Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 8 gồm 4 bài tập chính, bao gồm phân tích đa thức, giải phương trình và chứng minh hình học. Bài 1 yêu cầu phân tích và chứng minh, bài 2 tập trung vào giải phương trình, bài 3 liên quan đến hình học có hình vuông và tam giác vuông góc, và bài 4 yêu cầu tối thiểu hóa độ dài và diện tích. Mỗi bài tập đều có yêu cầu cụ thể về chứng minh và tìm ra nghiệm.

1. ĐỀ 1
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI CẤP HUYỆN
MÔN: TOÁN LỚP 8
Thời gian: 150 phút
Bài 1: (3đ) a) Phân tích đa thức x3
– 5x2
+ 8x – 4 thành nhân tử
b) Tìm giá trị nguyên của x để A M B biết
A = 10x2
– 7x – 5 và B = 2x – 3 .
c) Cho x + y = 1 và x y ≠ 0 . Chứng minh rằng
( )
3 3 2 2
2
0
1 1 3
x yx y
y x x y
−
− + =
− − +
Bài 2: (3đ) Giải các phương trình sau:
a) (x2
+ x)2
+ 4(x2
+ x) = 12
b) 2003
6
2004
5
2005
4
2006
3
2007
2
2008
1 +
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
Bài 3: (2đ) Cho hình vuông ABCD; Trên tia đối tia BA lấy E, trên tia đối tia CB lấy F
sao cho AE = CF
a) Chứng minh ∆EDF vuông cân
b) Gọi O là giao điểm của 2 đường chéo AC và BD. Gọi I là trung điểm EF. Chứng
minh O, C, I thẳng hàng.
Bài 4: (2)Cho tam giác ABC vuông cân tại A. Các điểm D, E theo thứ tự di chuyển trên
AB, AC sao cho BD = AE. Xác địnhvị trí điểm D, E sao cho:
a/ DE có độ dài nhỏ nhất
b/ Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.

2. HD CHẤM
Bài 1: (3 điểm)
a) ( 0,75đ) x3
- 5x2
+ 8x - 4 = x3
- 4x2
+ 4x – x2
+ 4x – 4
(0,25đ)
= x( x2
– 4x + 4) – ( x2
– 4x + 4) (0,25đ)
= ( x – 1 ) ( x – 2 ) 2
(0,25đ)
b) (0,75đ) Xét
2
A 10x 7x 5 7
5x 4
B 2x 3 2x 3
− −
= = + +
− −
(0,25đ)
Với x ∈ Z thì A M B khi
7
2 3−x
∈ Z ⇒ 7 M ( 2x – 3) (0,25đ)
Mà Ư(7) = { }1;1; 7;7− − ⇒ x = 5; - 2; 2 ; 1 thì A M B (0,25đ)
c) (1,5đ) Biến đổi 3 3
x y
y 1 x 1
−
− −
=
4 4
3 3
x x y y
(y 1)(x 1)
− − +
− −
=
( )4 4
2 2
x y (x y)
xy(y y 1)(x x 1)
− − −
+ + + +
( do x + y = 1⇒ y - 1= -x và x - 1= - y) (0,25đ)
=
( ) ( ) ( )2 2
2 2 2 2 2 2
x y x y x y (x y)
xy(x y y x y yx xy y x x 1)
− + + − −
+ + + + + + + +
(0,25đ)
=
( ) 2 2
2 2 2 2
x y (x y 1)
xy x y xy(x y) x y xy 2
− + −
+ + + + + +  
(0,25đ)
=
( ) 2 2
2 2 2
x y (x x y y)
xy x y (x y) 2
− − + −
+ + +  
=
( )[ ]
2 2
x y x(x 1) y(y 1)
xy(x y 3)
− − + −
+
(0,25đ)
=
( )[ ]
2 2
x y x( y) y( x)
xy(x y 3)
− − + −
+
=
( )
2 2
x y ( 2xy)
xy(x y 3)
− −
+
(0,25đ)
= 2 2
2(x y)
x y 3
− −
+
Suy ra điều cần chứng minh (0,25đ)
Bài 2: (3 đ)a) (1,25đ)
(x2
+ x )2
+ 4(x2
+ x) = 12 đặt y = x2
+ x
y2
+ 4y - 12 = 0 ⇔ y2
+ 6y - 2y -12 = 0 (0,25đ)
⇔ (y + 6)(y - 2) = 0 ⇔ y = - 6; y = 2 (0,25đ)
* x2
+ x = - 6 vô nghiệm vì x2
+ x + 6 > 0 với mọi x (0,25đ)
* x2
+ x = 2 ⇔ x2
+ x - 2 = 0 ⇔ x2
+ 2x - x - 2 = 0 (0,25đ)
⇔ x(x + 2) – (x + 2) = 0 ⇔ (x + 2)(x - 1) = 0 ⇔ x = - 2; x = 1 (0,25đ)
Vậy nghiệm của phương trình x = - 2 ; x =1
b) (1,75đ)
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + = + + ⇔
x 1 x 2 x 3 x 4 x 5 x 6
( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1) ( 1)
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + + + + = + + + + +

3. ⇔
2003
2009
2004
2009
2005
2009
2006
2009
2007
2009
2008
2009 +
+
+
+
+
=
+
+
+
+
+ xxxxxx
⇔
x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009 x 2009
0
2008 2007 2006 2005 2004 2003
+ + + + + +
+ + − − − = (0,25đ)
⇔ 0)
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
)(2009( =−−−+++x (0,5đ) Vì 1 1
2008 2005
< ; 1 1
2007 2004
< ;
1 1
2006 2003
<
Do đó : 0
2003
1
2004
1
2005
1
2006
1
2007
1
2008
1
<−−−++ (0,25đ) Vậy x + 2009 = 0 ⇔ x = -2009
Bài 3: (2 điểm)
a) (1đ)
Chứng minh ∆EDF vuông cân
Ta có ∆ADE = ∆CDF (c.g.c)⇒ ∆EDF cân tại D
Mặt khác: ∆ADE = ∆CDF (c.g.c) ⇒ 1 2
ˆ ˆE F=
Mà 1 2 1
ˆ ˆ ˆE E F+ + = 900 ⇒ 2 2 1
ˆ ˆ ˆF E F+ + = 900
⇒ EDF= 900
. Vậy ∆EDF vuông cân
b) (1đ) Chứng minh O, C, I thẳng
Theo tính chất đường chéo hình vuông ⇒ CO là trung trực BD
Mà ∆EDF vuông cân ⇒ DI =
1
2
EF
Tương tự BI =
1
2
EF ⇒ DI = BI
⇒ I thuộc dường trung trực của DB ⇒ I thuộc đường thẳng CO
Hay O, C, I thẳng hàng
Bài 4: (2 điểm)
a) (1đ)
DE có độ dài nhỏ nhất
Đặt AB = AC = a không đổi; AE = BD = x (0 < x < a)
Áp dụng định lý Pitago với ∆ADE vuông tại A có:
DE2
= AD2
+ AE2
= (a – x)2
+ x2
= 2x2
– 2ax + a2
= 2(x2
– ax) – a2
(0,25đ)
= 2(x –
2
a
4
)2
+
2
a
2
≥
2
a
2
(0,25đ)
Ta có DE nhỏ nhất ⇔ DE2
nhỏ nhất ⇔ x =
a
2
(0,25đ)
A
B
E I
D
C
O
F
2
1
1
2
A
D
B
C
E

4. ⇔ BD = AE =
a
2
⇔ D, E là trung điểm AB, AC (0,25đ)
b) (1đ)
Tứ giác BDEC có diện tích nhỏ nhất.
Ta có: SADE =
1
2
AD.AE =
1
2
AD.BD =
1
2
AD(AB – AD)=
1
2
(AD2
– AB.AD) (0,25đ)
= –
1
2
(AD2
– 2
AB
2
.AD +
2
AB
4
) +
2
AB
8
= –
1
2
(AD –
AB
4
)2
+
2
AB
2
≤
2
AB
8
(0,25đ)
Vậy SBDEC = SABC – SADE ≥
2
AB
2
–
2
AB
8
=
3
8
AB2
không đổi (0,25đ)
Do đó min SBDEC =
3
8
AB2
khi D, E lần lượt là trung điểm AB, AC (0,25đ)