Система линейных алгебраический уравнений

1. Выполнил ст-т гр СС15-12
Кононова Екатерина

2. Метод Гаусса является одним из самых
наглядных и простых способов решения
систем линейных алгебраических
уравнений (СЛАУ): как однородных, так и
неоднородных. Коротко говоря, суть
данного метода состоит в
последовательном исключении
неизвестных.

3. x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4
x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3
-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5
x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1
-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

4. Ход решения
Нужно написать нашу СЛАУ в матричном виде
Коэффициенты стоящие перед Х1, Х2, Х3, Х4,Х5 и
будут составлять нашу матрицу :
а11 а12 а13 а14 а15
а21 а22 а23 а24 а25
а31 а32 а33 а34 а35
а41 а42 а43 а44 а45
а51 а52 а53 а54 а55
Как на рисунке
#Если в какое-то строчке нет какого-либо Х, как, например, в первой
строчке нет Х1, от коэффициент его равен нулю и элемент а11 будет
равен 0
x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4
x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3
-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5
x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1
-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3
2

5. К нашей матрице нужно справа
приписать еще одну дополнительную,
которая будет состоять из значений
функций . Такая матрица будет
называться расширенной
b1
b2
b3
b4
b5
x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4
x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3
-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5
x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1
-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3
4

6. Из системы уравнений
Мы получили матрицу
x2 + 2x3 - x4 + x5 = 4
x1 - 2x2 + 2x3 + x5 = 3
-2x1 + 3x3 4x4 + x5 =5
x1 + x2 + 3x3 3x4 + 2x5 = 1
-3x1 + x2 - x3 - 2x4 = 3

7. Перепишем систему
уравнений в матричном
виде и решим его методом
Гаусса
Поменяем 1-ую
строку и 2-ую
строку местами
К 3 строке добавляем 1 строку,
умноженную на 2; от 4 строки
отнимаем 1 строку, умноженную на
1; к 5 строке добавляем 1 строку,
умноженную на 3
Ход решения
Меняем
местами

8. к 1 строке добавляем 2 строку,
умноженную на 2; к 3 строке
добавляем 2 строку, умноженную
на 4; от 4 строки отнимаем 2
строку, умноженную на 3; к 5
строке добавляем 2 строку,
умноженную на 5
3-ую строку делим на 15
от 1 строки отнимаем 3 строку,
умноженную на 6; от 2 строки
отнимаем 3 строку, умноженную на 2;
к 4 строке добавляем 3 строку,
умноженную на 5; от 5 строки
отнимаем 3 строку, умноженную на 15

9. 4-ую строку делим на -
8/3
от 1 строки отнимаем 4 строку,
умноженную на 1.2; от 2 строки
отнимаем 4 строку, умноженную на
1/15; к 3 строке добавляем 4 строку,
умноженную на 8/15; от 5 строки
отнимаем 4 строку, умноженную на 1
5-ую строку делим на 1.125

10. Мы привели матрицу к треугольному
виду, теперь можно найти корни
Теперь значения а11…а55 мы ставим как коэффициенты
перед Иксами, а b1…b2 будут новыми значениями функции :
Х1 + 0,35*Х5 = -2,05
Х2 + 0,075*Х5 = 0,275
Х3 + 0,4*Х5 = 2,8
Х4 – 0,125*Х5 = 1,875
Х5 = 25/9

11. Решая систему, получаем корни

12. Находим коэффициент для зануления элементов матрицы