Ò Ô Ò× º
35. Ã Ð Ó ¾
Á ÓØ Ñ
ÛÒ × Ñ Ø Ø
³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø × Ô ØÓÙ F f :
V → V Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× º ÒÛÖ ÞÓÙÑ Ø × ÔÐÓ Ñ Ø ¹
Ø Ñ Ò × ˆα = (α1, . . . , αν) ØÓÙ V ÒØ×ØÓÕ Ò ÔÒ ¸ (f : ˆα, ˆα)¸ Ó
ÓÔÓÓ ÓÖ Þ ´Ñ Þ Ñ Ø Ø Ø Ñ Ò × ˆαµ Ø Ò fº ËÙÒ Ôô Ø Ø Ø
f ÑÔÓÖÓ Ò Ò Ñ Ð Ø Ó Ò Ñ ×Û ØÓÙ (f : ˆα, ˆα)º Ô Ö Ñ ¸ ÒÛÖ ÞÓÙÑ Ø
×Ø × Ø Ò Ø f ×Ó Ø Ñ Ø Ò Ø Ü ØÓÙ ÔÒ (f : ˆα, ˆα) Ø Ü
Ò ÔÒ ÑÔÓÖ Ò ÙÔÓÐÓ × Ñ Ø Ó ×ØÓÕ Û ôÒ Ñ Ø ×Õ Ñ Ø×ÑôÒ
Ö ÑÑôÒ ´ ×Ø ÐôÒµº ÔÓÑ ÒÛ Ø Ò ÕÖ ×ÑÓ Ò Ø Ø Ñ Ò × ˆα
Ø Ò Ø ØÓ Ø× ô×Ø Ó ÒØ×ØÓÕÓ ÔÒ (f : ˆα, ˆα) Ò Ñ Ù ÐÙÒ ×ØÓÙ
ÙÔÓÐÓ ×ÑÓ º ÒÛÖ ÞÓÙÑ Ø Ó ÙÔÓÐÓ ×ÑÓ Ñ ôÒÓÙ ÔÒ ¸ Ð Ñ
ÔÒ Ø ÑÓÖ ⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
λ1 0 · · · 0
0 λ2 · · · 0
ººº ººº ººº ººº
0 0 · · · λν
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
,
Ò Ø Ö Ó ÓÒÓÑ Ó º
³ ×ØÛ Ø Ó ÔÒ (f : ˆα, ˆα) Ò ôÒÓ º ËØ Ò Ô Ö ÔØÛ× ÙØ ÑÔÓ¹
ÖÓ Ñ Ñ × Ò ×ÙÒ ÓÙÑ ÕÖ ×Ñ ×ÙÑÔ Ö ×Ñ Ø Ø Ò fº Ô Ö Ñ ¸
×Ø × Ø Ò Imf Ò ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Ñ Ñ Ò ôÒ ×ØÓÕ ÛÒ ÔÓÙ
Ö× ÓÒØ Ô ÒÛ ×Ø Ò Ö ôÒÓ ØÓÙ (f : ˆα, ˆα)º ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ó Ô ¹
Ò (f : ˆα, ˆα) Ò ôÒÓ Ò Ñ ÒÓ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ λ1, . . . , λν ∈ F Ø ØÓ
ô×Ø i = 1, . . . , ν
f(αi) = λiαi. (1)
¾
36. ¿¼ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
ÔÓÑ ÒÛ Ó ÕôÖÓ Imf Ô Ö Ø Ô Ò Ø αi Ø ÓÔÓ ×Õ λi = 0
Ó ÕôÖÓ ker f Ô Ö Ø Ô Ø αi Ø ÓÔÓ ×Õ λi = 0º Ò
Ø Ò ÙÔ Ö ÓÐ Ò Ð Ñ Ø ÑÔÓÖÓ × Ñ Ò Ô ÒØ ×ÓÙÑ ¹ ×Þ Ñ ÒÓ ×Ø
×Õ × ´½µ ¹ ÓÔÓÓ ÔÓØ ÖôØ Ñ ÔÓÙ ÓÖ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× fº
ËÙÒ Ôô Ò ÐÓ Ó ÖôØ Ñ Ò Ò Ö ÑÑ Ô Ò× f :
V → V ÙÔ ÖÕ Ø Ø Ñ Ò × ˆα ØÓÙ V Ø ØÓ ô×Ø Ó ÔÒ (f : ˆα, ˆα)
Ò Ò ôÒÓ º Ò Õ¸ Ø Ø ÔÓ f ÙÔ ÖÕ Ø ØÓ × ÈÛ ÑÔÓÖ
Ò ÔÖÓ× ÓÖ× Ñ Ø ØÓ × Ò Ò ÙÔ ÖÕ Ø Ø Ñ Ò × ˆα ØÓÙ V
Ø ØÓ ô×Ø Ó (f : ˆα, ˆα) Ò Ò ôÒÓ ¸ Ñ ÔÛ ÙÔ ÖÕ × Ø ØÓ ô×Ø
Ó (f : ˆα, ˆα) Ò Ò ÐÐ ÑÓÖ “ ÔÐ ÔÒ ” ÙØ Ò Ñ Ö Ô Ø
× Ñ ÒØ Ñ Ø ÔÓÙ Ñ Ð Ø ×ÓÙÑ ×Ø Ô Ñ Ò Ó Ã Ð º
¾º½ Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø
ËØ Ò Ô Ö Ö Ó ÙØ × ÓÙÑ Ø Ñ Ðô ÒÒÓ ÓØÑ ¸ Ó ¹
ÒÙ×Ñ Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓº
³ ÕÓÒØ ÙÔ Ý ÙØ ÔÓÙ Ô Ñ ÔÖÒ Ø Ö Ø ×Õ × ´½µ¸ ÒÓÙÑ ØÓÒ
Ü ÓÖ×Ñ º
ÇÖ ×Ñ ¾º½º½º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F f : V → V
Ñ Ö ÑÑ Ô Ò × º ³ Ò ×ØÓ Õ Ó λ ∈ F ÓÒÓÑ Þ Ø ÓØ Ñ Ø f
Ò ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ Ò v ∈ V Ø ØÓ Ó ô×Ø
f(v) = λv.
ËØ Ò Ô Ö ÔØÛ× ÙØ ¸ Ð Ñ Ø ØÓ v Ò Ò Ó ÒÙ×Ñ Ø f ÔÓÙ
ÒØ ×ØÓ Õ ×Ø Ò ÓØ Ñ λº
È Ö Ñ Ø ¾º½º¾º
½º  ÔÖÓ× ÓÖ×ÓÙÑ Ø ÓØÑ Ø Ó Ò ×Ñ Ø Ø Ö ÑÑ Ô ¹
Ò× f : R2 → R2¸ f(x, y) = (x + 2y, 3x + 2y)º
³ ×ØÛ λ ∈ R v = (x, y) ∈ R3¸ v = (0, 0)º À ×Õ × f(v) = λv Ò
×Ó Ò Ñ Ñ Ø (x + 2y, 3x + 2y) = λ(x, y)¸ Ð Ò ×Ó Ò Ñ Ñ ØÓ
× ×Ø Ñ
(1 − λ)x + 2y = 0
3x + (2 − λ)y = 0.
(2)
ÌÓ × ×Ø Ñ ÙØ ´Û ÔÖÓ ØÓÙ Òô×ØÓÙ x, yµ Ò Ö ÑÑ ¸ ÓÑÓ Ò
Ø ØÖ ÛÒ ´ Ð ØÓ ÔÐ Ó ØÛÒ Òô×ØÛÒ ×Ó Ø Ñ ØÓ ÔÐ Ó
37. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿½
ØÛÒ Ü×ô× ÛÒµº ³ Ö ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ Ò Ð × Ò Ñ ÒÓ Ò ÓÖ ÞÓÙ×
ØÛÒ ×ÙÒØ Ð ×ØôÒ Ò Ñ Ò¸ Ð Ò Ñ ÒÓ Ò
det
1 − λ 2
3 2 − λ
= λ2
− 3λ − 4 = (λ + 1)(λ − 4) = 0.
ËÙÒ Ôô Ó ÓØÑ Ø f Ò λ = −1 λ = 4º Ñ Ô ÙØ ¸
ÔÖÓ× ÓÖ×ÓÙÑ ØôÖ Ø ÒØ×ØÓÕ Ó Ò ×Ñ Ø º
³ ×ØÛ λ = −1º Ì Ø ØÓ × ×Ø Ñ ´¾µ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ ØÓ
2x + 2y = 0
3x + 3y = 0.
ÓÐ Ô×ØôÒÓÙÑ Ø ØÓ × ÒÓÐÓ ØÛÒ Ð × ÛÒ Ò ØÓ {(x, −x) | x ∈
R}º ³ Ö ×Ø Ò ÓØÑ λ = −1 ÒØ×ØÓÕÓ Ò Ø Ó Ò ×Ñ Ø (x, −x)¸
ÔÓÙ x ∈ R − {0}º
³ ×ØÛ λ = 4º Ì Ø ØÓ × ×Ø Ñ ´¾µ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ ØÓ
−3x + 2y = 0
3x − 2y = 0.
ÓÐ Ô×ØôÒÓÙÑ Ø ØÓ× ÒÓÐÓØÛÒÐ × ÛÒ Ò ØÓ x, 3
2x | x ∈ R º
³ Ö ×Ø Ò ÓØÑ λ = 4 ÒØ×ØÓÕÓ Ò Ø Ó Ò ×Ñ Ø x, 3
2 x ¸ ÔÓÙ
x ∈ R − {0}º
¾º  ÛÖÓ Ñ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2 → R2¸ f(x, y) = (−y, x)º Â
ÜÓÙÑ Ø ÙØ Ò Õ ÓØÑ º
ÈÖ Ñ Ø¸ ×ØÛ λ ∈ R v = (x, y) ∈ R2¸ Ø ØÓ ô×Ø f(v) = λvº Ì Ø
(−y, x) = λ(x, y) ÔÓÑ ÒÛ ÕÓÙÑ ØÓ ÓÑÓ Ò Ö ÑÑ × ×Ø Ñ
λx + y = 0
−x + λy = 0.
λ ∈ R¸ ÕÓÙÑ det
λ 1
−1 λ
= λ2 + 1 = 0º ÔÓÑ ÒÛ ØÓ
× ×Ø Ñ Õ Ñ ÒÓ Ø Ñ Ò Ð × ¸ (x, y) = (0, 0)º Ô Ø Ó Ò ¹
×Ñ Ø Ò Ñ Ñ Ò × Ñ ÛÒ Ñ ØÓÒ ÓÖ×Ñ ¸ ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø f Ò
Õ ÓØÑ Ó Ò ×Ñ Ø º
¿º ËØÓÒ ÇÖ×Ñ ¾º½º½ Ò Ô ØÓ Ñ Ò Ò Ó V Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø × º
³ Ò ×Õ Ø Ô Ö Ñ Ò ØÓ Ü º
38. ¿¾ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
³ ×ØÛ C∞(R, R) Ó ÔÖ Ñ Ø ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ ×ÙÒ ÖØ × ÛÒ g :
R → R ÔÓÙ ÕÓÙÒ Ô Ö ô ÓÙ ÓÔÓ × ÔÓØ Ø Ü º ´ÍÔ Ò ÙÑ ÞÓÙÑ Ø
ÔÖ × × ×ØÓÕ ÛÒ ØÓÙ C∞(R, R) Ò ×ÙÒ ÔÖ × × ÔÖ Ñ Ø ôÒ
×ÙÒ ÖØ × ÛÒ ØÓ Ò Ñ ÒÓ Ò α ∈ R Ñ Ò g ∈ C∞(R, R) Ò ØÓ
× Ò Ò Ñ ÒÓ αg ÔÖ Ñ Ø Ó Ö ÑÓ Ñ ÔÖ Ñ Ø ×ÙÒ ÖØ × µº À
Ô Ò×
d : C∞
(R, R) −→ C∞
(R, R), g −→ g
ÔÓÙ g ×ÙÑ ÓÐ Þ Ø Ò Ô Ö Û Ó Ø g¸ Ò Ö ÑÑ º ³ ×ØÛ λ ∈ Rº
Ô Ô Ö Û Ó Ø Ø ×ÙÒ ÖØ × eλx Ò λeλx¸ Ð
d(eλx
) = λeλx
,
×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø λ ∈ R Ò ÓØÑ Ø d Ò Ó ÒÙ×Ñ ÔÓÙ
ÒØ×ØÓÕ ×Ø λ Ò ×ÙÒ ÖØ × eλxº
È Ö Ø Ö × º ËØÓ Ø ÖÓ Ô Ø ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ñ Ø Ô×Øô× Ñ
Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2 → R2¸ f(x, y) = (−y, x)¸ Ò Õ ÓØÑ º Â
ô×ÓÙÑ ô Ñ “ ÛÑ ØÖ ÖÑ Ò ” ÙØÓ ØÓÙ ÓÒ ØÓ º ÛÑ ØÖ ¸ f
Ô Ö×Ø Ò Ñ ×ØÖÓ ×ØÓ Ô Ô Ó Ø ÛÒ 90◦ ´ к Ì ÑÓ ¸ È Ö Ñ
º½º¿ µº ÔÓÑ ÒÛ Ò Ò Ö Ø Ò ÙÔ ÖÕ Ù W ØÓÙ ÔÔ ÓÙ ÔÓÙ Ò
ÖÕ Ø Ô Ø Ò ÖÕ ØÛÒ Ü ÒÛÒ Ò Ô ÓÒ Þ Ø ×ØÓÒ ÙØ Ø Ñ ×Û Ø
fº Å ÐÐ Ð ¸ Ò ÙÔ ÖÕ ÙÔ ÕÛÖÓ W ØÓÙ R2 Ñ dim W = 1 Ø ØÓÓ ô×Ø
f(W) ⊆ Wº Ò ÑÛ ÙÔ ÖÕ Ó ÒÙ×Ñ v Ø f¸ Ø Ø Õ Ñ f(v) = λv
(λ ∈ R) ÔÓÑ ÒÛ ØÓÒØ W =< v > Õ Ñ dim W = 1 f(W) ⊆
Wº
³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F f : V → V Ñ Ö ÑÑ
Ô Ò× º Ò ØÓ λ ∈ F Ò Ñ ÓØÑ Ø f¸ Ø Ø ÙÔ ÖÕ Ñ Ñ Ò
v ∈ V Ø ØÓÓ ô×Ø f(v) = λv¸ Ð (f − λ1V )(v) = 0¸ ÔÓÙ 1V : V → V
Ò Ø ÙØÓØ Ô Ò× º ËÙÒ Ôô Ó ÔÙÖ Ò Ø Ö ÑÑ Ô Ò×
f − λ1V : V → V Ò Ñ Ø ØÖÑÑ ÒÓ ¸ ker(f − λ1V ) = {0}º
ÒØ×ØÖÓ ¸ Ò ØÓ λ ∈ F Ò Ø ØÓÓ ô×Ø ker(f −λ1V ) = {0}¸ Ø Ø ÙÔ ÖÕ
Ñ Ñ Ò v ∈ ker(f −λ1V ) Ñ (f −λ1V )(v) = 0¸ Ð f(v) = λvº ËÙÒ Ôô
ØÓ λ Ò Ñ ÓØÑ Ø fº
³ Ö ÕÓÙÑ ØÓ Ü ÔÓØ Ð ×Ñ º
ÈÖ Ø × ¾º½º¿º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô ØÓÙ F f : V → V
Ñ Ö ÑÑ Ô Ò × º ³ ×ØÛ λ ∈ Fº Ç ÐÓÙ Ø Ø Ò ×Ó Ò Ñ º
(i) ÌÓ λ Ò Ñ ÓØ Ñ Ø fº
(ii) ker(f − λ1V ) = {0}º
39. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿¿
³ ×ØÛ λ Ñ ÓØÑ Ø fº Ç ÙÔ ÕÛÖÓ ker(f − λ1V ) ØÓÙ V ÓÒÓÑ Þ Ø Ó
ÕÛÖÓ Ø f ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕ ×Ø λº ËÙÒ Û ×ÙÑ ÓÐ Þ Ø Ñ V (λ)º
È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ØÓ × ÒÓÐÓ ØÛÒ Ó ÒÙ×Ñ ØÛÒ Ø f ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕÓ Ò ×Ø Ò
ÓØÑ λ Ò ØÓ V (λ) − {0}º
ÈÒ
ÒÛÖ ÞÓÙÑ Ø Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ× f : V → W Ñ Ø Ü ÒÙ×Ñ Ø ôÒ
ÕôÖÛÒ Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø × Ò Ô Ö×Ø ÒØ Ô ÔÒ º ËØ ×ÙÒ Õ ¹
Ü Ø ×ÓÙÑ ÔÛ ÑÔÓÖÓ Ò Ò ÙÔÓÐÓ × Ó Ò Ó ÓØÑ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò×
f : V → V Ñ Ø Ó ÔÒ ÛÒº ÈÖôØ ¸ ÑÛ ¸ ÙÑ Ó Ñ Ø Ò ÒØ×ØÓÕ
Ö ÑÑ ôÒ Ô ÓÒ× ÛÒ Ø ÑÓÖ f : V → V ÔÒ ÛÒ ´ к Ì ÑÓ ¸
Ã Ð Ó µº
³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø × Ô ØÓÙ F
f : V → V Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× º ³ ×ØÛ ˆα = (α1, . . . , αν) Ñ Ø Ø Ñ Ò
× ØÓÙV º Ì Ø i = 1, . . . , ν ÙÔ ÖÕÓÙÒÑÓÒ xji ∈ F¸ j = 1, . . . , ν
Ø ØÓ ô×Ø
f(αi) = x1iα1 + x2iα2 + · · · + xνiαν.
 ÛÖÓ Ñ ØÓÒ ÔÒ A ∈ Fν×ν ØÓÙ ÓÔÓÓÙ i¹×Ø Ð Ò
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
x1i
x2i
ººº
xνi
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
Ç ÔÒ A Ð Ø Ó ÔÒ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f Û ÔÖÓ Ø Ø Ø ¹
Ñ Ò × ˆα ×ÙÑ ÓÐ Þ Ø Ñ (f : ˆα, ˆα) ÔÓ ÔÐ Ñ (f : ˆα)º ËÙÕÒ Ð Ñ Ø
Ö ÑÑ Ô Ò× f Ò Ô Ö ×Ø Ø Ô ØÓÒ A¸ Ø Ó A ÒØ ×ØÓ Õ
×Ø Ò fº
³ ×ØÛ ˆα ˆβ Ó Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V º Ì Ø ÓÖ ÞÓÒØ Ó ÔÒ
(f : ˆα, ˆα) (f : ˆβ, ˆβ)º ÖÓÙÑ Ø ÙÔ ÖÕ ÒØ×ØÖ ÝÑÓ ÔÒ P Ø ØÓÓ
ô×Ø
(f : ˆβ, ˆβ) = P−1
(f : ˆα, ˆα)P. (3)
³ Ò Ø ØÓÓ P Ò Ó ÔÒ (1V : ˆβ, ˆα) ÐÐ × Ô Ø Ò ˆβ ×Ø Ò ˆα
´ к Ì ÑÓ ¸ × Ð ¾½ µº ÍÔ Ò ÙÑ ÞÓÙÑ Ø Ó (1V : ˆβ, ˆα) ÓÖ Þ Ø Û Ü
i¹×Ø Ð ØÓÙ (1V : ˆβ, ˆα) Ò
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
y1i
y2i
ººº
yνi
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
40. ¿ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
ÔÓÙ βi = y1iα1 + y2iα2 + · · · + yνiανº
È Ö Ñ ¾º½º º  ÛÖÓ Ñ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2 → R2¸f(x, y) =
(3x + y, 2x + 4)¸ Ø Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ R2
ˆα = (α1 = (1, 0), α2 = (0, 1))
ˆβ = (β1 = (1, 1), β2 = (1, −1)).
³ ÕÓÙÑ f(α1) = (3, 2) = 3α1 + 2α2 f(α2) = (1, 4) = 1α1 + 4α2º ³ Ö
(f; ˆα, ˆα) =
3 1
2 4
.
Ô× ÕÓÙÑ f(β1) = (4, 6) = 5β1 + (−1)β2 f(β2) = (2, −2) = 0β1 + 2β2º
³ Ö (f; ˆβ, ˆβ) =
5 0
−1 2
º Ô Ø ×Õ × β1 = α1 + α2¸ β2 = α1 − α2
ÔÖÓ ÔØ Ø
(1V : ˆβ, ˆα) =
1 1
1 −1
.
È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø
5 0
−1 2
=
1 1
1 −1
−1
3 1
2 4
1 1
1 −1
× Ñ ÛÒ Ñ Ø ×Õ × ´¿µº
ÍÔ Ò ÙÑ ÞÓÙÑ Ø Ó ÔÒ ØÓÙ ÖÓ×Ñ ØÓ Ó Ö ÑÑ ôÒ Ô ÓÒ× ÛÒ
×Ó Ø Ñ ØÓ ÖÓ×Ñ ØÛÒ ÒØ×ØÓÕÛÒ ÔÒ ÛÒ Ó ÔÒ Ø × Ò ×
Ó Ö ÑÑ ôÒ Ô ÓÒ× ÛÒ ×Ó Ø Ñ ØÓ Ò Ñ ÒÓ ØÛÒ ÒØ×ØÓÕÛÒ ÔÒ Û¹
Òº Ð Ò f, g : V → V Ò Ó Ö ÑÑ Ô ÓÒ× ˆα Ò Ñ
Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V ¸ Ø Ø
(f + g : ˆα) = (f : ˆα) + (g : ˆα)
(f ◦ g : ˆα) = (f : ˆα)(g : ˆα).
Ô× ¸ Ò µ ∈ F¸ Ø Ø
(µf : ˆα) = µ(f : ˆα).
´ Ø ÔÓ Ü ØÛÒ Ô Ö Ô ÒÛ Ðº Ì ÑÓ ¸  ôÖ Ñ º½º  ôÖ Ñ
º½º µº
41. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿
ÈÖ Ø × ¾º½º º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø ×
Ô ØÓÙ F¸ ˆα Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V f : V → V Ñ Ö ÑÑ Ô ¹
Ò × º Ò ϕ(x) ∈ F[x] Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ¸ Ø Ø Ó Ô Ò Ø Ö ÑÑ Ô ¹
Ò × ϕ(f) Û ÔÖÓ Ø Ø Ø Ñ Ò × ˆα Ò Ó ϕ(A)¸ ÔÓÙ A = (f : ˆα)¸
Ð (ϕ(f) : ˆα) = ϕ(A)º
Ô Ü º ³ ×ØÛ Ø ϕ(x) = anxn + · · · + a1x + a0º Ì Ø ϕ(f) = anfn + · · · +
a1f + a01V º ÉÖ ×ÑÓÔÓôÒØ Ø ØÖ ×Õ × ÔÓÙ Ò Ö Ñ ÔÖÒ Ô Ø Ò
ÔÖ Ø × ÕÓÙÑ
(ϕ(f) : ˆα) = (anfn
: ˆα) + · · · + (a1f : ˆα) + (a01V : ˆα)
= an(fn
: ˆα) + · · · + a1(f : ˆα) + a0(1V : ˆα)
= an(f : ˆα) + · · · + a1(f : ˆα) + a0(1V : ˆα)
= anAn
+ · · · + a1A + a0Iν
= ϕ(A),
ÔÓÙ Iν Ò Ó ν × ν Ø ÙØÓØ ÔÒ ¸ ν = dim V º
Ô Ö Ñ ¸ Ò Ó ÔÒ Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2 → R2 Û
ÔÖÓ Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ R2 Ò Ó A =
3 1
2 4
¸ Ø Ø Ó ÔÒ Ø
2f2 − 3f + 1V Û ÔÖÓ Ø Ò × Ò Ó 2A2 − 3A + I2 =
14 10
22 25
º
Ô×ØÖ ÓÙÑ ØôÖ ×Ø Ñ Ð Ø ÓØÑôÒº ÌÓ Ô Ñ ÒÓ ÔÓØ Ð ×Ñ Ô Ö Ö
Ñ × Ò × Ñ Ø Ü Ö ÑÑ ôÒ Ô ÓÒ× ÛÒ¸ ÓØÑôÒ ÔÒ ÛÒ ÔÓÙ Ò
Ø Ö ÕÖ ×Ñ º ËÙÕÒ ×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ ØÓÒ Ø ÙØÓØ ν × ν ÔÒ Iν Ñ I
Ø Ò Ò × ÔÓÓ Ò ØÓ νº
ÈÖ Ø × ¾º½º º ³ ×ØÛ V Ò ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ Ô Ô Ö ×Ñ Ò ×Ø ×
Ô ØÓÙ F¸ ˆα Ñ Ø Ø Ñ Ò × ØÓÙ V f : V → V Ñ Ö ÑÑ Ô ¹
Ò × º ³ ×ØÛ A = (f : ˆα) λ ∈ Fº Ç ÐÓÙ Ø Ø Ò ×Ó Ò Ñ º
i) ÌÓ λ Ò Ñ ÓØ Ñ Ø fº
ii) det(A − λI) = 0º
Ô Ü º Ô Ø Ò ÈÖ Ø × ¾º½º¿ ÕÓÙÑ Ø
λ Ò ÓØÑ Ø f ⇔ ker(f − λ1V ) = {0}.
Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f − λ1V : V → V ÒÛÖ ÞÓÙÑ Ø ´ к Ì ÑÓ ¸
 ôÖ Ñ º¿º¿µ
ker(f − λ1V ) = {0} ⇐⇒ f − λ1V Ò Ò ×ÓÑÓÖ ×Ñ .
42. ¿ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
Ô ØÓ Â ôÖ Ñ º½º½¿ ØÓÙ ÕÓÙÑ
f − λ1V Ò Ò ×ÓÑÓÖ ×Ñ ⇐⇒ (f − λ1V : ˆα) Ò Ò ÒØ×ØÖ ÝÑÓ .
Á×Õ (f − λ1V : ˆα) = A − λI × Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÈÖ Ø × ¾º½º º Ô Ò
Ø ØÖ ÛÒ ÔÒ Ò ÒØ×ØÖ ÝÑÓ Ò Ñ ÒÓ Ò ÓÖ ÞÓÙ× ØÓÙ Ò Ñ
Ñ Ò ¸ Ô Ø Ô Ö Ô ÒÛ ×Ó ÙÒ Ñ ÔÖÓ ÔØ Ø ØÓ λ Ò Ñ ÓØÑ Ø
f Ò Ñ ÒÓ Ò det(A − λI) = {0}º
Ë Ñ ÛÒ Ñ Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò ÔÖ Ø × ¸ Ò ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ Ø ÓØÑ
Ñ Ö ÑÑ Ô Ò× f ÑÔÓÖÓ Ñ Ò ÙÔÓÐÓ ×ÓÙÑ Ø λ Ô Ø Ò Ü×Û×
det(A−λI) = 0¸ ÔÓÙ A Ò Ó ÔÒ Ø f Û ÔÖÓ ÓÔÓ ÔÓØ Ø Ø Ñ Ò
× ØÓÙ V º Ó Ñ Ñ Ö Ô Ö Ñ Ø º
È Ö Ñ Ø ¾º½º º
½º  ÛÖÓ Ñ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2 → R2¸ f(x, y) = (x+2y, 3x+2y)
ÔÓÙ Ñ ×ØÓ È Ö Ñ ¾º½º¾ ½º Ç ÔÒ Ø f Û ÔÖÓ Ø Ò ÒÓÒ
× ((1, 0), (0, 1)) ØÓÙ R2 Ò Ó A =
1 2
3 2
º ³ ÕÓÙÑ det(A−λI) =
det
1 − λ 2
3 2 − λ
= λ2 − 3λ − 4º Ô Ø Ò ÈÖ Ø × ¾º½º ¸ ØÓ λ Ò
ÓØÑ Ø f Ò Ñ ÒÓ Ò λ2 −3λ−4 = 0º ³ Ö Ó ÓØÑ Ò λ = −1
λ = 4º
¾º ³ ×ØÛ f : R3 → R3¸ f(x, y, z) = (4x, 2y − 5z, y − 2z)º Ç ÔÒ Ø f Û
ÔÖÓ Ø Ò ÒÓÒ × ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1)) ØÓÙ R3 Ò Ó
A =
⎛
⎝
4 0 0
0 2 −5
0 1 −2
⎞
⎠ ∈ R3×3
.
³ ÕÓÙÑ
det(A − λI) = det
⎛
⎝
4 − λ 0 0
0 2 − λ −5
0 1 −2 − λ
⎞
⎠
= (4 − λ)(−(2 − λ)(2 + λ) + 5)
= (4 − λ)(λ2
+ 1).
ËÙÒ Ôô Ó ÓØÑ Ø f Ò Ó ÔÖ Ñ Ø Ð × Ø Ü×Û×
(4 − λ)(λ2 + 1) = 0º ³ Ö ÙÔ ÖÕ ÑÓÒ ÓØÑ ¸ λ = 4º
43. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿
¿º  ÛÖÓ Ñ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : C3 → C3¸ f(x, y, z) = (4x, 2y −
5z, y − 2z)º ô ÕÓÙÑ F = Cº ´Ë ÖÒ Ñ ØÓ ÔÖÓ Ó Ñ ÒÓ Ô Ö ¹
Ñ µº ÇÔÒ Ø f Û ÔÖÓ Ø Ò ÒÓÒ × ((1, 0, 0), (0, 1, 0), (0, 0, 1))
ØÓÙ C3 Ò Ó
A =
⎛
⎝
4 0 0
0 2 −5
0 1 −2
⎞
⎠ ∈ C3×3
.
ËØÓÔÖÓ Ó Ñ ÒÓÔ Ö Ñ ¸ Ñ Ø det(A−λI) = (4−λ)(λ2+1)º ËØÓ
Ô Ö Ò Ô Ö Ñ Ó ÓØÑ Ø f Ò Ó Ñ Ð × Ø Ü×Û×
(4 − λ)(λ2 + 1) = 0º ³ Ö ÙÔ ÖÕÓÙÒ ØÖ ÓØÑ ¸ λ = 4¸ λ = i¸ λ = −iº
º ³ ×ØÛ R2[x] Ó ÔÖ Ñ Ø ÒÙ×Ñ Ø ÕôÖÓ ØÛÒ ÔÓÐÙÛÒ ÑÛÒ ÑÓ
ØÓ ÔÓÐ ¾º  ÖÓ Ñ Ø ÓØÑ Ø Ö ÑÑ Ô Ò× f : R2[x] →
R2[x]¸ f(ϕ(x)) = ϕ(x) + (x + 1)ϕ (x)º ÔÐ ÓÙÑ Ø Ø Ø Ñ Ò ×
ˆα = (1, x, x2) ØÓÙ R2[x]º ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø Ó ÒØ×ØÓÕÓ ÔÒ Ø
f Ò Ó
A =
⎛
⎝
1 1 0
0 2 2
0 0 3
⎞
⎠ .
Ô ÕÓÙÑ
det(A − λI) = det
⎛
⎝
1 − λ 1 0
0 2 − λ 2
0 0 3 − λ
⎞
⎠ = (1 − λ)(2 − λ)(3 − λ),
×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø Ó ÓØÑ Ø f Ò Ó 1, 2, 3º
Á ÓØ Ñ Ó Ò ×Ñ Ø Ô Ò ÛÒ
³ ×ØÛ A Ò ν × ν ÔÒ Ñ ×ØÓÕ Ô ØÓ Fº À Ô Ò×
γA : Fν×1
−→ Fν×1
, γA(X) = AX
Ò Ö ÑÑ º Òλ ∈ F Ò Ñ ÓØÑ Ø γA X ∈ Fν×1 Ò Ó ÒÙ×Ñ
ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕ ×Ø λ¸ Ø Ø ÕÓÙÑ
AX = λX.
ÇÖ ×Ñ ¾º½º º ³ ×ØÛ A ∈ Fν×νº Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ λ ∈ F X ∈ Fν×1 Ñ
X = 0¸ Ø ØÓ ô×Ø AX = λX¸ Ð Ñ Ø ØÓ λ Ò Ñ ÓØ Ñ ØÓÙ Ô Ò
A ØÓ X Ò Ó ÒÙ×Ñ ØÓÙ Ô Ò A ÔÓÙ ÒØ ×ØÓ Õ ×Ø Ò ÓØ Ñ λº
44. ¿ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
ÈÖ Ø × ¾º½º º ³ ×ØÛ λ ∈ F A ∈ Fν×νº Ç ÐÓÙ Ø Ø Ò
×Ó Ò Ñ
i) ÌÓ λ Ò Ñ ÓØ Ñ ØÓÙ Aº
ii) ÍÔ ÖÕ X ∈ Fν×1¸ X = 0¸ Ø ØÓ Ó ô×Ø (A − λI)X = 0º
iii) det(A − λI) = 0º
Ô Ü º i)⇔ii) Ò ÔÖÓ Ò Ø AX = λX Ò Ñ ÒÓ Ò (A − λI)X = 0º
ii)⇔iii) Ò ÒÛ×Ø Ø Ò Ö ÑÑ ÓÑÓ Ò Ø ØÖ ÛÒ × ×Ø Ñ Õ Ñ
Ñ Ò Ð × Ò Ñ ÒÓ Ò ÓÖ ÞÓÙ× ØÛÒ ×ÙÒØ Ð ×ØôÒ Ò × Ñ Ñ Ò
´ к È Ö×Ñ º½º µº ³ Ö ÙÔ ÖÕ X = 0 Ñ (A − λI)X = 0 Ò Ñ ÒÓ Ò
det(A − λI) = 0º
È Ö Ñ Ø ¾º½º½¼º
½º Æ Ö Ó Ò Ó ÓØÑ Ø Ó Ò ×Ñ Ø ØÓÙ ÔÒ A =
1 −1
2 −1
Ø Ò ÙØ ÛÖ Û ×ØÓÕ Ó ØÓÙ
i) R2×2 ii) C2×2º
i) Ü Ø ÞÓÙÑ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ λ ∈ R Ø ØÓ ô×Ø det(A − λI) = 0º ³ ÕÓÙÑ
det(A − λI) = det
1 − λ −1
2 −1 − λ
= λ2 + 1º ËÙÒ Ôô Û ×ØÓÕ Ó
ØÓÙ R2×2 Ó A Ò Õ ÓØÑ Ó Ò ×Ñ Ø º
ii) Ü Ø ÞÓÙÑ Ò ÙÔ ÖÕÓÙÒ λ ∈ C Ø ØÓ ô×Ø det(A − λI) = 0º Ô
det(A − λI) = λ2 + 1¸ Ó ÓØÑ Ò i −iº Â ÔÖÓ× ÓÖ×ÓÙÑ ØôÖ
Ø ÒØ×ØÓÕ Ó Ò ×Ñ Ø º
λ = i ÔÐ ÓÙÑ ØÓ × ×Ø Ñ (A − λI)X = 0¸ ÔÓÙ X =
x
y
¸ Ð
ØÓ
(1 − i)x − y = 0
2x − (1 + i)y + 0.
ÓÐ Ð ÔÓÙÑ Ø ÙØ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ Ø Ò Ü×Û×
(1 − i)x − y = 0
Ø ÓÔÓ Ó Ð × Ò Ó (x, (1 − i)x)¸ x ∈ Cº ³ Ö Ø ÒØ×ØÓÕ
Ó Ò ×Ñ Ø Ò Ø x
(1 − i)x
¸ ÔÓÙ x ∈ C − {0}º
45. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿
λ = −i¸ ØÓ × ×Ø Ñ (A − λI)X = 0 Ò ØÓ
(i + 1)x − y = 0
2x + (i − 1)y = 0
ÔÓÙ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ Ø Ò Ü×Û×
(i + 1)x − y = 0.
³ Ö Ø ÒØ×ØÓÕ Ó Ò ×Ñ Ø Ò Ø x
(i + 1)x
¸ ÔÓÙ x ∈ C − {0}º
¾º Æ Ö Ó Ò Ó ÓØÑ Ø Ó Ò ×Ñ Ø ØÓÙ A ∈ R3×3¸ ÔÓÙ
A =
⎛
⎝
2 1 0
0 1 −1
0 2 4
⎞
⎠ .
³ ÕÓÙÑ
det(A − λI) = det
⎛
⎝
2 − λ 1 0
0 1 − λ −1
0 2 4 − λ
⎞
⎠
= (2 − λ)((1 − λ)(4 − λ) + 2) = (2 − λ)2
(3 − λ).
³ Ö Ó ÓØÑ ØÓÙ A Ò Ó λ = 2¸ λ = 3º Â ÔÖÓ× ÓÖ×ÓÙÑ ØôÖ Ø
ÒØ×ØÓÕ Ó Ò ×Ñ Ø ÔÐ ÓÒØ ØÓ × ×Ø Ñ (A−λI)X = 0
Ñ Ô Ø Ó ÓØÑ º
λ = 2¸ ØÓ × ×Ø Ñ (A − λI)X = 0¸ ÔÓÙ X =
⎛
⎝
x
y
z
⎞
⎠¸ Ò ØÓ
y = 0
−y − z = 0
2y + 2z = 0
ÔÓÙ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ ØÓ
y = 0
y + z = 0.
46. ¼ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
Ç Ð × ØÓÙ ×Ù×Ø Ñ ØÓ Ò (x, 0, 0)¸ x ∈ Rº ³ Ö Ø Ó Ò ×Ñ Ø
ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕÓ Ò ×Ø Ò ÓØÑ λ = 2 Ò Ø
⎛
⎝
x
0
0
⎞
⎠¸ x ∈ R − {0}º
λ = 3 ØÓ × ×Ø Ñ (A − λI)X = 0 Ò ØÓ
−x + y = 0
−2y − z = 0
2y + z = 0
ÔÓÙ Ò ×Ó Ò ÑÓ Ñ ØÓ
x − y = 0
2y + z = 0.
Ç Ð × ØÓÙ ×Ù×Ø Ñ ØÓ ÙØÓ Ò Ó (x, x, −2x)¸ x ∈ Rº ³ Ö Ø
Ó Ò ×Ñ Ø ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕÓ Ò ×Ø Ò ÓØÑ λ = 3 Ò Ø
⎛
⎝
x
x
−2x
⎞
⎠¸
x ∈ R − {0}º
¿º ³ ×ØÛ A ∈ Fν×ν Ò ÔÒ ϕ(x) ∈ F[x] Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓº Ò ØÓ
λ ∈ F Ò Ñ ÓØÑ ØÓÙ A X ∈ Fν×1 Ò Ó ÒÙ×Ñ ØÓÙ A ÔÓÙ
ÒØ×ØÓÕ ×Ø λ¸ Ø Ø ØÓ ϕ(λ) Ò Ñ ÓØÑ ØÓÙ ϕ(A) ØÓ X Ò
Ó ÒÙ×Ñ ØÓÙ ϕ(A) ÔÓÙ ÒØ×ØÓÕ ×Ø ϕ(λ)º
ÈÖ Ñ Ø¸ Ò ØÓ λ Ò ÓØÑ ØÓÙ A Ø Ø ÙÔ ÖÕ X ∈ Fν×1¸ X = 0¸
Ñ AX = λXº ÔÓÑ ÒÛ A2X = A(AX) = A(λX) = λAX = λ2Xº
Å Ô Û ÓÐ ÔÖÓ ÔØ Ø AmX = λmX m = 1, 2, . . .º
ÌôÖ Ò ϕ(x) = anxn + · · · + a1x + a0¸ ÕÓÙÑ
ϕ(A)X = (anAn
+ · · · + a1A + a0I)X
= anAn
X + · · · + a1AX + a0IX
= anλn
X + · · · + a1λX + a0X
= (anλn
+ · · · + a1λ + a0)X
= ϕ(λ)X
³ Ö ØÓ ϕ(λ) Ò Ñ ÓØÑ ØÓÙ ϕ(A) ØÓ X Ò Ò ÒØ×ØÓÕÓ
Ó ÒÙ×Ñ º
47. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ½
ÈÒ Ñ ×ØÓ Õ ÔÓÐÙôÒÙÑ
ÈÖÒ ÔÖÓÕÛÖ ×ÓÙÑ ×Ø Ò Ô Ñ Ò × Ñ ÒØ ÒÒÓ ´Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙô¹
ÒÙÑÓµ ÕÖ ×Ø Ò Ò Ö Ó Ñ × ÔÒ Ø ×ØÓÕ ØÛÒ ÓÔÓ ÛÒ Ò
ÔÓÐÙôÒÙÑ º
³ ×ØÛA = (ϕij(x)) B = (ψij(x)) Óν×ν ÔÒ ¸ ÔÓÙϕij(x), ψij(x) ∈
F[x]¸ Ð Ø ×ØÓÕ ØÛÒ A B Ò ÔÓÐÙôÒÙÑ Ñ ×ÙÒØ Ð ×Ø Ô ØÓ
Fº ÌÓ ÖÓ×Ñ A + B ØÛÒ A B¸ ØÓ Ò Ñ ÒÓ AB ØÛÒ A B ØÓ
Ò Ñ ÒÓ ψ(x)(A) Ò ψ(x) ∈ F[x] Ñ ØÓ A ÓÖ ÞÓÒØ Ø Ô Ö ÑÓÓ ØÖ ÔÓ
Ñ ÙØ Ò ÔÓÙ Ñ ×ØÓ Ã Ð Ó ¾ ØÓÙ Ø ÑÓÙ º ËÙ ÖÑ Ò ÕÓÙÑ A +
B = (ϕij(x) + ψij(x))¸ AB = (χij(x))¸ ÔÓÙ χij(x) =
k
ϕik(x)ψkj(x)
ψ(x)A = (ψ(x)ϕij(x))º
Ç Ø Ø ØÓÙ ÖÓ×Ñ ØÓ A + B¸ ØÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ AB ØÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ
ψ(x)A Ò ψ(x) ∈ F[x] Ñ ØÓ A¸ ÔÓÙ Ó A B Ò ν × ν ÔÒ Ñ
×ØÓÕ Ô ØÓ × ÒÓÐÓ F[x]¸ Ò Ô Ö ÑÓ Ñ Ø Ø Ø ØÓÙ ÖÓ×Ñ ØÓ ¸
ØÓÙ ÒÓÑ ÒÓÙ ØÓÙ ÑÛØÓ ÒÓÑ ÒÓÙ ÔÒ ÛÒ Ñ ×ØÓÕ Ô ØÓ F¸ Ø
ÓÔÓ Ñ Ð Ø × Ñ ×Ø È Ö Ö ÓÙ ¾º¿ ¾º ØÓÙ Aº Ç ÔÓ Ü ÙØôÒ
Ò ÖÓÙÒ Ô Ø ÒØ×ØÓÕ ÔÓ Ü ØÛÒ ÓØ ØÛÒ ÔÓÙ ×Õ ÓÙÒ ×ØÓ
Fν×νº
³ ×ØÛ ØôÖ A = (ϕij(x)) Ò ν × ν ÔÒ Ñ ×ØÓÕ Ô ØÓ F[x]º À
ÓÖ ÞÓÙ× ØÓÙ A ÓÖ Þ Ø Ô Û Û Ü Ò ν = 1 Ø Ø det A = ϕ11(x)º
³ ×ØÛ ν > 1º Å Aij ×ÙÑ ÓÐ ÞÓÙÑ ØÓÒ (ν − 1) × (ν − 1) ÔÒ ÔÓÙ ÔÖÓ ÔØ
Ô ØÓÒ A Ø Ò Ô Ö Ð ÝÓÙÑ Ø i Ö ÑÑ Ø j ×Ø Ð º
Ì Ø det A = ϕ11(x) det A11 − ϕ21(x) det A21 + · · · + (−1)ν+1ϕν1 det Aν1º
Ô Ö Ñ ¸ Ò
A =
⎛
⎝
x2 0 2
1 x x + 3
x − 1 0 x2 − 2
⎞
⎠
Ø Ø
detA =
= x2
det
x x + 3
0 x2 − 2
− det
0 2
0 x2 − 2
+ (x − 1) det
0 2
x x + 3
= x2
(x(x2
− 2) − 0) − 0 + (x − 1)(0 − 2x).
Â Ò Ö Ó Ñ ØôÖ × Ñ Ö Ø Ø ÓÖÞÓÙ×ôÒ ÔÒ ÛÒ ÔÓÙ ÕÓÙÒ
×ØÓÕ Ô ØÓ F[x]º
48. ¾ Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
³ ×ØÛ A = (ϕij(x)) Ò ν × ν ÔÒ ÔÓÙ ϕij(x) ∈ F[x]º ÔÓ Ò Ø
Ø i = 1, . . . , ν ×Õ
det A =
ν
j=1
(−1)i+j
ϕij(x) det Aij ´“ Ò ÔØÙ Ñ Û ÔÖÓ Ø Ò i Ö ÑÑ ”µ
Ô× j = 1, . . . , ν ×Õ
det A =
ν
i=1
(−1)i+j
ϕij(x) det Aij ´“ Ò ÔØÙ Ñ Û ÔÖÓ Ø Ò j ×Ø Ð ”µº
ÈÖ Ñ Ø¸ Ò ÔÓ ÜÓÙÑ Ø Ò ÔÖôØ ×Õ × ¸ ÛÖÓ Ñ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
ψi(x) = det A −
ν
j=1
(−1)i+j
ϕij(x) det Aij ∈ F[x],
Ð ØÓ det(ϕij(x))−
ν
j=1
(−1)i+jϕij(x) det(ϕ
(ij)
s,t (x))¸ ÔÓÙ ϕ
(ij)
s,t (x) = ϕs,t(x)¸
s = i¸ t = jº ÉÖ ×ÑÓÔÓôÒØ ØÓ Ò ÔØÙ Ñ ÓÖÞÓÙ×ôÒ ´Û ÔÖÓ Ø Ò i Ö ÑÑ µ
ÔÒ ÛÒ ÔÓÙ ÕÓÙÒ ×ØÓ Õ Ô ØÓ F¸ Ô Ö Ø ÖÓ Ñ Ø a ∈ F ÕÓÙÑ
ψi(a) = 0º ³ Ö ψi(x) = 0º Å Ô Ö ÑÓÓ ØÖ ÔÓ ÔÓ Ò Ø Ø Ö
×Õ × º
ÉÖ ×ÑÓÔÓôÒØ Ø Ô Ö Ô ÒÛ Ò ÔØ Ñ Ø Ø ÓÖ ÞÓÙ× Ô Û ×ØÓ
ν ÓÐ ÔÖÓ ÔØ Ø det A = det At¸ ÔÓÙ At Ò Ó Ò ×ØÖÓ Ó ØÓÙ Aº
ÒA, B Ò Óν×ν ÔÒ Ñ ×ØÓÕ Ô ØÓF[x]¸Ø Ø ×Õ det(AB) =
(det A)(det B)º ÈÖ Ñ Ø¸ ØÓÔÓÐÙôÒÙÑÓψ(x) ∈ F[x]¸ ÔÓÙψ(x) = det(AB)−
(det A)(det B)¸ ÕÓÙÑ ψ(a) = 0 a ∈ Fº ³ Ö ψ(x) = 0º
Ô× Ñ ÒÓÙÑ Ø Ò Ó B ÔÖÓ ÔØ Ô ØÓÒ A Ñ Ø Ò Ø Ð × Ñ Ô Ô ¹
Ö ×Ñ Ò ÓÐÓÙ ×ØÓÕ Û ôÒ Ñ Ø ×Õ Ñ Ø×ÑôÒ Ö ÑÑôÒ ×Ø ÐôÒ ´ к
È Ö Ö Ó ¾º µ¸ Ø Ø det B = c det A¸ ÔÓÙ c ∈ F[x]¸ c = 0º Á Ø Ö ¸ Ò
Ó ÓÐÓÙ ×ØÓÕ Û ôÒ Ñ Ø ×Õ Ñ Ø×ÑôÒ Ô ÖÐ Ñ Ò Ñ ÒÓ ÔÖ × × ÔÓй
Ð ÔÐ × ÛÒ Ö ÑÑôÒ ´ ×Ø ÐôÒµ Ø Ø det A = det Bº À Ô Ü Ò Ø × Ò
× × º
É Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ÔÒ
³ ×ØÛ A ∈ Fν×ν Ò ÔÒ º Ñ ÔÖÒ Ø Ó ÓØÑ λ ØÓÙ A ÓÖ ¹
ÞÓÒØ Ô Ø ×Õ × det(A − λI) = 0º Ò A = (aij) x Ò Ñ Ñ Ø Ð Ø ¸
49. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø ¿
Ø Ø
A − xI =
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a11 − x a12 · · · a1ν
a21 a22 − x · · · a2ν
ººº ººº ººº
aν1 aν2 · · · aνν − x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
.
À ÓÖ ÞÓÙ× det(A − xI) Ò Ò ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ×Ø Ñ Ø Ð Ø x Ñ ×ÙÒØ Ð ×Ø
Ô ØÓ Fº È Ö Ø ÖÓ Ñ Ø ØÓ λ ∈ F Ò Ñ ÓØÑ ØÓÙ A Ò Ñ ÒÓ Ò
Ò Ö Þ ØÓÙ det(A − xI)º
ÇÖ ×Ñ ¾º½º½½º ³ ×ØÛ A ∈ Fν×νº ÌÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ det(A − xI) ÓÒÓÑ Þ Ø
ØÓ Õ Ö Ø Ö ×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ A ×ÙÑ ÓÐ Þ Ø Ñ χA(x)º
Ô Ö Ñ ¸ ØÓ Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ A ∈ R2×2¸ ÔÓÙ A =
2 3
1 1
¸ Ò
χA(x) = det(A − xI)
= det
2 − x 3
1 1 − x
= x2
− 3x − 1.
ÌÓ Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ B ∈ R3×3¸ ÔÓÙ
B =
⎛
⎝
−1 −3 0
2 −2 1
−4 0 2
⎞
⎠
Ò
χB(x) = det(B − xI)
= det
⎛
⎝
−1 − x −3 0
2 −2 − x 1
−4 0 2 − x
⎞
⎠
= −x3
+ x2
− 2x − 28.
³ ×ØÛ A ∈ Rν×νº Ò Ò Ö Ø ØÓ Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ ÔÒ
Ø Ò ÛÖ ×ÓÙÑ ÙØ Ò Û ×ØÓÕ Ó ØÓÙ Rν×ν Ø ÙØ Þ Ø Ñ Ó Õ Ö Ø Ö×Ø
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ ÔÒ A Ø Ò ÛÖ ×ÓÙÑ ÙØ Ò Û ×ØÓÕ Ó ØÓÙ Cν×νº
50. Ã Ð Ó ¾º Á ÓØ Ñ ÛÒ × Ñ Ø Ø
È Ö Ø Ö × º
½º ³ ×ØÛ B = (ϕij(x)) Ò ν × ν ÔÒ Ñ ×ØÓÕ Ô ØÓ F[x]º ÉÖ ×¹
ÑÓÔÓôÒØ Ô Û ×ØÓ ν ØÓ Ò ÔØÙ Ñ Ø ÓÖ ÞÓÙ× Û ÔÖÓ Ø Ò
ÔÖôØ Ö ÑÑ ÔÓ Ò Ø Ø det B = ±ϕ1σ(1)(x) · · · ϕνσ(ν)(x)¸ ÔÓÙ
ØÓ σ ØÖ Õ Ø Ñ Ø × ØÛÒ 1, 2, . . . νº ÔÔÐ ÓÒ Ó ×ÙÒØ Ð ×Ø ØÓÙ
ϕ11(x) · · · ϕνν(x) Ò +1º
ÈÖ Ñ Ø¸ j = 1, 2, . . . , ν ØÓÙÑ Xj = {σ ∈ Sν | σ(1) = j}º
Ì Ø ÕÓÙÑ Ø Ü Ò ÒÛ× ½ Sν = X1∪X2∪. . .∪Xνº Â ÔÓ ÜÓÙÑ ØÓÙ
×ÕÙÖ×ÑÓ Ñ Ñ Ô Û ×ØÓ νº À Ô Ö ÔØÛ× ν = 1 Ò ÔÖÓ Ò º
³ ×ØÛ ν > 1 ×ØÛ Ø Ð ÓÙÒÓ ×ÕÙÖ×ÑÓ (ν−1)×(ν−1)
ÔÒ º ÉÖ ×ÑÓÔÓôÒØ ØÓ Ò ÔØÙ Ñ Û ÔÖÓ Ø Ò ÔÖôØ Ö ÑÑ Ø Ò
ÙÔ × Ø Ô Û ÕÓÙÑ
det B =
ν
j=1
(−1)i+j
ϕ1j(x) det B1j
=
ν
j=1
(−1)i+j
ϕ1j(x)
⎛
⎝
σ∈Xj
±ϕ2σ(1)(x)ϕ3σ(3)(x) · · · ϕνσ(ν)(x)
⎞
⎠
´¶µ
=
ν
j=1 σ∈Xj
±ϕ1σ(1)(x)ϕ2σ(2)(x) · · · ϕνσ(ν)(x).
Ä Û Ø Ü Ò ÒÛ× Sν = X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xν ÕÓÙÑ
ν
j=1 σ∈Xj
±ϕ1σ(1)(x)ϕ2σ(2)(x) · · · ϕνσ(ν)(x)
=
σ∈Sν
±ϕ1σ(1)(x)ϕ2(σ(2) · · · ϕνσ(ν)(x).
³ Ö det B =
σ∈Sν
±ϕ1σ(1)(x)ϕ2σ(2) · · · ϕνσ(ν)(x)º Ô Ø Ò ÙÔ × Ø ¹
Ô Û ØÓ ÔÖ × ÑÓ ØÓÙ ϕ2 2(x) · · · ϕν ν(x) ×Ø Ò × Ø Ø det B11 =
σ∈X1
±ϕ2σ(2)(x) · · · ϕνσ(ν)(x) Ò +1º ËÙÒ Ôô Ô Ø Ò (∗) Ô Ø Ø ØÓ
ÔÖ × ÑÓØÓÙϕ11(x)ϕ22(x) · · · ϕνν(x) ×Ø Ò × Ø Ø det B =
σ∈Sν
±ϕ1σ(1)(x)
ϕ2(σ(2) · · · ϕνσ(ν)(x) Ò +1º
½
Ä ÓÒØ Ø ÒÛ× X1 ∪ X2 ∪ . . . ∪ Xν Ò Ü Ò ÒÒÓÓ Ñ Ø Xi ∩ Xj = ∅
i = jº
51. ¾º½º Á ÓØ Ñ Á Ó Ò ×Ñ Ø
¾º ³ ×ØÛ A ∈ Fν×νº Ô Ø Ò ÔÖÓ Ó Ñ Ò Ô Ö Ø Ö × ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ Ø
χA(x) = det
⎛
⎜
⎜
⎜
⎝
a11 − x a12 · · · a1ν
a21 a22 − x · · · a2ν
ººº ººº ººº
aν1 aν2 · · · aνν − x
⎞
⎟
⎟
⎟
⎠
= (a11 − x)(a22 − x) · · · (aνν − x) + “ ÐÐÓ ÖÓ”, ´ µ
ÔÓÙ Ò Ô ØÓÙ “ ÐÐÓÙ ÖÓÙ ” Ò Ò Ò Ñ ÒÓ ÔÓÙ Ô Ö Õ ØÓ
ÔÓÐ ν − 2 Ô Ö ÓÒØ Ô ØÓÙ a11 − x, a22 − x, . . . , aνν − xº ³ Ö ØÓ
ÔÓÐÙôÒÙÑÓ χA(x) Ò ÑÓ ν Ó Ñ ×ØÓ ÑÓ ×ÙÒØ Ð ×Ø Ò
(−1)νº
¿º ³ ×ØÛ A ∈ Fν×νº Ô Ó Ñ ØÓÙ χA(x) Ò ν¸ ØÓ χA(x) Õ ØÓ
ÔÓÐ ν Ö Þ ×ØÓ Fº ³ Ö Ó A Õ ØÓ ÔÓÐ ν ÓØÑ º
È Ö Ñ Ø º
½º ³ ×ØÛ A =
1 4
2 3
∈ R2×2º Æ Ö Ó ÒÓ ÓØÑ ØÓÙA2004−5A+3Iº
³ ÕÓÙÑ χA(x) = det
1 − x 4
2 3 − x
= (x − 5)(x + 1)º ËÙÒ Ôô Ó
ÓØÑ ØÓÙ A Ò λ1 = 5 λ2 = −1º Â ÛÖÓ Ñ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ
ϕ(x) = x2004 − 5x + 3 ∈ R[x]º Ô ØÓ È Ö Ñ ¾º½º½¼ ¿ ×ÙÑÔ Ö ÒÓÙÑ
Ø Ó ϕ(5)¸ ϕ(−1) Ò ÓØÑ ØÓÙ A2004 − 5A + 3Iº ³ ÕÓÙÑ ϕ(5) =
52004 − 5 · 5 + 3 = 52004 − 22 ϕ(−1) = (−1)2004 − 5(−1) + 3 = 9º ³ Ö
ϕ(5) = ϕ(−1)¸ Ð Ó ÔÒ A2004 − 5A + 3I Õ ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ Ó
ÓØÑ º Ô Ó ÔÒ ÙØ Ò 2 × 2¸ Õ ØÓ ÔÓÐ Ó ÓØÑ º
ËÙÒ Ôô Ó ϕ(5)¸ ϕ(−1) Ò Ó ÓØÑ ØÓÙº
¾º ³ ×ØÛ A ∈ Rν×ν¸ ÔÓÙ Ó ν Ò Ô ÖØØ º Ì Ø Ó A Õ Ñ ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ
ÓØÑ º
ÈÖ Ñ Ø¸ ØÓ ÔÓÐÙôÒÙÑÓ χA(x) Ò Ô ÖØØÓ ÑÓ Õ ×ÙÒØ Ð ×Ø
Ô ØÓ Rº ³ Ö ÙØ Õ ØÓÙÐ Õ×ØÓÒ Ñ Ö Þ ×ØÓ R ´ к Ã Ð Ó ½µº
¿º Æ Ö ØÓ Õ Ö Ø Ö×Ø ÔÓÐÙôÒÙÑÓ ØÓÙ ÔÒ A ∈ Rν×ν¸ ÔÓÙ
A =
⎛
⎜
⎝
1 1 · · · 1
ººº ººº ººº
1 1 · · · 1
⎞
⎟
⎠ .
