1. ГЕОМЕТРИЯ
ХI класс

2. План урока:
Экскурс в историю;
Вопросы;
Общая формула объема тел вращения;
Упражнения (вывод формул объемов
цилиндра, конуса, усеченного конуса, шара,
шарового сегмента, шарового сектора)
Тесты (тест1 , тест2 , test 3 );
Kроссворд- “Тела вращения вокруг нас”
Домашнее задания;
Рефлексия.

3. Экскурс в историю:
На могиле Архимеда (287 до н.э.— 212 до н.э.) по его
завещанию, изображен шар, вписанный в цилиндр.
Архимед определил что, отношение объемов тел шара и двух
конусов с общей вершиной такого:
два конуса: шар: цилиндр =1 : 2 : 3

4. Вопросы :
1. Как называется эта фигура ?
2. Перечислите элементы этой фигуры и
покажите их.
3. Вращением какой плоской фигуры она
получена? Нарисуйте эту плоскую
фигуру.
4. Дайте определение этому телу
вращения.
5. Где можно встретить такую фигуру?

5. Общая формула объема тел вращения:
y
y f x
b b b
2
V S ( x)dx f ( x)dx y 2 dx x x
a a a
x
0 a b x
Объем тела, полученного при вращении криволинейной
трапеции, ограниченной линиями
x a x b y 0 y f x
( f (x) непрерывная на отрезке a; b положительная функция )
вокруг оси абсцисс, вычисляется по формуле:
b
V f 2 ( x)dx
a

6. Упражнение 1: Выведите формулу
объема цилиндра
H
Ответ
R

7. y
y R
R
0 H x
H
2 2
V R dx R H
0

8. Упражнение 2: Выведите формулу
объема конуса
H
R
Ответ

9. y
R
y x
H
R
0 H x
H 2 2
R x 1 2
V 2
dx R H
0 H 3

10. Упражнение 3: Выведите формулу
объема усеченного конуса
r
H
R
Ответ

11. y
Rr
y x r
H
R
r
0 H x
H
R r 2 1 2 2
V ( x r ) dx H R Rr r
0
H 3

12. Упражнение 4: Выведите формулу
объема шара
R
Ответ

13. y
x2 y2 R2
R 0 R x
R
2 2 2 4 3
V (R x ) dx R
R
3

14. Упражнение 5: Выведите формулу
объема шарового сегмента
H
R
Ответ

15. y
0 R-H R x
R
2 2 2 2 H
V (R x ) dx H R
R H
3

16. Упражнение 6: Выведите формулу
объема шарового сектора
H
R
Ответ

17. H
R-H
R
V Vсегмент Vконус
2 1 1 2 2 2
H (R H) 2 RH H R H R H
3 3 3

18. Hайдите радиус шара , объем
которого 200 см .
3
150
см см
150 150
3 см 3 см
150 150см

19. Осевым сечением конуса является
равнобедренний треугольник с
основанием 4 см и высотой 6 см.
Найдите объем конуса.
8 см3 24 см3
32 см3
48 см 3
96 см 3

20. Как изменится объем цилиндра, если
не меняя его радиус, увеличить высоту
в 5 раз?
Не
Увелич. Умен. изменится
в 25 раз в 5 раз Умен. Увелич.
в25 раз в 5 раз

21. Кроссворд: “Тела вращения вокруг нас”
6
3 4 5
2
1 7
ответ

22. Т
О
С З Б Р
Г Т О А Ш
П Л А Н Ш Е Т
А О К Т Н Р Р
Р Б А И Я У
А У Н К Б
Ш С А
Ю
Т

23. Домашнее
задание:
• Геометрия -11 класс, §28, задачи 534-
548;
• Собрать дополнительные сведения о
телах вращения и сделать
презентацию;
• Написать реферат на темы “ Легенды
об Архимеде” и “ Изобретения
Архимеда сегодня ”;
• Изобразить фантастическое здание
изпользуя тела вращения.

24. Рефлексия:
• Понравился ли вам урок?
• Какие новые знания вы приобрели на
этом уроке?
• Где вы можете применить эти знания?
• Удобно ли вам работать с планшетом?