以前整理的線性代數基本介紹筆記 以電腦圖學相關領域的角度去談

1. 單元 2
矩陣 – 轉換
作者：王聖川
矩陣主要應用在線性代數的運算上，而在電腦圖學領域中，矩陣是不可或缺
的一個元素，因為它實現了各式各樣的轉換運算(Transformation)，如空間中物體
移動的轉換(移動 Translation 與旋轉 Rotation)、物體比例的縮放(Scale)、任意空間
座標軸系統的轉換(Arbitrary Orthogonal Coordinate Space)、三維幾何投影到二維
平面(Projection)等等。
此單元接下來就解釋轉換矩陣(Transformation Matrix)是怎麼運作的。轉換矩
陣就是經由特定形式設計的矩陣，以乘法計算出特定目的之轉換結果。首先來回
顧矩陣乘向量的公式：
A
[
A1,1 A1,2 A1,3 A1,4
A2,1 A2,2 A2,3 A2,4
A3,1 A3,2 A3,3 A3,4
A4,1 A4,2 A4,3 A4,4]
∗ B
[
B1,1
B2,1
B3,1
B4,1]
= B′
[
A1,1 ∗ B1,1 + A1,2 ∗ B2,1 + A1,3 ∗ B3,1 + A1,4 ∗ B4,1
A2,1 ∗ B1,1 + A2,2 ∗ B2,1 + A2,3 ∗ B3,1 + A2,4 ∗ B4,1
A3,1 ∗ B1,1 + A3,2 ∗ B2,1 + A3,3 ∗ B3,1 + A3,4 ∗ B4,1
A4,1 ∗ B1,1 + A4,2 ∗ B2,1 + A4,3 ∗ B3,1 + A4,4 ∗ B4,1]
上述公式亦可解釋為 F( Bi,1 ) = B’i,1 = a * Bi,1 + b * Bi,1 + c * Bi,1 + d * Bi,1；
其中 a = Ai,1、b = Ai,2、c = Ai,3、d = Ai,4。i = 1 ~ 4。
接著介紹一些基本最常用的轉換矩陣，第一個要介紹的單位矩陣(Identity
Matrix)，單位矩陣簡單來說就是乘上它之後會做白工的矩陣註 1，也就是向量 B 乘
上單位矩陣後的結果還是向量 B，單位矩陣的形式如下：
I [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
]
此矩陣乘法的計算過程詳列如下：

2. I [
1 0 0 0
0 1 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
] ∗ B
[
B1,1
B2,1
B3,1
B4,1]
=
[
1 ∗ B1,1 + 0 ∗ B2,1 + 0 ∗ B3,1 + 0 ∗ B4,1
0 ∗ B1,1 + 1 ∗ B2,1 + 0 ∗ B3,1 + 0 ∗ B4,1
0 ∗ B1,1 + 0 ∗ B2,1 + 1 ∗ B3,1 + 0 ∗ B4,1
0 ∗ B1,1 + 0 ∗ B2,1 + 0 ∗ B3,1 + 1 ∗ B4,1]
= B
[
B1,1
B2,1
B3,1
B4,1]
平移矩陣(Translation Matrix)是為達到在三維空間中對某目標點做移動一指
定距離之目的而產生的矩陣，該矩陣的形式如下所示：
T [
1 0 0 Tx
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0 0 0 1
]
其中 Tx, Ty, Tz 分別代表三維空間中 X, Y, Z 三軸方向上的移動距離。下面以向量 B
代表空間中的一個點座標：
B⃑⃑ = [
X
Y
Z
1
]
向量 B 乘上平移矩陣的計算過程詳列如下：
T [
1 0 0 Tx
0 1 0 Ty
0 0 1 Tz
0 0 0 1
] ∗ B⃑⃑ [
X
Y
Z
1
] = [
1 ∗ X + 0 ∗ Y + 0 ∗ Z + Tx ∗ 1
0 ∗ X + 1 ∗ Y + 0 ∗ Z + Ty ∗ 1
0 ∗ X + 0 ∗ Y + 1 ∗ Z + Tz ∗ 1
0 ∗ X + 0 ∗ Y + 0 ∗ Z + 1 ∗ 1
] = B′⃑⃑⃑ [
X + Tx
Y + Ty
Z + Tz
1
]
縮放矩陣(Scaling Matrix)是為了在三維空間中 X, Y, Z 三軸方向上將座標值依
指定的比例縮放的目的而產生的矩陣，該矩陣的形式如下：
S [
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0 0 0 1
]
其中 Sx, Sy, Sz 分別代表空間中 X, Y, Z 三軸方向上的縮放比例。在此同樣以向量 B
示範一次矩陣乘法的計算過程，如下所示：
S [
Sx 0 0 0
0 Sy 0 0
0 0 Sz 0
0 0 0 1
] ∗ B⃑⃑ [
X
Y
Z
1
] = [
Sx ∗ X + 0 ∗ Y + 0 ∗ Z + 0 ∗ 1
0 ∗ X + Sy ∗ Y + 0 ∗ Z + 0 ∗ 1
0 ∗ X + 0 ∗ Y + Sz ∗ Z + 0 ∗ 1
0 ∗ X + 0 ∗ Y + 0 ∗ Z + 1 ∗ 1
] = B′⃑⃑⃑ [
Sx ∗ X
Sy ∗ Y
Sz ∗ Z
1
]

3. 旋轉矩陣(Rotation Matrix)，主要為了旋轉一個點座標之目的而產生，但因為
旋轉轉換的數學計算過程較為複雜，所以接下來要先解釋二維空間的旋轉運作過
程，再推導出三維空間中較單純的旋轉矩陣應用。首先來討論二維空間中的一個
點繞著原點旋轉的案例：已知一點 P(X, Y)，該點到原點(0, 0)連成的線與 X 軸形成
一個夾角 θ，當 P 點繞著原點旋轉一個角度 α，便得到點 P’(X’, Y’)，而點 P’與原
點連成的線與 X 軸便形成一新的夾角 θ+α，如下圖所示：
已知 r 是 P 點到原點距離，由圓的公式我們可以推導出：
註 2
X = r ∗ cosθ
Y = r ∗ sin θ
X′
= r ∗ cos(θ + α) = r ∗ cosθ ∗ cosα − r ∗ sinθ ∗ sinα
Y′
= r ∗ sin(θ + α) = r ∗ sinθ ∗ cosα + r ∗ cosθ ∗ sinα
上面的公式將X = r ∗ cos θ與Y = r ∗ sin θ代入，便可推導出二維旋轉的一般公
式：
X′
= X ∗ cosα − Y ∗ sin α
Y′
= Y ∗ cosα + X ∗ sin α
得到二維旋轉公式後我們接著討論簡單的三維旋轉案例，也就是三維空間中
任意一點 P(X, Y, Z)，以原點(0, 0, 0)維旋轉中心，繞著 X, Y, Z 三軸之任一軸旋轉一
角度 θ。如果空間中一個點繞著 Z 軸旋轉，那麼其實旋轉後的點座標只有 X 和 Y
座標值有改變，因為 Z 座標值必須維持不變才能繞著 Z 軸旋轉(如下圖所示)。

4. 所以其實繞著 Z 軸旋轉的案例就跟上面談到的二維旋轉案例是很接近的，因此導
出公式如下：
P′ [
X′
Y′
Z′
1
] = [
X ∗ cosα − Y ∗ sin α
X ∗ sin α + Y ∗ cosα
Z
1
]
P’(X’, Y’, Z’)點是由 P(X, Y, Z)點以原點為中心繞著 Z 軸旋轉 α 角度後的位置。為了
符合上述公式的計算，進而推導出繞著 Z 軸旋轉的三維旋轉矩陣，其形式如下：
RZ [
cosα − sin α 0 0
sin α cosα 0 0
0 0 1 0
0 0 0 1
]
接著討論三維空間中任意點繞著 Y 軸旋轉的案例，同樣地在此情況下，X 與 Z 的
座標值會因為旋轉而改變，但 Y 座標值維持不變，而之前二維旋轉中 X 座標值的
計算公式需對應到 Z 座標值上，Y 座標值的計算公式則是對應到 X 座標值上，請
看下圖所示：(因此時 Z 軸對應到二維空間中的 X 軸；X 軸則對應到二維空間中的
Y 軸)
因此我們推導出繞著 Y 軸旋轉之公式如下：
P′ [
X′
Y′
Z′
1
] = [
X ∗ cosα + Z ∗ sin α
Y
−X ∗ sin α + Z ∗ cosα
1
]
進而推導出繞著 Y 軸旋轉的三維旋轉矩陣之形式如下：
RY [
cosα 0 sin α 0
0 1 0 0
− sin α 0 cosα 0
0 0 0 1
]
同理我們再來看三維空間中繞著 X 軸旋轉的案例，X 軸座標值維持不變，Y 座標
值的旋轉計算對應到二維旋轉中的 X 座標值計算公式，Z 座標值的旋轉計算則對

5. 應到二維旋轉中的 Y 座標值計算公式，如下圖所示：
因此我們可推導出繞著 X 軸旋轉之公式如下：
P′ [
X′
Y′
Z′
1
] = [
X
Y ∗ cosα − Z ∗ sin α
Y ∗ sin α + Z ∗ cosα
1
]
進而我們可推導得到三維空間中繞著 X 軸旋轉之旋轉矩陣形式如下：
RX [
1 0 0 0
0 cosα − sin α 0
0 sin α cos α 0
0 0 0 1
]
註1：單位矩陣(Identity Matrix)是一個讓我們計算完矩陣乘法後會做白工的矩陣，
沒事要提這個矩陣做什麼？其實單位矩陣的存在就好像純數中 0 相對於加減法
的應用，還有 1 相對於乘除法的應用一樣，它是為了計算後仍保持原狀而存在的
矩陣，這一點對於一個繪圖系統(顯示卡/顯示晶片)的運作尤其重要，因為硬體無
法有效率地執行條件式的指令，所以你要告訴硬體某些狀況下不要做轉換矩陣的
相乘跟你請硬體直接做一次轉換矩陣的相乘但結果不變，此二種方式比起來，後
者要比前者有效率多了，因此單位矩陣之重要不言可喻。
註 2：旋轉公式的推導，其中我跳過了一些三角函式的推導，所以有些人可能覺
得二維旋轉公式的推導有點不順或看不懂，因本人對三角函式也忘的差不多了
XD，所以就請有興趣的人去請教 Google/Wiki 大神吧。
註 3：單元 1 和 2 提到的矩陣運算都是以”行”為主要計算方式為前提下推導出來
的(Row-Major)，有些人在網路上看到的旋轉矩陣可能會跟我在此寫出來的矩陣
長的不太一樣，可能網路上看到的是以”列”為主要計算方式為前提推導出來的
(Column-Major)。當然也有可能同樣以 Row-Major 為前提去推導，但是推導時矩
陣和向量的相乘順序不同，所以矩陣自然就長的不一樣(差一次轉置矩陣運算)，

6. 這一點也跟矩陣計算中交換律並不成立的原因有關，也就是矩陣 A＊矩陣 B 不保
證等於矩陣 B＊矩陣 A。