تتضمن الوثيقة معلومات عن الزمر والعمليات الثنائية وكذلك شروط وجود عنصر محايد ونظير لكل عنصر ضمن المجموعة. تقدم الوثيقة أمثلة تطبيقية توضح كيف يمكن تشكيل زمرة تبديلية باستخدام الأعداد النسبية.

1. العمليات الثنائية و الزمرةمقدمة الى : الست حنان كرابلية.

2. مقدمة :1.العمليات الثنائية .2.الزمرة.

3. الزمرة:عبارة عن مجموعة مزودة بعملية ثنائية يرمز لها بـ * بحيث يربط كل ثنائية مرتبة من عناصر عنصر من بحيث يحقق الشروط .

4. وهذه الشروط هي:*عملية ثنائية مغلقة :العملية الثنائية*على المجموعة س هي القاعدة التي تعطي لأي عنصرين م ن  س عنصرا اخر وحيدا هو ناتج م*ن.

5. 2.*عملية ثنائية تبديلية :تكون*عملية ثنائية تبديلية اذا كانت معرفة على المجموعة س وكانت أ *ب = ب*أ أ,ب  س.ملاحظة :يجب توافر هذا الشرط فقط اذا كانت زمرة تبديلية

6. 3.*عملية ثنائية تجميعية:تكون العملية الثنائية *المعرفة على المجموعة س تجميعية اذا كان : (س*ص)*ع=س*(ص*ع)س,ص,عس.

7. 4.يوجد عنصر محايد هابحيث أن:س*ه=ه*س,سا.لتكن *عملية ثنائية معرفة على المجموعة س,يكون العنصر هس محايد اذاوفقط اذا كان أ*ه=ه*أ=أ,أسأي انه أس,ه عنصر محايد أ*ه=ه*أ=أ.

8. 5.لكل س ا يوجد عنصر نظير س-1 بحيث ان س*س-1=س-1*س=ه .لتكن *عمليه ثنائيه معرفه على س ,ليكن ه هو العنصر المحايد.يسمى العنصر ب نظير العنصر أ بالنسبه للعملية الثنائية*اذا تحقق الشرط التالي:أ*ب =ب*أ=ه وسوف نرمز لنظير العنصر أبالرمز أ-1 ويقرأ نظير أ.

9. مثال:لتكن * عملية معرفة على مجموعة الاعداد النسبية  كالتالي: أ*ب=أ+ب+4. بين أن ),*) تشكل زمرة تبديلية. الحل:أ *عملية ثنائية مغلقة لان أ*ب=أ+ب+4,أ,ب ب*عملية تجميعية حيث (س*ص)*ع=(س+ص+4)*ع= س+ص+4+ع+4=س+ص+ع+8.س*(ص*ع)=س*(ص+ع+4)=س+ص+ع+4+4=س+ص+ع+8.

10. المثال:(س*ص)*ع=س*(ص*ع)لكل س,ص,ع.ج نفرض أن ه هوا لعنصر المحايد, يكون(س*ه)=(ه*س)=سأي أن س+ه+4=ه+س+4=س ه=-4د نفرض أن س هوس1.س+س-1+4=-4س-1=-8سأذن لكل عنصر نظير أي أن النظام),*)يشكل زمرة.

11. مثال:وكذلك س*ص=س+ص+4 ص*س=ص+س+4س*ص=ص*س أي أن* عملية ثنائية تبديلية. ),*) يشكل زمرة تبديلية.

12. عمل الطالبة:هيا حسني بشارةالصف :العاشر(ب)مدرسة إبراهيم الخواجا