1. BOÄ MOÂN TOAÙN ÖÙNG DUÏNG - ÑHBK
-----------------------------------------------------------------------------
--------
TOAÙN 1 HK1 0708
„ BAØI 4: VCBEÙ ‟ VCLÔÙN. LIEÂN TUÏC (SINH VIEÂN)
„ TS. NGUYEÃN QUOÁC LAÂN (11/2007)

2. VOÂ CUØNG BEÙ
--------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------
Ñaïi löôïng (x) ‟ voâ cuøng beù (VCB) khi lim x 0
x x0
x x 0:
VCB cô baûn (x 0): Löôïng x sin x , 1 cos x , tgx
giaùc
Muõ, e x 1, ln 1 x Luõy 1 x 1. VD : 1 3 x 1
ln: thöøa:
x0: Khoâng quan troïng. VCB x 1 VCB x 1: sin(x‟1) …
x
:
(x), (x) ‟ VCB khi x (x) VCB, C(x) bò
x0 (x) (x) , (x) (x): VCB chaën (x): VCB
C(x)
VD: a / lim sin b / lim x sin c / lim x sin
x x
0 x 0 x x x
BT: lim sin x 1 sin x
x

3. SO SAÙNH VOÂ CUØNG BEÙ
-------------------------------------------------------------------------------------------------------
-------------------------
(x), (x) ‟ VCB, x x0 vaø lim x So saùnh
c
x x0 x
ñöôïc
1/ c = 0 : (x) ‟ VCB caáp cao so vôùi (x): (x) =
o( (x))noùi khaùc:
Caùch (x) ‟ VCB caáp
thaáp hôn
2/ c = : Ngöôïc laïi tröôøng hôïp c = 0 (x) =
o( c 0, c
3/ (x)) : voâ cuøng beù
cuøng caáp
VCB caáp thaáp: Chöùa ít “thöøa soá 0” hôn. VD:
sin2x, x3 So saùnh 2 voâ cuøng beù xm , xn (m, n > 0)
Aùp duïng:
khi x 0
VD: So saùnh VCB: sin x, 1 cos x, tgx

4. VOÂ CUØNG BEÙ TÖÔNG ÑÖÔNG ‟ (QUAN TROÏNG)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
(x), (x) ‟ VCB töông ñöông khi x x0 lim x
1
x x0 x
VCB x2
löôïng sin x ~ x , tgx ~ x, 1 cos x ~ , x 0
2
giaùc: muõ, e x 1 ~ x, ln 1 x ~ x, x 0
VCB
ln:
VCB luõy thöøa 1 x 1 ~ x, x 0 VD: 3
1 2x ~
2x
3
(caên):
VCB töông ñöông: Ñöôïc pheùp thay thöøa soá töông
ñöông vaøo tích & thöông (nhöng khoâng thay vaøo
toång & hieäu!)
VD: Tìm haèng soá C vaø tgx sin x ~ Cx , x 0

5. DUØNG VOÂ CUØNG BEÙ TÍNH GIÔÙI HAÏN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Aùp duïng: Duøng voâ cuøng beù töông ñöông
tính giôùi haïn
x 1 x
x ~ 1 x , ~ 1 lim lim
x x0 x x0 x x0 x x x0 1 x
Tìm lim: Coù theå thay VCB tñöông vaøo TÍCH
(THÖÔNG)
Nhöng khoâng thay tuøy tieän VCB tñöông vaøo
TOÅNG (HIEÄU)
VD: Tìm 1/ lim ln 1 2tg 2 x ln cos 3x
2 / lim 2 x
x 0 x sin x x 0 e 1 sin x
2 x
x coù theå x0 baát kyø. lim x 2 2 x 3
x x x 1
VD: Tìm
~ & sin x tgx
1 ~ 1 khi x x0 1 ~ 1 VD : lim
x 0 x3

6. QUY TAÉC NGAÉT BOÛ VOÂ CUØNG BEÙ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
, ‟ VCB khaùc caáp + töông ñöông VCB caáp
thaáp hôn
Quy taéc ngaét boû VCB caáp cao: (x), (x) ‟ toång VCB
khaùc caáp lim / = lim (tyû soá hai VCB caáp thaáp
1 cuûa töû & maãu)3
VD: lim ln cosx 22 x sin x 2 2 x2 3tg 2 x
lim
x 0 ln 1 x x 0 sin 3 x 2 x
Thay VCB töông ñöông vaøo toång: VCB daïng luyõ
thöøa & 0
f ~ x ,x a
f g~ x x iff
g~ x ,x a & 0
sin x x 1 ln 1 x
1 / lim 2 / lim x x x x lim
x 0 x x x 0 x 1 x x2

7. VOÂ CUØNG LÔÙN ‟ SO SAÙNH VCL- NGAÉT BOÛ VCL
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Haøm y = f(x) ‟ voâ cuøng lôùn (VCL) khi xlim f x
x x0
x0 :
So saùnh VCL: f(x), g(x) ‟ VCL khi x x0 vaø giôùi
haïn f/g
c 0, : f(x), g(x) ‟ VCL cuøng
lim
f ( x)
c caáp
c = 1: f, g ‟ VCL töông ñöông : f ~ g
x x0 g ( x )
c= : f ‟ VCL caáp cao hôn g. Vieát: f
>> g
VD: 3 x 2 4 x 1 ~ 3x 2 ax x log x a 1, 0
x x x
 Toång voâ cuøng lôùn khaùc caáp töông ñöông VCL
caáp cao nhaát
 Thay VCL töông ñöông vaøo TÍCH (THÖÔNG) khi tính

8. KEÁT LUAÄN
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Vôùi giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (chaúng haïn
daïng 0/0 …):
 Daïng tích (thöông) Thay caùc THÖØA SOÁ
baèng bieåu thöùc töông ñöông & ñôn giaûn hôn
f x g x f1 x g1 x vôùi f(x) ~ f1(x), g(x) ~
lim lim
x x0 h x x x0 h1 x
g1(x) …
 Daïng toång VCB khaùc caáp Thay baèng VCB caáp
thaáp 1 toång VCB toång quaùt
 Daïng fi(x) Thay moãi
fi(x) baèng VCB töông ñöông daïng ~ Ci x ithöøa:i x
f i x luyõ & C i
0
Giôùi haïn chöùa Voâ Cuøng Beù (daïng / …): 1/ Thay
töông ñöông vaøo tích (thöông) khi tìm lim 2/ Toång

9. HAØM LIEÂN TUÏC
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Haøm f(x) lieân tuïc Haøm lieân tuïc/[a, b] (C):
taïi x0: xaùc ñònh
 f(x) ñöôøng lieàn Giaùn
taïi x0f x
 lim f x0 ñoaï
x x0
n!
Haøm sô caáp (ñònh nghóa qua 1 bieåu thöùc) lieân
tuïc xaùc ñònh
VD: Khaûo saùt tính lieân tuïc cuûa
caùc haøm soá: 1
tgx x2 sin x x, x 1 :
a/ y b/ y c / f ( x)
2
x 1 x 1 x, x 1 Khoâng
sô
sin x , x 0
VD: Tìm a ñeå haøm lieân tuïc y x caáp!
a , x 0
taïi x = 0:

10. LIEÂN TUÏC MOÄT PHÍA
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Töông töï giôùi haïn 1 phía: Haøm gheùp, chöùa trò tuyeät
… Khaûo saùt
f(x) lieân tuïc traùi taïi x0 khi xaùc lim f x f x0
ñònh taïi x0 vaø x0
x
 
f x0
f(x) lieân tuïc phaûi taïi x0 khi xaùclim f x f x0
x0
x
 
ñònh taïi x0 vaø f x0
Haøm f(x) lieân tuïc taïi x0 Lieân tuïc traùi & lieân
tuïc phaûi taïi x0
1
1
,x 1
VD: Khaûo saùt tính f ( x) x 1 Chuù lim a x ?
1 e x
lieân tuïc: 1, x 1 yù:

11. PHAÂN LOAÏI ÑIEÅM GIAÙN ÑOAÏN
----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
Haøm f xaùc ñònh & giaùn ñoaïn taïi x0 lim f x f x0
x x0
Khoâng coù f
Hoaëc lim f(x0), hoaëc lim‟ lim+, hoaëc lim f: 3
tröôøng hôïp!
Loaïi 1:
 Ñieåm khöû lim f x f x0
x x0
ñöôïc:
 Ñieåm lim f x lim f x
x x0 x x0
f(x) nhaûy:
Böôùc lim f x lim f x
giaùn
x x0 x x0
nhaûy:
ñoaïn taïi
Loaïi lim f x hoaëc lim f x
x0 x x0 x x0
2:
(Hoaëc khoâng toàn taïi caû 2

12. VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Ñieåm x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn ñoaïn?
Haõy phaân loaïi
sin x
, x 0
f x x
a , x 0

13. VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Ñieåm x0 = 0 coù phaûi ñieåm giaùn ñoaïn?
Haõy phaân loaïi
sin x
, x 0
f x x
1 , x 0

14. VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------
------------------------
Bieän luaän tính chaát ñieåm giaùn ñoaïn cuûa
haøm soá sau theo a
1
sin , x 0
f x x f 0 a
a , x 0
f 0 a

15. TÍNH CHAÁT HAØM LIEÂN TUÏC TREÂN MOÄT ÑOAÏN
-----------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
f bò chaën treân [a, b]: f ñaït GTLN, BN treân [a,
& m, Mf(x)
m M x [a, b]: , x
x0 1 [a, b]: f(x0) = m,
b] …
Chuù yù:
Haøm y = f(x)
Khoâng theå
lieân tuïc treân
thay ñoaïn
ñoaïn [a, b]
baèng
f nhaän moïi giaù trò khoaûng!
(Hay söû duïng) Ñònh lyù
trung gian: k & GTBN k giaù trò hai ñaàu traùi
GTLN c [a, b]: f(c) daáu: f(a).f(b) < 0 c
=k (a, b) : f(c) = 0

16. VÍ DUÏ
---------------------------------------------------------------------------------------------------------
--------------------------
1/ Tìm a, b ñeå haøm x 12 , x 0
f lieân
soá sau lieân tuïc f x ax b , 0 x 1
tuïc taïi
treân R x , x 1
0&1
2/ Chöùng minh phöông trình sau coù ít nhaát 1
nghieäm aâm x5 1 x
f(x) lieân tuïc treân (0, 3). Ñeå pt f(x) = 0 coù
nghieäm treân (a, b) = (2, 3)
a/ f(2)f(3) < 0, (a, b): b/ f(1)f(2) < 0, (a, b)
= (1, 2)
a/ Bao nhieâu haøm soá f(x) xaùc ñònh treân R: f2(x)
= 1 x R
b/ Bao nhieâu haøm soá f(x) lieân tuïc treân R: f2(x)