Legendre変換の練習問題

1.
Legendre変換の練習問題第8回池袋物理学勉強会のときに参加者の人に手を動かして慣れてもらうために解いてもらったものです

2.
変数x、yの関数について、独立変数の組を(x,y)から(p, y)に変更する Legendre変換を考える。ここでpはである。 1. pの定義式を具体的に計算し、これを逆にxについて解け。 2. f(x, y)のxについてのLegendre変換を具体的に計算し、1.を用いてxを消去してp, yの関数として表せ。

3.
3. (x, y)を独立変数としたときのと、(p, y) を独立変数としたときのとが符号を除き一致することを示せ。 4. に対して、pについて再びLegendre変換を行うことを考える。が元のxに、がに戻ることを確認せよ。