More Related Content More from Computer Science Club More from Computer Science Club (20) 20071103 verification konev_lecture081. þ
º
º Ç
ý
ÓÒ ÚÐ Ú ÖÔÓÓк
ºÙ
Ä Ú ÖÔÓÓÐ ÍÒ Ú Ö× ØÝ
¹ ¾¼¼
½»½
2. ¸
AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1
¸ º º (S, q) |= AFψ1
¸ ¸ (S, q) |= AFψ1º ´ µ
´ µ
¾»½
3. 2Q
Q F : 2Q → 2Q
F ¸ X ⊆Y F (X ) ⊆ F (Y )
X,Y ⊆ Q
X ⊆Q F ¸
F (X ) = X
¸ Q = {q0 , q1}¸ F (Y ) = Y ∪ {q0 }
F
{q0 } ´ µ
{q0 , q1 } ´ µ
¿»½
4. þ
n+1 ¹ Q = {q0 , q1 , . . . , qn }
F : → 2Q
F n+1 (∅) 2Q ¸
F F n+1 (Q) ¸ ¸
F i (X ) = F (F (. . . F (X ) . . . ))
i
∅ ⊆ F (∅) ¸ ¸´ µ F (∅) ⊆ F (F (∅))º
¸
∅ ⊆ F 1 (∅) ⊆ F 2 (∅) ⊆ · · · ⊆ F n+1 (∅)
¸
∅ F 1 (∅) F 2 (∅) ··· F n+1 (∅)
¸ Q n+1 º
¸ i: F i (∅) = F i +1 (∅) = · · · = F n+1 (∅)
»½
5. þ
n+1 ¹ Q = {q0 , q1 , . . . , qn }
¸
F : 2Q → 2Q F n+1 (∅)
¸F F n+1 (Q) ¸
F i (X ) = F (F (. . . F (X ) . . . ))
i
¸ X ⊆ Q : F (X ) = X º
¸ ∅ ⊆ X¸ ¸ F (∅) ⊆ F (X ) = X º
¸F n+1 (∅) ⊆ F (X ) = X ¸ º º¸ F n+1 (∅)
»½
6. þ
n+1 ¹ Q = {q0 , q1 , . . . , qn }
¸
F : 2Q → 2Q F n+1 (∅)
¸F F n+1 (Q) ¸
F i (X ) = F (F (. . . F (X ) . . . ))
i
ü ¸ F n+1 (Q)
º
»½
7. ÌÄ
[ϕ] = {q ∈ Q|(S, q) |= ϕ} º
AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1
¸ AFψ1 ≡ ψ1 ∨ AXAFψ1 ¸ ¸
[AFψ1 ] = [ψ1 ] ∪ [AXAFψ1 ] º º¸
[AFψ1 ]
F (Z ) = [ψ1 ] ∪ AXZ
Z1 ⊆ Z2 [AXZ1 ] ⊆ [AXZ2 ] ¸ ¸F
[AFψ1 ] ⊆ F n+1 (∅)
ψ1
»½
8. AFψ1
þ
F (Z ) = [ψ1 ] ∪ [AXZ ] º
BAFψ1 = B ′ = Bψ1
Ö Ô Ø
B ′ = BAFψ1
BAFψ1 = B ′ ∨
∀x1 , . . . , xn (BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) → B ′ (x1 , . . . , xn ))
′ ′ ′ ′ ′ ′
ÙÒØ Ð BAFψ1 = B ′
AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1 AFψ1
AFψ1 AFψ1
»½
9. þ Eψ1 Uψ2
¸
Eψ1 Uψ2 ≡ ψ2 ∨ (ψ1 ∧ EXEψ1 Uψ2 )
º º¸ [Eψ1 Uψ2 ]
G (Z ) = [ψ2 ] ∪ ([ψ1 ] ∩ EXZ )
Z1 ⊆ Z2 ¸ º º¸ G
G (Z1 ) ⊆ G (Z2 ) º
[Eψ1 Uψ2 ] ⊆ G n+1 (∅)
¸
ψ2 º
»½
10. Eψ1 Uψ2
þ
G (Z ) = [ψ2 ] ∪ ([ψ1 ] ∩ EXZ )
BEψ1 Uψ2 = B ′ = Bψ2
Ö Ô Ø
B ′ = BEψ1 Uψ2
BEψ1 Uψ2 = B ′ ∨
∃x1 , . . . , xn (BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )∧
′ ′ ′ ′
Bψ1 (x1 , . . . , xn ) ∧ B (x1 , . . . , xn ))
′ ′ ′
ÙÒØ Ð BAFψ1 = B ′
ψ1 ψ1
Eψ1 Uψ2
Eψ1 Uψ2 Eψ1 Uψ2
»½
11. EGψ1
¸
EGψ1 = ψ1 ∧ EXEGψ1
º º¸ [EGψ1 ]
H(Z ) = [ψ1 ] ∩ EXZ
H º ¸ H º ºº
X ¹ ¸ ºº
H(X ) = [ψ1 ] ∩ EXX º
q0 ∈ X º q0 ∈ [ψ1 ]º
¸ x ∈ EXX ¸ º º¸ q1 ∈ X º º T (q0 , q1 )º
¸ q 0 , q1 , . . . º º qi ∈ [ψ1 ]¸
¸ (S, q0 ) |= EGψ1
¸ [EGψ1 ] º
»½
12. EGψ1
þ
H(Z ) = [ψ1 ] ∩ EXZ
BEGψ1 = B ′ = Bψ1
Ö Ô Ø
B ′ = BEGψ1
BEGψ1 = B ′ ∧
∃x1 , . . . , xn (BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) → B ′ (x1 , . . . , xn ))
′ ′ ′ ′ ′ ′
ÙÒØ Ð BEGψ1 = B ′
½¼ » ½
13. C = {ψ1 , . . . , ψn }
º s0 , s1 , . . .
C ¸ i
j º º sj |= ψi º
¸
EC ϕUψ ≡ EϕU(ψ ∧ EC GØÖÙ )
EC Xϕ ≡ EX(ϕ ∧ EC GØÖÙ )
´ µ
¸ Ç ϕ¸
Ç EC Gϕ º
½½ » ½
14. EC Gϕ
n
F (Z ) = [ϕ] ∩ EXE[ϕ]U(Z ∩ Pk )
k=1
ÌÄ
½¾ » ½
15. Ç
→ → Ç →
Ç
¸ ººº
Ç
½¿ » ½
16. ËÅÎ
ËÅÎ
´ µ
¸ ¸
Ò ÜØ´ÓÙØÔÙص ÒÔÙØ
ºº
xi′ = fi (x1 , . . . , xn )
¸ ¸
º
´ µº
n Ç ¸ Bf ¸
i
fi º
½ »½
17. ü
º
º
BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = (xi′ ≡ Bi (x1 , . . . , xn ) ∧
′ ′
(xj′ ≡ xj ))
j=i
þ ¸
′ ′ ′ ′
BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )
i =1,...,n
Ç ¸
º
½ »½
18. ¸
′ ′ ′ ′ ′ ′
BEXψ = ∃x1 , . . . , xn (BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) ∧ Bψ1 (x1 , . . . , xn ))
þ ¸ 2n º
ü
′ ′ ′ ′
BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )
i =1,...,n
′ ′ ′ ′
BEXψ = i =1,...,n ∃x1 , . . . , xn (BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )∧
′ ′
Bψ1 (x1 , . . . , xn ))
BfT º ¸ Bf
º
Ti
½ »½
19. º
BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = (xi′ ≡ Bi (x1 , . . . , xn ))
′ ′
¸ xi º
þ ¸
′ ′ ′ ′
BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )
i =1,...,n
Ç ¸
º
½ »½
20. ′ ′ ′ ′
BfT (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn ) = BfTi (x1 , . . . , xn , x1 , . . . , xn )
i =1,...,n
∃ ∧
¸ Bf Ti
∃x1 , . . . , xn (B1 ∧ B2 ) = ∃xi (∃xj B1 ∧ ∃xk B2 )¸
¯ ¯ ¯
xi
¯ ¸
x1 , . . . , xn B1 B2 ¸
xj
¯ B1 ¸
xk
¯ B2 º
½ »½