-

1. 1
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО СВЯЗИ
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
ПОВОЛЖСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ
ТЕЛЕКОММУНИКАЦИЙ И ИНФОРМАТИКИ
Кафедра физики
УЧЕБНО-МЕТОДИЧЕСКОЕ ПОСОБИЕ ПО ДИСЦИПЛИНЕ
Прикладная голография
Автор: Петропавловский В. М., канд. ф.-м.н., доцент
Самара, 2014
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

2. 2
УДК 535.43 + 681.069
Петропавловский В.М. Прикладная голография
Самара: ФБГОБУ ПГУТИ, 2014. – 123с.
Рассмотрены современные методы голографии. Излагаются способы записи и
воспроизведения голограмм различных типов, их преимущества и недостатки.
Для студентов, магистров и аспирантов, обучающихся по специальности
200700 ФОТОНИКА И ОПТОИНФОРМАТИКА.
Федеральное государственное образовательное бюджетное учреждение
высшего профессионального образования
Поволжский государственный университет телекоммуникаций и информатики
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

3. 3
Введение.
Слово голография образовано от греческих слов «целый» и «описание». Его
можно перевести как «полное описание (объекта)». Это означает, что на голограмме
регистрируется (и может быть воспроизведена) информация как об амплитуде волны
так и об ее фазе. Для записи голограммы необходимо использовать источник
когерентного света – лазер. Излучение разделяется на две волны: предметную,
отраженную от объекта, и опорную волну с плоским или сферическим фронтом.
Интерференционная картина от этих волн регистрируется фотопластинкой. При
восстановлении опорная волна, проходя сквозь голограмму, дифрагирует на ней,
создавая изображение предмета.
1. РАСПРОСТРАНЕНИЕ И ДИФРАКЦИЯ СВЕТА
При получении голограммы на пути света, испущенного источником, приходится
помещать различные препятствия. Ими могут быть светоделители, зеркала,
микрообъективы, линзы, диафрагмы, а также объект голографирования и
фотопластинка. Каждый из этих элементов по-своему воздействует на световой
пучок. Так как их размеры конечны, то они оказывают влияние лишь на часть пучка,
вызывая потери оптической информации.
Дифракция на препятствиях не является единственной причиной изменения
световой волны. Даже в процессе обычного распространения света в пространстве
происходит изменение поля его комплексных амплитуд. Примером этого может
служить рассматриваемое далее свойство тонких линз выполнять преобразование
Фурье распределения амплитуд в световой волне. Мы увидим, что для
осуществления преобразования Фурье необходимо не только, чтобы свет прошел
через линзу, но и чтобы он прошел после этого путь, равный фокусному расстоянию
линзы. Процесс получения голограмм и их изображающие свойства можно
объяснить с помощью теории дифракции.
В этой главе мы рассмотрим распространение и дифракцию плоских волн сначала
на препятствиях простой, а затем более сложной формы. Будет установлена связь
между распределением комплексных амплитуд света в плоскости объекта и в
плоскости, удаленной от него на некоторое расстояние в направлении распро-
странения волн. Анализ проводится в области пространственных частот. Хотя этот
подход отличается от принятого во многих учебниках по оптике, мы увидим, что он
естественно вытекает из исходных представлений. При обычном методе анализа, т. е.
в координатной области, связь между амплитудами светового поля в двух плоскостях
устанавливается с помощью интеграла Френеля — Кирхгофа. Покажем
эквивалентность того и другого подхода к решению задач о дифракции.
1.1. Волновое уравнение и его решение для монохроматической
волны
Уравнения Максвелла устанавливают связь между производными по координатам
и времени от векторных величин, характеризующих электромагнитное поле. Для
волн, распространяющихсяв свободном пространстве, из уравнений Максвелла
можно получить волновое уравнение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

4. 4
⃗( , , , ) =
⃗( , , , )
(1.1).
Будем рассматривать только вектор электрического поля ⃗ черезс обозначена
скорость света;t — время, V2
— оператор Лапласа, а х, у, z — декартовы координаты.
Из условий интерференции вытекает, что в уравнении (1.1) векторные величины
можно заменить скалярными, т. е.
( , , , ) =
( , , , )
(1.2)
где ( , , , ) — одна из двух взаимно перпендикулярных компонент
электрического поля, колеблющихся в плоскости, перпендикулярной направлению
распространения волны.
Еслирассматривать монохроматический свет с частотойf, то решением
уравнения (1.2) будет синусоидальное скалярное поле
( , , , ) = ( , , ) [ + ( , , )], (1.3)
или, по аналогии с (1.6),
( , , , ) = [ ( , , ) ( )], (1.4)
где а (х, у, z) — комплексная амплитуда, или фазор, определяющий как
амплитуду, так и фазу волны,
( , , , ) = [ ( , , ) ( )], (1.5)
Для удобства математических выкладок символ Re [ ] отбрасывают и в
(1.2) величинуvзаменяют комплексной величиной v. Делая эту замену,
следует помнить, что в действительности физическая величина
электрического поля вещественна.
1 . 2 . Решение волнового уравнения для случая - плоской волны
Волна называется плоской, если ее амплитуда и фаза в любой момент
времени постоянны по всей плоскости, уравнение которой имеет вид
⃗ ∙ ⃗ = (1.6)
где, ⃗— радус-вектор точки в пространстве, a ⃗ — единичный вектор,
нормальный к рассматриваемой плоскости (Рис. 5.1
Положим, что удовлетворяющая волновому уравнению комплексная
величина электрическогополяv имеет вид
( , , , ) = − ⃗ ∙ ⃗ ( ), (1.7)
где a1 — постоянная амплитуда волны, а k — константа, физический смысл
и величину которой мы определим далее. Если произведение ⃗ ∙ ⃗
постоянно по всей плоскости, то, согласно (1.7), фазаволны в любой момент
времени тоже постоянна по всей этой плоскости. Для конкретных значений
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

5. 5
r=r1 и t=t1 фаза волны будет равна − ⃗ ⃗ = ( , ) В более
поздний момент времен t2 >t1 то же значение фаза будет иметь на большем
расстоянии ⃗ ∙ ⃗ > ⃗ ∙ ⃗, в то время как на прежнем расстоянии ⃗ ∙ ⃗
она возрастет. Таким образом, плоскости постоянных фаз перемещаются в
пространстве, и решение волнового уравнения, имеющее вид (1.7),
представляет собой плоские волны. Направление вектора ⃗, нормального к
плоскости постоянной фазы, является направлением распространения
волны. Если , , — направляющие косинусы вектора ⃗ (Рис.
1.1), то равенство (1.7) можно записать в виде
( , , . ) = [− ( + + ] ( ), (1.8)
Где x, yи z — компоненты вектора⃗в декартовых координатах. Подстановка
решения вида (1.8) в волновое уравнение (1.2) дает
− ( + + ) = − = − (1.9)
где — длина волны света. Поскольку направляющие косинусы
удовлетворяют соотношению
+ + = (1.10)
то v является решением волнового уравнения при условии
= (1.11)
РИС.1.1.Плоская волна в прямоугольной системекоординат х,у,z.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

6. 6
Величинаk называется волновым числом. Соотношение (1.8) можно
записать в виде
( , , , ) = − +
+ ( )
= [− ( +
+ )] ( )
= ( , , ) ( ).
(1.12)
В этой главе мы будем рассматривать только монохроматический свет.
Тогда множитель ( ) можно опустить и для описания
электрического поля пользоваться только комплексной амплитудой a(x, y,
z). Величины ξ, η, , определяемые равенствами
= (1.13a)
= (1.13б)
= (1.13в)
Называются пространственными частотами. Они обратны про-
странственным периодам волны, измеренным соответственно по осям x, yи z.
Пространственная частота измеряется в обратных миллиметрах (1/мм).
Следует отметить, что пространственные частоты могут принимать как
положительные, так и отрицательные значения. Если направление распространения
волны составляет с соответствующей осью угол меньше 90°, то пространственная
частота положительна, если больше 90°, то она отрицательна. Если ориентировать
систему координат так, чтобы, например, осьz совпала с направлением
распространения волны (ξ = η = 0, = 1/ λ), то легко видеть, что в (1.12) фаза волны в
фиксированный момент времени уменьшается с увеличением расстояния от
источника. (Читатель должен обратить внимание на то, что в некоторых книгах
введено обратное правило выбора знака, конечно, в равной мере законное.Важно
только в дальнейшем последовательно придерживаться того или иного выбора.)
Пространственные частоты ξ, η и часто выражаются через углы θ1=90° — α,
θ2=90° — β и θ3=90° — γ; тогда они записываются следующим образом:
= (1.14а)
= (1.14б)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

7. 7
= (1.14в)
На Рис.1.2 изображена плоская волна, распространяющаяся в плоскостиyz. Мы видим,
что 0 θ2 и θ3 представляют собой углы, образованные направлением распространения
волны с плоскостямиxz иху соответственно. Величины ξ, η, не являются незави-
симыми, их связь можно получить из (1.10). При подстановке (1.13а) — (1.13в) в
(1.10) получаем
+ + = , (1.15)
или
= ± ( − − ) /
, (1.16)
где знак определяется направлением распространения волны в соответствии с
принятым ранее правилом знаков [см. обсуждение после формул (1.13)]. Теперь мы
можем записать комплексную амплитуду а (х, у, z) плоской волны [см. (1.12)] в
следующем виде:
( , , ) = − + + ,
= [− ( + )] − ( − − ) /
== ( , . ) [− ( ( − − ) /
]
(1.17)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

8. 8
Выражение (1.17) очень полезно при рассмотрении задач о дифракции волн. Из него
видно, что величина комплексной амплитуды плоской волны на произвольном
расстоянииz равна произведению комплексной амплитуды волны приz = 0 и
экспоненты, убывающей при увеличении z.
1.3. Дифракция на периодических структурах
Рассмотрим теперь, что происходит со световой волной, встречающей на
своем пути какое-либо препятствие. Чтобы получить точное решение
задачи о дифракции волн, необходимо решить волновое уравнение (1.2)
при граничных условиях, соответствующих выбранному препятствию. К
сожалению, такой прямой подход годится только для предметов очень
простой формы. Даже в этом случае решение получается очень сложным и
громоздким. Поэтому обычно представляющие практический интерес
задачи дифракции решают приближенными методами. В большинстве
задач оптики точность этих решений оказывается вполне удовлет-
ворительной. Причины этого выяснятся в дальнейшем.
РИС.1.2.Плоская волна, распространяющаяся в плоскости yz
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

9. 9
РИС.1.3.Прохождение плоской волны с амплитудой a1 через транспарант,
амплитудное пропускание которого меняется как cosy.Непосредственно за
транспарантом возникают три плоские волны.
Сначала рассмотрим плоскую волну с амплитудойa1 распро-
страняющуюся в направлении положительной полуосиz и падающую на
прозрачный объект (транспарант), находящийся в плоскостиz= 0. Пусть
транспарант, показанный на Рис.1.3, имеет амплитудное пропускание
( , ) = + , (1.18)
являющееся периодической функцией от y с пространственной частотой η,
at0 иt1 — вещественные постоянные. [Предполагается, чтоt (х, у) —
вещественная функция, т. е. транспарант не вносит фазового сдвига.]
Непосредственно за транспарантом амплитуда волны а (х, у, 0) равна
произведению амплитуды падающего света a1 и пропускания t:
( , , ) = ( , ) = +
= + ( ) + (− ). (1.19)
Заметим, что второй член в (1.19) и решение (1.12) волнового уравнения
одинаково зависят отху, если в (1.12) ξ = 0, аη>0. Поэтому можно считать,
что второй член описывает плоскую волну, которая распространяется
параллельно плоскостиyz (т.е. перпендикулярно оси х, а=90°), и
направление ее распространения образует отрицательный угол θ2 с осьюz
(Рис.1.3), поскольку, согласно (1.14,б), sinθ2 = λη. Аналогично третий член
(1.19) описывает плоскую волну, которая также распространяется
параллельно плоскостиyz, образуя при этом с осьюz положительный угол
θ2 (Рис.1.3). Первый член в (1.19) не зависит отху [в (1.12) этому
соответствует ξ = η=0] и описывает плоскую волну, распространяющуюся в
направлении осиz.Итак, при падении плоской волны,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

10. 10
распространяющейся вдоль осиz, на транспарант с синусоидальным в
направлении у амплитудным пропусканием за транспарантом возникают
три плоские волны: первая, с амплитудой a1,t0, распространяется вдоль
осиz (недифрагированная волна);вторая, с амплитудойa1,t1/2,
распространяется в плоскости yz вниз от осиz, образуя с осьюz угол | θ2 | =
arcsin(λη) (дифрагированная волна —1-го порядка); третья, с амплитудой
a1,t1/2, распространяется в плоскостиyz вверх от осиz, образуя с осьюzтакой
же угол | θ2 | (дифрагированная волна + 1-го порядка).
Мы рассмотрели один из важных случаев дифракции. Транспаранты с
периодическим распределением амплитудного пропускания называются
дифракционными решетками. В большинстве случаев голограмму можно
рассматривать как транспарант с периодически промодулированным
амплитудным пропусканием. Поэтому можно ожидать, что голограмма
будет воздействовать на падающий свет примерно так же, как обычная
дифракционная решетка.
Продолжим рассмотрение дифракции плоской волны на помещенном в
плоскостиz = 0 транспаранте с синусоидальным амплитудным
пропусканиемt(х, у) и определим комплексную амплитуду света в
плоскостиху приz = d. Непосредственно за транспарантом возникают три
плоские волны, комплексные амплитуды которых в плоскостиz = 0
описываются выражением (1.19). С помощью (1.17) можно определить
комплексные амплитуды этих волн при z = d. Результирующая
комплексная амплитуда приz = dявляется их суммой и имеет вид
( , , ) = − + ( ) − ( − )
+ (− ) − ( − ) .
(1.20)
[Первый член (1.20) получается из (1.17) при ξ=η=0, а второй и третий при
ξ=0.] Поскольку зависящие отz показатели экспонент, взятые в (1.20)
приz=d, являются мнимыми, каждый из трех членов в (1.20) описывает
распространяющуюся волну. Однако для некоторых длин волн λ
показатели экспонент становятся вещественными. При λη→1 угол
дифракции θ2 = arcsinληувеличивается, приближаясь к 90°. Для больших
значений длин волн, удовлетворяющих неравенству
> , (1.21)
Выражение( − ) становится мнимым. Если взять отрицательный знак
перед корнем, то экспоненциальный множитель принимает вид
− (− )( − ) /
= (− ), (1.22)
гдеb имеет положительное и вещественное значение. В этом случае второй
и третий члены в (1.20), соответствующие первому порядку дифракции,
будут описывать поверхностные волны — волны, распространяющиеся
вдоль поверхности транспаранта и затухающие по экспоненте с
увеличением расстояния от нее. (Выбор знака, таким образом,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

11. 11
соответствует физически реализуемому явлению.) Если неравенство (1.21)
записать в виде λ>1/η, то видно, что поверхностные волны возникают при
падении на решетку света, длина волны которого больше периода решетки
1/η. Их амплитуда является функцией расстоянияd от решетки и приd>>λ
стремится к нулю [см. (1.22)]. Условие затухания волн, выраженное через
пространственные частоты, может быть записано в виде η>1/λ. Таким
образом, в распределении поля на расстоянии d>λ от транспаранта не
содержится никакой информации о его пространственных частотах,
превышающих1/λ.
1.4. Постановка общей задачи о дифракции
Рассмотрим теперь дифракцию на предметах более сложной формы.
Пусть амплитудное пропускание предмета является периодической
функцией оту, которая может и не быть простой косинусоидальной
функцией вида (1.18). Например, транспарант может состоять из
чередующихся непрозрачных и прозрачных полос. Тогда амплитудное
пропускание можно записать в виде ряда Фурье. В более общем случае,
когда амплитудное пропускание является комплексной периодической
функцией двух переменных х иy, его можно представить в виде суммы
членов, каждый из которых имеет вид ехр (—i2 ξx)ехр(—i2 ξy)[см. (1.5)].
Умножая каждый член на соответствующий коэффициент, получаем для
комплексного амплитудного пропусканияt(x, y), периодически (но в
остальном произвольно) зависящего от х и y, следующий ряд Фурье:
( , ) = (− ) (− ). (1.22)
Суммирование проводится по всем членам, необходимым для описания
двумерной функции. Пусть транспарант с пропусканием t (x, у) помещен
в плоскостьz= 0, и на него падает плоская волна с амплитудой
распространяющаяся в направлении оси z. За транспарантом возникает
набор плоских волн, распространяющихся в различных направлениях. С
помощью (1.17) и (1.23) для суммарной амплитуды а2 (х, у, d) этих волн в
плоскостиz =d имеем
( , , ) = [ (− ) (− )
× (− − − ) =
= [ (− − − )
× (− ) (− ).
(1.24)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

12. 12
Еслиt (х, у) — непериодическая функция, то ряд Фурье заменяется
интегралом Фурье [5.2], а коэффициенты tlk — произведением Т (ξ,η)dξdη,
где ( , ) ⊃ ( , ). Тогда (1.24) принимает вид
( , , ) = ( , ) − − − )
× (− ) (− ) ,
(1.25)
где интегрирование производится по всем ξ и η, удовлетворяющим
неравенству (ξ2+η2)≤1/λ2. Анализ преобразования Фурье(1.25) дает
следующий результат:
Если плоская волна с амплитудой а1 распространяющаяся в
направлении оси z, падает на помещенный в плоскости z= 0
транспарант с амплитудным пропусканиемt(х, у), то спектр ( , ).
комплексной амплитуды волны в плоскости z=d имеет вид
( , )| = ( , ) − − − ) . (1.26)
Если лучи считать параксиальными, т. е. г] 1А, то квадратный корень в
(1.26) можно записать в виде
( − − ) ≈ − − , (1.27)
а (1.26) заменить приближенным выражением
( , )| ≈ ( , ) [ ( + )]. (1.28)
Фазовый множитель (− / ) ,постоянный в плоскостиху, в (1.28)
опущен. (Отбрасывание фазового множителя, постоянного по всей
плоскости, эквивалентно сдвигу начала отсчета времени.) Поскольку в
(1.28) фаза = ( + ) = является параболической функцией
координат ξ, η, то приближение (1.28) называют параболическим. Мы часто
будем пользоваться этим приближением, поэтому следует установить
границы его применимости. Определим при η= 0 верхний предел значений
пространственной частоты для которых параболическое приближение
справедливо. Заметим, что в (1.27) следующий (опущенный) член
разложения равен / .Для определения искомого предела мы должны
задать допустимую ошибку в фазе. Известное правило Рэлея (см. [1.13])
гласит, что любая хорошая оптическая система не должна искажать фазу
волнового фронта больше чем на / . Принимая этот критерий, запишем
<
(1.29)
откуда
<
(1.30)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

13. 13
Приведем числовой пример. Пустьd = 10 см,X = 0,5 мкм. Из условия (1.30)
получим, что верхнее предельное значение пространственной частоты, для
которого справедливо параболическое приближение, равно ξ = 113 мм-1.
1. 5. Связь с интегралом Френеля—Кирхгофа
В координатной области решение задачи о дифракции формулируется с
помощью интеграла Френеля — Кирхгофа следующим образом: если
плоская волна с амплитудой а1, распространяющаяся в положительном
направлении оси z, падает на предмет с амплитудным пропусканием t(x1,
y1), помещенный в перпендикулярной осиz плоскостиz=0, то комплексная
амплитуда света а2 (х2г у2,d) в плоскостиz =d имеет вид
( , , )
= ( , ) ×
×
− [ + ( − ) + ( − ) ] /
[ + ( − ) + ( − ) ] / .
(1.31)
Вывод интеграла Френеля—Кирхгофа приведен, например, в книге [5.3].
Через θ обозначен угол между положительным направлением осиZ и
отрезком прямой, соединяющим точки( , , ) и( , , ),acosθ называют
коэффициентом наклона. Геометрическая схема, используемая при
выводе интеграла Френеля — Кирхгофа, приведена на Рис. 1.4. Следует
отметить, что небольшие изменения граничных условий приводят к
изменению коэффициента наклона. Коэффициент наклона, введенный
Зоммерфельдом, совпадает с входящим в (1.31), тогда как у Кирхгофа он
равен (1+cosθ)/2. Если угол θ не слишком велик, то различие между этими
коэффициентами мало.
РИС.1.4.Схема, поясняющая обозначения в интеграле Френеля-Кирхгофа.
Заметим, что выражение (1.31) имеет форму интеграла свертки, т. е. для
нахождения комплексной амплитуды света приz = dнеобходимо
подвергнуть операции свертки амплитудное пропускание t (х, у) со второй
функцией под знаком интеграла в (1.31). Это соответствует умножению в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

14. 14
(1.26) фурье-образа пропусканияt(х, у) на функцию пространственной
частоты. Можно показать, что запись комплексной амплитуды света через
интеграл Френеля — Кирхгофа в виде (1.31) и запись в частотной области в
виде (1.26) полностью эквивалентны. Поскольку доказательство этого
довольно громоздко, оно приведено в приложении I. Здесь мы покажем эту
эквивалентность только для параболического приближения (1.28) и для
приближенной формы выражения (1.31), которую сейчас получим. Пусть в
(1.31) (х2 — х1)<<dи (у2 —у1)<<d; тогда cosθ≈1. Разложим в ряд аргумент
экспоненты в (1.31):
[ + ( − ) + ( − ) ] /
≈ +
( − )
+
( − )
(1.32)
и заменим знаменатель в (1.31) его приближенным значением, равнымd. С
такими приближениями выражение для комплексной амплитуды света
приz = d имеет вид
( , , ) = ( , ) ×
× − ( − ) + ( − )
(1.33)
Здесь опущен постоянный по всей плоскостиz = d множитель. Отсюда
видно, что функция t (x1, y1) подвергается операции свертки с функцией
( , ) = − ( + ) .
(1.34)
Эквивалентность рассматриваемых приближений в координатной и
частотной областях будет доказана, если мы сможем показать, что
амплитуда а2 {х2, у2, d) в виде (1.33) и спектр А2 (ξ, η) в виде (1.28) связаны
преобразованием Фурье. Поскольку, как уже отмечалось, t(x, у)⊃T(ξ, η), то
из теоремы свертки (1.11) следует, чтоh(x, у)⊃H(ξ, η), где
( , ) = [ ( + )]. (1.35)
является третьим сомножителем в (1.28). Запишем функцию H(ξ, η), в виде
произведения
( , ) = ( ) ( ) (1.36)
и вычислим ее обратныйфурье-образ. Мы можем сделать это в два
действия. Сначала проведем преобразование относительно ξ, считая η
постоянной, а затем сделаем преобразование относительно η, считая
постоянной х. С помощью соотношения (1.27) получим искомый обратный
фурье-образ функции Н (ξ, η):
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

15. 15
=
(− ) (− )
= − ( + ) = ( , ).
что и требовалось доказать.
Комплексную амплитуду дальнего поля (дифракционную картину
Фраунгофера) можно приближенно представить как фурье-образ
амплитудного пропускания транспаранта. Используя (1.33), можно
проверить это утверждение для случая освещения плоской волной
транспаранта с амплитудным пропусканием t(x1, y1). Представим
экспоненциальный множитель в (1.33) в виде
− ( + ) −
( + )
×× + .
.
Первый сомножитель не зависит от переменных интегрирования x1 и y1 и
может быть вынесен из-под знака интеграла. Если дальним полем считать
область, расстояниеd до которой больше размеров транспаранта, так что
выполняется условие дальнего поля
+
≪ ,
(1.37)
то второй сомножитель приблизительно равен единице. Производя замену
= и = (1.38)
получаем
( , , ) = − ( + ) ×
× ( , ) [ ( + )] =
= − ( + ) ( , ),
(1.39)
где фазовый множитель сферической волны медленно меняется в
плоскостих2у2 и где мы использовали определение фурье-образа (1.1).
Если умножить выражение (1.39) на комплексно-сопряженное с ним, то
получим, что интенсивность в дальнем поле равна квадрату абсолютной
величины фурье-образа функции t.
Для дальнего поля, т. е. при выполнении условия (1.37), ξ и η определяются
выражениями (1.38), аналогичными выражениям(1.14а) и (1.146), согласно
которым ξ=(sinθ1)/λ и η=(sinθ2)/λ. На Рис. 5.5 схематически изображена
плоская волна, падающая на прозрачный объект (транспарант),
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

16. 16
помещенный в плоскости Размеры транспаранта малы по сравнению с
расстоянием от плоскости х1у1 до плоскости наблюдениях2у2. Световые
лучи, дифрагировавшие на транспаранте, можно представить в виде
пучков света с одинаковым поперечным сечением, распространяющихся в
направлениях, соответствующих пространственным частотам
транспаранта. Один из таких пучков, проходящий под угломθ2 к оси z,
изображен на Рис.5.5. Его сечение плоскостью x2y2 представляет собой
сравнительно небольшую область с центром в точке y2.Если расстояние d
достаточно велико, так что y2гораздо больше размеров сечения пучка, то
= ≈ или =
РИС.1.6Схема пояснения дальнего поля
Аналогично
≈
Интеграл Френеля-Кирхгофа и эквивалентная ему запись в частотной
области не дают точного решения задачи с граничными условиями.
Физический смысл основного допущения этой теории можно
проиллюстрировать на примере плоской волны, падающей на
непрозрачный экран с отверстием, причем амплитудное пропускание в
пределах отверстия равно единице, а за его пределами — нулю. На самом
деле это справедливо лишь для участков, удаленных от края отверстия, так
как вблизи них на световое поле оказывают влияние оптические свойства
материала экрана. Именно этим влиянием пренебрегают в теории Френеля
— Кирхгофа, поэтому она справедлива для задач о дифракции на
предметах, размеры которых велики по сравнению с длиной волны света.
Это условие выполняется во многих задачах оптики.
Однако в некоторых случаях, особенно в голографии, интегралом
Френеля — Кирхгофа или его эквивалентом в частотной области
пользуются и тогда, когда отдельные детали предмета ненамного
превышают длину волны света. В этом случае теория дает по крайней мере
качественное решение задачи. Примером этого может служить
рассмотрение синусоидальной амплитудной решетки, описываемой
выражением (1.18). При этом мы не считали, что пространственный период
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

17. 17
решетки 1/η значительно больше λ. Тем не менее наша теория
предсказывает в соответствии с действительностью существование трех
плоских волн, суммарная амплитуда которых сразу за транспарантом
изменяется с частотой, равной частоте решетки η. Точное решение задачи с
граничными условиями также дает три волны, и в этом смысле
приближенная теория справедлива. Приближенное решение может
отличаться от точного лишь значениями амплитуд этих волн, а что
касается большинства задач голографии, то для них нет необходимости
знать точное значение амплитуды волны.
Вопросы для самоконтроля:
1. Уравнение плоской волны. Уравнение сферической волны.
2. Интеграл Френеля – Кирхгофа.
3. Условие максимумов для дифракционной решетки.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

18. 18
2. ОПТИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ СО СФЕРИЧЕСКИМИ
ЛИНЗАМИ
Сферические линзы могут формировать не только распределение
амплитуд света, соответствующее изображению, но и создавать картину,
являющуюся фурье-образом этого распределения. Следовательно, с
помощью простой линзы можно добиться того, чтобы распределение
освещенности, создаваемое предметной волной в плоскости голограммы,
представляло собой фурье-образ некоторого исходного изображения.
Записанный на голограмме фурье-образ обладает свойствами, имеющими
важное значение для оптического опознавания образок и оптической
памяти.
Линзу как устройство, способное формировать изображение, используют
в голографии для получения голограммы сфокусированногоизображеиия. В
этом случае линза фокусирует изображение голографируемого предмета на
плоскость голограммы, где оно интерферирует с опорной волной. Такой
метод получения голограмм позволяет значительно уменьшить требования
к степени когерентности излучения, используемого при восстановлении.
Полученная надлежащим образом голограмма сфокусированного
изображения может быть освещена при восстановлении обычной лампой
накаливания с матовым стеклом
Эти причины, а также возможность использования линз для
формирования световых пучков нужной конфигурации делают
необходимым анализ некоторых свойств оптических систем, содержащих
тонкие линзы. В этой главе мы выведем условия, при которых линза
формирует либо а) фурье-образ входного распределения комплексных
амплитуд, либо б) изображение этого распределения.
Хотя условие формирования изображения можно было бы вывести на
основе принципов геометрической оптики (пренебрегая дифракцией), этого
нельзя сделать для условия формирования фурье-образа, которое должно
быть получено с помощью теории дифракции. Поэтому мы рассмотрим то и
другое условие с точки зрения физической оптики, принимая во внимание
конечность длины волны света и связанные с этим дифракционные
эффекты.
2.1. Сферическая линза
Простая сферическая линза состоит из прозрачного материала,
ограниченного двумя сферическими поверхностями. В материале линзы
свет распространяется в n раз медленнее (n — показатель преломления
материала линзы), чем в вакууме. Такая линза изображена на РИС. 2.1,
причем ее центр и центры ограничивающихее сферических поверхностей
лежат на осиz декартовой системы координат. Пусть на линзу падает
плоская волна с длиной волны λ, распространяющаяся вдоль осиz слева
направо. Определим комплексную амплитуду света аr в плоскости,
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

19. 19
нормальной к осиzи касательной к поверхности правой половины линзы.
Выразим агчерез аl, где аl — комплексная амплитуда света в аналогичной
плоскости, касательной к левой поверхности линзы. Если считать, что в
линзе отсутствует поглощение, то задача сведется к нахождению фазового
множителя, на который надо затем умножить аl. Для его получения мы
должны вычислить изменение фазы волны при ее прохождении между
плоскостямиz = z2 иz = z3 (РИС. 2.1). Допустим далее, что величинаd = z3 —
z2 столь мала, что плоскостиz2 иz3 почти совпадают, т. е. будем считать
линзу тонкой. При таком условии луч света, падающий в точку с
координатами (x0, у0) на левой поверхности линзы, выходит в точке
практически с теми же координатами (х0,у0) на правой поверхности.
Следовательно, фазовую модуляцию падающей волны, осуществляемую
тонкой линзой, можно рассматривать как модуляцию транспарантом,
который имеет пропускание ( , ) = [ ∆ ( , )] и расположен в
плоскостиху, нормальной оси линзы и проходящей через ее центр.
РИС. 2.1.Сферическая линза.
Правая поверхность линзы описывается уравнением сферы радиусомr1:
+ = .
Здесьzr — координата произвольной точки на правой поверхности линзы.
Решая уравнение относительноzr, получаем
= ( − − ) /
(2.1)
Аналогично левая поверхность описывается уравнением сферы радиусом
г2:
+ + ( − ) =
где — координата произвольной точки на левой поверхности линзы, a
— координата центра кривизны левой поверхности; они связаны
следующим соотношением:
= − ( − − ) /
(2.2)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

20. 20
Толщина материала линзы, через которую проходит световая волна,
зависит от х и y, а именно:
( , ) = − = ( − − ) − + ( − − ) / (2.3)
После прохождения линзы в месте с толщиной Т волна будет испытывать
фазовый сдвиг, равный
∆ = −
′
= − ,
(2.4)
где ′ — длина волны в материале линзы;п — показатель преломления
линзы (относительно воздуха); = ′ — длина волны в воздухе. (Знак
«минус» соответствует уменьшению фазы при увеличении расстояния от
источника.)
Путь в воздухе, который проходит световая волна между плоскостямиz =
z2 иz = z3, равенd — Т. Ему соответствует фазовый сдвиг
∆ = − ( − )
(2.5)
гдеd = z3 — z2. Полный фазовый сдвиг при прохождении волны отz2 доz3
выражается суммой
∆ = ∆ + ∆ = − ( − ) − .
(2.6)
Мы можем опустить последний член в (2.6), так как он не зависит от х и у
и представляет собой фазовый сдвиг, постоянный по всей плоскостиху
приz = z3. Тогда (2.6) принимает вид
∆ = − ( − ) ( , ).
(2.7)
Подставляя теперь в (2.7) выражение (2.3) для Т (х,y), получаем
∆ = − ( − )[( − − ) + ( − − ) / (2.8)
Здесь, как и прежде, мы опустили не зависящую от х и у часть фазового
сдвига + ( )z1. Чтобы получить искомое соотношение междуаг и аl,
заменим квадратные скобки в (2.8) их разложениями, в которых
сохраним члены только первого порядка; тогда
( − − ) ≈ ( −
+
)
(2.9)
( − − ) ≈ ( −
+
)
(2.10)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

21. 21
Такое параксиальное приближение справедливо, если (х2 +у2)<< или (х2
+ у2)<< . Опять опуская фазовые сдвиги, не зависящие от х и у, получаем
вместо (2.8)
∆ = + ( − )
+
+
+
= ( − ) + ( + ).
(2.11)
Произведение ( − ) + связано с фокусным расстоянием f тонкой
линзы известной формулой (см., например, [6.1])
= ( − ) + ,
(2.12)
и фазовый сдвиг теперь можно записать в виде
∆ = ( + ). (2.13)
Если рассматриваемая линза достаточно тонкая и изменяет только фазу
падающего на нее света, то на основе (2.13) мы можем получить
соответствующее линзе комплексное пропускание t (х, у). Его двумерное
распределение в плоскостиху, проходящей черезцентр линзы,
описывается выражением
( , ) = ( ∆ ) = ( + ) .
(2.14)
Комплексная амплитуда светааr справа от линзы непосредственно
вблизи нее равна произведению пропускания t (х, у) и комплексной
амплитуды аl света, падающего на линзу слева:
= ( + ) .
(2.15)
Если сравнить зависящее от х и у распределение фазовой модуляции ∆ ,
описываемое выражением (2.13), с фазовыми распределениями,
описываемыми выражениями (3.3), (3.4) или (3.26), то видно, что оно в
приближении первого порядка соответствует сферической волне,
схо-дящейся в точку на осиz, расположенную на расстоянии f от линзы (f>
0).
2.2. Простейшая оптическая система
Рассмотрим теперь оптические системы, состоящие из тонких линз и
свободных промежутков между ними. Самые разнообразные оптические
системы, например лупа, микроскоп, телескоп, действительно не содержат
иных элементов, кроме линз и свободных промежутков. (Читателю,
знакомому с материалом гл. 5, не покажется странным включение
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

22. 22
свободного пространства в число элементов оптической системы.)
Рассмотрим сначала очень простую оптическую систему, которая, однако,
способна выполнять операцию преобразования Фурье. Это поможет нам
понять принцип работы более сложных систем, которые будут рассмотрены
в следующем параграфе. Интересующая нас система изображена на РИС.
2.2. Она состоит из сферической линзы с фокусным расстоянием f,
помещенной в плоскостиz = 0, и расположенного вплотную к ней
транспаранта с комплексным амплитудным пропусканием t(x1, у1). На
линзу падает распространяющаяся в положительном направлении осиz
плоская волна. Ее комплексная амплитуда слева непосредственно вблизи
линзы равнааl. Определим комплексную амплитуду в плоскостиz=f.
Согласно (2.15), комплексная амплитуда ar(x1, у1) справа от линзы
непосредственно вблизи нее описывается формулой
( , ) = ( + ) .
(2.16)
Затем волна проходит через транспарант, и ее комплексная амплитуда
сразу за транспарантом выражается произведением
( , ) = ( , ) ( , )
= ( , ) ( + ) .
(2.17)
[Если линза тонкая, то совершенно неважно, справа или слева от нее
находится транспарант.В любом случае произведение (2.17) будет
состоять из одних и тех же сомножителей.] Справа от транспаранта волна
распространяется в свободном пространстве. Комплексную амплитуду
волны в плоскостиz = f можно выразить через ее амплитуду в плоскостиz =
0 либо в координатной области, либо в области пространственных частот
РИС. 2.2.Простейшая оптическая система, выполняющая преобразование
Фурье.
Выберем координатную область и воспользуемся соотношением (1.33);
тогда комплексная амплитуда а2 (х2, у2) в плоскостиz = fзапишется в
виде
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

23. 23
( , ) = ( , )
× − [( − ) + ( − ) ]
= ( , ) ( + ) ×
× − [( − ) + ( − ) ] .
(2.18)
Здесь интегрирование производится по всей поверхности линзы.
Упрощая выражение (2.18), получаем
( , ) = ( , )
× + − − .
(2.19)
Поскольку интеграл берется в плоскости , можно вынестииз-под знака
интеграла множитель, зависящий только от х2 и у2;
это дает
( , ) = [− ( + ) ×
× ( , ) ( + )
(2.20)
Если положить
= (2.21)
и
= (2.22)
и подставить эти выражения в (2.20), то комплексную амплитуду приz =f
можно представить в виде
( , ) = [− ( + ) ×
× ( , ) [ ( + )]
(2.23)
В интеграле (2.23) легко узнать двумерное преобразование Фурье при
условии, что функция ( , ) равна нулю за пределами поверхности
линзы. Последнее условие позволяет расширить пределы интегрирования
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

24. 24
до +∞ и -∞, что и требуется для преобразования Фурье. Множитель,
стоящий перед интегралом, пропорционален пропусканию, которое может
быть приписано тонкой рассеивающей линзе с фокусным расстоянием —f,
помещенной в плоскостиz =f. Экспонента представляет собой фазовый
множитель сферической волны. В данном случае он описывает распре-
деление фазы в плоскости х2у2, которую пересекает сферическая волна,
расходящаяся от расположенного на оси источника. Итак, мы можем
заключить, что если на тонкую линзу с примыкающим к ней
транспарантом падает плоская волна, то в задней фокальной
плоскости линзы образуется распределение комплексных амплитуд,
пропорциональное произведению фазового множителя сферической волны
и фурье-образа пропускания транспаранта.
Выражения (2.21) и (2.22) являются определениями, связывающими
пространственные частоты ξ и η света, дифрагировавшего на
транспаранте, с координатами (х2, у2) формирующегося в фокальной
плоскости линзы фурье-образа пропускания транспаранта. Этим
выражениям, безусловно, можно придать вид, эквивалентный
определениям пространственных частот в гл. 5. В приближении малых
углов, которое согласуется с приближениями, принятыми выше, можно
применять исходные выражения (1.14а)и (1.14б) для ξ и η. Последнее
утверждение иллюстрируется РИС. 2.3, где в соответствии с (1.14б) плоская
волна, испытавшая дифракцию на транспаранте и распространяющаяся
под углом θк оси z, характеризуется пространственной частотой η = (sinθ)/λ.
Луч, проходящий через центр линзы без отклонения (в случае тонкой
линзы), в фокальной плоскости х2у2 встречается с преломленными лучами
на расстоянии +у2 от осиz. Для малых угловимеем / ≈ ≈ = ,
поэтому ≈ / .Аналогичные соображения справедливы для ξ и х2.
РИС. 2.3.Геометрическая схема, поясняющаясоотношение между
пространственными частотами и координатами фокальной плоскости.
Пространственные частоты картины, возникшей в результате
дифракции света на предмете, являются пространственными частотами
двумерныхфурье-компонент предмета. Поэтому если известна
максимальная пространственная частота предмета, то с помощью (2.21)
или (2.22) можно вычислить максимальную протяженность его
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

25. 25
фурье-образа, сформированного в задней фокальной плоскости данной
линзы. Рассмотрим численный пример только для одной координаты.
Положим максимальную пространственную частоту предмета равной
умеренной величине |ξмакс| = 10 мм-1; кроме того, примем, что f= 500 мм,
а λ= 0,5 мкм = 5*10-4мм. Тогда максимальная протяженность фурье-образа
в положительном направлении оси х получается весьма малой: х2, макс = 2,5
мм.
В некоторых случаях, когда важна только интенсивность света,
эффекты, обусловленные наличием фазового множителя сферической
волны в (2.23), не играют роли. В других случаях от них стараются
избавиться. Для этого в плоскостиz = fпомещают собирающую линзу с
фокусным расстоянием f. Из (2.15) и (2.23) очевидно, что сразу за этой
второй линзой мы получим фурье-образ, не содержащий фазового
множителя сферической волны. Оптическая система, выполняющая такое
преобразование, изображена на РИС. 2.1.
Вернемся к рассмотрению системы, показанной на РИС. 2.2, полагая
при этом, что транспарант совершенно прозрачен, т.е. t(x1y1) =1. Тогда
амплитуда в плоскостиz =f в соответствии с (2.23) будет равна
( , ) = (− )( + ) ×
× [ ( + )] .
(2.24)
РИС. 2.1.Оптическая система, выполняющая точное преобразование Фурье.
Линзы L1 и L2 имеют одинаковые фокусные расстояния f.
Допустим, что линза имеет неограниченные размеры; тогда пределы
интегрирования можно распространить до бесконечности и интеграл будет
представлять собой фурье-образ единицы. Из соотношения (1.30) при с = 0
следует, что интеграл равен ( ) ∙ ( ) ≡ ( , ) = ( / , / ) и
обращается в нуль всюду, кроме х2 = у2 = 0. Тогда (2.24) принимает вид
( , ) = , ;
(2.25)
мы видим, что падающая на линзу с положительным фокусным
расстоянием f плоская волна сходится в математическую точку, лежащую в
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

26. 26
плоскости, удаленной от линзы на ее фокусное расстояние. Тот факт, что
фокальным пятном линзы оказалась математическая точка, обусловлен
сделанным нами допущением о неограниченности размеров линзы. Линза
конечных размеров образует протяженное световое пятно с центром в точке
с координатами х2=y2=0.
.
2.3. Оптическая система более общего вида
Кроме систем, изображенных на РИС. 2.2 и 6.4, существуют и другие
оптические системы, которые могут выполнять преобразование Фурье. Это
станет очевидным после того, как мы рассмотрим оптическую систему
более общего вида. В этом параграфе мы выведем не только условия
формирования фурье-образа, но и условия формирования изображения.
Рассматриваемая система показана на РИС. 2.5. Сферическая волна
падает на транспарант с комплексным амплитудным пропусканием t(х1,
у1). Радиус кривизны волны равенd1, т. е. волна расходится из точки,
удаленной на расстояниеdl влево от транспаранта t(х1, у1). На расстоянииd2
справа от транспаранта помещена сферическая линза с фокусным
расстоянием f. Наша задача — определить комплексную амплитуду волны
в плоскости, находящейся на расстоянии d3 справа от линзы
РИС. 2.5.Оптическая система более общеговида.Линза имеет фокусное
расстояние f.
.
Для решения задачи воспользуемся приближенной формулой (1.33)
(свертка в координатной области), описывающей распространение волны в
свободном пространстве, и приближенной формулой пропускания линзы
(2.15). Анализировать прохождение света через оптическую систему,
состоящую из свободного пространства и линз, было бы проще с помощью
одних только мультипликативных форм, однако легко убедиться, что это
невозможно. Действительно, если для описания распространения волны в
свободном пространстве мы выберем область пространственных частот, то
можем воспользоваться мультипликативной формой (1.28). Однако
выражение (2.17), описывающее прохождение света через линзу, имеет
мультипликативную форму в координатной области, и в области
пространственных частот мы должны заменить его сверткой. Если же
выбрать в качестве исходной координатную область, то получим, что
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

27. 27
выражение для распространения света в свободном пространстве имеет
форму свертки, а для прохождения через линзу — мультипликативную
форму. Выбор может быть сделан произвольно, и мы проведем
рассмотрение в координатной области.
Анализ системы, изображенной на РИС. 2.5, включает в себя две
операции умножения и две операции свертки. Для упрощения записи мы
воспользуемся обозначениями операций и допущениями.введенными
ВандерЛюгтом [6.2]. Это наиболее краткая и удобная форма записи уже
выведенных нами соотношений.
2.3.1. Форма записи операций
Из равенства (2.14) следует, что тонкая линза является транспарантом,
пропускание которого описывается формулой
( , ) = ( + )
(2.26)
Функция g (х, у) по форме очень похожа на функцию h (х, у),
определяемую выражением (1.34). Эта функция, которая подвергается
свертке с входным пропусканием, если распространение волн в свободном
пространстве рассматривается в координатнойобласти, имеет вид
( , ) = − ( + )
(2.27)
Основываясь на сходстве выражений(2.26) и(2.27), можно ввестифункцию:
( , ; ) = − ( + )
(2.28)
гдер — произвольный параметр. Тогда для описания прохождения волны
через сферическую линзу с фокусным расстоянием fкомплексную
амплитуду света, падающего на линзу, нужно умножить на ∗ ( , , ).
Звездочка обозначает комплексно- сопряженную величину, и
=
(2.29)
Волна, прошедшая в пространстве расстояниеd, описывается сверткой
комплексной амплитуды и выражения ∙ ( , , ),где
=
(2.30)
Приведем ряд свойств функции ∗ ( , , ).), которые в дальнейшем
будут нам полезны. В справедливости следующих равенств можно
убедиться подстановкой выражения (2.28):
( , ; ) = ∗ ( , ; − ). (2.31)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

28. 28
(− , − ; ) = ( , ; ). (2.32)
( , ; ) ( , ; ) = ( , ; + ). (2.33)
( , ; ) ∗ ( , ; ) = ( , ; − )
=. ∗ ( , ; − )
(2.34)
( , ; ) = ( , ; ). (2.35)
( − , − ; ) = ( , ; )( , ; ) + _.
(2.36)
Соотношение
∗ ( , ; ) = . (2.37)
выражает тот факт, что линза с бесконечно большим фокусным
расстоянием не изменяет распределения амплитуд поля, падающего на
нее.
Применим приведенную форму записи к анализу оптической системы,
изображенной на Рис.6.5. Расходящаяся сферическая волна, падающая на
помещенный в плоскости Р1 транспарант t(x1, y1), описывается функцией
( , , ) [см. обсуждение выражения (2.23)]. Амплитуда света,
прошедшего через транспарант, выражается произведением
( , ) = к( , ) ( − , − ; )
(2.38)
Свертка аt и ( / ) ( , ; ) дает распределение амплитуд на левой
поверхности линзы
( , ) = ( , ) ( − , − ; )
(2.39)
а умножение аl на функцию ( , ; ), описывающую пропускание
линзы, дает распределение комплексных амплитуд на правой
поверхности
( , ) = ( , ) ∗ ( , ; ), (2.40)
Наконец, вычисляя свертку аr с функцией ( / ) ( , ; ), получаем
комплексную амплитуду a(x3, y3) в плоскости xy на расстоянии d3 от
линзы:
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

29. 29
( , ) = ( , ) ( − , − ; )
(2.41)
Выражение (2.41) можно привести к более удобному виду, если 1)
представить -функции, входящие в (2.39) и (2.41), в виде множителей,
зависящих от координат только одной плоскости [используя(2.36)]; 2)
подставить (2.39) и (2.40) в (2.41); 3) сгруппировать множители,
зависящие от координат х, у одной плоскости [воспользовавшись
равенствами (2.31) — (2.34)]. В результате получим
( , ) = −( ) ( , ; ) ×
× ( , ;
+ ) ( , ) ( , ; − + ) ×
× [ ( + ) + (
+ )] ××
(2.42)
2.3.2. Условие формирования изображения
В первую очередь покажем, что выходная функция а (х3, у3) в (2.42)
имеет такой же вид, как и входная функцияt (X1, Y1), а потому является ее
изображением (если формирование изображения рассматривается в
приближении геометрической оптики). Последнее условие, записанное
через параметры оптической системы, показанной на РИС. 2.5, имеет
вид
+ =
(2.43)
или, используя обозначения, введенные в этой главе,
+ = (2.44)
Подставляя (2.44) во второй множитель, стоящий под знаком интеграла в
(2.42), получаем, что ( , ; − + ) = ,и для интеграла по
плоскости Р2 находим
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

30. 30
∙ [ ( + )
+ ( + )] =
=
+
,
+
(2.45)
Здесь мы применили соотношение (1.30) при с = 0. Записывая -функцию
следующим образом:
+ , +
и используя свойство (1.13г) для случая двумерной -функции, т. е. б
( , ) = ( /| |) ( , ), получаем
+
,
+
= + , +
(2.46)
Подстановка в (2.42) найденных выше соотношений дает
( , ) = − ( , ; ) ( , ;
+ ) ( , ) ×
× + , + =
= − , ; + ( + ) ×
× (− , )
(2.47)
Здесь мы учли, что свертка любой функции с -функцией равна исходной
функции [см. (1.13д)], а чтобы придать соотношению более компактный
вид, использовали (2.32) — (2.35). В (2.47) -функция является фазовым
множителем сферической волны, который при получении изображения,
как правило, играет незначительную роль. В большинстве случаев в
качестве изображения регистрируется распределение
интенсивностейаа*, так что фазовый множитель выпадает ( * = 1). При
таких условиях на формирование изображения не влияет кривизнаD1
волнового фронта. В (2.47) остается распределение амплитудного
пропускания, т. е.
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

31. 31
− , − ,
(2.48)
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного
распределения t(x1, y1); увеличение равно
= − = − ,
(2.48)
2.3.3. Условие формирования фурье-образа
Возвращаясь к (2.42), определим условия, при которых выходное
распределение комплексных амплитуд а (х3 у3) в плоскости х3у3
является фурье-образом входного пропусканияt
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного
распределения t(x1, y1);Поскольку искомое преобразование Фурье должно
связывать комплексные амплитуды в плоскостях
которое является перевернутым увеличенным изображением исходного
распределения x1, y1их3уз, то из (2.42) необходимо исключить члены,
зависящие от координат х2, у2 плоскости Р2. Для наглядности запишем
(2.42) в виде
( , ) = −( ) ( , ; ) ×
× ( , ; + ) ( , )
(2.42)
где
= ( , ; −
+ )
+
+
+
=
(2.51)
= ( , ; − + ) { ( + )}
(2.52)
и = , = (2.53)
Переменные x2 и y2 можно исключить, если вычислить интеграл Фурье
(2.52). Функция ( , ; + ) является двумерной функцией Гаусса и
ее фурье-образ І2(x1, x3),определяемый соотношением (1.27), с учетом
свойств - функций приводится к виду
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

32. 32
( , ) =
( − + )
××
∗ + , + ;
− +
(2.54)
Применяя (2.36) и (2.35), получаем окончательный результат для I2
=
( − + )
∗ , ;
− +
∗ , ;
− +
×
− +
( + )
(2.55)
Подставляя І2 в (2.50) и группируя с помощью (2.34) -функции, зависящие
от координат одной плоскости, получаем следующее выражение для
распределения комплексных амплитуд в плоскости, находящейся на
расстоянииd3 от линзы:
( , ) =
( − + )
, ; −
− +
×
× , ; +
−
− +
( , ) ×
×
( − + )
(
+ )
(2.56)
Интеграл по плоскостиP1 в (2.56) имеет вид фурье-образа, если -функция,
стоящая под знаком интеграла, равна единице. Последнее имеет место при
условии
+ −
− +
=
(2.57)
Положим, что транспарантt(x1, y1) освещается плоской волной, так что D1 =
1/d1= 0 и d1= ∞. Тогда
= или = (2.58)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

33. 33
и (2.56) принимает вид
( , ) = , ; −
− +
×
× , ; + − ×
× ( , ) ( + ) (2.59)
РИС. 2.6Другая оптическая система, выполняющая точное преобразование
Фурье. Фокусное расстояние линзы равно f.
Таким образом, когда на помещенный перед линзой транспарант t(x1, y1)
падает плоская волна, в задней фокальной плоскости линзы, если не
учитывать фазовый множитель сферической волны, возникает
распределение комплексных амплитуд, которое имеет вид фурье-образа
функцииt(x1, y1) Это справедливо независимо» от расстоянияd2 между
линзой и транспарантом. Фазовый множитель сферической волны можно
сделать равным единице, положив
D2 = F, (2.60)
т. е. поместив транспарант в переднюю фокальную плоскость линзы. Такая
система, применяемая на практике для получения фурье-образа входного
транспаранта, изображена на РИС. 2.6, С учетом (2.60) выражение (2.59)
принимает вид
( , ) = ( , ) [ ( + )]
(2.61)
где
= и = (2.62)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

34. 34
являются координатами в плоскости пространственных частот.
Следует заметить, что еслиξ и ηвзяты положительными, то знак показателя
экспоненты под интегралом в (2.61) соответствует преобразованию
пространственного распределения в частотное, но не наоборот. При
положительных ξ и η показатель экспоненты имеет знак плюс во всех
формулах аналогичных преобразований, осуществляемых оптическими
системами, подобными изображенной на РИС. 2.6. Чтобы привести
оптические преобразования в соответствие с определениями (1.1) и (1.2),
координаты в задней фокальной плоскости линзы, где формируется
пространственное распределение, должны иметь знаки, обратные знакам
координат в передней фокальной плоскости, являющейся плоскостью
пространственных частот. Если же пространственное распределение
образовано в передней фокальной плоскости, то координаты в задней
плоскости берутся с теми же знаками, что и в передней. Иллюстрация этого
правила дана на РИС. 2.7.
РИС. 2.7. Ориентация координатных осей в плоскостях, в которых
формируются фурье-образы.
Если входной транспарант t(x1, y1)освещен сферической волной (D1≠0), то
из (2.56) легко видеть, что плоскость, в которой формируется фурье-образ,
не совпадает с задней фокальной плоскостью линзы [D3 определяется из
соотношения (2.57)]. Кроме того, поскольку теперьD3 иF не равны друг
другу, масштабный множитель преобразования Фурье
( − + )
будет функцией . Это позволяет создавать системы, выполняющие
преобразование Фурье с переменным масштабным множителем [6.2].
2.4. Влияние конечных размеров линзы
2.4.1. Влияние на спектр пространственных частот
Для анализа оптического преобразования Фурье в § 2 было принято
допущение о бесконечном радиусе линзы. Это позволило описывать
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

35. 35
пропускание линзы чисто фазовым множителем с бесконечными
пределами. Теперь положим, что линза имеет конечный радиус с, и
рассмотрим снова интеграл Фурье в (2.24) для случая t(x1, y1)=1.
= [ ( + )]
Если выразить через цилиндрические координаты как в координатной,
так и в частотной области, а интегрирование проводить а пределах радиуса
линзы c, то для I1 получаем
= [ ( / )] = ( )
( ) (2.63) ,
где обозначает преобразование Фурье. Функция
( )
имеет
максимальное значение, равное единице, при v =0, следовательно,
максимум функции лежит на оси и его значение равно . На Рис.1.7
построены функция и ее фурье-образ ( / ). Таким образом, если
линза с бесконечными размерами фокусирует плоскую волну в
математическую точку [ -функция в (2.25)], то линза с конечным радиусом с
преобразует падающую на нее часть плоской волны в пятно конечной
ширины. За размер пятна обычно принимают половину расстояния между
нулями функции Бесселя, что соответствует интервалу в области
пространственных частот, равному v0 = 0,61/c мм-1 . Пользуясь
соотношением
= ( + ) /
= )( + ) /
=
(2.64)
вытекающим из (2.21) и (2.22), можно перейти от ширины полосы в
частотной области к расстоянию в координатной области; в результате для
ширины (диаметра) пятна в плоскости х2у2 находим
∆= ,
(2.65)
Ширину ∆ в (2.65) можно считать мерой степени неопределенности, с
которой точка плоскости х2у2пространственных частот соответствует
пространственной частоте аксиальной плоской волны, падающей на линзу
конечного радиусас.Эта неопределенность является следствием того, что
линза конечных размеров собирает лишь часть пространственной
информации, которую несет световая волна.
Рассмотрим теперь транспарант, пропускание которого уже не равно
единице и в полярных координатах описывается функцией t (r, θ).
Интеграл Фурье в (2.23), описывающий результат оптического
преобразования Фурье, которое осуществляет система, изображенная на
РИС. 2.2, теперь имеет вид
= [ ( , ) ( / )] = ( , ) ∗
( ) (2.66)
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»

36. 36
где t ( , ) ⊃ ( , ). Как указывалось в гл. 4, § 3, свертка двух функций
представляет собой результат сканирования одной функции с помощью
другой. Функцию ( , ) , являющуюся фурье- образом пропускания
( , ), сформированным бесконечно большой линзой, можно рассматривать
как совокупность идеальных точек или -функций. При свертке каждой
-функции с функцией пятна
( )
, имеющего ширину ∆=
, , -функция уширяется до значения ∆.
2.4.2. Влияние конечных размеров линзы на выбор системы,
формирующей изображение или фурье-образ.
Рассмотрим сначала, как сказывается конечность размеров линзы на
формировании изображения. Для получения качественного изображения
необходимо, чтобы линза собирала всю световую волну, переносящую
информацию о предмете. Заведомо плохая в этом отношении система
изображена на РИС. 2.8. Плоская волна падает на предмет, которым
является транспарант с пропусканием t(x1, y1). Будем рассматривать
распространение волны в плоскостиyz. Можно мысленно представить, что
входное пропусканиеtразложено на фурье-компоненты, описывающие
пропускание синусоидальных решеток. Пусть одна из них имеет
пространственную частоту η. Наша система подобна системе, изображенной
на Рис.2.3, за исключением того, что здесь поперечное сечение падающего
на решетку пучка света ограничивается протяженностью транспаранта t(x1,
y1).
Если плоская волна падает на решетку неограниченных размеров, то
дифрагировавшие волны будут плоскими, а их комплексные амплитуды
справа будут описываться:
( , ) = + ( ) + (− ) (2.67)
РИС. 2.8 Система, формирующая изображение при освещении плоской
волной
А углы дтфракции определяться формулой = ±
Рассмотрим сначала пучок лучей, осью которого является ось z (РИС. 2.8).
Максимальный угол, под которым дифрагируют лучи, щепадающее на
линзу с радиусом r2, определяется отношением r2/ d2=tgθ2. Для
центральных лучей получим, что максимальная пространственная частота
Copyright ОАО «ЦКБ «БИБКОМ» & ООО «Aгентство Kнига-Cервис»