1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK
---------------------------------------------------------------------------
----------
TOAÙN 1 ‟ HOÏC KYØ 1 0708
BAØI 1: DAÕY SOÁ. GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ
(SV)
SGK: Giaûi tích TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (9/2007) ÖÙng Duïng
„
haøm 1 bieán ‟ BM Toaùn
(ÑHBK)
Giaûi tích haøm 1 bieán ‟ Ñoã Coâng Khanh
Toaùn hoïc cao caáp ‟ Taäp hai ‟ Nguyeãn Ñình Trí
(chuû bieân)

2. NOÄI DUNG
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
1- KHAÙI NIEÄM DAÕY
SOÁDAÕY TAÊNG, GIAÛM, BÒ CHAËN, DAÕY
2-
CON
3- GIÔÙI HAÏN DAÕY
SOÁ
4- TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN
5- TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS: DAÕY ÑÔN ÑIEÄU, BÒ CHAËN
6- GIÔÙI HAÏN KEÏP

3. KHAÙI NIEÄM GIÔÙI HAÏN (PHOÅ THOÂNG ‟ ÑAÏI HOÏC)
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Giôùi haïn: Khaùi nieäm cô baûn cuûa Giaûi tích.
“Khoâng coù giôùi haïn thì giaûi tích khoâng toàn
taïi. Moãi khaùi nieäm cuûa giaûi tích ñeàu laø giôùi
haïn theo moät nghóa naøo ñoù”
Ñaïo haøm (theo ñònh nghóa): giôùi
haïn y / x hình hoïc: Hsgoùc tieáp tuyeán = lim
ÖÙng duïng
Hsgoùc daây cung
ÖÙng duïng vaät lyù: Vaän toác töùc thôøi = lim Vaän
toác daøi ñöôøng cong = lim ñoä daøi ñöôøng
Ñoä trung bình
gaáp khuùchình thang cong (tích phaân) = lim S hình
Dieän tích noäi tieáp
chöõ nhaät
Giôùi Giôùi daõy
haïn soá
Giôùi
 haïnhaømsoá
haïn:

4. DAÕY SOÁ THÖÏC
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Taäp hôïp voâ haïn caùc soá ñöôïc ñaùnh soá töø 1
ñeán : x1, x2 … xn …  Daõy soá {xn}n  1 (hoaëc töø 0
ñeán : x0,soá nguyeân döông:1, 2, 3, 4 … Daõy soá
VD: Daõy x1 … xn …  {xn}n  0)
chaün:hoûi: 6Tìm soá haïng cuoái cuøng
Caâu 2, 4, …
cuûa 1 daõy soá?
Thoâng thöôøng, daõy soá ñöôïc xaùc ñònh theo 1
coâng thöùc toång quaùt daønh cho soá haïng thöù n
VD: xn    n   1 , 2 , 3  n 
   
 n  1n1  2 3 4 n  1 
Daõy xn-1: soá haïng

xn    1n n  n0 
 0,  1, 2   1
n 1
n  1
thöù n cuûa

5. COÂNG THÖÙC TOÅNG QUAÙT ‟ SOÁ HAÏNG THÖÙ n
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
1/ Daõy haèng 1, 1 … 1 …: Höõu haïn giaù trò & vaãn voâ
haïn phaàn töû
2/ Daõy caùc soá nguyeân toá: 1, 2, 3, 5 … : Coâng
thöùc toång quaùt?
Coù theå xem daõy soá {xn} vôùi soá haïng toång
quaùt: xn = f(n) nhö haøm soá töø taäp soá nguyeân
döông N*  R. chính phöông 1, 4, 9, 16 …  x = n2 
VD: Daõy soá n
f(x) = x2
VD: Tìm soá haïng toång quaùt (soá haïng thöù n) cuûa
caùc daõy {xn}1 : 2 3
1 1 1
a / , , ,  b / n1  , , c / 1,3,5, Maple: > n^2 $n = 1..5;
,
2 4 8 2 3 4
1 n 1 n
> array( [ [n,
ÑS: a / n b /  1 c / 2n  1
2 n 1 n^2]$ n = 1 .. 5 ]);

6. DAÕY TAÊNG ‟ GIAÛM: ÑÔN ÑIEÄU
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
xn TAÊNG: xn  xn+1  n  1. Toång quaùt: xn  xn+1  n
 N0
VD: a / xn  1  1    1 : chöùa
TOÅNG neân HIEÄU n 1  xn
 xeùt x
2 n
2n  3 2x  3
b / xn  : bthöùc
gioáng HAØM  xeùtf  x  
SOÁ & tính f '!
3n  4 3x  4
xn GIAÛM: xn  xn+1  n  1. Toång quaùt: xn  xn+1  n
 N0
 1  1 xn 1
xn  1   1  , n  2 : döông,daïngTÍCH  Xeùt
THÖÔNG
 2  n xn
Daõy xn LUOÂN taêng hoaëc LUOÂN giaûm (töø N0
naøo ñoù): daõy ÑÔN ÑIEÄU

7. DAÕY BÒ CHAËN ‟ DAÕY CON
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
xn bò chaën treân: xn  M  n  1. Toång quaùt: xn 
M  n  N0
xn bò chaën döôùi: xn  m  n  1. Toång quaùt: xn 
m  n  N0 chaën treân laãn döôùi: goïi chung bò
Daõy bò
chaën  m  xn  M
VD: Xeùt tính bò chaën cuûa a /  12  b /3n  c /  1n n
   
n 
caùc daõy
a/ Bò chaën. Treân: 1, Döôùi: 0. b/ Döôùi: 0. c/ K0 bò
chaën treân, döôùi
1 k
 
xn  Daõy xn , , xn ,  , n1    nk   , lim nk  
k 
con
1 2 3 4  1 3   2 4 
VD:  , , ,   Daõy  ,  : & ,  :
2 3 4 5  2 4   3 5 
Daõy con
Chuù yù: Töø daõy {xn}  Hay xeùt 2 daõy con

8. GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA “DEÃ CHÒU”
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Laäp baûng giaù trò 2 daõy soá sau. Quan saùt
vaø ruùt raakeát luaän b / y   1n n
/ xn 
n
n 1 n 1
n
Nhaän xeùt: n taêng, xn ñeán gaàn 1
coøn yn ñeán gaàn 1  Khi n  :
Giaù trò xn  1, coøn yn KHOÂNG ñeán
gaàn giaù trò cuï theå naøo!
Ñònh nghóa (“deã chòu”): Daõy
{xn} coù giôùi haïn baèng a  xn
 a khi n ñuû lôùn
sin 3 n  n 2 a / 0 b / 1 2 Maùnh: n ñuû lôùn (n =
lim :
n  2 n  n
2
c /1 d /  1000) & MTBTuùi 

9. GIÔÙI HAÏN DAÕY SOÁ: ÑÒNH NGHÓA CHAËT CHEÕ
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Toaùn hoïc (ngoân ngöõ  a
x1 a   x xN 0a   x1000
N 0 1
‟ N0):
xn “raát gaàn” a, n ñuû lôùn   > 0  N0: | xn‟ a | < 
 n  N0
Coù ghaïn:
Daõy xn hoäi tuï lim xn  a : höõu
haïn
n 
Hoäi tuï. K0
veà a 0,  N  N : x  a    n  N
  
coù ghaïn
0 n 0
    0,  N 0 : a    xn  a    n  N 0
(hoaëc lim =
): limphaân1
" Ñoaùn"
n

VD: Xeùt daõy {n/(n + 1)} a/ “Ñoaùn” n  n  1
kyø
lim xn lim vöøa ñoaùn &  = 10-2, 10-3 
b/ Vôùi n
 1    101
n 1
N0 = Chöùng minh chaët
c/ ?  n  N0  ?

10. GIÔÙI HAÏN VOÂ CUØNG ‟ DAÕY PHAÂN KYØ
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Giôùi haïn =  (vaãn laø phaân kyø): Khoâng theå
xeùt | xn ‟ a | !
lim xn     M lôùn
baát kyøN 0  N : xn  M  n  N 0
,
n 
lim xn     M (aâm) yù N 0  N : xn  M  n  N 0
tuyø ,
n 
Ñònh nghóa xn phaân kyø: Phuû ñònh (loâgich)
meänh ñeà hoäi tuï
Hoäi  a  R,    0 luoân N 0  N : xn  a    n  N 0

tuï:
Phaân  a  R,    0 :  N 0  N  n  N 0 ñeå n  a  
x
kyø:
Thöïc teá tìm giôùi haïn: Ít duøng caùch chöùng minh =

11. TÍNH CHAÁT GIÔÙI HAÏN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------------
-----------------------------
lim toång (hieäu, tích, thöông, caên v.v…) = Toång
(hieäu … ) lim lim x  y   lim x  lim y
n  n n n n
 
n  n 

 lim xn , lim yn  lim xn yn  lim xn lim yn ÑK : lim yn  0
 
n  n  n  n  n  n 

lim xn  lim xn ÑK : xn  0 & lim xn  0
n  n  n 
lim xn = a  Moïi daõy con cuûa xn xn  a
lim k
k 
ñeàu  a:
 moät daõy con phaân kyø
Daõy xn phaân
cuûa xn
 hai daõy con hoäi tuï coù
kyø 
lim  nhau
VD: Chöùng toû daõy {xn} = {(‟1)n}

12. GIÔÙI HAÏN CÔ BAÛN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
  0  lim n   a  1  lim a n  

Luõy  n 
Haøm n 
 
  0  lim n  0 

0  a  1  lim a n  0
thöøa:  n  muõ: n 
n
1 2 1 1
a / lim n   b / lim n  lim
2
 0 c / lim 2   & lim    0
n
n  n  n  n n  n   3 
VD: (Toång caáp soá lim 1  1  1    1n  KQ:
 
1
2
n   2 4 2  1 1 2
nhaân)
1  q n 1
Toång lim 1  q  q    q  Hdaã 1  q    q n 
2 n
n  1 q
quaùt: n:
n n
Soá lim 1  1   e & lim 1  a   e a
    Hay lim n n  1
n   n n   n n 
e: gaëp:

13. NGUYEÂN TAÉC TÍNH GIÔÙI HAÏN
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Bieán ñoåi bieåu thöùc caàn tính lim veà giôùi haïn cô
baûn & thay vaøo
2n 2  1 3  5n  2 n
VD: Tính giôùi lim 2 lim n lim n  n  1
n  n  1 n  4  2  5 n n 
haïn:
2  lim1 n 2  2  0
Giaûi lim 2n  1  lim n 22  1 n2  
2 2 2
n 
 2
n  n 2  1 n  n   1 n 
1 1  lim1 n  1  0
2
: n 
3  5n  2 n
 lim n

5n 3  2 5
n

3 
lim n
n  4  2  5 n 
n  5 4 5n  2 2 
n  n  1
lim n  n  1  lim
1
 lim 0
n  n  n  n 1 n  n 1  1  1 n 
Thöïc 2n 2  1 2 x 2  1 Giôùi haïn haøm 
lim 2  lim 2 :
n  n  1 x  x  1
teá: Loâpitan …

14. GIÔÙI HAÏN KEÏP
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
----------------------------
Cho 3 daõy xn, yn,
zn xn  yn  zn
 xn  y n  z n  n  N 0

 lim x  lim z  a   lim yn & lim yn  a
n n n n

n  n 
a
Heä quaû (hay söû 0  xn  yn  n & lim yn  0  lim xn  0
n  n 
duïng):
n! 1  2 n 1
n
VD: lim n! lim n sin n  1000 
lim  0 n   0
n  n n n n 2  1 n   n 
n n  n n n
n n
Vôùi n  0   1000   1 
n sin n n
0 2  2 0     0
n 1 n 1  n   2
2000:
VD: lim n n Coâs 1  n n  n n  n 11  n  n  1  1  1
n  n

15. TIEÂU CHUAÅN WEIRSTRASS
------------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Chöùng minh daõy hoäi tuï  Hay duøng: Tính ñôn
ñieäu & bò chaën
Tieâu chuaån Daõy taêng & chaën treân thì
Weirstrass: hoäi tuï
Daõy giaûm & chaën döôùi thì
hoäi tuï n
VD: Chöùng minh toàn taïi giôùi lim 1  1   
n   n
haïn (soá e)
n n 1 n
Giaûi: Daõy 1    1 

1  1 
  

n 1 1 
1
  1
1
 n   n  1  n n 1
taêng:
Bñt  1
n 1 1 
n
1  1 n     1  n1  1 n   1  1  1
  1 
 n n 1 n 1 n 1
Coâsi:
Bò chaën treân: Xem SGK, Ñoã Coâng Khanh, trang

16. TOÅNG KEÁT
-----------------------------------------------------------------------------------------------------
---------------------------
Caùc kyõ thuaät chöùng minh
daõy hoäi tuï
 Baèng ñònh nghóa: Tìm giaù trò a = limxn . Giaûi
|xn a|  
 Tính giôùi haïn: Ñöa veà bieåu thöùc theo caùc
giôùi haïn cô baûn phía  Tính chaát 3
 Chaën xn töø 2
daõy keïpminh daõy taêng & chaën treân (giaûm &
 Chöùng
chaën döôùi)
Chöùng minh daõy phaân kyø: Chæ ra 2 daõy con
coù lim khaùc nhau hoaëc toái thieåu moät daõy
con khoâng coù giôùi haïn
Maple: >limit( …, n=infinity); VD: limit( n/(n+1),
n=infinity) giaùo khoa & Boå sung (xem
BT: Saùch