Изучение элементов комбинаторики в курсе средней школы

1. ИЗУЧЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ
КОМБИНАТОРИКИ
В КУРСЕ СРЕДНЕЙ ШКОЛЫ
Горшенин Константин Петрович,
учитель математики,
ГБОУ Школа №887

2. Комбинаторика и стандарты
образования
Фундаментальное ядро содержания общего образования
(раздел «Система основных элементов научного знания в
средней школе. Математика. Вероятность и статистика»):
«… Перебор вариантов и элементы комбинаторики. …»
Примерная основная образовательная программа
образовательного учреждения. Основная школа (раздел
«Основное содержание учебных предметов на ступени
основного общего образования. Математика.
Комбинаторика»):
«Решение комбинаторных задач перебором вариантов.
Комбинаторное правило умножения. Перестановки и
факториал.»

3. Комбинаторика и стандарты
образования
Логические универсальные действия:
анализ объектов с целью выделения признаков
(существенных, несущественных);
синтез – составление целого из частей, в том числе
самостоятельное достраивание с восполнением недостающих
компонентов;
выбор оснований и критериев для сравнения, сериации,
классификации объектов;
подведение под понятие, выведение следствий;
установление причинно-следственных связей;
построение логической цепи рассуждений;
доказательство;
выдвижение гипотез и их обоснование.

4. Комбинаторика и стандарты
образования
Комбинаторно-логическое мышление – мышление, реализуемое
посредством мыслительных операций, направленных на выделение
конечных вариантов рассматриваемых явлений и понятий, дальнейший
процесс преобразования числа выделенных выборов в зависимости от
субъектного опыта ученика.
Для развития комбинаторно-логического мышления необходимо, чтобы:
учащиеся умели находить как можно больше вариантов подхода к одной и
той же проблеме, а также могли выбрать оптимальный, исходя из
поставленных целей и задач;
учащиеся умели рассматривать собственные действия и действия других с
различных точек зрения;
учащиеся умели, применяя ряд мыслительных операций,
переформулировать задачу, подходить к ее решению и оформлению
решения с различных позиций;
учащиеся смогли осуществить выбор способа саморазвития, выстраивания
своей профессиональной карьеры.

5. Комбинаторика и стандарты
образования
Комбинаторно-логическое мышление – это мышление, при помощи
которого обучающийся с помощью логических приемов выстраивает
определенные комбинации способов и методов, направленных как на
разрешение различным числом вариантов частных конкретных задач, так и
на поиск общих закономерностей.
Данное мышление подразумевает умения:
расчленять объект, предмет, понятие на части, а также осуществлять
обратный ход мыслей (анализ, синтез);
переходить от частного случая задачи к общему и обратно (от индуктивного
к дедуктивному приему и наоборот), осуществляя перебор или комбинацию:
исходных элементов задачи; отдельных частей или их сочетаний,
полученных в результате расчленения изучаемого объекта;
осуществлять поиск различных путей решения одной и той же задачи,
осуществляя перебор исходных данных;
осуществлять поиск различных путей оформления решения задачи.

6. Комбинаторика в школьных
учебниках и учебных пособиях
 Бунимович Е.А., Булычев В.А. Вероятность и статистика (5-9 кл.)
 Виленкин Н.Я. и др. Математика 5,6 кл. Алгебра 8,9 кл.
 Дорофеев Г.В. и др. Математика 5-7 кл.
 Зубарева И.И., Мордкович А.Г. Математика 5,6 кл.
 Колягин Ю.М. и др. Алгебра и начала анализа 11 кл.
 Макарычев Ю.Н. и др. Алгебра 9 кл.
 Макарычев Ю.Н., Миндюк Н.Г. Алгебра: элементы статистики и теории
вероятностей (7-9 кл.)
 Мордкович А.Г., Семенов П.В. События. Вероятности. Статистическая
обработка данных (7-9 кл.)
 Никольский С.М. и др. Арифметика 6 кл. Алгебра 7,8 кл.
 Ткачева М.В., Федорова Н.Е. Элементы статистики и вероятность (7-9 кл.)
 Тюрин Ю.Н. и др. Теория вероятностей и статистика (7-9 кл.)

7. Содержание обучения
комбинаторике
Последовательность формирования умений:
1) умение составлять наборы из элементов заданного множества
по заданному свойству;
2) умение подсчитывать количество комбинаций без применения
формул;
3) умение подсчитывать количество комбинаций с применением
комбинаторных формул.

8. Содержание обучения
комбинаторике
5 класс:
 формирование представлений о наборах элементов, наличии
признаков (свойств), определяющих сходство и различие
элементов;
 формирование умений и навыков в составлении комбинаторных
наборов;
 введение понятий множества, пересечения и объединения
множеств;
 формирование умения подсчета комбинаторных объектов
методом непосредственного перебора;
 введение понятия дерева возможных вариантов и обучение его
использованию как одного из методов решения комбинаторных
задач.

9. Содержание обучения
комбинаторике
6 класс:
 отработка умений и навыков в составлении и подсчете числа
комбинаторных наборов, формирование умения упорядочивать
наборы;
 формирование представлений о рассуждениях в
комбинаторных задачах, введение правил умножения и
сложения при подсчете числа возможных вариантов,
формирование умений по их применению;
 введение понятия графов и формирование умений их
использования при решении комбинаторных задач.

10. Содержание обучения
комбинаторике
7 класс:
 формирование представлений о формуле включений и
исключений (примеры задач);
 введение понятия соединений и различных типов соединений
(размещения, перестановки, сочетания) без повторений;
 формирование навыков распознавания различных типов
соединений в комбинаторных задачах;
 введение понятия факториала и вывод формул числа
размещений, перестановок, сочетаний без повторений;
 формирование умений и навыков применения комбинаторных
формул при решении задач.

11. Тип Форма Размер Цвет Количеств
о
1 Кубик Большой Красный 2
2 Кубик Большой Желтый 0
3 Кубик Маленький Красный 3
4 Кубик Маленький Желтый 2
5 Шарик Большой Красный 1
6 Шарик Большой Желтый 2
7 Шарик Маленький Красный 2
8 Шарик Маленький Желтый 0
Форма: кубик, шарик.
Размер: большой, маленький.
Цвет: красный, желтый.
Выбрать:
а) два различных кубика;
б) два одинаковых кубика;
в) три различных шарика;
г) четыре различных кубика;
д) два предмета разного размера;
е) два предмета одинакового
размера;
ж) три предмета разного размера;
з) два предмета разного цвета;
и) два предмета одинакового
цвета;
к) три предмета разного цвета;
л) два различных предмета;
м) три различных предмета;
н) три одинаковых предмета;
о) четыре одинаковых предмета.

12. I. Задачи на составление комбинаций из нескольких элементов.
1) Запишите все возможные двузначные числа с помощью цифр 7, 8 и 9.
2) Точки М и N разбивают отрезок АВ на три части. Перечислите все отрезки с
концами в точках А, В, М, N.
II. Задачи на перебор элементов из заданного набора и выделение тех, которые
подчиняются заданному свойству.
1) Запишите все двузначные числа,
сумма цифр которых равна 10.
2) Перечислите все треугольники:
III. Задачи на выявление общего признака элементов
из некоторого набора.
1) Запишите еще два числа последовательности:
а) 1, 4, 7, 10, …;
б) 1, 4, 4, 16, …;
в) 1, 4, 9, 16, …;
г) 11, 101, 1001, … .
2) Определите арифметическое действие, с помощью которого из двух крайних
чисел получено среднее, и вместо знака "?" вставьте пропущенное число
а) 42 (47) 5; 31 (?) 8;
б) 6 (66) 11; 5 (?) 12;
в) 36 (25) 11; 48 (?) 12;
г) 48 (4) 12; 100 (?) 5.
IV. Задачи на разделение целого на определенные части.
1) Укажите несколько способов разделения квадрата на четыре равные части.
2) Представьте число 74 в виде суммы квадратов двух чисел.
A
B C
D
E
F
G

13. Проверочная работа
5 класс
1. В каждом ряду три числа обладают общим свойством, а одно число
этим свойством не обладает. Укажите, что это за свойство, и какое
число лишнее:
а) 25, 49, 121, 45; б) 14, 35, 39, 42.
2. На лекции присутствуют 67 студентов. Из них 47 знают английский
язык, 35 – немецкий язык и 23 – оба языка. Сколько человек не знают
ни английского, ни немецкого языков?
3. У Бориса до тренировки по плаванию оставалось время, и он решил
съездить в зоопарк. От дома до зоопарка Борис может доехать на
метро, трамваем или автобусом, а от зоопарка до бассейна –
автобусом, троллейбусом или на метро. Сколькими способами Борис
может доехать от дома до бассейна, посетив зоопарк? Составьте
таблицу вариантов.
4. Сколько трехзначных чисел можно составить, используя цифры 3 и 5?
Постройте дерево вариантов.

14. Проверочная работа
6 класс
1. Группа туристов планирует осуществить поход по маршруту Антоново
– Борисово – Власово – Грибово. Из Антонова в Борисово можно
сплавиться по реке или дойти пешком. Из Борисова во Власово можно
дойти пешком или доехать на велосипедах. Из Власова в Грибово
можно доплыть по реке, доехать на велосипедах или дойти пешком.
а) Нарисуйте дерево возможных вариантов похода.
б) Сколько всего вариантов похода могут выбрать туристы?
в) Сколько есть полностью не пеших вариантов?
г) Сколько вариантов похода могут выбрать туристы при условии,
что хотя бы на одном из участков маршрута они должны
использовать велосипеды?
2. Из коробки, содержащей 8 мелков различных цветов, Гена и Таня
берут по одному мелку. Сколько существует различных вариантов
такого выбора мелков?
3. Найдите количество двузначных чисел, которые можно составить из
цифр 1, 2, 3 так, чтобы вторая цифра была меньше первой.
4. По окончании деловой встречи специалисты обменялись визитными
карточками (каждый вручил свою карточку каждому). Сколько всего
визитных карточек было роздано, если во встрече участвовали: 1) 3
человека; 2) 5 человек? Решите задачу с помощью графов.

15. Проверочная работа
7 класс
1. Сколькими способами может разместиться семья из трех человек в
четырехместном купе, если других пассажиров в купе нет?
2. Семиклассники Андрей, Борис и Виктор побежали на перемене к
теннисному столу. Сколькими способами они могут занять очередь для
игры в настольный теннис?
3. Учащимся дали список из 10 книг для чтения на каникулах. Сколькими
способами ученик может выбрать из них 6 книг?
4. Собрание из 80 человек выбирает председателя, секретаря и трех
членов редакционной комиссии. Сколькими способами это можно
сделать?
5. В отделе научно-исследовательского института работают несколько
человек, причем каждый из них знает хотя бы один иностранный язык:
6 – английский, 7 – французский, 6 – немецкий, 4 – английский и
немецкий, 3 – немецкий и французский, 2 – английский и французский,
1 человек знает все три языка. Сколько человек работает в отделе?