Presentasi Aljabar Vektor

Kelompok 3
1002210036 – Achmad Hidayat
1002210003 – Haba Qiestha Khaira
1002210049 – Prasetya Adi
1002210010 – Padma Jatnika
Aljabar Linear - Vektor
www.itts.ac.id
Jurusan Teknologi Informasi – Kelas Reguler

Definisi Vektor
Vektor adalah besaran yang mempunyai besar dan arah
Besar vektor artinya panjang vektor
Arah vektor artinya sudut yang dibentuk dengan sumbu X positif
Vektor disajikan dalam bentuk ruas garis berarah
Kelompok 3 – TI (Reguler)
Aljabar Linear - Vektor 2

A
B
ditulis vektor AB atau u
A disebut titik pangkal
B disebut titik ujung
u
45 X
Gambar Vektor

Notasi Penulisan Vektor
 Bentuk vektor kolom:









4
3
u












0
2
1
PQ
atau
 Bentuk vektor baris:
 
4
,
3
AB  atau  
0
,
3
,
2
v 

 Vektor ditulis dengan notasi:
i, j dan k
misal : a = 3i – 2j + 7k

VEKTOR DI R2
Vektor di R2 adalah
vektor yang terletak di satu Bidang
Atau
Vektor yang hanya mempunyai
dua komponen yaitu x dan y

VEKTOR DI R2
OA
PA
OP 

OA
OQ
OP 

O P
i
j
X
A(x,y)
Y
OP = xi; OQ= yj
Jadi
OA =xi + yj
atau
a = xi + yj
a
x
y
i vektor satuan searah
sumbu X
j vektor satuan searah
sumbu Y
Q

Vektor di R3
Vektor di R3
adalah Vektor yang terletak di
ruang dimensi tiga
atau
Vektor yang mempunyai
tiga komponen
yaitu x, y dan z

Misalkan koordinat titik T di R3
adalah (x, y, z) maka OP = xi;
OQ = yj dan OS = zk
X
Y
Z
T(x,y,z)
O
xi
yj
zk
P
Q
S

X
Y
Z
T(x,y,z)
O
t
P Q
R(x,y)
S
xi
yj
zk
OP + PR = OR atau
OP + OQ = OR
OR + RT = OT atau
OP + OQ + OS = OT
Jadi
OT = xi + yj + zk
atau t = xi + yj + zk

Panjang vektor
Dilambangkan dengan
tanda ‘harga mutlak’

Di R2, panjang vektor: 








2
1
a
a
a
atau a = a1i + a2j
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras
2
2
2
1 a
a
a 


Di R3 , panjang vektor:
2
2
2
y
x z
v 













z
y
x
v
atau v = xi + yj + zk
Dapat ditentukan dengan
teorema Pythagoras

Contoh:
1. Panjang vektor: 








4
3
a
adalah 2
2
4
3
a 
 = 25 = 5
2. Panjang vektor: 2k
-
j
i
2 

v
adalah 2
2
2
)
2
(
1
2 



v
= 9 = 3

Vektor Satuan
adalah suatu vektor yang
panjangnya satu

Vektor satuan searah sumbu X,
sumbu Y , dan sumbu Z
berturut-turut
adalah vektor i , j dan k

































1
0
0
dan
0
1
0
,
0
0
1
k
j
i

ALJABAR VEKTOR
Kesamaan vektor
Penjumlahan vektor
Pengurangan vektor
Perkalian vektor dengan bilangan real

Kesamaan Vektor
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k
Jika: a = b , maka a1 = b1
a2 = b2 dan
a3 = b3

Kesamaan Vektor
Dua buah vektor dikatakan sama besar bila besar dan arahnya sama.
Misalkan u = (a,b) dan v = (c,d)
Jika u = v, maka
|u| = |v|
arah u = arah v
a=c dan b=d

a b
Dua vektor sama, a = b
a b
Dua Vektor mempunyai
besar sama, arah berbeda
a b
Dua vektor arah sama,
besaran beda
a
b
Dua Vektor besar dan arah
berbeda

Contoh
Diketahui:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
Jika a = b, maka x + y = ....

Jawab:
a = i + xj - 3k dan
b = (x – y)i - 2j - 3k
a = b
1 = x - y
x = -2; disubstitusikan
1 = -2 – y;  y = -3
Jadi x + y = -2 + (-3) = -5

Penjumlahan Vektor














3
3
2
2
1
1
c
b
a
b
a
b
a
a
a
a
a
3
2
1











b
b
b
b
3
2
1











Misalkan: dan
Jika: a + b = c , maka vektor

Contoh
1
-
2p
-
3
a











3
6
p
b











2
4q
5
-
c











Diketahui:
Jika a + b = c , maka p – q =....
dan




























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
jawab: a + b = c
































2
4
5
3
6
p
1
-
2p
-
3
q



























2
4
5
3
)
1
(
6
2
3
q
p
p
3 + p = -5 p = -8
-2p + 6 = 4q
16 + 6 = 4q
22 = 4q  q = 5½;
Jadi p – q = -8 – 5½
= -13½

Pengurangan Vektor
Jika: a - b = c , maka
c =(a1 – b1)i + (a2 – b2)j + (a3 - b3)k
Misalkan:
a = a1i + a2j + a3k dan
b = b1i + b2j + b3k

X
Y
O
A(4,1)
B(2,4)
a
b
Perhatikan gambar:








3
2
-
vektor posisi:
titik A(4,1) adalah: 








1
4
a
titik B(2,4) adalah: 








4
2
b
vektor AB =

Jadi secara umum: a
b
AB 





















1
4
4
2
a
b








3
2
-









1
4
a 








4
2
b








3
2
-
AB

vektor AB =

Contoh 1

































2
3
2
2
5
3
-
4
2
1
Jawab:
Diketahui titik-titik A(3,5,2) dan B(1,2,4).
Tentukan komponen- komponen vektor AB
a
b
AB 














2
3
2
AB
Jadi

Contoh 2
Diketahui titik-titik P(-1,3,0) dan Q(1,2,-2).
Tentukan panjang vektor PQ (atau jarak P ke Q)

Jawab: P(1,2,-2)
Q(-1,3,0)
PQ = q – p =































2
1
2
2
-
2
1
-
0
3
1
-













2
2
1
p












0
3
1
q














2
1
2
PQ
2
2
2
)
2
(
)
1
(
2
PQ 




3
9
PQ
Jadi 


Perkalian Vektor dengan Bilangan Real






















3
2
1
3
2
1
.
.
.
c
a
m
a
m
a
m
a
a
a
m
a
a
a
a
3
2
1











Misalkan:
Jika: c = m.a, maka
dan m = bilangan real



































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
Diketahui:
Vektor x yang memenuhi a – 2x = 3b adalah....
Jawab:
misal
6
1
-
2
a











4
1
-
2
b











dan












x
3
2
1
x
x
x




































4
1
2
3
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x


































12
3
6
2
2
2
6
1
2
3
2
1
x
x
x
2 – 2x1 = 6  -2x1 = 4  x1= -2
-1 – 2x2 = -3  -2x2 = -2  x2 = 1
6 – 2x3 = 12  -2x3 = 6  x3 = -3
Jadi :
3
1
2
x
vektor














Elemen Identitas
Vektor nol ditulis 0
Vektor nol disebut elemen identitas
u + 0 = 0 + u = u
Jika u adalah sebarang vektor bukan nol, maka –u adalah invers aditif u
yang didefinisikan sebagai vektor yang memiliki besar sama tetapi arah
berlawanan.
u – u = u + (-u) = 0

Sifat-Sifat Operasi Vektor
• Komutatif  a + b = b + a
• Asosiatif  (a+b)+c = a+(b+c)
• Elemen identitas terhadap penjumlahan
• Sifat tertutup-> hasil penjumlahan vektor juga berupa vektor
• Ketidaksamaan segitiga |u+v| ≤ |u| + |v|
• 1u = u
• 0u = 0, m0 = 0.
• Jika mu = 0, maka m=0 atau u = 0

Sifat-Sifat Operasi Vektor (lanjutan)
• (mn)u = m(nu)
• |mu| = |m||u|
• (-mu) = - (mu) = m (-u)
• Distributif : (m+n)u = mu + nu
• Distributif : m(u+v) = mu + mv
• u+(-1)u = u + (-u) = 0

Dot Product (Inner Product)
Perkalian titik (dot product) a•b (dibaca a dot b) antara dua vektor a dan b merupakan perkalian
antara panjang vektor dan cosinus sudut antara keduanya.

cos
|
||
| b
a
b
a 

 Dalam bentuk komponen vektor, bila a = [a1,b1,c1] dan b = [a2,b2,c2], maka :
2
1
2
1
2
1 c
c
b
b
a
a
b
a 



 a•b > 0 jika {γ| 0 < γ < 90o}
 a•b = 0 jika {γ| γ = 90o}
 a•b < 0 jika {γ| 90o < γ< 180o}

Besar dan Arah dalam Perkalian Dot Product
• Besar Sudut γ dapat dihitung dengan:
b
b
a
a
b
a
b
a
b
a






|
||
|
cos

Terima Kasih
www.itts.ac.id ittstangsel @ittstangsel Institut Teknologi Tangerang Selatan

Presentasi Aljabar Vektor

Recommended

Recommended

More Related Content

Similar to Presentasi Aljabar Vektor

Similar to Presentasi Aljabar Vektor (20)

More from Achmad Hidayat

More from Achmad Hidayat (16)

Recently uploaded

Recently uploaded (20)

Presentasi Aljabar Vektor