1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK
---------------------------------------------------------------------------
------------------------
TOAÙN 1
GIAÛI TÍCH HAØM MOÄT BIEÁN
„ BAØI 5: ÑAÏO HAØM
„ TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)

2. NOÄI DUNG
--------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
1- ÑÒNH NGHÓA ÑAÏO HAØM
2- DUØNG ÑÒNH NGHÓA TÍNH ÑAÏO HAØM: HAØM KHOÂNG
SÔ CAÁP (HAØM GHEÙP) ‟ ÑAÏO HAØM 1 PHÍA
3- ÑAÏO HAØM HAØM
AÅN
4- ÑAÏO HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC
5- ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ
6 ‟ ÑAÏO HAØM CAÁP CAO

3. ÑAÏO HAØM
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
f x f x0 f f ( x0 x) f ( x0 )
f ' ( x0 ) lim lim lim
x x0 x x0 x 0 x x 0 x
YÙ nghóa hình
hoïc: Heä soá goùc
tieáp tuyeán cuûa
ñoà thò (C) y = f(x)
taïi tieáp ñieåm
Haøm f(x0))
M(x0, coù ñaïo
haøm taïi x0
Lieân tuïc taïi x0.
Ngöôïc laïi: SAI!

4. HAØM GHEÙP, TRÒ TUYEÄT: ÑAÏO HAØM MOÄT PHÍA
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Ñaïo haøm f ' ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
lim (i.e x 0)
x 0 x
phaûi:
Ñaïo haøm f ' ( x0 ) f ( x0 x) f ( x0 )
lim (i.e x 0)
x 0 x
traùi:
Haøm y = f(x) coù ñaïo haøm
höõu haïn taïi x0 f’(x0+) =
f’(x0 )
VD: Tính ñaïo haøm taïi
x0 = 1 x2 , x 1
f x
2 x 1, x 1
VD: f x x , x0 0

5. KHI NAØO DUØNG ÑAÏO HAØM 1 PHÍA?
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Ñaïo haøm haøm sô caáp (xaùc ñònh qua 1 bieåu
thöùc): baûng ñaïo haøm cô baûn + ñaïo haøm
toång, hieäu, tích,khoâng sô caáp ( 2 bieåu thöùc):
Ñaïo haøm haøm thöông, hôïp
ñònh nghóa & duøng ñaïo haøm traùi, ñaïo haøm
phaûi
VD: Tìm a, b ñeå haøm ax 2 bx 1, x 0
f x
soá sau coù ñaïo a sin x b cos x, x 0
haøm taïi x0 = 0
Chuù yù: Neân kieåm tra tröôùc ñieàu
kieän lieân tuïc
2 1
x sin , x 0
VD: Tính ñaïo haøm taïi x0 = 0 f ( x) x
cuûa haøm 0 ,x 0

6. TÍNH ÑAÏO HAØM HAØM SÔ CAÁP
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Baûng ñaïo haøm caùc haøm sô caáp cô
baûn: töï xem laïi
Ñaïo haøm Ñaïo haøm haøm hôïp
(C)’ = 0
(x )’ = x ‟1 (u )’ = u ‟1.u’
(1/x)’ = ‟1/x2 (1/u)’ =
x' 12 x u'
(sinx)’ = cosx (sinu)’ =
(cosx)’ = ‟sinx (cosu)’ =
(tgx)’ = 1/cos2x = 1 + tg2x (tgu)’ =
(cotgx)’ = ‟1/sin2x = (cotgu)’ =
(ex)’ = ex, (ax)’ = axlna (eu)’ =
(lnx)’ = 1/x, (logax) = (lnu)’ =

7. QUY TAÉC TÍNH ÑAÏO HAØM
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Quy taéc ñaïo haøm toång, hieäu, tích, thöông:
töï xem laïi
u v ' u ' v' Cu ' Cu' uv ' u' v v' u
'
u u ' v v' u
uvw ' u' vw uv' w uvw'
v v2
Ñaïo haøm haøm hôïp: Quy taéc
daây xích!
y f u , u u ( x) : y f u ( x) y'x y'u u ' x : Xuaát hie u'!
än
VD: Cho y = f(x2). Tính caùc ñaïo haøm
y’, y’’ g(x) 1
x2
y = f(x) log (cô soá e) hoaù 2 y 1 y' ?
x
veá. VD:

8. ÑAÏO HAØM HAØM AÅN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Haøm aån : F(x,y) = 0 x [a, b] y = y(x) x
[a, b]
VD : Haøm aån y = y(x) xaùc ñònh töø phöông trình
y = 1 + xey
Tính y’: Ñaïo haøm tröïc
tieáp 2 veá theo x, chuù
yù y = y(x) roài giaûi
phöông trình aån y’
ey
VD ñang y ' x
1 xe y
xeùt :
VD : Ñaïo haøm y’(0) cuûa
haøm aån 2 y
x 3 ln y x e 0 y ' ( x)
y0 y' (0)

9. ÑAÏO HAØM HAØM LÖÔÏNG GIAÙC NGÖÔÏC ‟ HYPERBOLIC
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
y = f(x) haøm 1 1 ' 1
g ' y0 f y
ngöôïc x = g(y). Taïi f ' x0 f' x
y0 = f(x0): 1 1 1
Gnhôù arcsin x '
: ; arccos x ' ; arctgx '
1 x 2
1 x 2
1 x2
(arcsinx)’ = 1 x 2
1 (arcsinu)’ = ' 1 u 2
u
(arccosx)’ = 1 1 x 2 (arccosu)’ = u ' 1 u 2
(arctgx)’ = 1 x 2
1 (arctgu)’ = ' 1 u 2
u
(arccotgx)’ = 1 1 x 2 (arccotgu)’ = u ' 1 u 2
(shx)’ = chx (shu)’ = u’ . chu
(chx)’ = shx (chu)’ = u’ . shu
(thx)’ = 1/ch2x = 1 ‟ th2x (thu)’ = u ' cosh 2 u
(cothx)’ = ‟1/sh2x = 1 ‟ (cothu)’ = u ' sinh 2 u

10. ÑAÏO HAØM HAØM THEO THAM SOÁ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Haøm theo tham soá : x = x(t), y = y(t)
y = : Haøm bieåu dieãn ñöôøng cycloid x = a(t ‟ sint), y =
VD y(x)
a(1 ‟ cost) P/phaùp: Ñöa veà ñ/haøm
theo t!
y ' (t ) y'x t
y'x ; y' 'x y'x 'x
x' (t ) x't
sin t
Ñöôøng y'x
1 cos t
cycloid
VD : Tham soá hoaù
ñöôøng elip & vieát
p/trình ttieáp tuyeán: cos t '
x a sin y 't b
y'x
y b cos t x't a sin t '

11. ÑAÏO HAØM CAÁP CAO
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Ñhaøm caáp 2: y’’(x) = [y’(x)]’ . ÑH caáp n: y(n)(x) = [y(n-
1)(x)]’
Kyù dny Moät soá ñaïo haøm caáp
hieäu: dx n cao cô baûn:
x n x n
e e x
a a x ln n a
( n) ( n)
sin x sin x n sin ax b a n sin ax b n
2 2
(n) n
ax b an 1 n 1 ax b
( n) ( 1) n 1 a n n 1 !
ln ax b n
ax b

12. KYÕ NAÊNG TÍNH ÑAÏO HAØM CAÁP CAO
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Phaân tích haøm veà daïng “toång” caùc
haøm ñôn giaûn
VD: f ( x) 1 VD: f ( x) sin 2 x
x2 1
n
n
Lebnitz : uv Cn u ( k ) v ( n
k k)
Cn uv n
0
Cn u ' v n
1 1
 Cn u n v
n
k 0
VD: f(x) = x2ex
Toång quaùt: f(x) = u.v, u ‟ ña thöùc baäc m Caùc
ñaïo haøm u(k) = 0 k > m Toång u(k)v(n ‟ k) chæ
goàm vaøi thöøa soá: tính ñôn giaûn!