TaPL読書会での発表スライド(11章後半メイン)です。

1. TaPL Reading (7th)
Chapter 11 -Simple Extensions-
@a_hisame
Oct 24, 2012
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2. Outline
11章の復習
(11.1 BaseTypesから 11.9 Sumsまで)
11.10 Variants
11.11 General Recursion
11.12 Lists
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3. section 11.1 - 11.2
・11.1 Base Types
特に構造を持たない型
Bool, Nat, Floatなど
・11.2 The Unit Type
値unitを唯一の要素として持つ型
Base Typeの一種
意味のある値を受け渡ししない場合に
利用する（副作用を用いる場合など)
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4. section 11.3
・11.3 Derived Forms
一種の省略形。構文糖衣(*)の事。
Sequence
t1; t2 (λx: Unit . t2) t1
where x FV(t2) [def FV on P.69]
Wildcard
(λ_: S . t) (λx: S . t)
where x FV(t)
* 構文糖衣: 読み書きのしやすさの為に導入される、既に定義されている構文の
書き換えとして定義されたもの.
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5. section 11.4 - 11.5
・11.4 Ascription
型に関する情報・記法の提供
・特定の型の明示(as T)
・型の省略記法(UU = Unit -> Unit)
・11.5 Let Binding
Derived Formの一種
let x = t1 in t2 (λx: T1 . t2) t1
Evaluation Ruleから、t2中のxはt1に置き換わる
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6. section 11.6 - 11.8
・11.6 Pairs
２つの要素を持つ値
{v1, v2} : T1 T2 と表現
・11.7 Tuples
Pairの拡張。n個の要素を持つ値
{vi i ∈ 1..n} : {Ti i ∈ 1..n} と表現
・11.8 Records
Tupleの拡張。要素にラベルをつけたもの
{li = vi i ∈ 1..n} : {li : Ti i ∈ 1..n} と表現
ここでは、等価性に順序を考慮する
({x=5, y=1} {y=1, x=5} )
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7. section 11.9
・11.9 Sums
T1とT2という2つの型に対して、どちらかの型の
値を持つ新たな(T1+T2)型を定義
・inl x と inr x で T1,T2のどちらに属するかを判定
このルールを単純に導入すると、型付けの一意性
規則(Theorem9.3.3)が崩れる
Subtyping(継承)に関する話が出てくる
※Theorem9.3.3 与えられた型環境Γの下で任意の項tは高々１つの型しか
持たない
反例： inl 5 : (Nat + Nat) かつ inl 5 : (Nat + Bool)
ここでは、解決策に明示的型指定を選択。
例：inl 5 as Nat + Nat inl 5 as Nat + Bool
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8. Variants
・11.10 Variants
Sumsを一般化(*)して、Recordの様にラベルをつ
けたものをVariantsと定義する
・inl t1 as T1+T2 → <l1=t> as <l1:T1, l2:T2>
・よく使われる例を３例紹介
Option
既存の型に 値を取れない領域 を付加
nullの利用も、パターンとしてはOptionになる
OptionalNat = <none: Unit, some: Nat>
※ 定義より、Sums(+)は２項までしか対応しない
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9. Variants
・11.10 Variants
Enumerations
Variantsの型に属する値を作る事ができる
Weather = <sunny:Unit, cloudy: Unit, rainy: Unit>
Single-Field Variables
値を型で包むことで、不用意な計算や変換を行え
ないようにする
・単位系の計算などに有用
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10. Variants
・11.10 Variants (他の話題)
VariantsとML系のDatatype定義の違い
・記法が異なる
・型アノテーション(as T)が不要
・Unit型の値ではない
・再帰的定義(例: List)が可能
ここで出てきたSumやVariantは
Disjoint Union(直和) と呼ばれる事もある
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11. General Recursion
・11.11 General Recursion
λ計算ではfix combinatorによって再帰を実現して
いたが、この言語系ではどのように再帰を行うか？
この言語系でもfix combinatorを定義したいが、単純型付
きラムダ計算ではfixが定義できないため、termとして導入
する(Fig.11-12, P.144)。
fix (λx: T1 . t2)
[E-FixBeta]
→ [x ⇨ (fix (λx:T1 . t2))] t2
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12. General Recursion
・11.11 General Recursion
fix (λx: T1 . t2)
[E-FixBeta]
→ [x ⇨ (fix (λx:T1 . t2))] t2
fix ff = [P.143 評価を進めた]
λx: Nat .
if iszero x then true
else if iszero (pred x) then false
else fix ff (pred (pred x));
このfixの場合、正格評価戦略を取ると、展開が終わらなくなる。
Wikipedia: 不動点コンビネータ(Fix Combinator)なども参照。
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13. General Recursion
・Exercise 11.11.1
equal
equal : Nat -> Nat -> Bool
equal = fix ffeq
ffeq : (Nat -> Nat -> Bool) -> Nat -> Nat -> Bool
ffeq = λeq: Nat -> Nat -> Bool .
λx: Nat . λy: Nat .
if and (iszero x) (iszero y) then true
else if or (iszero x) (iszero y) then false
else eq (pred x) (pred x);
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14. General Recursion
・Exercise 11.11.1
plus
plus : Nat -> Nat -> Nat
plus = fix ffpl
ffpl : (Nat -> Nat -> Nat) -> Nat -> Nat -> Nat
ffpl = λpl: Nat -> Nat -> Nat .
λx: Nat . λy: Nat .
if iszero y then x
else pl (succ x) (pred y);
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15. General Recursion
・Exercise 11.11.1
times
times : Nat -> Nat -> Nat
times = fix fftm
fftm : (Nat -> Nat -> Nat) -> Nat -> Nat -> Nat
fftm = λtm: Nat -> Nat -> Nat .
λx: Nat . λy: Nat .
if iszero y then 0
else plus x (tm x (pred y));
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16. General Recursion
・Exercise 11.11.1
factorial
factorial : Nat -> Nat
factorial = fix fffc
fffc : (Nat -> Nat) -> Nat -> Nat
fffc = λfc: Nat -> Nat .
λn: Nat .
if iszero n then 1
else times n (fc (pred n));
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17. General Recursion
・11.11 General Recursion
letrec letrecは以下の定義の構文糖衣
letrec x: T1 = t1 in t2 let x = fix (λx: T1 . t1) in t2
letrec iseven : Nat -> Bool =
λx: Nat .
if iszero x then true
else if iszero (pred x) then false
else iseven (pred (pred x))
in
iseven 7;
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18. Lists
・11.12 Lists
型Tの要素を持つList型を定義する
List a ::= nil ¦ Cons a List [Defenition of List]
リストの定義からいくつか
v ::= ...
nil[T]
cons[T] v v
Γ-¦ t1:T1 Γ-¦ t2:List T1
[T-Cons]
Γ-¦ cons[T1] t1 t2 : List T1
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