Programming Haskell Chapter 11 切符番号選びについて

1. プログラミングHaskell 11章
切符番号選び
@dekosuke

2. 概略
 数字遊び @ twitter
 切符番号選び
 切符番号選びの高速化
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3. 数字遊び
 ランダムな４つの数字から、10を作ろう！
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4. 数字遊び
 Easy! => 3+2+7-2
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5. 数字遊び
TLを眺めてみると、
問題によっては、難易度高い・・・
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6. 数字遊び
 累乗で解決！
6

7. 数字遊び
さらに難易度上昇
7

8. 数字遊び
 絶対値とルートで解決！？・・・
8

9. 数字遊び
絶対値とルートで解決！？・・・
9

10. 数字遊び
 上のTwitterの数字遊びは、使える演算が明
示されていないあいまいさがある（それ
が面白さにつながる点も）
 使える演算をちゃんと決めよう！
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11. 切符番号選びのルール
 正数のリストが与えられる
 リストから好きな数だけ選んで正数を使
い、四則演算を行える
 計算途中で０以下になってはいけない
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12. 切符番号選びのルール
[Int] -> [(Expr, Int)]
整数のリストから、四則演算で作られる式
とその答えのリストが作られる
欲しい数は、その中に「ある」か「ない」
かのどちらか
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13. 切符番号選びのルール
というわけで、切符番号選びのプログラム
を書きましょう！
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14. 切符番号選び
data Op = Add | Sub | Mul | Div
--演算
valid :: Op -> Int -> Int -> Bool
apply :: Op -> Int -> Int -> Int
--演算が正当かどうかと、演算を行う関数
--Maybe?...
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15. 切符番号選び
data Expr = Val Int | App Op Expr Expr
--式
eval :: Expr -> [Int]
--式の評価 (実質Maybe)
--整数の組み合わせを作るため、次から
色々関数を定義します
--Val は適宜省略します
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16. 切符番号選び
subs :: [a] -> [[a]]
subs [] = [[]]
subs (x:xs) = yss ++ map (x:) yss
where yss = subs xs
--リストの全ての部分集合を作る
--集合のべき乗(2^X)
--subs [1, 2] = [[], [2], [1], [1,2]]
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17. 切符番号選び
perms :: [a] -> [[a]]
perms [] = [[]]
perms (x:xs) = concat (map (interleave x)
(perms xs))
--集合のpermutation(並び替え)
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18. 切符番号選び
choices :: [a] -> [[a]]
choices xs = concat (map perms (subs xs))
--全ての部分集合を含んだ順列を作る
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19. 切符番号選び
solution :: Expr -> [Int] -> Int -> Bool
solution e ns n = elem (values e) (choices ns)
&& eval e == [n]
--式eを構成する数値がリストnsに含まれて
いる かつ 式eを評価すると値nになる
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20. 切符番号選び
全ての解答を探す関数solutionsを作りたい
solutions :: [Int] -> Int -> [Expr]
--solutions (数のリスト) 正解値-> 数のリスト
が生成元の式で、評価すると正解値になる
もの
-- solutions [1,2,3] 3 = [Val 3, Add 1 2, Add 2 1]
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21. 切符番号選び
split :: [a] -> [([a],[a])]
split [] = []
split [_] = []
split (x:xs) = ([x],xs):[(x:ls,rs)|(ls,rs) <- split xs]
--集合を全ての場所で２つに割る
-- split [1,2,3,4] = [([1],[2,3,4]), ([1,2],[3,4]),
([1,2,3],[4])]
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22. 切符番号選び
split :: [a] -> [([a],[a])]
split [] = []
split [_] = []
split (x:xs) = ([x],xs):[(x:ls,rs)|(ls,rs) <- split xs]
--集合を全ての場所で２つに割る
-- split [1,2,3,4] = [([1],[2,3,4]), ([1,2],[3,4]),
([1,2,3],[4])]
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23. 切符番号選び
combine :: Expr -> Expr -> [Expr]
combine l r = [App o l r | o<-ops]
ops :: [Op]
ops = [Add,Sub,Mul,Div]
--2つの式にすべての演算を適用
--[Add 式1 式2, Sub 式1 式2, Mul 式1 式2, Div
式1 式2]
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24. 切符番号選び
exprs :: [Int] -> [Expr]
exprs [n] = [Val n]
exprs ns = [e | (ls, rs) <- split ns, l<-exprs ls, r<-
exprs rs, e<-combine l r]
--数値のリストを全て一回ずつ使った式す
べてを返す (本当はこれは遅い(後述) )
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25. 完成
solutions :: [Int] -> Int -> [Expr]
solutions ns n = [e|ns' <- choices ns, e<-exprs
ns', eval e==[n]]
--与えられた数を生成する式をすべて探す
が、遅い… (4分 @ モダンなマシン)
(Sub 1 2) <- こういう式が途中に出たら打ち
切りたい
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26. 高速化
type Result = (Expr, Int)
combine' :: Result -> Result -> [Result]
combine' (l,x) (r,y) = [(App o l r, apply o x y)|o <-
ops, valid o x y]
--2つのExprに対して、validな演算すべてを
適用
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27. 高速化
results :: [Int] -> [Result]
results [] = []
results [n] = [(Val n, n) | n>0 ]
results ns = [res | (ls,rs) <- split ns, lx<-results ls,
ry <-results rs, res<-combine' lx ry]
--数値のリストを、すべて使った式を作っ
て評価する
-- [1,2] -> [(Add 1 2, 3), (Mul 1 2, 2)]
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28. 高速化
solutions' :: [Int] -> Int -> [Expr]
solutions' ns n = [e|ns' <- choices ns, (e,m)<-
results ns' , m==n]
--式を作るうえでvalidでない演算は早めに打
ち切る
--10数秒 @ モダンなマシン
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29. 高速化
さらに工夫を…
・足し算や掛け算は可換なので
(Add 2 3) と (Add 3 2)は片方でいい
・(Mul x 1) は自明なので除去
これらの条件をvalidに入れ込む
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30. 高速化
・solutionsは元の数のリストに対して階乗
で計算量が増大する
・組合せ爆発
・式の途中で計算を打ち切ると、組合せの
増加速度を抑えられる→小さな工夫が指数
的に効く
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