Uploaded byLiliya_Zbarovska
DOC, PDF23,116 views

розробка

Методичний посібник "Готуємось до олімпіади з математики"

Embed presentation

Downloaded 56 times
Нетішинська загальноосвітня школа І-ІІІ ступенів №1 Нетішинської міської ради Хмельницької області О.А. Шевчук Л.М.Нижня Готуємось до олімпіади з математики 7 клас Посібник для вчителів та учнів
Схвалено методичним об’єднанням вчителів математики Нетішинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №1 Нетішинської міської ради Хмельницької області (протокол №3 від 12.12. 2013 р.) Нижня Л.М., Шевчук О.А. Готуємось до олімпіади з математики. 7 клас. Посібник для вчителів та учнів. – Нетішин, 2014. – 90с. Даний посібник розроблений на основі досвіду роботи вчителів математики Нетішинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №1. Посібник покликаний допомогти вчителям при проведенні гуртків, факультативних занять та курсів за вибором, при підготовці учнів до математичних олімпіад та інших математичних змагань. Він буде корисний учням, які бажають досконало, поглиблено і всебічно вивчати математику, розвивати свій кругозір, логіку та креативне мислення. 2
ПЕРЕДМОВА Школа повинна бути не коморою знань, а середовищем думки. В.Сухомлинський Математична підготовка в загальноосвітній школі насамперед спрямована на міцне забезпечення системою знань та вмінь, засвоєння учнями основних алгоритмів розв’язування задач стандартних типів. Тому значна роль у вирішенні завдання розвитку творчої особистості належить різним формам позакласних занять. Своєрідним підсумком їх служать математичні олімпіади та конкурси, МАН. Одним із важливих засобів розвитку математичних здібностей та творчого мислення учнів є розв’язування логічних задач. Логічними називають нестандартні задачі, які дають змогу формувати в школярів вміння розмірковувати, критично мислити, знаходити розв’язання проблеми, застосовувати отримані знання на практиці, переносити відомі йому способи дій у нестандартні ситуації та відкривати нові способи діяльності. Для формування логічних умінь необхідна вміло підібрана, цілеспрямована система вправ. На заняттях математичного гуртка, факультативу чи курсу за вибором можна запропонувати цікаві нестандартні задачі, що вимагають уважності, кмітливості й винахідливості; задачі парадоксального характеру, які потребують прояву інтуїції, домислу тощо. Даний збірник створений, щоб надати допомогу вчителю у важливій і важкій справі розвитку у школярів креативного мислення, їх творчих здібностей, у підготовці їх до олімпіад з математики. 3
Збірник призначений для навчання обдарованих та математично здібних учнів 7-х класів. 1. Принцип Діріхле Німецький математик Петер Лежен Діріхле у своїх наукових працях часто користувався міркуваннями, які зараз називають принципом Діріхле. Знайомство із цим принципом можна розпочати із задачі: «Чи можна розмістити 5 кроликів у чотирьох клітках так, щоб у жодній з кліток не містилося більше одного кролика?» Розв’язати задачу можна завдяки таким міркуванням: якби у кожній клітці сиділо не більше одного кролика, то у чотирьох клітках помістилося б не більше чотирьох кроликів. А тому п’ять кроликів таким способом не можна розмістити. В загальному випадку принцип Діріхле можна сформулювати так: у кожній сукупності з n множин, де загальна кількість елементів перевищує n, є принаймні одна множина, в якій міститься не менше двох елементів. Приклад 1. У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них – 20 років, а найстаршому – 30. Чи є серед них однолітки? Розв’язання Туристи утворюють 30–20+1=11 вікових груп. Тому є 11 груп (кліток) і 12 туристів (кроликів). Оскільки 12>11, то принаймні в одній віковій групі знайдеться два туристи, які є однолітками. 4
Приклад 2. На 5 поличках розміщено 160 книг, причому на одній із них - 3 книги. Доведіть, що знайдеться поличка, на якій буде стояти не менше ніж 40 книг. Розв’язання Нехай на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39 книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж 3 + 4∙39 = 159 книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не менше ніж 40 книг. Приклад 3. У школі навчається 400 учнів. Доведіть, що хоча б двоє з них народилися в один день. Розв’язання Роль кроликів у цій задачі відіграють учні, а роль кліток – дні. За умовою задачі маємо 400 учнів і 365 днів. Оскільки 400 > 365, то принаймні знайдеться два учні, що народилися в один день. Приклад 4. Хлопчик мав 100 табличок з числами 1, 2, 3, …, 100, але загубив 79 з них. Чи обов’язково серед решти табличок знайдуться чотири такі, що сума чисел на двох із них дорівнюватиме сумі чисел на двох інших? Розв’язання У хлопчика залишилася 100 – 79 =21 табличка. Із цих табличок можна утворити: різних пар. (Кроликами є пари, а клітками – суми). Оскільки усі пари з чисел 1, 2, …, 100 дають 197 різних сум – від 3 до 199 і 197 < 210, то принаймні у двох парах із 210-ти суми співпадатимуть. Отже, серед табличок знайдеться чотири такі, що сума чисел на двох із них дорівнюватиме сумі чисел на двох інших. 5
Приклад 5. Доведіть, що серед будь-яких шести цілих чисел знайдеться два числа, різниця яких буде кратна 5. Розв’язання При діленні на число 5 можна отримати п’ять різних остач: 0, 1, 2, 3, 4. Шість чисел при діленні на 5 дають шість остач, серед яких може бути найбільше п’ять різних. Оскільки 6 > 5, то серед остач знайдеться дві однакові. Різниця чисел, що дають однакові остачі при діленні на 5, буде кратна 5. Задачі для самостійного розв’язування 1. 15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє з них зібрали однакову кількість. (Оскільки 100 >15, і 100 можна представити 100 = 15 6 + 10, то принаймні двоє з хлопчиків зберуть однакову кількість грибів. Якби вони всі зібрали б різну кількість, то грибів було б 120 ≠ 100). 2. 10 друзів надіслали один одному святкові листівки. Кожний з них надіслав 5 листівок. Доведіть, що принаймні двоє друзів надіслали листівки один одному. (З 10 друзів утворити можна 45 пар: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, а листівок всього 5 і 50>45, тому принаймні двоє надіслали листівки один одному). 3. У ящику лежать червоні і чорні кульки. Яку найменшу кількість кульок потрібно вийняти з ящика, щоб серед них дві кульки виявилися одного кольору? (Кульки є двох кольорів, тому взяти потрібно 3 кульки. У цьому випадку роль кроликів відіграють кульки, а роль кліток - кольори). 6
4. На кожній клітинці дошки 5х5 сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки. Клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Довести, що після того, як усі жуки переповзуть, знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два жуки. (На шахівниці 5х5 є 25 клітинок, серед яких 12 білих і 13 чорних. Оскільки жуки переповзають на сусідні клітинки, тоді на білі клітинки мають переповзти чорні жуки. Але 13 >12, тому на одній білій клітинці сидітиме щонайменше два чорних жуки). 5. У сьомому класі навчається 30 учнів. У диктанті один учень припустився 12 помилок, а решта – менше. Довести, що принаймні троє учнів припустились однакової кількості помилок. (Оскільки помилок може бути 0, 1, 2, 3, …, 12 і якщо кожну кількість помилок допустили б тільки два учні, то всього учнів було б 2 +1=25, але їх 30. 30>25, тому принаймні троє учнів припустились однакової кількості помилок). 6. Дано 12 довільних двоцифрових чисел. Доведіть, що серед них є два, різниця яких дорівнює двоцифровому числу, записаному однаковими цифрами. (Однаковими цифрами записуються двоцифрові числа, кратні 11. Остачі від ділення на 11 можуть дорівнювати: 0, 1, 2, 3, …, 10, тобто їх 11. Але 12>11, тому хоча б два числа дають однакові остачі. Це значить, що різниця цих чисел ділиться на 11 і є двоцифровим числом, записаним однаковими цифрами). 7. У квадраті зі стороною 1 взяли 51 точку. Довести, що деякі три із цих точок можна накрити квадратом зі стороною 0,2. 7
(Розіб’ємо квадрат площею 1 на 25 маленьких квадратиків. Площа кожного з них дорівнює 0,04, а сторона – 0,2. Оскільки 2 ·25+1=51, то це значить, що в один квадратик попаде принаймні три точки). 8. У місті більше ніж 8 мільйонів жителів. Науковці вважають, що в кожної людини менш ніж 200 000 волосин на голові. Доведіть, що є принаймні 41 житель з однаковою кількістю волосин на голові. (Роль кроликів відіграють жителі, а роль кліток - усі можливі варіанти кількості волосин на голові. Оскільки в кожної людини менш ніж 200000 волосин на голові, то це значить, що кількість волосин може бути від 0 до 199999. Тому існує всього 200000 варіантів, а 40 ·200000 = 8000000, і згідно з принципом Діріхле знайдеться принаймні 41 житель, що має однакову кількість волосин на голові). 9. Доведіть, що в будь – якій компанії із 5 чоловік знайдеться двоє, які мають однакову кількість знайомих у цій компанії. (Число знайомих може бути: 0,1,2,3,4. Якщо у когось четверо знайомих, то ні в кого не може бути 0 знайомих). 2. Зважування Задачі на зважування - досить поширений вид олімпіадних завдань. У таких завданнях, той, хто розв’язує, повинен локалізувати предмет, що відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук розв’язування в такому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда, не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі, не забувайте розібрати всі варіанти. 8
Приклад 1. На столі лежать 9 монет і одні шалькові терези. Одна із монет є легшою, ніж всі інші. Як за допомогою 2 зважувань визначити, яка із них легша? Розв’язання Розділимо 9 монет по 3 у три купки. Дві з трьох купок покладемо на різні сторони терезів. Якщо терези не переважили в одну зі сторін, то виходить, що вага монеток є рівною, отже, легша монета залишилася в незваженій третій купці. З 3-ма монетами, що залишилися, вчиняємо так само. Зважуємо дві монети. Якщо їхня вага виявилася рівною, то легшою буде незважена монета. Приклад 2. На столі лежить десять пронумерованих капелюхів. У кожному капелюсі лежить по десять золотих монет. В одному з капелюхів монети фальшиві. Справжня монета важить 10 грамів, а фальшива - 9. Як визначити в якому з капелюхів знаходяться фальшиві монети, використовуючи ваги тільки для одного зважування? Ваги можуть зважувати не більше 750 грам. Розв’язання З першого капелюха беремо одну монету, з другого дві, з третього три й т.д., кладемо всі ці монети на ваги. Якби всі монети були справжніми, то вага була б: 10∙(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10). Разом: 550 грам. Але кілька монет є фальшивими, а скільки - легко довідатись. Досить із 550 відняти ту вагу, що ми одержали і ми побачимо «погрішність», рівну кількості фальшивих монет. Кількість монет вкаже на капелюх. Задачі для самостійного розв’язування 9
1. Серед чотирьох монет є одна фальшива, як знайти її за 2 зважування на шалькових терезах без гир? Чи можна при цьому з’ясувати легша вона чи важча? (Позначимо монети a, b, c, d. Першим зважуванням порівнюємо вагу a і b. Нехай a ≠ b (наприклад, a < b ). Тоді c і d – справжні, а фальшива a чи b . Для визначення порівнюємо a і с. Якщо a = с, то b фальшива і важча, оскільки a < b. Якщо a ≠ с, то фальшива a. Аналогічно поступаємо, якщо a = b) . 2. Є 5 монет, серед яких одна - фальшива. Невідомо, легша вона або тяжча дійсної. Вага дійсної монети - 5г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна знайти фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5г? (Позначимо монети А, В, С, D, Е. Покладемо монети А і В на одну чашу терезів, а монету С з гирею - на другу. Якщо терези врівноважені, тоді фальшива монета серед D і Е. Наступним зважуванням покладемо на терези гирю і монету D (за рівноваги терезів - Е, за не рівноваги - D). Коли терези не врівноважені, то потрібно розглянути 2 випадки. Якщо переважує чаша з А і В, тоді фальшива монета серед трьох: А, В або С. Відкладені D і Е - справжні. Для другого зважування покладемо на чашу терезів монети А і С, а на другу - 2 справжніх (або одну справжню і гирю), а монету В відкладемо. Якщо монети врівноважаться, то монета В – фальшива. Якщо терези не врівноважаться і переважать чаші з монетами А і С, тоді фальшива А, коли ж ця чаша легша, тоді і фальшива монета С). 3. Маємо 6 однакових за виглядом монет, чотири з них справжні, а дві фальшиві: обидві легші за справжні, але їх маса різна. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети. 10
(Позначимо вагу монет a1, …, a6. Першим зважуванням порівняємо a1 і a2. 1) a1= a2. Тоді a1 і a2 справжні. Порівнюємо a3 і a4, якщо a3 = a4 , тоді a5 і a6 – фальшиві. Якщо a3 < a4, то одна з фальшивих a3, а друга знаходиться серед 4, 5 і 6 (визначається порівнянням a4 і a5 ). Випадок a3 > a4 аналогічний. 2) a1 < a2 – монета а1 фальшива. Друга фальшива монета визначається порівнянням монет 1 і 3 та монет 4 і 5. Випадок а1 > a2 подібний до випадку 2). 4. У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на шалькових терезах без гир Буратіно знайти фальшиву монету? (Розділимо монети на 3 купки по 9 штук. Покладемо на шальки першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на терези дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на терезах рівність, то фальшивою є третя монета з частини). 6. Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою шалькових терезів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? (Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки. 1) Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там: а) ліва купка важча - 11
фальшива монета важча; б) ліва купка легша - фальшива монета легша. 2) Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет: а) вага купок однакова - фальшива монета легша; б) вага купок неоднакова - фальшива монета важча). 7. У ящику 25кг цвяхів. Як за допомогою шалькових терезів і однієї гирі в 1кг за два зважування відміряти 19кг цвяхів? (При першому зважуванні на одну шальку покладемо гирю, а цвяхи розкладемо так, щоб терези були в рівновазі. Одержимо 12кг і 13кг цвяхів. 12кг розкладемо на шальки і отримаємо дві купки по 6кг. Тоді 13+6=19(кг) цвяхів). 8. У кошику міститься 13 яблук. Є вага, за допомогою одного зважування якої можна знайти сумарну вагу будь- яких двох яблук. Як за допомогою восьми зважувань знайти сумарну вагу всіх тринадцяти яблук? (Зважимо яблука парами: 1 і 2, 3 і 4,…, 11 і 12. Це шість зважувань. Сьоме зважування – 11 і 13 яблуко, восьме – 12 і 13яблуко. Додавши результати трьох останніх зважувань, одержимо подвоєну сумарну вагу 11, 12 і 13 яблук. Поділивши її на два і додавши до результату вагу перших п’яти зважувань, знайдемо сумарну вагу всіх тринадцяти яблук). 9. Є чотири пакети різної маси і терези з двома шальками без гир. За допомогою п’яти зважувань розмістити пакети в порядку зростання їх мас. (Розіб’ємо пакети на дві пари і, здійснивши порівняння ваги пакетів у кожній парі, позначимо важчі через А та С, а легші – через В та D. Тоді серед пакетів А та С визначимо найважчий, а серед В та D – 12
найлегший. П’яте зважування використаємо для порівняння ваги двох інших пакетів). 3. Переливання Задачі на переливання допоможуть розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку, наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку. Приклад 1. Як за допомогою 3-літрового і 5- літрового відер набрати 1 літр води? У нашому розпорядженні є водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду. Розв’язання Розв’язання цієї задачі можна записати у вигляді таблиці. Спочатку обидва відра порожні. Наповнюємо 3- літрове відро і виливаємо воду з нього у 5-літрове. Знову наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо її у 5-літрове, поки воно не наповниться. У 3-літровому відрі залишиться 1 літр води. 3 літри 0 3 0 3 1 5 літрів 0 0 3 3 5 Приклад 2. Маємо дві ємності 5л і 7л. Як за допомогою цих ємностей відміряти 6л води з крана? Розв’язання Спочатку обидва відра порожні. Набирати воду будемо таким чином (розв’язання запишемо у вигляді таблиці): 7л 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6 5л 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5 13
Приклад 3. Маємо три посудини: 9л, 5л, 3л. Перша наповнена водою, а інші дві порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1л води? Як відміряти 4л води? Розв’язання Кількість посудин збільшилася, але як і в попередніх задачах можна виконувати переливання по кроках, записуючи їх в таблицю: 3л 0 3 3 4 5л 0 0 5 5 9л 9 6 1 0 Задачі для самостійного розв’язування 1. В бочці міститься не менше 13 відер пального. Як відлити з неї 8 відер за допомогою 9-відерної і 5-відерної бочок? 5 в 0 5 0 4 4 5 9 в 9 4 4 0 9 8 2. Поряд із школою протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води? 3л 0 0 3 0 2 2 3 5л 0 5 2 2 0 5 4 річка +3 14
3. Бідон ємністю 10л наповнений молоком. Необхідно перелити з цього бідона 5л у семилітровий, використовуючи при цьому бідон місткістю 3л. Як це зробити? 3л 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0 7л 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 4. Як, маючи лише дві посудини ємністю 12л і 7л, набрати із крана 1л води? 7л 7 0 7 2 2 0 7 0 7 4 12л 0 7 7 1 2 0 2 2 9 9 12 7л 4 0 7 0 7 6 6 0 7 1 12л 0 4 4 1 1 1 1 1 2 0 6 6 12 5. Як двома відрами місткістю 9л та 4л набрати з озера 6л води? (Оскільки 6=9·2-4·3, то досить буде двічі наповнити дев’ятилітрові відра, виливаючи з них воду у чотирилітрові, а з останніх тричі після їх наповнення – у річку). 6. Дано два баки ємністю по 10 літрів із сольовим розчином 10%-ої і 15%-ої концентрації та посудини ємністю 3, 4 та 5 літрів. Як за допомогою переливань отримати 1 літр 12%-го сольового розчину? (Для отримання 12%-го розчину потрібно змішати дві частини 15%-го та три частини 10%-го розчинів. 15
Це можна зробити так: налити 5л 15%-го розчину у 5-ву посудину, а звідти перелити 3л у 3-ву посудину. Спорожнивши останню, налити в неї 3л 10%-го розчину, а потім перелити весь вміст у 5-ву посудину. Відлити зайвих 4л отриманого 12%-го розчину у 4-ву посудину). 4. Задачі, «розв’язані з кінця» Цей вид задач можна розділити на три підвиди. Перший підвид становлять задачі, при розв’язуванні яких учні можуть графічно побудувати «ланцюжок» послідовних дій за умовою задачі, а потім здійснювати розв’язання з кінця: виконувати певні дії, обернені тим, що подані у «ланцюжку». Саме з таких задач бажано розпочинати знайомство із задачами, які розв’язуються з кінця. Приклад 1. Господиня продала першому покупцеві половину груш, які вона мала, та ще 5 груш, другому — половину залишку та ще 3 груші, а третьому покупцеві — половину нового залишку та ще 4 груші. Після цього в неї залишилося 2 груші. Скільки груш було в господині спочатку? Розв’язання Таку задачу можна ділити на етапи: перший етап — перший покупець, другий етап — другий покупець, третій етап — третій покупець. Щоб її розв’язати, потрібно почати обчислювати вирази з кінця, змінюючи при цьому ділення на множення, а віднімання на додавання. 1) (2 + 4) • 2 = 12 (груш) 2) (12 + 3) •2 = 30 (груш) 3) (30 + 5) • 2 = 70 (груш) 16
Відповідь: 70 груш було в господині спочатку. Приклад 2. Магазин першого дня продав половину сувою тканини, другого дня — половину решти, а третього — половину нового залишку й останні 5 метрів. Скільки метрів було в сувої спочатку? Розв’язання В цій задачі розв’язання містить три кроки – треба взнати кількість метрів тканини, яка залишалась у магазині, відповідно, на початку третього, другого та першого дня. В першому кроці – дві арифметичні дії, в другому і третьому – одна. 1) (0 + 5) • 2 = 10 (м) 2) 10 • 2 = 20 (м) 3) 20 • 2 = 40 (м) Відповідь: 40 метрів тканини було у сувої спочатку. Другий підвид становлять задачі, в процесі розв’язування яких учні поряд з алгоритмічними прийомами в більшій мірі (порівняно з першим підвидом) залучають евристичні прийоми інтелектуальної діяльності. За змістом в цих задачах відбувається розподіл предметів переважно між трьома (двома) особами або розкладають предмети у дві (три) купки. В результаті чого відомий кінцевий результат. Треба взнати, скільки предметів було у купках (у людей) спочатку. Учні полегшать собі процес розв’язування, якщо розв’язання цих задач вони будуть оформлювати у вигляді таблиці. Приклад 3. Три брати розподілили між собою 24 яблука так, що кожен із них отримав стільки яблук, скільки йому років. Молодший брат, який був не задоволений розподілом, бо отримав найменше від усіх яблук, запропонував: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук, 17
решту розділю між вами порівну. Після мене нехай спочатку середній, а потім і старший брати зроблять так само, як і я». Брати погодилися, і яблук врешті-решт у всіх стало порівну. Скільки років було кожному з братів?» Розв’язання Нам відомо, що яблук стало порівну. Отже, ми можемо взнати, скільки яблук стало у кожного з братів в кінці розподілу. Для цього треба 24 розділити на три. По 8 яблук стало у кожного з братів. З цього моменту можна накреслити таблицю і заповнювати її згідно умови задачі з кінця: Молодший брат Середній брат Старший брат 8 8 8 4 4 16 2 8 14 4 7 13 Потім необхідно перевірити правильність розв’язання, міркуючи від знайдених чисел. Пояснення має бути таким: молодший брат віддав половину своїх яблук середньому і старшому, порівну кожному. Отже, у молодшого залишиться 2 яблука, у середнього стане 8, а у старшого – 14 яблук, тобто на одне яблуко більше, ніж було. Коли ж ці самі операції зроблять відповідно середній і старший брати, то врешті-решт залишиться у кожного по 8 яблук. Отже, задача розв’язана правильно. Відповідь: молодшому брату було – 4, середньому – 7, а старшому – 13 років. Третій підвид - ігри на аналіз із кінця. Приклад 4. У коробці знаходиться 60 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. 18
Програє той, хто не може зробити хід. Хто з гравців (починаючий чи його суперник) може забезпечити собі виграш? Розв'язання Проаналізуємо кінцівку такої гри. Якщо кількість сірників менша за 5, то той гравець, чия черга ходити, закінчує гру. Якщо кількість сірників більша за 6, то гра закінчиться через два або більше ходи. Якщо ж кількість сірників дорівнює 6, то гравець, чий хід передував цій позиції, точно наступним своїм ходом закінчує гру (для цього він на хід суперника в k сірників бере 6 – k сірників). Тобто така позиція є виграшною для цього гравця. Очевидно, що позиції 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (і т. д,) сірників для нього також є виграшними, бо таким самим способом він від позиції "24 сірники" переходить до позиції "18 сірників", від "18" до "12". Отже, початкова позиція виграшна для другого гравця «6 сірників», а його виграшною стратегією є доповнення ним ходів першого гравця до 6 сірників. Відповідь: другий гравець. Задачі для самостійного розв’язування 1. Турист пройшов 15% всього шляху, а потім – 1/5 від того, що залишилось. В результаті він пройшов на 18км менше від половини шляху. Визначити довжину всього шляху. (100км) 2. Після того, як пішохід пройшов 1км і половину шляху, що залишився, йому зосталося пройти третину всього шляху і один кілометр. Чому дорівнює весь шлях? (9км) 19
3. Три друга-колекціонери: Денис, Сашко та Кирило домовилися зіграти три партії в шахи за умови, що той, хто програє партію, додає іншим двом гравцям ще по стільки марок, скільки у кожного вже є. Зіграли три партії. Причому програв кожний: спочатку Денис, потім – Сашко, за ним – Кирило. Після цього у кожного з них залишилось по 24 марки. Скільки марок було у кожного з друзів спочатку? (У Дениса 39, Сашка – 21, Кирила – 12 марок) 4. 16 паличок розподілили на дві нерівні купки. Коли з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки у цій другій було, а потім з другої переклали у першу стільки паличок, скільки в першій залишилося, то в обох купках паличок стало порівну. Скільки паличок було у кожній купці спочатку? ( У І – 10, у ІІ – 6 паличок) 5. а) Є дві купки по 7 камінців. За хід дозволяється взяти один камінець із будь-якої купки або по камінцю з кожної купки. Програє той, хто не може зробити хід. б) Крім ходів, допустимих в пункті а) дозволяється перекладати один камінець із першої купки в другу. В усьому іншому правила ті ж самі. (В обох пунктах виграє перший) 6. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. (Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа від 56 до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє перший гравець (його перший хід - в 4, 5 або 6). 7. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000. 20
(Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець). 8. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°). Виграє той, хто одержить нуль. (Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа, що діляться на 3. Виграє перший гравець. Першим ходом він може, наприклад, відняти 1, 4, 16). II. ЧИСЛА 1. Числові множини Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі, як сукупність деяких предметів, об’єднаних за довільною характеристичною властивістю. Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової системи, множина натуральних чисел. Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, a = 5 – елемент множини цифр десяткової нумерації. Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини. При цьому порядок запису елементів не має значення. Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою А і записати так: А={1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}. Числовими називаються множини, елементами яких є числа. Множина натуральних чисел – N, множина 21
цілих чисел – Z. Належність предмета даній множині позначається символом є. Наприклад, число 7 є N. Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині кількість елементів можна порахувати. Наприклад, множина А містить десять елементів. У нескінченній множині – нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої – нескінченні множини. Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом . Над множинами виконуються певні операції (дії). 1) Перерізом множин А і В (А∩В) називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В. 2) Об’єднанням (або сумою) двох множин А і В (АUВ) називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них. Дуже важливими для практичних задач є формули підрахунку кількості різних елементів у декількох множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості елементів в об’єднанні двох або трьох множин. Кількість елементів об’єднання n(А+В) будь-яких двох скінченних множин А і В обчислюється за формулою: n(А+В) = n(А) + n(В) –n(А∩В). Для будь-якої трійки скінченних множин А1, А2, А3 має місце формула кількості елементів множини n(А1+А2+А3), що є об’єднанням трьох множин, тобто n(А1+А2+А3)=n(А1)+n(А2)+n(А3)–n(А1∩А2)–n(А1∩А3)– n(А2∩А3)+n(А1∩А2∩А3). Деякі задачі математики розв’язуються за допомогою цих формул і кругів Ейлера. За допомогою них зручно відображати відношення між множинами. 22
Приклад 1. В класі 35 учнів. З них 20 - займаються в математичному гуртку, 11 – в біологічному, а 10 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюється математикою? Розв’язання Зобразимо круги Ейлера на малюнку: М – математики, Б – біологи, МБ – математики-біологи. Як бачимо, 6 біологів захоплюється математикою. 35 – 10 = 25 (учн.) (20+11) – 25 = 6 (учн.) Відповідь: 6 біологів захоплюється математикою. Приклад 2. У кондитерському відділі супермаркету покупці купують або один торт, або коробку цукерок. Одного дня було продано 62 тортів та 48 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 21 з них придбали і торт, і коробку цукерок? Розв’язання Використаємо принцип суми: 62 + 48=110(п.) 110 - 21 = 89(п.) Відповідь: 89 покупців. Приклад 3. У класі навчається 42 учні. Із них 16 відвідують секцію легкої атлетики, 24 – футбольну, 15 – шахову, 8 – з легкої атлетики і шахову, 11 – з легкої атлетики і футболу, 12 – футбольну і шахову, а 6 – усі три секції. Решта учнів займається туризмом. Скільки учнів займається туризмом? Розв’язання 16 + 24 + 15 – 11 – 12 – 8 + 6 = 30 (учн.) 42 – 30 = 12 (учн.) – займається туризмом. 23
Відповідь: 12 учнів займається туризмом. Приклад 4. В піонерському таборі 70 дітей. З них 27 займаються в драмгуртку, 32 – співають в хорі, 22 – займаються спортом. В драмгуртку 10 дітей з хору, в хорі – 6 спортсменів, в драмгуртку – 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують драмгурток і хор. Скільки дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку? Скільки дітей займаються лише спортом? Розв’язання Зобразимо на малюнку круги Ейлера. Д – драмгурток, Х – хор, С – спортсмени. 10 дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку, 11 дітей займаються тільки спортом. 27+32+22-10-6-8+3=60 (д.) 70-60=10 (д.) Відповідь: 10 дітей не займається у гуртках, 11 дітей займається тільки спортом. Задачі для самостійного розв’язування 1. Кожен учень ліцею вивчає або англійську, або французьку мову. Англійську мову вивчають 250 учнів, французьку – 270, а обидві мови – 180 учнів. Скільки учнів у ліцеї? (340) 2. У чотирьох сьомих класах 100 учнів, з них співають - 45, танцюють – 65, співають і танцюють – 25 учнів. Скільки учнів не володіють жодним видом мистецтва? 24
(15) 3. У спортивному таборі 65 дітей вміють грати в футбол, 70 – у волейбол і 75 – у баскетбол. Всього дітей у таборі 100. Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол? (55) 4. У групі зі 100 туристів 70 знають англійську мову, 45 – французьку і 23 – знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької? (8) 5. В одній родині було багато дітей. 7 з них любили капусту, 6 – моркву, 5 – горох. 4 – любили капусту та моркву, 3 – капусту та горох, 2 – моркву та горох, 1 – і капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було у родині? (10) 6. Серед учнів нашого класу проводили опитування щодо улюблених жанрів фільмів. Усього в класі 38 учнів. Фантастичним фільмам надає перевагу 21 учень, серед яких троє полюбляють ще й комедії, шестеро — мультфільми, а один — усі три жанри. Комедії подобаються 13 учням, серед яких п'ятеро вибрали одразу два жанри. Скільки учнів полюбляють мультфільми? (8) 7. Із 35 учнів одного класу за підсумками навчального року 10 балів з математики мали 14 учнів, з фізики – 15, з хімії – 18, з математики та фізики – 7, з математики та хімії – 9, з фізики та хімії – 6, з усіх трьох – 4. Визначити, скільки учнів : А) не мають жодної оцінки 10 балів хоча б з одного з цих предметів; Б) хоча б одну оцінку 10 балів із цих предметів; В) оцінку 10 балів хоча б із двох з перелічених предметів; Г) оцінку 10 балів рівно з двох цих предметів. (6; 29; 14; 10) 25
8. Скільки чисел серед перших 100 натуральних не ділиться ані на 2; ані на 3; ані на 5 ? (26) 9. У футбольній команді «Динамо» 30 гравців, серед яких 18 нападаючих, 11 півзахисників, 17 захисників і воротарі. Відомо, що троє можуть бути півзахисниками і захисниками, 10 захисниками і півзахисниками, 6 нападаючими і захисниками, а 1 і нападаючим, і захисником, і півзахисником. Воротарі не замінимі. Скільки в команді «Динамо» воротарів? (2) 10. У класі 30 учнів. 20 з них кожного дня користуються метро, 15 – автобусом, 23 – тролейбусом, 10 – і метро, і тролейбусом, 12 – і метро, і автобусом, 9 – і тролейбусом, і автобусом. Скільки учнів користуються усіма трьома видами транспорту? (3) 11. У школі відбулися три олімпіади. З’ясувалося, що в кожній з них брали участь по 50 школярів. При цьому 60 учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів – рівно на дві. Скільки учнів брали участь у всіх трьох олімпіадах? (10) 2. Числа та їх властивості На множині натуральних чисел виконуються операції додавання і множення, але не завжди виконується операція віднімання. Розширюючи множину N так, щоб арифметична операція віднімання завжди виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому множина цілих чисел містить цілі від’ємні числа, нуль, та цілі додатні числа. 26
Властивості додавання, множення та відношення порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для множини натуральних чисел. Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють наступні властивості чисел: 1) Для будь-якого цілого а і b > 0 існують і притому єдині цілі q та r, такі, що а = bq + r, де r < | b |. 2) Сума двох цілих чисел q та r є цілим числом. 3) Добуток двох цілих чисел q та r є цілим числом. Приклад 1. У виразі 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 розставити між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій +, -, ∙, : та дужки так, щоб вийшло 2014. Розв’язання Джерелом для пошуку розв’язку є такі рівності: 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504 і 504 ∙ 4 = 2016. Далі використовуємо решту цифр, щоб одержати рівність: 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ (6 + 5 – 4 – 3) – 2 + 1 ∙ 0 = 2014. Це є одна є можливих відповідей. Приклад 2. Число закінчується цифрою 7. Якщо цю цифру відкинути і від першого числа відняти отримане число, то дістанемо 2014. Знайти початкове число. Розв’язання Нехай отримане число дорівнює х, тоді початкове число буде дорівнювати 10х + 7. Маємо рівняння: 10х + 7 – х = 2014; 9х = 2007; х = 223. Відповідь: 2237. Приклад 3. Двозначне число помножили на суму його цифр. Отримали 814. Знайдіть це число. 27
Розв’язання Нехай x – шукане двозначне число, y – сума його цифр. За умовою добуток числа x на суму y його цифр дорівнює 814. Тому має місце рівність x ∙ y = 814. Розкладемо число 814 на прості множники: 814 = 2 ∙ 11 ∙ 37 Оскільки числа x і y є натуральними, добуток яких дорівнює 814, то з урахуванням розкладу 814 і того, що x є двозначним числом, можливими є лише наступні випадки: 1)    = ⋅= ;37 ,112 у х    = = ;37 ,22 у х 2)    = = ;11 ,74 у х 3)    = = .2 ,407 у х Оскільки число y повинно дорівнювати сумі цифр шуканого числа x, то перший і третій випадки не задовольняють умову задачі. Очевидно, що сума цифр числа 74 становить 11. Отже, 74 є шуканим числом. Відповідь: 74. Приклад 4. Чи можна у виразі 1 * 2 * 3 * … * 2014 = 2 * 0 * 1 * 4 замінити кожний знак «*» знаком «+» або «-» так, щоб отримати вірну рівність? Розв’язання = 2 + 0 + 1 – 4 = -1. Відповідь: Можна. Приклад 5. Чотиризначне число закінчується цифрою 4. Якщо цю цифру перенести на початок числа, то 28
отримаємо число, різниця між яким і даним числом дорівнює сьомому степеню числа 3. Знайти дане чотиризначне число. Розв’язання Відомо, що 37 = 2187. Нехай шукане чотиризначне число дорівнює або 1000a + 100b + 10c + 4. Тоді нове число буде дорівнювати: 4000 + 100a + 10b + c. Згідно умови 4000 +100а + 10b + с - 1000а - 100b -10с – 4 = 2187; 1000 (4 – а) + 100 (а – b) + 10 (b – с) + (с - 4) = 2187. Звідки а = 2, b = 0, с =1. Відповідь: 2014. Задачі для самостійного розв’язування 1. Розв’язати ребус: А2014А = Б ∙ В ∙ 1Б0В. Однакові букви позначають однакові цифри, а різні букви позначають різні цифри. (120141 = 9 ∙ 7 ∙ 1907) 2. Знайти найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 2014. ( ) 3. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх цифр дорівнювала 11. Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що інших немає. (71371371) 4. Вася задумав три різні ненульові цифри. Петро записав всі дев'ять можливих двозначних чисел, у десятковому записі яких використовувалися тільки ці 29
цифри. Сума записаних чисел дорівнює 231. Знайдіть цифри, задумані Василем. (1, 2 і 4) 5. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі. (84) 6. Різні натуральні числа x, y, z збільшили на 1, 2 і 3 відповідно. На яку найбільшу величину могла змінитися сума їх обернених величин? (13/12) 7. Від тризначного числа відняли суму кубів його цифр. Який найбільший результат міг при цьому вийти? (396) 8. Чи існують такі натуральні числа а і b, що число b є натуральним степенем числа a і число b в 16 разів більше числа а? (2,32; 4,64; 16,256) 9. Чи існують такі три різні числа а, b і с, що а (b - c) = b (c - a) = c (a - b)? ( ні) 10. Назвемо натуральне число гарним, якщо його можна подати у вигляді суми двох тризначних чисел сва + авс , (a і с не рівні 0). Скільки існує гарних чисел? (170) 11. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА (однаковим буквам відповідають однакові, різним буквам - різні цифри). (3930 + 3980 = 7910) 12. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число 78887 . Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові 30
натуральні числа, в записі яких використовуються тільки цифри 1 та 0. (100001, 10101, 11011, 11111) 13. Мар’ян задумав натуральне число, про яке його друзі сказали: Тарас: «Це число 9», Роман: «Це число просте», Андрій: «Це число парне», Михайло: «Це число 15». Роман з Тарасом разом сказали одне правильне твердження, як і Андрій з Михайлом. Яке це число? ( 2) 14. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів. (105) 15. Чи існує чотири натуральних числа, сума яких дорівнює їх добутку? (Так, 1+1+2+4=1∙1∙2∙4) 16. Знайдіть усі такі чотирицифрові числа , для яких виконується рівність + + +а=2013. (1813) 17. У Андрійка на картках записані лише одиниці, четвірки, шістки та дев’ятки. Він склав із них два числа. Чи може одне з них у 17 разів більше від іншого? (Ні) 3. Розв’язування задач на подільність. Основна теорема арифметики Усі натуральні числа, крім одиниці, поділяють на прості і складені. Простим називається число, яке має лише 31
два дільники: одиницю і саме число. Найменшим простим числом є два ( це єдине парне просте число). Складеним називається число, яке має більше двох дільників. Основна теорема арифметики: кожне натуральне число, більше одиниці, можна представити, як добуток простих чисел. Це представлення єдине, якщо не враховувати порядок, у якому записані прості множники. Надалі слово «ділиться» - означає, що «ділиться без остачі» або націло. Якщо n m, то це значить, що ціле число n ділиться без остачі на ціле число m. Приклад 1. Чи ділиться число 320 513 на число 135? Розв’язання Оскільки число 135 = 33 5, а числа 33 і 5 входять до розкладу 320 513 , то число 320 513 ділиться на 135. Приклад 2. Відомо, що n 4 і n 6. Чи ділиться n на 24? Розв’язання Ні. Наприклад, число 12 4 і 12 6, але 12 не ділиться на 24. Це пояснюється тим, що числа 4 і 6 мають спільний дільник – 2. Приклад 3. Відомо, що n 9 і n 5. Чи ділиться n на 45? Розв’язання Так. Оскільки n 9, то розклад числа n на прості множники містить 3 хоча б у другому степені. Але n 5, 32
тобто розклад числа n містить 5. А це значить, що n ділиться на 32 ∙5, тобто на 45. Приклад 4. Відомо, що число n, не ділиться на 7. Чи ділиться число 2010n на 7 без остачі? Розв’язання Оскільки 2010 = 287 7 + 1, то 2010 не ділиться на 7. А якщо кожен із множників 2010 і n не ділиться на 7, то і добуток 2010n не ділиться на 7. Задачі для самостійного розв’язування 1. Чи ділиться 32 73 на 18? (Ні) 2. Чи може сума трьох послідовних натуральних чисел бути простим числом? ((n - 1) + n + (n + 1) = 3n 3, тому не може) 3. Просте, чи складене число 22002 – 1? (Складене) 4. У запису натурального числа n використовуються тільки одиниці та двійки. Відомо, що одиниць у 4 рази більше, ніж двійок. Довести, що число n + 1989 складене. 5. Чи існує прямокутний паралелепіпед, довжини ребер якого натуральні числа, а площа поверхні – просте число? (Ні) 6. Минулого року добуток віків черепах Тора і Тори дорівнював 22 33 11. Чи може цього року добуток їхніх віків бути кратним 22? (Ні) 33
7. Ішли 40 мишей і несли 40 грошей. Дві худіші миші несли по два гроша. Кілька мишей – зовсім без грошей. Здорові миші тягнули по 7 грошей. Решта несли по 4. Скільки мишей йшло без грошей? (32) 8. Шматок дроту довжиною 102см потрібно розрізати на частини довжиною 15см і 12см. Як це зробити? (6 і 1; 2 і 6) 9. П’ятниця написав у рядок декілька різних натуральних чисел, менших 11. Робінзон Крузо, побачивши ці числа, зауважив, що у кожній парі сусідніх чисел одне з них ділиться на інше. Яку найбільшу кількість чисел міг виписати П’ятниця? (9 чисел: 8, 4, 1, 5, 10, 2, 6, 3, 9) 10. На кожній з 18 карток записано число 4, або число 5. Сума всіх записаних чисел ділиться на 17. На скількох картках записано число 4? (5) 11. Знайти усі прості числа , для яких 2 + 3 + 11 – просте число. ( = 3) 12. Відновіть цифри, які зображені зірочками в записі 2 * * 1 : 13 = * 2 *, якщо відомо, що ділення виконане без остачі. (2951 : 13 = 227) 13. Знайдіть найменше складене число, яке не ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10. (121) 14. Знайдіть усі прості числа, квадрат яких, збільшений або зменшений на 2013, теж просте число. (2) 15. Простим чи складеним є число 2323 – 1717 ? (Складене) 34
4. Ознаки подільності Ознаки подільності на 2, 3, 5, 9 і 10 вивчаються учнями у 6 класі. Але при підготовці до олімпіад необхідно знову їх повторити і розглянути ознаки подільності на 4, 6, 25, 8, 7, 11, 13, 17, 19, 37. Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4. Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3. Число ділиться на 25, якщо дві останні цифри складають число, яке ділиться на 25. Число ділиться на 8, якщо число утворене трьома останніми цифрами цього числа ділиться на 8. Щоб дізнатися, чи ділиться тризначне число на 8, можна половину одиниць додати до десятків. У числа, що вийшло також половину одиниць додати до десятків. Якщо підсумкова сума ділиться на 2, значить, число ділиться на 8. Число ділиться на 11, якщо різниця між сумою цифр, що стоять на непарних місцях і сумою цифр, розташованих на парних місцях, ділиться на 11. Число ділиться на 7, 11, 13, якщо різниця між S1–S2 ділиться на 7, 11, 13 (S1 – сума трійок з непарними номерами, S2 – сума трійок з парними номерами. Число розбивати на трійки справа наліво). 35
Число ділиться на 17 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене із збільшеним в 12 разів числом одиниць, кратне 17. Число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, кратне 19. Число ділиться на 37, якщо сума трійок, на які поділене число з кінця, ділиться на 37. Число ділиться на n-у степінь десятки тоді і тільки тоді, коли n його останніх цифр - нулі. Приклад 1. Шестизначне число закінчується цифрами 137 і ділиться на 7, 11 і 13. Знайти це число. Розв’язання Оскільки число ділиться на 7, 11 і 13, значить воно ділиться на добуток 7 11 13 = 1001, тому це число 137137. Відповідь: 137137. Приклад 2. П’ятицифрове число 24х8у ділиться на 4, 5 і 9. Чому дорівнює сума цифр х і у? Розв’язання Оскільки число 24х8у ділиться на 4 і 5, то у = 0. Але це число ділиться на 9, тому (2 + 4 + x + 8 + 0) 9, (14 + x) 9, значить х = 4, звідси 4 + 0 = 4. Відповідь: 4. Приклад 3. Які цифри можна поставити замість зірочок у запису 320*2*44, щоб отримане число ділилося на 132? Розв’язання Оскільки 132 = 4 3 11. Число 320*2*44 4, бо 44 4. При діленні на 3 має виконуватись умова: 36
(3+20+x+2 + у + 4 + 4) 3; (15 + х + у) 3; (х + у) 3. А при діленні на 11 – ((3 + 0 + 2 + 4) – (2 + х + у + 4)) 11; (3 – (х + у) 11. Враховуючи, що х і у – цифри, то x + у = 3. Це рівняння має чотири розв’язки: (0; 3); (3; 0); (1; 2); (2; 1). Числа 32002344, 32012244, 32022144, 32032044 діляться на132. Відповідь: 32002344, 32012244, 32022144, 32032044. Приклад 4. Чи існує восьмицифрове число, у запису якого всі цифри різні, і яке ділиться на всі свої цифри? Розв’язання Ні, не існує. Цифра нуль відсутня. Сума інших дев’яти цифр дорівнює 45. Якщо ще одна цифра відсутня - це 5, то число не ділиться на 3. Якщо 5 присутня, то число ділиться на 5, цифра 5 на останньому місці, але тоді не буде подільності на будь-яку парну цифру. Відповідь: не існує. Задачі для самостійного розв’язування 1. Яке із чисел : 2009; 2+0+0+9; (2 + 0) (9 + 0); 29 чи 200–9 ділиться на 3? ((2 + 0) (9 + 0)) 2. Чи існують числа цифри a і b такі, щоб число 76аb119 99. (так; а = 2, b = 1) 3. Довести, що будь-яке тризначне число, записане однаковими цифрами, ділиться на 37. ( =100х+10х+х=111х,а 111 37, тому 111х 37) 37
4. У шестизначному числі перша цифра співпадає з четвертою, друга з п’ятою, а третя з шостою. Доведіть, що це число ділиться на 7, 11 і 13. ( авсавс = 1001 авс = 7 11 13 ) 5. Доведіть, що (967 – 225 – 486 ) 10. 6. Доведіть, що 220 + 320 + 420 + 721 10. 7. Доведіть, що (165 + 215 ) 33. 8. Доведіть, що 333555 + 555333 37. 9. Число ділиться на 8. Яку найбільшу суму цифр воно може мати? (999888 – сума цифр = 51) 10. Чи ділиться на 9? 81раз (Так) 11. До числа 10 справа і зліва приписати по одній цифрі так, щоб число було кратне 72. (4104) 12. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 36, у запису якого зустрічаються всі 10 цифр. 13. На дошці написано число 321321321321. Які цифри треба стерти, щоб отримати найбільше число, яке ділиться на 9? (Дві 3 з кінця) 14. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться на 3, то число а2 ділиться на 9. 15. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться націло на 8, а натуральне число b ділиться націло на 4, а >b, то число а2 – b2 ділиться на 16. 16. У числі 8030604 замініть усі нулі такою цифрою, щоб знайдене число ділилося на 9. (2) 38
17. Доведіть, що сума двох послідовних непарних чисел ділиться на 4. 18. Знайдіть останню цифру числа 97531*, щоб воно ділилося на 6, але не ділилося на 9. (8) 19. Знайдіть найбільше трицифрове число, яке ділиться на 9 та цифри ідуть зліва направо у порядку зростання. (567) 20. Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти усі такі п’ятицифрові числа. (14112, 41112, 11160) 21. Доведіть, що сума чисел і кратна 11. 22. Скільки існує натуральних чисел, не більших 1999, які не діляться ні на 5, ні на 7? (1372) 23. Числа 2013...,,2,1 переставили у деякому порядку і отримали набір чисел 201321 ...,,, aaa . Чи обов’язково число )2013)...(2)(1( 201321 +++ aaa ділиться націло на а) 2 ; б) 4 ? (а)так; б) ні) 24. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5. (п=1, 6, 11) 25. Чи можна числа 1, 2, 3,…, 1999, 2000 записати в такому порядку, щоб сума будь-яких чисел, які записані через одне число, ділилася без остачі на 7? (Ні) 26. Знайдіть найменше натуральне число п таке, щоб число п2 +п ділилось без остачі на 2006. (118) 39
5. Взаємно прості числа Два цілих числа називають взаємно простими, якщо вони не мають спільних додатних дільників, крім 1. Два різні прості числа є взаємно простими. Число 1 є взаємно просте з довільним цілим числом. Якщо деяке ціле число ділиться на кожне із взаємно простих чисел, то це число ділиться на їх добуток. Приклад 1.Нехай для цілих чисел а і b існують цілі числа m і n такі, що аm + bn = 1. Доведіть, що а і b взаємно прості. Розв’язання Припустимо, що а і b не є взаємно простими, тобто мають спільний дільник х > 1. Тоді (аm + bn) х, але 1 не ділиться на х, що суперечить умові аm + bn = 1. Отже, а і b – взаємно прості числа. Приклад 2. Чи є числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно простими для довільного цілого числа n? Розв’язання І спосіб: Оскільки 3 (14n +3) – 2 (21n +4) = 1, то згідно з попередньою задачею, числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно прості. ІІ спосіб: Умова буде виконуватися, коли дріб нескоротний. Тоді = 1 + ; = 2 + . 40
Дріб – нескоротний для довільного цілого n. Отже, дані числа є взаємно простими. Задачі для самостійного розв’язування 1. Доведіть, що при будь-яких n дріб не можна скоротити. 2. Знайдіть будь-які два натуральні значення n при яких дріб можна скоротити. (n = 1; n = 4) 3. Доведіть, що для всіх натуральних n числа 2n + 1 і 2n(n + 1) взаємно прості. 4. Знайдіть усі пари взаємно простих чисел ( q), де q, для яких q та q – прості числа. ( q = 2) 5. Знайдіть усі цілі n, для яких числа 9n + 5 та 3n + 1 взаємно прості. (для n – парних чисел) 6. Нехай х – просте число. Скільки всього існує натуральних чисел, менших х2 і взаємно простих з х2 ? (х2 – х) 7. На екрані комп'ютера було записано число 123456789. Вася так вставив пробіли між деякими цифрами цього числа, що воно розбилося на кілька частин, причому числа, записані в будь-яких двох частинах, виявилися взаємно простими. Яка найбільша кількість частин могла при цьому утворитися? ( шість) 41
8. Знайдіть всі натуральні числа, на які можна скоротити дріб 78 65 + + х х при різних цілих х. (13) 9. Знайдіть усі такі p , щоб числа p , p +10 та p +14 були простими. (р=3) 6. Періодичність остач Ділення числа а на число в з остачею можна записати у вигляді: а = bq + r, де r – остача. Нехай при діленні числа а на число b залишається остача r, то при діленні аn на b – остача rn (n є N). Оскільки різних остач всього b, то остачі мають повторюватися. Нехай для деяких натуральних чисел R і m : rR = rR+m. Тоді за правилами дій над остачами rк+1= rк+m+1, rк+2 = rк+m+2, rк+m = rк+2m, тобто послідовність остач періодична. Періодичність остач на одноцифрове число означає періодичність останньої цифри; а на двоцифрове – останньої і передостанньої цифр і т.д. Помітивши періодичність остач, можна раціональніше знайти розв’язок олімпіадних задач. Якщо остача від ділення числа а на b дорівнює с, то остача від ділення числа аn на b дорівнює остачі від ділення числа сn на b. Приклад 1. Знайдіть остачу від ділення 22010 на 7? Розв’язання Оскільки 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 =64, то при діленні на 7 степенів числа 2, отримаємо остачі: 2; 4; 1; 2; 4; 1 і т.д. 42
Послідовність остач має період 3. Оскільки 22010 = 23∙ 670 , то 22010 має ту саму остачу від ділення на 7, що й 23 , тобто 1. Відповідь: 1. Приклад 2. Знайдіть останню цифру числа 999 . Розв’язання Оскільки 91 = 9, 92 = 81, 93 = 729, 94 = 6561, то остання цифра степенів 9 - непарна, а саме 1 або 9. Тому 99 закінчується непарною цифрою 9. А непарний 9 степінь цифри 9 закінчується на 1. Відповідь: 1. Приклад 3. На столі лежать 15 сірників. Грають двоє. За один хід дозволяється взяти 1, 2 або 3 сірники. Програє той, хто забирає останнього сірника. Хто з гравців має виграшну стратегію? Розв’язання Виграшну стратегію має перший гравець. Першим ходом він має взяти два сірники, а надалі доповнювати число сірників, що взяв другий гравець до чотирьох. Тут незмінною є остача 1 від ділення на 4, яку дає число 13 (13 = 15 – 2). Відповідь: перший гравець. Приклад 4. Знайти остачу від ділення числа 2222n на 7. Розв’язання Знайдемо остачу від ділення числа 2222 на 7: 2222 : 7 = 317 (ост. 3). Остача від ділення 2222n на 7 така сама, як остача від ділення 34 на 7, тобто 4, бо 34:7 = 81:7 = 11 (ост. 4). Відповідь: 4. 43
Задачі для самостійного розв’язання 1. Знайдіть остачу від ділення 444333 на 7. (6) 2. Знайдіть остачу від ділення 7100 + 11100 на 13. (12) 3. Якою цифрою закінчується 19821982 . (4) 4. Знайдіть останню цифру 22013 . (2) 5. Скільки існує тризначних чисел, які при діленні на 8 дають в остачі 3? (112) 6. Знайдіть х, якщо 144 і 220 при діленні на х дають остачу 11. (19) 7. Знайдіть останню цифру числа 20092011 . (9) 8. Знайти останню цифру числа 3322 + 2211 . (7) 9. Доведіть, що 22225555 + 55552222 ділиться на 7. 10. Гра полягає в тому, що кожен із двох гравців по черзі забирає будь-яку кількість камінців тільки з однієї із двох куп (з однаковою кількістю камінців). Виграє той, хто забере останній камінець. Хто з гравців має виграшну стратегію? (Перший, потрібно забирати кожен раз стільки, щоб камінців було однаково на двох купах). 11. На столі лежать 13 паличок. Двоє дітей по черзі беруть 1 або 2 палички з цієї купки. Виграє той, хто візьме останній сірник. Хто з дітей виграє? (Виграє перший, якщо спочатку візьме 1, а потім буде брати число кратне 3). 44
12. Знайти остачу від ділення числа 72003 на 10. (3) 13. Довести, що 22011 + 32011 ділиться на 5. 2, 4, 6, 8,… 7. Парність цілих чисел Спроба класифікувати числа приводить до поділу їх на парні і непарні. Парні – числа, що закінчуються парною цифрою: 0, 2, 4, 6, 8. Непарні – всі інші числа. Іншими словами, парне число, це таке ціле число n, що можна представити у вигляді n = 2k, а непарне n = 2k + 1, де k — довільне ціле. Такий поділ є змістовним, оскільки використовується при розв’язуванні олімпіадних задач. Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною. Сума будь-якої кількості парних доданків – парна. Різниця будь-якої кількості парних чисел – парна. Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Сума квадратів парної кількості непарних чисел є парною. Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є парною. Добуток двох послідовних чисел число парне Приклад 1. Доведіть, що сума двох непарних чисел – число парне. Розв’язання Якщо а = 2n + 1, b = 2m + 1, то а + b = 2n + 2m + 2 = 45
=2 (n+ m+1), а це число парне. Отже, сума двох непарних чисел – число парне. Приклад 2. Знайти всі цілі числа m і n, для яких виконується умова: m2 + m = n2 + n +2013 Розв’язання За умовою m2 + m = n2 + n +2013, m( m + 1) = n( n + 1) + 2013; тоді m( m + 1) - n ( n + 1) = 2013. Оскільки добуток двох послідовних чисел число парне, то m(m+1) і n( n + 1) – парні, але 2013 – непарне число. Виходить, що m(m+ 1) - n ( n + 1) – парні і дорівнює 2013. Цього бути не може, значить такі числа m і n не існують. Відповідь: такі числа m і n не існують. Приклад 3. Василько купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Потім вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990? Розв’язання Ні, не міг. Тому що на кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел - непарна і не може дорівнювати парному числу 1990. Відповідь: не міг. Задачі для самостійного розв’язування 1. Знайдіть різницю між сумою перших ста парних і перших ста непарних натуральних чисел. (100) 46
2. По колу вписали 2003 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною. 3. Розставити замість зірочок знаки «+» чи «–» так, щоб одержати правильну рівність: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9=10. (Рівність не виконується, бо зліва записана непарна кількість непарних чисел) 4. Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, …, 25 так, щоб у кожному рядку сума деяких із записаних в ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел цього рядка? (Ні, бо тоді сума чисел у всій таблиці була б парною, а 1+2+…25=325 - непарне число) 5. Довести, що серед будь-яких трьох цілих чисел є два числа, сума яких парна. 6. Чи можна в запису 1*2*3* …*1997 = 1*9*9*7 розставити замість зірочок знаки «+» або «–» так, щоб одержати правильну рівність. (Ні) 7. На чудо-дереві садівник виростив 2013 бананів і 2012 апельсинів. Кожен день він зривав два плоди, а на їх місці виростав новий, притому якщо зривали два однакових плоди, то виростав апельсин, а якщо різні, то банан. Який може бути останній плід на цьому дереві? (Банан) 8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел? (Ні) 9. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому першого разу він стрибнув на 1см в якийсь бік, другого – на 2см і так далі. Доведіть, що після 2013 стрибків він не може зупинитися там, де починав. (сума 1 + 2 + … + 2013 – непарна) 47
10. Сума 2010 натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або непарним - є добуток цих чисел? (парним) 11. На паралелі сьомих класів 120 учнів. Кожного дня чергують в шкільній їдальні троє. Чи можна скласти графік так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз? (Ні) 12. Числа від 1 до 20 виписані в рядок. Гравці, по черзі розставляють між ними плюси і мінуси. Після того, як всі місця заповнені, підраховується результат. Якщо він парний, виграє перший гравець, якщо непарний - другий. Хто програє у цій грі? (Парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом, а їх в даному випадку 10 (тобто парне число), то виграє перший(починаючий гру) гравець). 8. Число натуральних дільників Якщо число a можна представити у вигляді добутку простих множників a = α qβ , де q – різні прості числа, то кількість усіх додатних дільників a дорівнює ( + 1) (β + 1). Приклад 1. Скільки дільників у числа 1010 ? Розв’язання Оскільки 1010 = (2 5)10 = 210 510 , то кількість усіх дільників 48
дорівнює (10+1) (10+1) = 11 11 = 121. Відповідь: 121. Приклад 2. Скільки дільників має число 250 52 610 ? Розв’язання Представимо дане число у вигляді добутку простих множників: 250 52 610 = 250 52 210 310 = 260 52 310 , тому кількість дільників 61 3 11= 2013. Відповідь: 2013. Задачі для самостійного розв’язування 1. Скільки дільників має число 23 32 35? (48) 2. Скільки дільників у числа 100? (9) 3. Скільки дільників має число 972004 ? (2005) 4. Які натуральні числа мають рівно три натуральні дільники? (квадрати простих чисел) 5. Які натуральні числа мають непарну кількість додатних дільників? (квадрати натуральних чисел) 9. НСД і НСК Множина всіх спільних дільників цілих чисел m і n– скінченна, і тому має найбільший спільний дільник (НСД). Правила, за якими знаходять НСД і НСК чисел а і b учні вивчили у 6 класі. 49
Найбільшим спільним дільником двох цілих чисел a та b, які одночасно не дорівнюють нулю, називається таке найбільше ціле число d, на яке a та b діляться без остачі. Цей факт позначається так: d = НСД(a, b). Якщо обидва числа дорівнюють нулю, то НСД(0, 0) = 0. Виходячи з означення, мають місце наступні співвідношення: НСД(a, b) = НСД(b, a), НСД(a, b) = НСД(-a, b), НСД(a, 0) = |a|. Найменшим спільним кратним двох цілих чисел a та b називається найменше додатне ціле число, кратне як a, так і b. Якщо a = ka k aa ppp ...21 21 , b = kb k bb ppp ...21 21 , то НСД(a, b) = ),min(),min( 2 ),min( 1 ...2211 kk ba k baba ppp , НСК(a, b) = ),max(),max( 2 ),max( 1 ...2211 kk ba k baba ppp . Існує ще один спосіб знаходження НСД – алгоритм Евкліда. Евклід – давньогрецький математик, що жив у ІІІ ст. до н.е. В своїй праці «Начала» він описав спосіб знаходження НСД натуральних чисел. Щоб знайти НСД двох чисел, використовуючи алгоритм Евкліда, необхідно: 1) Поділити більше з них на менше, дістанемо неповну частку і остачу; 2) Ділимо менше з даних чисел на здобуту (першу остачу) і дістанемо другу неповну частку і остачу; 3) Ділимо першу остачу на другу і т.д., при цьому остача зменшується; 4) Ділимо до тих пір, поки остача не стане рівною 0. Остання відмінна від нуля остача і є шуканий НСД двох чисел. 50
Приклад 1. Знайти НСД (200; 375). Розв’язання Використаємо алгоритм Евкліда: 37 5 20 0 200 1 20 0 17 5 17 5 1 17 5 25 17 5 7 0 Отже, НСД (200; 375) = 25. Відповідь: 25. Приклад 2. У кошику менше, ніж 100 яблук. Їх можна розділити порівну між 2, 3 і 5 дітьми, але не можна розділити між 4. Скільки яблук у кошику? Розв’язання Знайдемо НСК (2, 3, 5) = 30. Тому спільними кратними будуть числа 60, 90, … Оскільки яблук має бути менше 100 і їх кількість не ділиться на 4, то в кошику 30 або 90 яблук. Відповідь: 30 або 90 яблук. Задачі для самостійного розв’язання 51
1. НСК (х; у) = 90; НСД (х; у) = 6, причому х і у не діляться одне на одне. Знайдіть х і у. (18 і 30) 2. НСК двох чисел, які не діляться одне на одне, дорівнює 630, а їх НСД дорівнює 18. Знайти ці числа. (90 і 126) 3. Жінка йшла на базар і несла у кошику яйця. Хтось штовхнув її і розбив яйця. «Скільки в тебе було яєць?» - запитав він. «Пам’ятаю, що коли розкладала їх по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу 1 яйце залишалося, а коли розкладала їх по 7, то остачі не було». Скільки яєць було в кошику, якщо їх було менше 400? (301) 4. Яке найбільше число однакових подарунків можна зробити з 320 горіхів, 240 цукерок та 200 пряників? Скільки горіхів, цукерок і пряників у кожному подарунку? (40) 5. Яку найбільшу кількість букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок? (8) 6. Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56см і завширшки 48см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо? (8) 7. Дерев’яний брусок 48 х 30 х 24см потрібно розрізати на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо? (6) 8. Батько і син вирішили переміряти кроками відстань між двома деревами, для чого відійшли водночас від того ж самого дерева. Довжина кроку батька – 70см, сина – 56см. 52
Знайти відстань між цими деревами, якщо відомо, що їхні сліди збіглися 10 разів. (2520см) ІІІ. МОДУЛІ 1. Розв’язування лінійних рівнянь з модулем Абсолютною величиною (модулем) невід’ємного числа є те саме число. Абсолютною величиною від’ємного числа є число, протилежне йому. Алгебраїчно це можна записати так: З геометричної точки зору означає відстань від початку відліку до точки, що має координати a. Тому = b, b > 0, а = b або а = - b Приклад 1. Розв’язати рівняння: Розв’язання І спосіб Алгебраїчне розв’язування на основі означення модуля: Якщо х – 1 ≥0, то х – 1 = 3, х = 4. Якщо х – 1 < 0, то – (х – 1) = 3, – х = 2, x= – 2. ІІ спосіб Геометричне розв’язування: 53
Задачу можна сформулювати так: на координатній прямій знайти координати точок, відстані від яких до точки з координатою 1 дорівнюють 3. Тому, х– 1 = 3, або х – 1 = – 3. х = 4, або х = – 2. Відповідь: 4; – 2. Приклад 2. Розв’язати рівняння: Розв’язання Якщо х ≥ 0, то рівняння матиме вигляд: х – 7 = 14 + 2х, х – 2х = 14 + 7, – х = 21, х = – 21 – не задовольняє умову х ≥ 0. Отже, х = – 21 – не є коренем. Якщо х< 0, то отримаємо рівняння: – х – 7 = 14 + 2х, – х – 2х = 14 + 7, – 3х = 21, х = 21: (– 3), х = –7. Відповідь: – 7. Приклад 3. Розв’язати рівняння: = 3 Розв’язання = 3. Маємо: . . х 2 = 4, або х 2 = 4. 54
х = 6 х = 2. Друге рівняння коренів не має, бо модуль - величина невід’ємна. Відповідь: 6; 2. Приклад 4. Розв’язати рівняння: Розв’язання . За означенням модуля: = 0, = 1, = 1, або . . Тоді: х + 1 = 2, або х + 1 = , х + 1 = 0, х = 1, х = – 3, х = – 1. Відповідь: ; – 1; 1. Приклад 5. Розв’язати рівняння: Розв’язання Оскільки сума двох невід’ємних доданків не може дорівнювати від’ємному числу, то рівняння коренів немає. Відповідь: коренів немає. Приклад 6. Розв’язати рівняння: Розв’язання 55
Якщо х ≥ 0, то х2 – 4х +4 = 0, (x – 2)2 = 0, х– 2 = 0, х = 2. Якщо х< 0, то х2 + 4х +4 = 0, (x + 2)2 = 0, х + 2 = 0, х = –2. Відповідь: – 2; 2 Задачі для самостійного розв’язування Розв’яжіть рівняння: 1. (1; 3) 2. (–1) 3. 4. (коренів немає) 5. (-9 ; 9) 6. (х 3)2 – 10 · (8; - 2) 7. (0) 8. 2. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля Приклад 1. Побудувати графік функції: Розв’язання Оскільки за означенням модуля: 56
можна записати: В результаті побудови графіка цієї функції одержуємо прямий кут з вершиною в початку координат, сторони якого є бісектрисами першої і другої координатних чвертей. у у=| х| 0 1 х Приклад 2. Побудувати графік функції: у = Розв’язання За означенням модуля маємо: 1) якщо ; 2) якщо х < 0, то . Графіком є лінія, симетрична відносно осі ординат, розміщена в першій і другій координатних чвертях. у 57
2 у=|2х| 1 0 1 х Приклад 3. Побудувати графік функції: Розв’язання За означенням модуля отримаємо: 1) якщо ; 2) якщо х < 0, то . Графіком є лінія, симетрична відносно осі ординат і розміщена в третій і четвертій координатних чвертях. у 0 1 х 2 у=-2|х| Приклад 4. 58
Побудувати графік функції: Розв’язання Використаємо означення модуля: 1) Якщо . Тобто для всіх графіком функції буде частина прямої 2) Якщо x< 0, то . Для x< 0 графіком функції буде частина прямої . Приклад 5. у у=|х|-3 -3 0 3 х -3 59
Побудувати графік функції: Розв’язання Скористаємось означенням модуля: 1) Якщо . 2) Якщо x< 0, то . Побудуємо графіки у = 0 для всіх невід’ємних значень х і у = 2х для від’ємних х: Приклад 6. у у=х-|х| -1 0 1 х 60
Побудувати графік функції: Розв’язання За означенням модуля числа маємо: 1) Якщо . 2) Якщо x< 0, то . Графік функції матиме вигляд: у 3 2 у=|х|+2х -1 0 1 х Приклад 7. Побудувати графік функції: Розв’язання Згідно означенням модуля числа: 1) Якщо , тобто . 2) Якщо , тобто . 61
Тоді даний графік функції: у 2 у=|х-3|+2 1 -1 0 1 3 х Завдання для самостійного розв’язування Побудуйте графіки функцій: 1) 2) 3) 4) 5) ІV. МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ 1. Графічний метод розв’язування рівнянь Приклад 1. Розв’язати рівняння: 62
Розв’язання Побудуємо в одній системі координат графіки функцій: і Абсциси точок перетину цих графіків є коренями рівняння. у у=4 4 3 2 у=|х-3| 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 х Відповідь: -1; 7. Приклад 2. Розв’язати рівняння: Розв’язання + Запишемо рівняння у вигляді: . Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і 63
Оскільки точок перетину графіків не має, то рівняння розв’язків немає. Відповідь: розв’язків немає. Приклад 3. Розв’язати рівняння: Розв’язання Знайдемо ті значення х, для яких функції та набувають рівних значень. Побудуємо в одній системі координат графіки даних функцій і знайдемо абсциси точок перетину. у у у=| х+5| 1 -5 -1 0 1 4 х у=-|х-4| 64
у=|х-1|+2 6 у=6-|х-3| 2 1 -1 0 1 3 4 х Отже, х = 0 і х = 4. Відповідь: 0; 4. Завдання для самостійного розв’язування Розв’яжіть рівняння: 1. (-3 ; 7) 2. ( -1) 3. ( -3; 5) 2 . Лінійні діафантові рівняння Невизначені рівняння – рівняння, які містять більше однієї невідомої. До невизначених рівнянь належать так звані діафантові рівняння. 65
Діафантовими рівняннями називають алгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами, розв’язки яких знаходять у цілих або раціональних числах. Цей вид рівнянь названий на честь відомого грецького математика Діафанта, який розробив ряд способів розв’язування невизначених рівнянь. Лінійним діафантовим рівнянням із двома невідомими називаються рівняння виду ах + bу = с а, b, с – цілі числа. Наведемо деякі теореми про існування та знаходження розв’язків деяких видів невизначених рівнянь. Теорема 1. Якщо в рівнянні ах + bу = с, НСД (а, b) = d, d>1 і с не ділиться на d, то рівняння в цілих числах розв’язків не має. Теорема 2. Якщо в рівнянні ах + bу = с, а і b - взаємно прості числа і пара чисел x0, у0 – будь-який його розв’язок, то формули х = х0 – bt, у = у0 + аt або х = х0 + bt, у = у0–аt, де t Z дають усі розв’язки цього рівняння. Для розв’язування діофантових рівнянь першого степеня з двома змінними можна використовувати метод спуску. Приклад 1. Розв’язати в цілих числах рівняння 7х – 4у = 2. Розв’язання 1. Виберемо змінну, що має найменший коефіцієнт, і виразимо її через іншу змінну: . Виділимо цілу частину: 66
y = х + . Число буде цілим, якщо цілим виявиться значення дробу . Це можливо тоді, коли число 3x – 2 без остачі поділиться 4. Вводимо нову змінну t, тоді останнє рівняння запишемо у вигляді: 3x – 2 = 4t. Ми прийшли до рівняння такого самого типу як і вихідне, але вже з меншими коефіцієнтами. Розв’язати його потрібно відносно змінних х і t. Аналогічно: 2. х = = t + ; 3. = t1 , t = 3t1– 2, t1 Z. Дробів немає, тому «спуск» закінчено. 4. Тепер необхідно «піднятися нагору». Виразимо х і у через t1 . х = 3t1 = 3t1– 2+ t1 = 4t1 – 2, у = 4t1 = 4t1 – 2+3t1 – 2 = 7t1 – 4. 67
Формули задають загальний розв’язок рівняння в цілих числах. Відповідь: Для пошуку частинних розв’язків рівняння аx + by = с можна використовувати спосіб підбору. Приклад 2. Знайти частинний і загальний розв’язки рівняння 3x + 5у = 26 Розв’язання 1. Підбором визначаємо – частинний розв’язок. х = 0; 1; 2. у = . 2. За теоремою 2 або - загальний розв’язок, . Відповідь: Частинний розв’язок рівняння: Загальний розв’язок рівняння: 68
або . Задачі для самостійного розв’язування Розв’язати в цілих числах рівняння: 1) 13x – 16y = 7, 2) 7x+ 19y = 35, 3) 5x+ 7y = 19, 4) 6x + 4y = 11, 3. Задачі, пов’язані з цілими числами Задача 1. Вік людини у 1973 р. дорівнював сумі цифр її року народження. Скільки їй було років? Розв’язання Нехай людина народилася в 19ху році, тоді її вік дорівнює 1 + 9 + х + y. Маємо рівняння: 69
1000 + 900 + 10х + у + 10 + х + у = 1973, 11x + 2у = 63, х = . Оскільки х – ціле, то число 63 – 2у має бути кратним 11, тобто дана різниця може дорівнювати 11, 22, 33, 44, 55. Враховуючи, що у ≤ 9, підбором встановлюємо: у = 4, x = 5. Отже, людина народилась у 1954 р. і у 1973 р. їй було 19 років. Відповідь: 19 років. Задача 2. Дано відрізки довжиною 7 см і 12 см. Скільки і яких відрізків треба взяти, щоб із них скласти відрізок 1 м? Розв’язання Нехай потрібно взяти х відрізків довжиною 7 см та y відрізків довжиною 12 см. Тоді матимемо рівняння: 7х + 12y =100, у = . Методом підбору знайдемо х: х = 1, 2, 3, 4. Отже, x = 4, тоді y = 6. Це означає, що лише одним способом можна утворити відрізок довжиною 1 м. Відповідь: 4 відрізки довжиною 7см і 6 відрізків довжиною 12см. Задача 3. Стріляючи по мішені, спортсмен кілька разів потрапив у десятку, стільки ж разів вибив 8 очок, інші постріли потрапив у п’ятірку. Усього він набрав 99 очок. Скільки пострілів зробив спортсмен? Розв’язання 70
Нехай х разів спортсмен потрапив у десятку і стільки ж разів вибив 8 очок і у разів потрапив у п’ятірку. Оскільки всього він набрав 99 очок, то маємо рівняння: 10x + 8x + 5y = 99, 18x + 5y = 99, . Методом підбору: х = 1, 2, 3 знаходимо x = 3; = 9. Отже, спортсмен 3 влучив в десятку, 3 вибив 8 очок і 9 разів потрапив у п’ятірку, тому зробив 3 + 3 + 9 = 15 пострілів. Відповідь: 15 пострілів. Задача 4. Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі кількості його десятків і квадрата одиниць. Розв’язання Нехай - дане двоцифрове число. Тоді за умовою задачі, маємо рівняння: = а + b2 , 10а +b = а + b2 , 9а = b2 – b, 9а = b· (b – 1), а = . Оскільки числа a і b – натуральні, то одне з чисел b або (b – 1) кратне 9, або b і (b – 1) кратне 3. Оскільки b і (b – 1) послідовні числа, то одночасно кратні числу 3 не можуть бути. Отже, b = 9, тоді а = 8. Значить шукане число 89. Відповідь: 89. 71
Задачі для самостійного розв’язування 1. Від двоцифрового натурального числа відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в зворотному порядку. Яке це число? (54) 2. Жінці у 1979 р. виповнилося стільки років, яка сума цифр її року народження. У якому році вона народилась? (1957) 3. У кімнаті були стільці на 4 ніжках і табуретки на 3 ніжках. Коли всі запрошені сіли, то місць не залишилось, а сума ніг у тих, то сиділи, і ніжок у стільців і табуреток виявилась 39. Скільки було стільців і табуреток? (4 стільці і 3 табуретки) 4. Кусок дроту довжиною 102см потрібно розрізати на частини довжиною 15см і 12см так, щоб не було залишків. Скільки розв’язків має задача? (Два розв’язки. 6 кусків по 15см і один кусок 12см або 2 куски по 15см і 6 кусків по 12см) 5. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між цим числом і числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку. (98) 6. До деякого двоцифрового числа зліва і справа приписали по 1. У результаті отримали число, що у 23 рази більше від першого. Знайти дане число. (77) 72
7. Трицифрове число починається цифрою 4. Якщо цю цифру переставити в кінець, то одержане число буде становити 0,75 даного. Знайти дане число. (432) 8. У касира є монети по 5 к. і по 10 к. Скількома способами він може дати здачу 50 к.? (4 способами) 4. Лінійні рівняння з параметром Лінійним рівнянням називається рівняння виду ах = , де а, b – деякі числа, х – змінна. Якщо а ≠ 0, то рівняння має один корінь: х = . Якщо a = 0 і b ≠ 0, то рівняння не має коренів. Якщо a = 0 і b = 0, то рівняння має безліч коренів. Приклад 1. Знайдіть значення а, при яких рівняння ах – 4 = 6х має єдиний корінь. Розв’язання ах – 4 = 6х, ах – 6х = 4, х(а – 6) = 4. Рівняння має єдиний корінь, якщо а – 6≠ 0, а ≠ 6. Отже, рівняння має єдиний корінь при всіх значеннях а, крім а =6. Відповідь: всі значення, крім а = 6. Приклад 2. Розв’яжіть рівняння залежно від значення а: 2х – 3(х – а) = 3 + а. Розв’язання 2х – 3(х – a) = 3 + а, 73
2х – 3х +3а = 3 + а, –х = 3+а – 3а, –х = 3– 2а, х = 2а –3. Відповідь: 2а –3. Приклад 3. Розв’яжіть рівняння: . Розв’язання , Використавши основну властивість пропорції, отримаємо рівняння: 4ax – 8 = 6 – 2ax, 4ax + 2ax = 6 + 8, 6ax = 14, 3ax = 7. Якщо a ≠ 0, то x = ; якщо a = 0, то рівняння коренів не має. Відповідь: якщо a ≠ 0, то x = ; якщо a = 0, то рівняння коренів не має. Приклад 4. Розв’яжіть рівняння: (a–2)x = a2 – 4. Розв’язання (a–2)x = a2 – 4 Якщо a – 2 ≠ 0, то x = = a + 2; якщо a – 2 = 0, то рівняння має безліч коренів. Відповідь: якщо a≠ 2, то x = a + 2; якщо a = 2, то рівняння має безліч коренів. Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: (a2 –4)x = a – 2. 74
Розв’язання (a2 –4)x = a – 2 1) якщо a2 –4 = 0, то (a–2) ∙ (a+2) = 0 a –2 = 0 або a +2 = 0 a = 2 a = –2 а) якщо a = 2, то рівняння має вигляд 0х = 0, тобто рівняння має безліч коренів; б) якщо a = –2, то рівняння має вигляд 0х = –4, тобто рівняння не має коренів. 2) якщо a≠ ± 1, то x = Відповідь: якщо a = 2, то безліч коренів; a = –2, то коренів немає; a≠ ± 2, то x = . Приклад 6. Розв’яжіть рівняння: а2 х+2х+1 = а +3ах. Розв’язання а2 х+2х+1 = а+3ах. Виконаємо перетворення: а2 х+2х-3ах = а-1; х(а2 +2-3а) = а-1; х(а2 +2-а-2а) = а-1; х(а(а-1)-2(а-1)) = а-1; х(а-1)(а-2) = а-1. Тепер розглянемо можливі випадки: 1) Якщо а ≠1 , а ≠2, то коренем рівняння є х = 1 1 −à . 2) Якщо а =1, то отримаємо рівняння виду 0х = 0. Отже, розв’язком рівняння є будь-яке число. 3) Якщо а=2, то рівняння набуде виду 0х = 1. Таке рівняння коренів немає. 75
Відповідь:1) якщо а ≠1 , а ≠2, то х = 1 1 −à ; 2) а =1 - розв’язком є будь-яке число; 3) а=2 - коренів немає. Задачі для самостійного розв’язування 1. При яких значеннях параметра b рівняння (b–8) ∙ (b+6) = 4–b немає розв’язків? (b=8 або b= –6) 2. При яких значеннях параметра k рівняння 8(x+3) –8k = 5–2kx має єдиний розв’язок? (k ≠ –4) 3. Розв’язати рівняння: (2+m) – 3 = 0. 4. Розв’язати рівняння: (2–а) x = 8 – 4a ; 5. Розв’яжіть рівняння ах+2 = 1, якщо а 0˂ (х = -1/а) 5. Графічний метод розв’язування рівнянь з параметром Рівняння з параметром можна розв’язувати графічним методом. 76
Приклад 1. Знайти кількість розв’язків рівняння: │х│-а = -3. Розв’язання Розглянемо параметричне рівняння │х│- а = -3. Задане рівняння перепишемо у вигляді: │х│+3 = а, де а- параметр, що може набувати будь-яких значень із множини дійсних чисел. Використовуючи графічний спосіб розв’язання рівнянь, розв’язки заданого рівняння знайдемо, як абсциси точок перетину графіків функцій у =│х│+3 та у = а. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у =│х│+3 та у = а. Графіком функції у =│х│+3 є прямий кут з вершиною в точці (0;3). Графіком функції у = а є рухома пряма, паралельна осі ОХ . Якщо а < 3, то рівняння розв’язків не має. Якщо а = 3, то рівняння має один розв’язок. Якщо а > 3 , то рівняння має два розв’язки. у у=|х| у=а 0 1 х 77
Відповідь: Якщо а < 3, то рівняння розв’язків не має; якщо а = 3, то рівняння має один розв’язок; якщо а > 3 , то рівняння має два розв’язки. Задачі для самостійного розв’язування 1. Знайти кількість розв’язків рівняння │х-5│-а = 0. (якщо а < 0, рівняння розв’язків не має; якщо а= 0, то один розв’язок; якщо а > 0 , то два розв’язки). 2. Знайти кількість розв’язків рівняння │х│- а = 2. (якщо а < - 2, то рівняння розв’язків не має; якщо а = -2, то рівняння має один розв’язок; якщо а > -2 , то рівняння має два розв’язки). 6. Задачі на концентрацію і процентний вміст Задача 1. Змішали 100мл 10%-го розчину соляної кислоти і 400мл 20%-го розчину соляної кислоти. Знайдіть концентрацію соляної кислоти в отриманій суміші. Розв’язання 1) 10% = 0,1; 100 0,1 = 10(мл) – в першому розчині соляної кислоти; 2) 20% = 0,2; 400 0,2 = 80(мл) – в другому розчині соляної кислоти; 3) 10 + 80 = 90(мл) – разом в двох розчинах соляної кислоти; 4) 100 + 400 = 500(мл) – маса суміші; 5) 100 = 18(%). 78
Відповідь: 18% концентрація суміші. Задача 2. До 100мл 20%-го розчину солі долили 100мл дистильованої води. На скільки відсотків зменшилася концентрація солі в розчині? Розв’язання 1) 20% = 0,2; 100 0,2 = 20(мл) – чистої солі; 2) 100 + 100 = 200 (мл) – маса нового розчину; 3) 100 = 10(%) – концентрація нового розчину; 4) 20 – 10 = 10(%). Відповідь: на 10% зменшилась концентрація солі в розчині. Задача 3. Шляхом кип’ятіння зі 100мл 20%-го розчину солі випарили 50мл води. На скільки відсотків збільшилася концентрація солі в розчині? Розв’язання 1) 20% = 0,2; 100 0,2 = 20(мл) –солі в початковому розчині; 2) 100 – 50 = 50(мл) – маса розчину після випаровування води; 3) 100 = 40(%) – концентрація нового розчину; 4) . Відповідь: на 20% збільшилася концентрація солі в розчині. Задача 4. До розчину, який містить 40г солі, додали 100г води. Після цього концентрація солі в розчині стала 10%. Скільки грамів води містив початковий розчин? Розв’язання Нехай початковий розчин містив x2 води, тоді його маса 79
( + 40)г. Після того, як до розчину додали 100г води, його маса стала ( + 140)г. За умовою задачі відомо, що концентрація нового розчину 10%. Складаємо рівняння: 100 = 10, = 1, x + 140 = 400, x = 260. Отже, початковий розчин містить 260г води. Відповідь: 260г води. Задача 5. Сплав міді і цинку містив міді на 640г більше, ніж цинку. Після того, як із сплаву виділили міді, яка в ньому містилася і 60% цинку, маса сплаву стала 200г. Скільки важив сплав спочатку? Розв’язання Нехай в сплаві було x2 цинку і (x + 640)г міді. Так як в сплаві залишилося частина міді і частини цинку, то маємо рівняння (x + 640)+ x =200, 5(x + 640) + 14x = 7000, 5x + 3200 + 14x = 7000, 19x = 3800, x = 200. Отже, в сплаві спочатку було 200г цинку, і 200 + 640 = 840(г) міді. Сплав важив 200 + 840 = 1040(г) або 1 кг 40г. Відповідь: 1кг 40г. 80
Задача 6. Є два розчини із 25%-м і 15%-м вмістом солі. Скільки кілограмів кожного розчину потрібно взяти, щоб одержати 8кг нового розчину із 16%-м вмістом солі? Розв’язання Нехай потрібно взяти xкг 25% розчину солі і yкг 15% розчину солі. Тоді: x + y = 8. Перший розчин містить 0,25xкг чистої солі, а другий – 0,15у кг чистої солі. У 8кг міститься 8 0,16 = 1,28 (кг) чистої солі, отже, 0,25 x + 0,15у = 1,28. Маємо систему: Отже, потрібно взяти 0,8кг 25% розчину солі і 7,2кг 15% розчину солі. Відповідь: 0,8кг, 7,2кг. Задачі для самостійного розв’язування 1. Змішали 100 мл 10%-го розчину солі та 100 мл 20%-го розчину тієї самої солі. На скільки відсотків концентрація в суміші відрізняється від концентрації солі в менш концентрованому розчині? (на 5%) 81
2. До 100 мл 10%-го розчину солі долили 200 мл розчину тієї самої солі іншої концентрації. У результаті отримали 20%-й розчин солі. На скільки відсотків концентрація солі в долитому розчині відрізнялася від концентрації солі в початковому розчині? (на 15%) 3. Сплавили 2 кг залізної руди, що містить 40% заліза, і 3 кг залізної руди, що містить 20% заліза. Знайдіть відсотковий вміст заліза в отриманому сплаві. (28%) 4. Є два сплави із 40%-м і 20%-м вмістом міді. Скільки кілограмів кожного сплаву потрібно взяти, щоб одержати 5 кг нового сплаву з 28%-м вмістом міді? (2кг і 3кг) 5. У першому бідоні було молоко з масовою часткою жиру 3%, а в другому – 5%. Скільки потрібно взяти молока з кожного бідона, щоб одержати 14 кг молока, масова частка жиру в якому складає 3,5%? (10,5кг і 3,5кг) 6. Змішали 30%-й розчин соляної кислоти з 10%-м і отримали 600 г 15%-го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято? (150г і 450г) 7. Скільки води повинно випаруватись із 100 кг маси, яка містить 99% води, щоб одержати масу, яка б містила 80% води? (50кг води) 8. Змішали 250г солі та 1л води, а потім 100г солі та 1000г води – одержали два розчини. На скільки більше грамів другого розчину треба взяти, щоб при змішуванні частини першого й частини другого розчинів одержати 540г 15%-го розчину солі? (1 л води = 1кг води) (270г, 270г) 82
7. Задачі на процентний приріст і обчислення Задача 1. Перевірка показала, що відсоток учасників шкільної легкоатлетичної секції, які покращили свої результати, знаходиться в межах від 5,8% до 6,1%. Якою найменшою може бути кількість учасників секції? Розв’язання Нехай – кількість учасників секції, а y – кількість тих учасників, що покращили свої результати. Знайдемо відсоткове відношення учасників, які покращили результати до загальної кількості учасників секції. Маємо: 100. За умовою задачі відомо, що 5,8 < 100 < 6,1. Тоді 58 < 1000y < 61 . Якщо y =1, то 58 < 1000< 61 . Найменше значення x = 17, 58 17< 1000< 61 17, 986< 1000< 1037. Відповідь: 17 учасників. Задача 2. Гарбуз і диня важать разом 7,2 кг. 45% ваги дині дорівнює 36% ваги гарбуза. Знайти вагу гарбуза і вагу дині. Розв’язання 83
Нехай маса дині x кг, а маса гарбуза y кг. Тоді за умовою задачі відомо, що 45% ваги дині дорівнює - 36% ваги гарбуза, маємо рівняння: 0,45x = 0,36y, отже . Тоді = 7,2, = 7,2, 3,2. Отже, маса дині 3,2 кг, а гарбуза . Відповідь: 3,2 кг і 4 кг. Задача 3. Ціна на товар була підвищена на 20%, а потім двічі знижувалась щоразу на 10%. Як змінилась ціна товару? Розв’язання. Нехай x початкова ціна товару, тоді після подорожчання на 20% вона стала = 1,2 Після першого зниження на 10% ціна становила Після другого зниження на 10% ціна стала Отже, ціна товару зменшилась на , тобто на 2,8%. Відповідь: на 2,8% зменшилася. 84
Задача 4. Свіжі яблука містять 85% води, а сушені 10%. Скільки кілограмів свіжих яблук потрібно взяти, щоб отримати 4 кг сушених? Розв’язання 1) 100 – 85 = 15(%)- сухої маси без води в свіжих яблуках; 2) 100 – 10= 90(%)- сухої маси без води в сушених яблуках; 3) - сухої маси в сушених яблуках; 4) : 0,15 = 24(кг). Відповідь: 24 кг свіжих яблук потрібно взяти, щоб отримати 4 кг сушених. Задача 5. Підприємство одержало завдання за два роки знизити на 51% об’єм продукції, що випускається. Кожного року вимагають зменшити випуску товару на одну і ту ж кількість відсотків. На скільки? Розв’язання Нехай x початковий об’єм продукції, то через два роки він повинен становити Нехай об’єм випуску продукції щороку знижали на відсотків, 100. Тоді за перший рік знизивши на відсотків маємо: . За другий рік: = . Отримаємо рівняння: 85
= 0,49 , = 4900, = 70, . Відповідь: на 30%. Задача 6. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо периметр його збільшити на 10%? Розв’язання Нехай сторона квадрата a, тоді його периметр Після того, як периметр збільшили на 10%, він ставP1 =4a + 0,4a = 4,4a. Тоді сторона нового квадрата дорівнює 1,1a. Площа початкового квадрата S = a2 , утвореного квадрата S1 = 1,21a2 . S1– S = 1,21a2 – a2 = 0,21a2, 0,21 = 21%. Відповідь: на 21% збільшиться площа квадрата. Задача 7. Магазин продав одному покупцеві 25% тканини, другому – 30% залишку, а третьому – 40% нового залишку. Скільки відсотків тканини залишилося продати? Розв’язання 1) 100 – 25 = 75(%) – залишок 2) 30% = 0,3; 75 0,3 = 22,5(%) – продано 2 дня 3) 75 – 22,5 = 52,5(%) – новий залишок 4) 40% = 0,4; 52,5 0,4 = 21(%) – продано 3 дня 5) 52,5 – 21 = 31,5(%). Відповідь: 31,5% тканини залишилося продати. Задачі для самостійного розв’язування 86
1. Як зменшиться величина дроту, якщо чисельник збільшити на 200%, а знаменник зменшити на 50%? (збільшиться в 6 разів) 2. Товар спочатку подорожчав на 10%, а потім подешевшав на 10%. Як змінилась ціна цього товару? (зменшиться на 1%) 3. Кількість хлопців класу дорівнює 80% від кількості дівчат. Скільки відсотків становлять дівчата від кількості хлопців? (125%) 4. Одна сторона прямокутника на 20% більша від сторони квадрата, а друга на 20% менша. Знайдіть відсоткове відношення площі прямокутника до площі квадрата. (96%) 6. Петрик купив дві книги. Перша з них на 50% дорожча за другу. На скільки відсотків друга книжка дешевша за першу? (на 6. На скільки відсотків збільшиться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжину і ширину збільшити на 10%, а висоту зменшити на 10%? (на 8,9%) 7. Зібрали 100 кг грибів. Їх вологість 99%. Після того, як їх підсушили, вологість стала 98%. Скільки важать гриби після сушіння? (50г) 8. У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на 40% менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола 87
заплатив 192 гривні. Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку? (120грн.) 8. Задачі на роботу і продуктивність праці, задачі на спільну роботу При розв’язуванні задач на роботу потрібно пам’ятати, що обсяг робіт можна прийняти за одиницю, тоді продуктивність праці буде t 1 , де t – час виконання роботи. Якщо робота виконується декількома виконавцями одночасно, то складають продуктивності праці цих виконавців. Задача 1. До басейну підведено три труби. Через першу трубу він наповнюється за 7год, через другу – за 6год, а через третю спорожнюється за 4 години. Яка частина басейну наповнюється за 1год, якщо відкрити три труби одночасно? Розв’язання Позначимо об’єм басейну за 1. Тоді перша труба за 1год наповнить частину басейну, а друга труба за 1год – частину басейну. Через третю трубу за 1год спорожниться частина басейну. Маємо: Відповідь басейну наповнюється за 1 годину. 88
Задача 2. Один робітник може виконати замовлення за 24 дні, а інший за 12 днів. Спочатку над виконанням замовлення 6 днів працював перший робітник, а потім роботу закінчив другий робітник. Скільки днів працював другий робітник? Розв’язання Позначимо всю роботу за 1. Тоді перший робітник за 1 день виконує роботи, а другий – роботи. За 6 днів перший робітник виконав 6 частину роботи. Нехай другий робітник працював x днів. За x днів він виконав частину роботи. Маємо рівняння: , , , = 36 : 4, = 9. Отже, другий робітник працював 9 днів. Відповідь: 9 днів. Задача 3. Чоловік випиває бочку квасу за 14 днів, а разом з дружиною випиває таку саму бочку квасу за 10 днів. За скільки днів дружина сама вип’є цю бочку квасу? Розв’язання 89
1) 14 10 = 140 (д.) – за стільки днів випиває 10 бочок квасу чоловік. 2) 10 14 = 140 (д.) – 14 бочок квасу вип’ють чоловік і дружин разом за 140 д. 3) 14 – 10 = 4(б.) – за 140 днів дружина сама вип’є бочку квасу. 4) 140 : 4 = 35 (д.) Відповідь: за 35 днів дружина сама вип’є бочку квасу. Задача 4. 2 робітники за 2 години виготовляють дві деталі. Скільки деталей виготовлять 8 робітників за 8 годин? Розв’язання 1 робітник за 2 години виготовляє 1 деталь. Тоді 1 робітник за 1 годину виготовляє деталі. Отже, 8 робітників за 8 годин виготовлять: Відповідь: 32 деталі виготовлять 8 робітників за 8 днів. Задача 5. Майстер один виконує роботу за 3 дні, а з учнем за 2 дні. За скільки днів виконає роботу учень самостійно? Розв’язання. Позначимо всю роботу за . За 1 день майстер виконає частину роботи, а разом з учнем частину 90
роботи. Нехай учень виконає всю роботу самостійно за днів, тоді за 1 день учень виконає частину роботи. Маємо рівняння: , , = , = 6. Отже, 6 днів потрібно учневі для виконання роботи. Відповідь: 6 днів. Задачі для самостійного розв’язування 1. До басейну підведено три труби. Через першу трубу він наповнюється за 6 год., через другу – за 8 год., а через третю вся вода витікає за 9 годин. Яка частина басейну наповнюється за 1 год., якщо відкрити всі 3 труби одночасно? ( басейну) 2.Одна кравчиня шиє сукню за 6 днів, а інша за 9 днів. Пропрацювавши протягом двох днів, перша кравчиня пішла у відпустку і закінчувала пошиття сукні інша кравчиня. Скільки днів закінчувала шити сукню друга кравчиня? (6 днів) 3. Кінь з’їдає віз сіна за місяць, коза за два місяці, вівця за три місяці. За який час кінь, коза і вівця разом з’їдять такий же віз сіна? 91
( місяця) 4. Три землекопи за 2 години викопають 2 ями. Скільки ям викопають шість землекопів за 5 годин? (10 ям) 5. 5 робітників за 4 год. зберуть 15 пилососів. Скільки таких самих пилососів зберуть десять таких робітників за 2 години? (15 пилососів) 6.Тузик з’їдає пачку «Чаппі» за 6 днів, а разом з Шариком вони упораються з нею за 2 дні. На скільки днів вистачає цієї пачки одному Шарику? (на 3 дні) 7. Перший робітник один виконує виробниче завдання за 12 годин, а другий – за 24 години. За скільки годин вони виконають це завдання, працюючи разом? (8 годин) Список використаної літератури 1. Непочатова Т. С., Сіренький І. О., Смішко Г. С. Математичні олімпіади Хмельниччини. Інформаційний вісник. – Хмельницький, 2003 – 2011 2. Гринчук Л. В., Бойко В.В. Математичні олімпіади Хмельниччини. Інформаційний вісник. – Хмельницький: Видавництво, 2012 – 2013 3. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А. Математичні олімпіади школярів України: 2001-2006. Львів: Євросвіт, 2008 4. Ясінський В. А. Практикум з розв’язування задач математичних олімпіад. – Х.: «Основа», 2006. (бібліотека журн. «Матетатика в школах України») 92
5. Сарана О.А., Математичні олімпіади: просте і складне поруч: Навчальний посібник. – К.: А.С.К., 2005. – 344 с. 6. Лейфура В. М., Мітельман І. М. Розв‘язуємо разом: Задачі з цілими числами.– Харків: Основа, 2003 7. Алгебра.7 клас. Тренувальні вправи. Самостійні та контрольні роботи / Ю.О.Захарійченко, Л.І.Захарійченко, І.М.Маркова, А.М.Попов, О.В.Степенко. - Х.: Вид-во «Ранок», 2013. – 128 с. 8. Повний курс математики в тестах / Ю.О.Захарійченко, О.В. Школьний, Л.І. Захарійченко, О. В. Школьна. -2-ге вид.,випр..-Х. : Вид- во «Ранок» ,2021. - 496с. 9. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности вкурсе алгебры 7 -9 классов: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1991. - 239 с. 10. Апостолова Г.В., Перші зустрічі з параметрами. – К.: Факт, 2004. 11. Апостолова Г.В., Хитромудрий модуль. – К.: Факт, 2006. 12. Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П., Основы теории делимости чисел.– М.:МГИЭТ (ТУ), 2003. – 224 с. 13. Репета В.К., Клешня Н.О., Коробова М.В., Репета Л.А., Задачі з параметрами. – К.: Вища школа, 2006. 14. Ясінський В., Теорія лишків та її застосування до розв'язування олімпіадних задач. - № 1/2. - Математика в школі: Науково–методичний журнал, 2009. – С. 35–40. 15. Шень А., Игры и стратегии с точки зрения математики. – М.: МЦНМО, 2007. – 40 с. 16. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Математичні олімпіади школярів України. 1991– 2000. – К.: Техніка, 2003. – 541 с. 93
17. Міжнародний математичний конкурс „Кенгуру 2004 – 2011”, Укладачі: Добосевич М.С., Добосевич А.С., Кокорузь Р.Є., Трущак Х.Р. – Львів: Каменяр, 2004 – 2011 18. Басанько А.М., Романенко А.О., За лаштунками підручника з математики: Збірник розвиваючих задач– Тернопіль: Підручники і посібники, 2004. 19. Коваль Т. В., 400 задач з математичних олімпіад. 8– 11 класи. – Тернопіль: Мандрівець, 2004. – 80 с. 20. Вороний О. М., Готуємось до олімпіади з математики. Книга 2. – Х.: Основа, 2008. 21. http://osvita.ua/school/ 22. http://osnova.com.ua/ 23. http://hoippo.km.ua/ 24. http://olimp.hoippo.km.ua/ ЗМІСТ Передмова………………………………………..………..……..3 І. Логічні задачі………………………………………………… 4 1. Принцип Діріхле………………………..………….……4 2. Зважування………………………………………...…….8 3. Переливання…………………………………………….11 4. Задачі, «розв’язані з кінця»…………….………..…….14 II. Числа……………………………………………………...….19 1. Числові множини…………………………………..…..19 2. Числа, та їх властивості………..………………………24 3. Розв’язування задач на подільність. Основна теорема арифметики……………………...…………………………….…28 4. Ознаки подільності……………………………….…...31 5. Взаємно прості числа……………...………….………35 6. Періодичність остач………………………………..….37 7. Парність цілих чисел……………………………….…40 8. Число натуральних дільників………………………...43 9. НСД і НСК…………………………………….…….…44 94
ІІІ. Модулі………………………………………………...….…46 1. Розв’язування лінійних рівнянь з модулем…….…....46 2. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля…………………………………………………………....50 ІV. Методи розв’язування рівнянь…………………..…..….55 1. Графічний метод розв’язування рівнянь……………...55 2. Лінійні діафантові рівняння……………………………59 3. Задачі, пов’язані з цілими числами……………….……61 4. Лінійні рівняння з параметром………………………...64 5.Графічний метод розв’язування рівнянь з параметром..........................................................................67 6.Задачі на концентрацію і процентний вміст……………………………………………..………...69 7. Задачі на процентний приріст і обчислення………....73 8. Задачі на роботу і продуктивність праці, задачі на спільну роботу………………………………………….……….77 Список використаної літератури………………………..…82 95

More Related Content

DOC
діагностична контрольна робота з алгебри у 7 класі за курс 6 класу
byГергель Ольга
 
DOC
18361 збірник контрольних робіт 6 клас
byАлександр Гергардт
 
PPT
квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
byssuserd3e938
 
PDF
«Математика» навчальний посiбник для 7 клас закладів загальної середньої осві...
byssuser39b124
 
DOC
діагностична контрольна робота для 6 класу
byГергель Ольга
 
PPTX
нерівності
byTetyana Andrikevych
 
PPT
учительська презентація застосування похідної до дослідження функції
byHomichAlla
 
PDF
Старова, Маркова "Математика, 5 клас" (конспекти уроків за підручником Тарасе...
bysveta7940
 
діагностична контрольна робота з алгебри у 7 класі за курс 6 класу
byГергель Ольга
 
18361 збірник контрольних робіт 6 клас
byАлександр Гергардт
 
квадратне рівняння як математична модель прикладної задачі
byssuserd3e938
 
«Математика» навчальний посiбник для 7 клас закладів загальної середньої осві...
byssuser39b124
 
діагностична контрольна робота для 6 класу
byГергель Ольга
 
нерівності
byTetyana Andrikevych
 
учительська презентація застосування похідної до дослідження функції
byHomichAlla
 
Старова, Маркова "Математика, 5 клас" (конспекти уроків за підручником Тарасе...
bysveta7940
 

What's hot

PPT
Презентація:Розв"язування задач і вправ на всі дії з раціональними числами
bysveta7940
 
PPT
Презентація:Координатний промінь.Шкала.
bysveta7940
 
PPT
Презентація:Властивості множення раціональних чисел
bysveta7940
 
PPT
Координати в просторі
byЛюдмила Кирилюк
 
PPT
Презентація:Знаходження числа за його дробом
bysveta7940
 
PPT
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
bysveta7940
 
PDF
Математика 2 клас Скворцова С.О., Онопрієнко О. В.
byUlyana_M
 
PPT
презентація до уроку 5 клас
bysvekol
 
PPTX
Презентація до уроку.pptx
byssuser33f19a
 
PPTX
Презентація:"Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками"
bysveta7940
 
PPT
розвиток логічного мислення учнів на уроках математики шляхом
byonuhyc1
 
PPS
Множення натуральних чисел та його властивості
byНиколай Заблуда
 
PPT
презентація подібності
byЛариса Болотская
 
PPT
Додавання та віднімання круглих десятків. Розв'язування задач та прикладів. 2...
byКовпитська ЗОШ
 
PPT
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
byІнститут післядипломної педагогічної освіти КУБГ
 
PPT
Задачі на рух 4 клас
byСергій Ільчишин
 
PPTX
D 6 клас
byschool8zv
 
PPTX
Презент. проекту "Корисна та шкідлива їжа"
byZHOIPPO
 
PPTX
Dijalnisnyj
bybymbarishka
 
PPT
Урок узагальнення 6 клас
byТатьяна Ильющенко
 
Презентація:Розв"язування задач і вправ на всі дії з раціональними числами
bysveta7940
 
Презентація:Координатний промінь.Шкала.
bysveta7940
 
Презентація:Властивості множення раціональних чисел
bysveta7940
 
Координати в просторі
byЛюдмила Кирилюк
 
Презентація:Знаходження числа за його дробом
bysveta7940
 
Презентація:Чотирикутники (узагальнення та систематизація знань)
bysveta7940
 
Математика 2 клас Скворцова С.О., Онопрієнко О. В.
byUlyana_M
 
презентація до уроку 5 клас
bysvekol
 
Презентація до уроку.pptx
byssuser33f19a
 
Презентація:"Додавання і віднімання дробів з однаковими знаменниками"
bysveta7940
 
розвиток логічного мислення учнів на уроках математики шляхом
byonuhyc1
 
Множення натуральних чисел та його властивості
byНиколай Заблуда
 
презентація подібності
byЛариса Болотская
 
Додавання та віднімання круглих десятків. Розв'язування задач та прикладів. 2...
byКовпитська ЗОШ
 
З.І.Медвідь. «Пряма та обернена пропорційність» (6 клас)
byІнститут післядипломної педагогічної освіти КУБГ
 
Задачі на рух 4 клас
byСергій Ільчишин
 
D 6 клас
byschool8zv
 
Презент. проекту "Корисна та шкідлива їжа"
byZHOIPPO
 
Dijalnisnyj
bybymbarishka
 
Урок узагальнення 6 клас
byТатьяна Ильющенко
 

Similar to розробка

DOC
відповіді
byjkmuffgrhdcv
 
DOCX
олімпіада 7
byjkmuffgrhdcv
 
PPTX
Семінар вчителів математики
byНаталія Касарда
 
PDF
математика ІІІ етап
byТетяна Герман
 
DOC
13114 закл. повт 5 кл
byurvlan
 
PDF
25 __
byRozaVladimirovna
 
DOCX
Елементи прикладної математики
bysveta7940
 
PDF
1
by2klas
 
PDF
4 klas-matematyka-skvortsova-2021-2
bycgf gfgfg
 
DOC
2014 математика олимпиада
byVasilij Goncharenko
 
DOC
Олімпіада з математики
bysveta7940
 
DOC
7126 брошура формули
byurvlan
 
PDF
lyshenko-mat-p-2ukr-086-18-s.pdf
byssuser59c0a2
 
PDF
Посібник_Математичний марафон (1).pdf
byРепетитор Історія України
 
PDF
Підручник Математика 4 клас С.О. Скворцова, О.В. Онопрієнко (2021 рік) Частина 2
by12Балів ГДЗ
 
PDF
Matematyka 4-klas-skvortsova-2021-2
bykreidaros1
 
PDF
3
byssuser296d561
 
DOCX
кисыль
byLala Lalala
 
DOCX
кисыль
byLala Lalala
 
PPT
Розвиток інтелектуальних здібностей учнів на уроках математики шляхом викорис...
byСветлана Брюховецкая
 
відповіді
byjkmuffgrhdcv
 
олімпіада 7
byjkmuffgrhdcv
 
Семінар вчителів математики
byНаталія Касарда
 
математика ІІІ етап
byТетяна Герман
 
13114 закл. повт 5 кл
byurvlan
 
25 __
byRozaVladimirovna
 
Елементи прикладної математики
bysveta7940
 
1
by2klas
 
4 klas-matematyka-skvortsova-2021-2
bycgf gfgfg
 
2014 математика олимпиада
byVasilij Goncharenko
 
Олімпіада з математики
bysveta7940
 
7126 брошура формули
byurvlan
 
lyshenko-mat-p-2ukr-086-18-s.pdf
byssuser59c0a2
 
Посібник_Математичний марафон (1).pdf
byРепетитор Історія України
 
Підручник Математика 4 клас С.О. Скворцова, О.В. Онопрієнко (2021 рік) Частина 2
by12Балів ГДЗ
 
Matematyka 4-klas-skvortsova-2021-2
bykreidaros1
 
3
byssuser296d561
 
кисыль
byLala Lalala
 
кисыль
byLala Lalala
 
Розвиток інтелектуальних здібностей учнів на уроках математики шляхом викорис...
byСветлана Брюховецкая
 

More from Liliya_Zbarovska

PPT
урок
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
темаурок5
byLiliya_Zbarovska
 
PPTX
презентаціяпрезентація
byLiliya_Zbarovska
 
DOCX
відкритий урок
byLiliya_Zbarovska
 
PPT
презентацияPptlesson
byLiliya_Zbarovska
 
PPT
презентация1.pptlesson
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
About me
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
узагальнюючі 8 клас
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
вчені хіміки україни
byLiliya_Zbarovska
 
DOCX
Дидактичні ігри в початкових класах
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
педярмарка физкульт федорчук
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
курсова
byLiliya_Zbarovska
 
DOCX
управлінський проект соболик т.а. (1)
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
тв гр
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
івчук казка а5
byLiliya_Zbarovska
 
DOCX
брошура
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
досвид 2015
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
дов сист видк_урок
byLiliya_Zbarovska
 
PPT
презент диовид збаровська_2015
byLiliya_Zbarovska
 
DOC
книжкою уроки трудового
byLiliya_Zbarovska
 
урок
byLiliya_Zbarovska
 
темаурок5
byLiliya_Zbarovska
 
презентаціяпрезентація
byLiliya_Zbarovska
 
відкритий урок
byLiliya_Zbarovska
 
презентацияPptlesson
byLiliya_Zbarovska
 
презентация1.pptlesson
byLiliya_Zbarovska
 
About me
byLiliya_Zbarovska
 
узагальнюючі 8 клас
byLiliya_Zbarovska
 
вчені хіміки україни
byLiliya_Zbarovska
 
Дидактичні ігри в початкових класах
byLiliya_Zbarovska
 
педярмарка физкульт федорчук
byLiliya_Zbarovska
 
курсова
byLiliya_Zbarovska
 
управлінський проект соболик т.а. (1)
byLiliya_Zbarovska
 
тв гр
byLiliya_Zbarovska
 
івчук казка а5
byLiliya_Zbarovska
 
брошура
byLiliya_Zbarovska
 
досвид 2015
byLiliya_Zbarovska
 
дов сист видк_урок
byLiliya_Zbarovska
 
презент диовид збаровська_2015
byLiliya_Zbarovska
 
книжкою уроки трудового
byLiliya_Zbarovska
 

Recently uploaded

PPTX
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Артем Полежака
byestet13
 
PPTX
Metodichni-rekomendaciyi-MON-shodo-filtraciyi-internet-kontentu-v-zakladah-os...
byssuser7fae2e
 
PDF
Стратегія Розвитку Криворізької гімназії №72_2026_2028.pdf
byssuser5535b7
 
PDF
Моніторинг 1.12.Моніторинг 1.12.Моніторинг 1.12.pdf
byssuser74a2ff
 
PPTX
Герої Бахмача і Крут. 29 січня в Україні відзначається річниця бою під Крутами
byestet13
 
PDF
Підвищення зарплат із січня 2026 року: інструкція для вчителів
byDeponDe
 
PPTX
Presentation of the Department of Finance 2026.pptx
byfinance622252
 
PDF
Завершення коляди в Черницькому ЗЗСО .pdf
byssuserc536a2
 
PPTX
Академічна мобільність. Кафедра обліку, аудиту та оподаткування
bytetiana1958
 
«Слова і кулі». Письменники, що захищають Україну. Артем Полежака
byestet13
 
Metodichni-rekomendaciyi-MON-shodo-filtraciyi-internet-kontentu-v-zakladah-os...
byssuser7fae2e
 
Стратегія Розвитку Криворізької гімназії №72_2026_2028.pdf
byssuser5535b7
 
Моніторинг 1.12.Моніторинг 1.12.Моніторинг 1.12.pdf
byssuser74a2ff
 
Герої Бахмача і Крут. 29 січня в Україні відзначається річниця бою під Крутами
byestet13
 
Підвищення зарплат із січня 2026 року: інструкція для вчителів
byDeponDe
 
Presentation of the Department of Finance 2026.pptx
byfinance622252
 
Завершення коляди в Черницькому ЗЗСО .pdf
byssuserc536a2
 
Академічна мобільність. Кафедра обліку, аудиту та оподаткування
bytetiana1958
 

розробка

  • 1.
    Нетішинська загальноосвітня школа І-ІІІступенів №1 Нетішинської міської ради Хмельницької області О.А. Шевчук Л.М.Нижня Готуємось до олімпіади з математики 7 клас Посібник для вчителів та учнів
  • 2.
    Схвалено методичним об’єднаннямвчителів математики Нетішинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №1 Нетішинської міської ради Хмельницької області (протокол №3 від 12.12. 2013 р.) Нижня Л.М., Шевчук О.А. Готуємось до олімпіади з математики. 7 клас. Посібник для вчителів та учнів. – Нетішин, 2014. – 90с. Даний посібник розроблений на основі досвіду роботи вчителів математики Нетішинської ЗОШ І-ІІІ ступенів №1. Посібник покликаний допомогти вчителям при проведенні гуртків, факультативних занять та курсів за вибором, при підготовці учнів до математичних олімпіад та інших математичних змагань. Він буде корисний учням, які бажають досконало, поглиблено і всебічно вивчати математику, розвивати свій кругозір, логіку та креативне мислення. 2
  • 3.
    ПЕРЕДМОВА Школа повинна бутине коморою знань, а середовищем думки. В.Сухомлинський Математична підготовка в загальноосвітній школі насамперед спрямована на міцне забезпечення системою знань та вмінь, засвоєння учнями основних алгоритмів розв’язування задач стандартних типів. Тому значна роль у вирішенні завдання розвитку творчої особистості належить різним формам позакласних занять. Своєрідним підсумком їх служать математичні олімпіади та конкурси, МАН. Одним із важливих засобів розвитку математичних здібностей та творчого мислення учнів є розв’язування логічних задач. Логічними називають нестандартні задачі, які дають змогу формувати в школярів вміння розмірковувати, критично мислити, знаходити розв’язання проблеми, застосовувати отримані знання на практиці, переносити відомі йому способи дій у нестандартні ситуації та відкривати нові способи діяльності. Для формування логічних умінь необхідна вміло підібрана, цілеспрямована система вправ. На заняттях математичного гуртка, факультативу чи курсу за вибором можна запропонувати цікаві нестандартні задачі, що вимагають уважності, кмітливості й винахідливості; задачі парадоксального характеру, які потребують прояву інтуїції, домислу тощо. Даний збірник створений, щоб надати допомогу вчителю у важливій і важкій справі розвитку у школярів креативного мислення, їх творчих здібностей, у підготовці їх до олімпіад з математики. 3
  • 4.
    Збірник призначений длянавчання обдарованих та математично здібних учнів 7-х класів. 1. Принцип Діріхле Німецький математик Петер Лежен Діріхле у своїх наукових працях часто користувався міркуваннями, які зараз називають принципом Діріхле. Знайомство із цим принципом можна розпочати із задачі: «Чи можна розмістити 5 кроликів у чотирьох клітках так, щоб у жодній з кліток не містилося більше одного кролика?» Розв’язати задачу можна завдяки таким міркуванням: якби у кожній клітці сиділо не більше одного кролика, то у чотирьох клітках помістилося б не більше чотирьох кроликів. А тому п’ять кроликів таким способом не можна розмістити. В загальному випадку принцип Діріхле можна сформулювати так: у кожній сукупності з n множин, де загальна кількість елементів перевищує n, є принаймні одна множина, в якій міститься не менше двох елементів. Приклад 1. У похід пішли 12 туристів. Наймолодшому з них – 20 років, а найстаршому – 30. Чи є серед них однолітки? Розв’язання Туристи утворюють 30–20+1=11 вікових груп. Тому є 11 груп (кліток) і 12 туристів (кроликів). Оскільки 12>11, то принаймні в одній віковій групі знайдеться два туристи, які є однолітками. 4
  • 5.
    Приклад 2. На5 поличках розміщено 160 книг, причому на одній із них - 3 книги. Доведіть, що знайдеться поличка, на якій буде стояти не менше ніж 40 книг. Розв’язання Нехай на кожній із решти 4 поличок не більше ніж 39 книг. Тоді на всіх 5 поличках не більше ніж 3 + 4∙39 = 159 книг, що суперечить умові. Отже, на одній із поличок не менше ніж 40 книг. Приклад 3. У школі навчається 400 учнів. Доведіть, що хоча б двоє з них народилися в один день. Розв’язання Роль кроликів у цій задачі відіграють учні, а роль кліток – дні. За умовою задачі маємо 400 учнів і 365 днів. Оскільки 400 > 365, то принаймні знайдеться два учні, що народилися в один день. Приклад 4. Хлопчик мав 100 табличок з числами 1, 2, 3, …, 100, але загубив 79 з них. Чи обов’язково серед решти табличок знайдуться чотири такі, що сума чисел на двох із них дорівнюватиме сумі чисел на двох інших? Розв’язання У хлопчика залишилася 100 – 79 =21 табличка. Із цих табличок можна утворити: різних пар. (Кроликами є пари, а клітками – суми). Оскільки усі пари з чисел 1, 2, …, 100 дають 197 різних сум – від 3 до 199 і 197 < 210, то принаймні у двох парах із 210-ти суми співпадатимуть. Отже, серед табличок знайдеться чотири такі, що сума чисел на двох із них дорівнюватиме сумі чисел на двох інших. 5
  • 6.
    Приклад 5. Доведіть,що серед будь-яких шести цілих чисел знайдеться два числа, різниця яких буде кратна 5. Розв’язання При діленні на число 5 можна отримати п’ять різних остач: 0, 1, 2, 3, 4. Шість чисел при діленні на 5 дають шість остач, серед яких може бути найбільше п’ять різних. Оскільки 6 > 5, то серед остач знайдеться дві однакові. Різниця чисел, що дають однакові остачі при діленні на 5, буде кратна 5. Задачі для самостійного розв’язування 1. 15 хлопчиків зібрали 100 грибів. Доведіть, що принаймні двоє з них зібрали однакову кількість. (Оскільки 100 >15, і 100 можна представити 100 = 15 6 + 10, то принаймні двоє з хлопчиків зберуть однакову кількість грибів. Якби вони всі зібрали б різну кількість, то грибів було б 120 ≠ 100). 2. 10 друзів надіслали один одному святкові листівки. Кожний з них надіслав 5 листівок. Доведіть, що принаймні двоє друзів надіслали листівки один одному. (З 10 друзів утворити можна 45 пар: 1+2+3+4+5+6+7+8+9=45, а листівок всього 5 і 50>45, тому принаймні двоє надіслали листівки один одному). 3. У ящику лежать червоні і чорні кульки. Яку найменшу кількість кульок потрібно вийняти з ящика, щоб серед них дві кульки виявилися одного кольору? (Кульки є двох кольорів, тому взяти потрібно 3 кульки. У цьому випадку роль кроликів відіграють кульки, а роль кліток - кольори). 6
  • 7.
    4. На кожнійклітинці дошки 5х5 сидить жук. За командою жуки переповзають на сусідні клітинки. Клітинки вважаються сусідніми, якщо вони мають спільну сторону. Довести, що після того, як усі жуки переповзуть, знайдеться клітинка, на якій сидітимуть принаймні два жуки. (На шахівниці 5х5 є 25 клітинок, серед яких 12 білих і 13 чорних. Оскільки жуки переповзають на сусідні клітинки, тоді на білі клітинки мають переповзти чорні жуки. Але 13 >12, тому на одній білій клітинці сидітиме щонайменше два чорних жуки). 5. У сьомому класі навчається 30 учнів. У диктанті один учень припустився 12 помилок, а решта – менше. Довести, що принаймні троє учнів припустились однакової кількості помилок. (Оскільки помилок може бути 0, 1, 2, 3, …, 12 і якщо кожну кількість помилок допустили б тільки два учні, то всього учнів було б 2 +1=25, але їх 30. 30>25, тому принаймні троє учнів припустились однакової кількості помилок). 6. Дано 12 довільних двоцифрових чисел. Доведіть, що серед них є два, різниця яких дорівнює двоцифровому числу, записаному однаковими цифрами. (Однаковими цифрами записуються двоцифрові числа, кратні 11. Остачі від ділення на 11 можуть дорівнювати: 0, 1, 2, 3, …, 10, тобто їх 11. Але 12>11, тому хоча б два числа дають однакові остачі. Це значить, що різниця цих чисел ділиться на 11 і є двоцифровим числом, записаним однаковими цифрами). 7. У квадраті зі стороною 1 взяли 51 точку. Довести, що деякі три із цих точок можна накрити квадратом зі стороною 0,2. 7
  • 8.
    (Розіб’ємо квадрат площею1 на 25 маленьких квадратиків. Площа кожного з них дорівнює 0,04, а сторона – 0,2. Оскільки 2 ·25+1=51, то це значить, що в один квадратик попаде принаймні три точки). 8. У місті більше ніж 8 мільйонів жителів. Науковці вважають, що в кожної людини менш ніж 200 000 волосин на голові. Доведіть, що є принаймні 41 житель з однаковою кількістю волосин на голові. (Роль кроликів відіграють жителі, а роль кліток - усі можливі варіанти кількості волосин на голові. Оскільки в кожної людини менш ніж 200000 волосин на голові, то це значить, що кількість волосин може бути від 0 до 199999. Тому існує всього 200000 варіантів, а 40 ·200000 = 8000000, і згідно з принципом Діріхле знайдеться принаймні 41 житель, що має однакову кількість волосин на голові). 9. Доведіть, що в будь – якій компанії із 5 чоловік знайдеться двоє, які мають однакову кількість знайомих у цій компанії. (Число знайомих може бути: 0,1,2,3,4. Якщо у когось четверо знайомих, то ні в кого не може бути 0 знайомих). 2. Зважування Задачі на зважування - досить поширений вид олімпіадних завдань. У таких завданнях, той, хто розв’язує, повинен локалізувати предмет, що відрізняється від інших по вазі за обмежене число зважувань. Пошук розв’язування в такому випадку здійснюється шляхом операцій порівняння, правда, не лише одиночних елементів, але і груп елементів між собою. Розв’язуючи такі задачі, не забувайте розібрати всі варіанти. 8
  • 9.
    Приклад 1. Настолі лежать 9 монет і одні шалькові терези. Одна із монет є легшою, ніж всі інші. Як за допомогою 2 зважувань визначити, яка із них легша? Розв’язання Розділимо 9 монет по 3 у три купки. Дві з трьох купок покладемо на різні сторони терезів. Якщо терези не переважили в одну зі сторін, то виходить, що вага монеток є рівною, отже, легша монета залишилася в незваженій третій купці. З 3-ма монетами, що залишилися, вчиняємо так само. Зважуємо дві монети. Якщо їхня вага виявилася рівною, то легшою буде незважена монета. Приклад 2. На столі лежить десять пронумерованих капелюхів. У кожному капелюсі лежить по десять золотих монет. В одному з капелюхів монети фальшиві. Справжня монета важить 10 грамів, а фальшива - 9. Як визначити в якому з капелюхів знаходяться фальшиві монети, використовуючи ваги тільки для одного зважування? Ваги можуть зважувати не більше 750 грам. Розв’язання З першого капелюха беремо одну монету, з другого дві, з третього три й т.д., кладемо всі ці монети на ваги. Якби всі монети були справжніми, то вага була б: 10∙(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10). Разом: 550 грам. Але кілька монет є фальшивими, а скільки - легко довідатись. Досить із 550 відняти ту вагу, що ми одержали і ми побачимо «погрішність», рівну кількості фальшивих монет. Кількість монет вкаже на капелюх. Задачі для самостійного розв’язування 9
  • 10.
    1. Серед чотирьохмонет є одна фальшива, як знайти її за 2 зважування на шалькових терезах без гир? Чи можна при цьому з’ясувати легша вона чи важча? (Позначимо монети a, b, c, d. Першим зважуванням порівнюємо вагу a і b. Нехай a ≠ b (наприклад, a < b ). Тоді c і d – справжні, а фальшива a чи b . Для визначення порівнюємо a і с. Якщо a = с, то b фальшива і важча, оскільки a < b. Якщо a ≠ с, то фальшива a. Аналогічно поступаємо, якщо a = b) . 2. Є 5 монет, серед яких одна - фальшива. Невідомо, легша вона або тяжча дійсної. Вага дійсної монети - 5г. Як за допомогою двох зважувань на терезах можна знайти фальшиву монету, маючи одну гирю вагою 5г? (Позначимо монети А, В, С, D, Е. Покладемо монети А і В на одну чашу терезів, а монету С з гирею - на другу. Якщо терези врівноважені, тоді фальшива монета серед D і Е. Наступним зважуванням покладемо на терези гирю і монету D (за рівноваги терезів - Е, за не рівноваги - D). Коли терези не врівноважені, то потрібно розглянути 2 випадки. Якщо переважує чаша з А і В, тоді фальшива монета серед трьох: А, В або С. Відкладені D і Е - справжні. Для другого зважування покладемо на чашу терезів монети А і С, а на другу - 2 справжніх (або одну справжню і гирю), а монету В відкладемо. Якщо монети врівноважаться, то монета В – фальшива. Якщо терези не врівноважаться і переважать чаші з монетами А і С, тоді фальшива А, коли ж ця чаша легша, тоді і фальшива монета С). 3. Маємо 6 однакових за виглядом монет, чотири з них справжні, а дві фальшиві: обидві легші за справжні, але їх маса різна. За три зважування на шалькових терезах без гир знайдіть обидві фальшиві монети. 10
  • 11.
    (Позначимо вагу монетa1, …, a6. Першим зважуванням порівняємо a1 і a2. 1) a1= a2. Тоді a1 і a2 справжні. Порівнюємо a3 і a4, якщо a3 = a4 , тоді a5 і a6 – фальшиві. Якщо a3 < a4, то одна з фальшивих a3, а друга знаходиться серед 4, 5 і 6 (визначається порівнянням a4 і a5 ). Випадок a3 > a4 аналогічний. 2) a1 < a2 – монета а1 фальшива. Друга фальшива монета визначається порівнянням монет 1 і 3 та монет 4 і 5. Випадок а1 > a2 подібний до випадку 2). 4. У Буратіно є 27 золотих монет. Але відомо, що Кіт Базиліо замінив одну монету на фальшиву, і вона по вазі важче справжніх. Як за три зважування на шалькових терезах без гир Буратіно знайти фальшиву монету? (Розділимо монети на 3 купки по 9 штук. Покладемо на шальки першу і другу купки; в результаті цього зважування ми точно дізнаємось, в якій з купок знаходиться фальшивка (якщо ваги покажуть рівність, то вона - в третій купці). Тепер, аналогічно, розділимо вибрану купку на три частини по три монети, покладемо на терези дві з цих частин і визначимо, в якій з частин знаходиться фальшива монета. Нарешті, залишається з трьох монет визначити важчу: кладемо по 1 монеті - фальшивою є важча; якщо ж на терезах рівність, то фальшивою є третя монета з частини). 6. Серед 101 однакових за виглядом монет одна фальшива, така, що відрізняється за вагою. Як за допомогою шалькових терезів без гир за два зважування визначити, легшою або важчою є фальшива монета? (Зважуємо 50 і 50 монет, можуть бути два випадки. 1) Монети мають однакову вагу. Беремо монету, що залишилася, і ставимо її в ліву купку замість однієї з тих, що є там: а) ліва купка важча - 11
  • 12.
    фальшива монета важча;б) ліва купка легша - фальшива монета легша. 2) Монети мають різну вагу. Беремо важчу купку і розбиваємо її на дві купки по 25 монет: а) вага купок однакова - фальшива монета легша; б) вага купок неоднакова - фальшива монета важча). 7. У ящику 25кг цвяхів. Як за допомогою шалькових терезів і однієї гирі в 1кг за два зважування відміряти 19кг цвяхів? (При першому зважуванні на одну шальку покладемо гирю, а цвяхи розкладемо так, щоб терези були в рівновазі. Одержимо 12кг і 13кг цвяхів. 12кг розкладемо на шальки і отримаємо дві купки по 6кг. Тоді 13+6=19(кг) цвяхів). 8. У кошику міститься 13 яблук. Є вага, за допомогою одного зважування якої можна знайти сумарну вагу будь- яких двох яблук. Як за допомогою восьми зважувань знайти сумарну вагу всіх тринадцяти яблук? (Зважимо яблука парами: 1 і 2, 3 і 4,…, 11 і 12. Це шість зважувань. Сьоме зважування – 11 і 13 яблуко, восьме – 12 і 13яблуко. Додавши результати трьох останніх зважувань, одержимо подвоєну сумарну вагу 11, 12 і 13 яблук. Поділивши її на два і додавши до результату вагу перших п’яти зважувань, знайдемо сумарну вагу всіх тринадцяти яблук). 9. Є чотири пакети різної маси і терези з двома шальками без гир. За допомогою п’яти зважувань розмістити пакети в порядку зростання їх мас. (Розіб’ємо пакети на дві пари і, здійснивши порівняння ваги пакетів у кожній парі, позначимо важчі через А та С, а легші – через В та D. Тоді серед пакетів А та С визначимо найважчий, а серед В та D – 12
  • 13.
    найлегший. П’яте зважуваннявикористаємо для порівняння ваги двох інших пакетів). 3. Переливання Задачі на переливання допоможуть розвивати логічне мислення, просторову уяву, витримку, наполегливість у знаходженні оптимального розв’язку. Приклад 1. Як за допомогою 3-літрового і 5- літрового відер набрати 1 літр води? У нашому розпорядженні є водопровідний кран і раковина, куди можна виливати воду. Розв’язання Розв’язання цієї задачі можна записати у вигляді таблиці. Спочатку обидва відра порожні. Наповнюємо 3- літрове відро і виливаємо воду з нього у 5-літрове. Знову наповнюємо 3-літрове відро і виливаємо її у 5-літрове, поки воно не наповниться. У 3-літровому відрі залишиться 1 літр води. 3 літри 0 3 0 3 1 5 літрів 0 0 3 3 5 Приклад 2. Маємо дві ємності 5л і 7л. Як за допомогою цих ємностей відміряти 6л води з крана? Розв’язання Спочатку обидва відра порожні. Набирати воду будемо таким чином (розв’язання запишемо у вигляді таблиці): 7л 7 2 2 0 7 4 4 0 7 6 5л 0 5 0 2 2 5 0 4 4 5 13
  • 14.
    Приклад 3. Маємотри посудини: 9л, 5л, 3л. Перша наповнена водою, а інші дві порожні. Як за допомогою цих посудин відміряти 1л води? Як відміряти 4л води? Розв’язання Кількість посудин збільшилася, але як і в попередніх задачах можна виконувати переливання по кроках, записуючи їх в таблицю: 3л 0 3 3 4 5л 0 0 5 5 9л 9 6 1 0 Задачі для самостійного розв’язування 1. В бочці міститься не менше 13 відер пального. Як відлити з неї 8 відер за допомогою 9-відерної і 5-відерної бочок? 5 в 0 5 0 4 4 5 9 в 9 4 4 0 9 8 2. Поряд із школою протікає бурхлива річка. Як за допомогою двох посудин об'ємом 3 і 5 літрів відміряти рівно 4 літри річкової води? 3л 0 0 3 0 2 2 3 5л 0 5 2 2 0 5 4 річка +3 14
  • 15.
    3. Бідон ємністю10л наповнений молоком. Необхідно перелити з цього бідона 5л у семилітровий, використовуючи при цьому бідон місткістю 3л. Як це зробити? 3л 3 0 3 0 3 2 2 0 3 0 7л 0 3 3 6 6 7 0 2 2 5 4. Як, маючи лише дві посудини ємністю 12л і 7л, набрати із крана 1л води? 7л 7 0 7 2 2 0 7 0 7 4 12л 0 7 7 1 2 0 2 2 9 9 12 7л 4 0 7 0 7 6 6 0 7 1 12л 0 4 4 1 1 1 1 1 2 0 6 6 12 5. Як двома відрами місткістю 9л та 4л набрати з озера 6л води? (Оскільки 6=9·2-4·3, то досить буде двічі наповнити дев’ятилітрові відра, виливаючи з них воду у чотирилітрові, а з останніх тричі після їх наповнення – у річку). 6. Дано два баки ємністю по 10 літрів із сольовим розчином 10%-ої і 15%-ої концентрації та посудини ємністю 3, 4 та 5 літрів. Як за допомогою переливань отримати 1 літр 12%-го сольового розчину? (Для отримання 12%-го розчину потрібно змішати дві частини 15%-го та три частини 10%-го розчинів. 15
  • 16.
    Це можна зробититак: налити 5л 15%-го розчину у 5-ву посудину, а звідти перелити 3л у 3-ву посудину. Спорожнивши останню, налити в неї 3л 10%-го розчину, а потім перелити весь вміст у 5-ву посудину. Відлити зайвих 4л отриманого 12%-го розчину у 4-ву посудину). 4. Задачі, «розв’язані з кінця» Цей вид задач можна розділити на три підвиди. Перший підвид становлять задачі, при розв’язуванні яких учні можуть графічно побудувати «ланцюжок» послідовних дій за умовою задачі, а потім здійснювати розв’язання з кінця: виконувати певні дії, обернені тим, що подані у «ланцюжку». Саме з таких задач бажано розпочинати знайомство із задачами, які розв’язуються з кінця. Приклад 1. Господиня продала першому покупцеві половину груш, які вона мала, та ще 5 груш, другому — половину залишку та ще 3 груші, а третьому покупцеві — половину нового залишку та ще 4 груші. Після цього в неї залишилося 2 груші. Скільки груш було в господині спочатку? Розв’язання Таку задачу можна ділити на етапи: перший етап — перший покупець, другий етап — другий покупець, третій етап — третій покупець. Щоб її розв’язати, потрібно почати обчислювати вирази з кінця, змінюючи при цьому ділення на множення, а віднімання на додавання. 1) (2 + 4) • 2 = 12 (груш) 2) (12 + 3) •2 = 30 (груш) 3) (30 + 5) • 2 = 70 (груш) 16
  • 17.
    Відповідь: 70 грушбуло в господині спочатку. Приклад 2. Магазин першого дня продав половину сувою тканини, другого дня — половину решти, а третього — половину нового залишку й останні 5 метрів. Скільки метрів було в сувої спочатку? Розв’язання В цій задачі розв’язання містить три кроки – треба взнати кількість метрів тканини, яка залишалась у магазині, відповідно, на початку третього, другого та першого дня. В першому кроці – дві арифметичні дії, в другому і третьому – одна. 1) (0 + 5) • 2 = 10 (м) 2) 10 • 2 = 20 (м) 3) 20 • 2 = 40 (м) Відповідь: 40 метрів тканини було у сувої спочатку. Другий підвид становлять задачі, в процесі розв’язування яких учні поряд з алгоритмічними прийомами в більшій мірі (порівняно з першим підвидом) залучають евристичні прийоми інтелектуальної діяльності. За змістом в цих задачах відбувається розподіл предметів переважно між трьома (двома) особами або розкладають предмети у дві (три) купки. В результаті чого відомий кінцевий результат. Треба взнати, скільки предметів було у купках (у людей) спочатку. Учні полегшать собі процес розв’язування, якщо розв’язання цих задач вони будуть оформлювати у вигляді таблиці. Приклад 3. Три брати розподілили між собою 24 яблука так, що кожен із них отримав стільки яблук, скільки йому років. Молодший брат, який був не задоволений розподілом, бо отримав найменше від усіх яблук, запропонував: «Я залишу собі тільки половину своїх яблук, 17
  • 18.
    решту розділю міжвами порівну. Після мене нехай спочатку середній, а потім і старший брати зроблять так само, як і я». Брати погодилися, і яблук врешті-решт у всіх стало порівну. Скільки років було кожному з братів?» Розв’язання Нам відомо, що яблук стало порівну. Отже, ми можемо взнати, скільки яблук стало у кожного з братів в кінці розподілу. Для цього треба 24 розділити на три. По 8 яблук стало у кожного з братів. З цього моменту можна накреслити таблицю і заповнювати її згідно умови задачі з кінця: Молодший брат Середній брат Старший брат 8 8 8 4 4 16 2 8 14 4 7 13 Потім необхідно перевірити правильність розв’язання, міркуючи від знайдених чисел. Пояснення має бути таким: молодший брат віддав половину своїх яблук середньому і старшому, порівну кожному. Отже, у молодшого залишиться 2 яблука, у середнього стане 8, а у старшого – 14 яблук, тобто на одне яблуко більше, ніж було. Коли ж ці самі операції зроблять відповідно середній і старший брати, то врешті-решт залишиться у кожного по 8 яблук. Отже, задача розв’язана правильно. Відповідь: молодшому брату було – 4, середньому – 7, а старшому – 13 років. Третій підвид - ігри на аналіз із кінця. Приклад 4. У коробці знаходиться 60 сірників. За один хід можна взяти будь-яку кількість від 1 до 5 сірників. 18
  • 19.
    Програє той, хтоне може зробити хід. Хто з гравців (починаючий чи його суперник) може забезпечити собі виграш? Розв'язання Проаналізуємо кінцівку такої гри. Якщо кількість сірників менша за 5, то той гравець, чия черга ходити, закінчує гру. Якщо кількість сірників більша за 6, то гра закінчиться через два або більше ходи. Якщо ж кількість сірників дорівнює 6, то гравець, чий хід передував цій позиції, точно наступним своїм ходом закінчує гру (для цього він на хід суперника в k сірників бере 6 – k сірників). Тобто така позиція є виграшною для цього гравця. Очевидно, що позиції 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60 (і т. д,) сірників для нього також є виграшними, бо таким самим способом він від позиції "24 сірники" переходить до позиції "18 сірників", від "18" до "12". Отже, початкова позиція виграшна для другого гравця «6 сірників», а його виграшною стратегією є доповнення ним ходів першого гравця до 6 сірників. Відповідь: другий гравець. Задачі для самостійного розв’язування 1. Турист пройшов 15% всього шляху, а потім – 1/5 від того, що залишилось. В результаті він пройшов на 18км менше від половини шляху. Визначити довжину всього шляху. (100км) 2. Після того, як пішохід пройшов 1км і половину шляху, що залишився, йому зосталося пройти третину всього шляху і один кілометр. Чому дорівнює весь шлях? (9км) 19
  • 20.
    3. Три друга-колекціонери:Денис, Сашко та Кирило домовилися зіграти три партії в шахи за умови, що той, хто програє партію, додає іншим двом гравцям ще по стільки марок, скільки у кожного вже є. Зіграли три партії. Причому програв кожний: спочатку Денис, потім – Сашко, за ним – Кирило. Після цього у кожного з них залишилось по 24 марки. Скільки марок було у кожного з друзів спочатку? (У Дениса 39, Сашка – 21, Кирила – 12 марок) 4. 16 паличок розподілили на дві нерівні купки. Коли з першої купки переклали у другу стільки паличок, скільки у цій другій було, а потім з другої переклали у першу стільки паличок, скільки в першій залишилося, то в обох купках паличок стало порівну. Скільки паличок було у кожній купці спочатку? ( У І – 10, у ІІ – 6 паличок) 5. а) Є дві купки по 7 камінців. За хід дозволяється взяти один камінець із будь-якої купки або по камінцю з кожної купки. Програє той, хто не може зробити хід. б) Крім ходів, допустимих в пункті а) дозволяється перекладати один камінець із першої купки в другу. В усьому іншому правила ті ж самі. (В обох пунктах виграє перший) 6. Гра починається із числа 1. За один хід дозволяється помножити наявне число на будь-яке натуральне число від 2 до 9. Виграє той, хто першим одержить число, більше 1000. (Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа від 56 до 111 і від 4 до 6. Таким чином, виграє перший гравець (його перший хід - в 4, 5 або 6). 7. Гра починається із числа 2. За хід дозволяється додати до наявного числа будь-яке натуральне число, менше за нього. Виграє той, хто одержить 1000. 20
  • 21.
    (Аналізуючи з кінця,знаходимо виграшні позиції: 500, 250, 125, 62, 31, 15, 7, 3. Виграє перший гравець). 8. Гра починається із числа 1000. За хід дозволяється відняти від наявного числа будь-яке, що не перевищує його, натуральне число, що є степенем двійки (1 = 2°). Виграє той, хто одержить нуль. (Аналізуючи з кінця, знаходимо виграшні позиції. Це числа, що діляться на 3. Виграє перший гравець. Першим ходом він може, наприклад, відняти 1, 4, 16). II. ЧИСЛА 1. Числові множини Поняття множини належить до первісних понять математики, якому не дається означення. Множину можна уявити собі, як сукупність деяких предметів, об’єднаних за довільною характеристичною властивістю. Наприклад, множина учнів класу, множина цифр десяткової системи, множина натуральних чисел. Предмети, з яких складається множина, називаються її елементами і позначаються малими буквами латинського алфавіту. Наприклад, a = 5 – елемент множини цифр десяткової нумерації. Для позначення множин використовують великі букви латинського алфавіту або фігурні дужки, всередині яких записуються елементи множини. При цьому порядок запису елементів не має значення. Наприклад, множину цифр десяткової нумерації можна позначити буквою А і записати так: А={1, 3, 5, 2, 4, 6, 8, 7, 9, 0}. Числовими називаються множини, елементами яких є числа. Множина натуральних чисел – N, множина 21
  • 22.
    цілих чисел –Z. Належність предмета даній множині позначається символом є. Наприклад, число 7 є N. Множини бувають скінченні і нескінченні. У скінченній множині кількість елементів можна порахувати. Наприклад, множина А містить десять елементів. У нескінченній множині – нескінченна кількість елементів. Наприклад, множина натуральних чисел, множина точок прямої – нескінченні множини. Множина, в якій немає жодного елемента, називається порожньою і позначається символом . Над множинами виконуються певні операції (дії). 1) Перерізом множин А і В (А∩В) називається множина С, яка складається з усіх тих і тільки тих елементів, які належать кожній з даних множин А і В. 2) Об’єднанням (або сумою) двох множин А і В (АUВ) називається така множина С, яка складається з усіх елементів множин А і В, і тільки з них. Дуже важливими для практичних задач є формули підрахунку кількості різних елементів у декількох множинах, що містять спільні елементи, тобто кількості елементів в об’єднанні двох або трьох множин. Кількість елементів об’єднання n(А+В) будь-яких двох скінченних множин А і В обчислюється за формулою: n(А+В) = n(А) + n(В) –n(А∩В). Для будь-якої трійки скінченних множин А1, А2, А3 має місце формула кількості елементів множини n(А1+А2+А3), що є об’єднанням трьох множин, тобто n(А1+А2+А3)=n(А1)+n(А2)+n(А3)–n(А1∩А2)–n(А1∩А3)– n(А2∩А3)+n(А1∩А2∩А3). Деякі задачі математики розв’язуються за допомогою цих формул і кругів Ейлера. За допомогою них зручно відображати відношення між множинами. 22
  • 23.
    Приклад 1. Вкласі 35 учнів. З них 20 - займаються в математичному гуртку, 11 – в біологічному, а 10 учнів не відвідують ці гуртки. Скільки біологів захоплюється математикою? Розв’язання Зобразимо круги Ейлера на малюнку: М – математики, Б – біологи, МБ – математики-біологи. Як бачимо, 6 біологів захоплюється математикою. 35 – 10 = 25 (учн.) (20+11) – 25 = 6 (учн.) Відповідь: 6 біологів захоплюється математикою. Приклад 2. У кондитерському відділі супермаркету покупці купують або один торт, або коробку цукерок. Одного дня було продано 62 тортів та 48 коробок цукерок. Скільки було покупців, якщо 21 з них придбали і торт, і коробку цукерок? Розв’язання Використаємо принцип суми: 62 + 48=110(п.) 110 - 21 = 89(п.) Відповідь: 89 покупців. Приклад 3. У класі навчається 42 учні. Із них 16 відвідують секцію легкої атлетики, 24 – футбольну, 15 – шахову, 8 – з легкої атлетики і шахову, 11 – з легкої атлетики і футболу, 12 – футбольну і шахову, а 6 – усі три секції. Решта учнів займається туризмом. Скільки учнів займається туризмом? Розв’язання 16 + 24 + 15 – 11 – 12 – 8 + 6 = 30 (учн.) 42 – 30 = 12 (учн.) – займається туризмом. 23
  • 24.
    Відповідь: 12 учнівзаймається туризмом. Приклад 4. В піонерському таборі 70 дітей. З них 27 займаються в драмгуртку, 32 – співають в хорі, 22 – займаються спортом. В драмгуртку 10 дітей з хору, в хорі – 6 спортсменів, в драмгуртку – 8 спортсменів, 3 спортсмени відвідують драмгурток і хор. Скільки дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку? Скільки дітей займаються лише спортом? Розв’язання Зобразимо на малюнку круги Ейлера. Д – драмгурток, Х – хор, С – спортсмени. 10 дітей не співають в хорі, не займаються спортом і не займаються в драмгуртку, 11 дітей займаються тільки спортом. 27+32+22-10-6-8+3=60 (д.) 70-60=10 (д.) Відповідь: 10 дітей не займається у гуртках, 11 дітей займається тільки спортом. Задачі для самостійного розв’язування 1. Кожен учень ліцею вивчає або англійську, або французьку мову. Англійську мову вивчають 250 учнів, французьку – 270, а обидві мови – 180 учнів. Скільки учнів у ліцеї? (340) 2. У чотирьох сьомих класах 100 учнів, з них співають - 45, танцюють – 65, співають і танцюють – 25 учнів. Скільки учнів не володіють жодним видом мистецтва? 24
  • 25.
    (15) 3. У спортивномутаборі 65 дітей вміють грати в футбол, 70 – у волейбол і 75 – у баскетбол. Всього дітей у таборі 100. Яка найменша кількість дітей, які вміють грати і у футбол, і у баскетбол, і у волейбол? (55) 4. У групі зі 100 туристів 70 знають англійську мову, 45 – французьку і 23 – знають обидві мови. Скільки туристів у групі не знають ні англійської, ні французької? (8) 5. В одній родині було багато дітей. 7 з них любили капусту, 6 – моркву, 5 – горох. 4 – любили капусту та моркву, 3 – капусту та горох, 2 – моркву та горох, 1 – і капусту, і моркву, і горох. Скільки дітей було у родині? (10) 6. Серед учнів нашого класу проводили опитування щодо улюблених жанрів фільмів. Усього в класі 38 учнів. Фантастичним фільмам надає перевагу 21 учень, серед яких троє полюбляють ще й комедії, шестеро — мультфільми, а один — усі три жанри. Комедії подобаються 13 учням, серед яких п'ятеро вибрали одразу два жанри. Скільки учнів полюбляють мультфільми? (8) 7. Із 35 учнів одного класу за підсумками навчального року 10 балів з математики мали 14 учнів, з фізики – 15, з хімії – 18, з математики та фізики – 7, з математики та хімії – 9, з фізики та хімії – 6, з усіх трьох – 4. Визначити, скільки учнів : А) не мають жодної оцінки 10 балів хоча б з одного з цих предметів; Б) хоча б одну оцінку 10 балів із цих предметів; В) оцінку 10 балів хоча б із двох з перелічених предметів; Г) оцінку 10 балів рівно з двох цих предметів. (6; 29; 14; 10) 25
  • 26.
    8. Скільки чиселсеред перших 100 натуральних не ділиться ані на 2; ані на 3; ані на 5 ? (26) 9. У футбольній команді «Динамо» 30 гравців, серед яких 18 нападаючих, 11 півзахисників, 17 захисників і воротарі. Відомо, що троє можуть бути півзахисниками і захисниками, 10 захисниками і півзахисниками, 6 нападаючими і захисниками, а 1 і нападаючим, і захисником, і півзахисником. Воротарі не замінимі. Скільки в команді «Динамо» воротарів? (2) 10. У класі 30 учнів. 20 з них кожного дня користуються метро, 15 – автобусом, 23 – тролейбусом, 10 – і метро, і тролейбусом, 12 – і метро, і автобусом, 9 – і тролейбусом, і автобусом. Скільки учнів користуються усіма трьома видами транспорту? (3) 11. У школі відбулися три олімпіади. З’ясувалося, що в кожній з них брали участь по 50 школярів. При цьому 60 учнів приходили тільки на одну олімпіаду, а 30 учнів – рівно на дві. Скільки учнів брали участь у всіх трьох олімпіадах? (10) 2. Числа та їх властивості На множині натуральних чисел виконуються операції додавання і множення, але не завжди виконується операція віднімання. Розширюючи множину N так, щоб арифметична операція віднімання завжди виконувалася, ми отримаємо множину цілих чисел Z. Тому множина цілих чисел містить цілі від’ємні числа, нуль, та цілі додатні числа. 26
  • 27.
    Властивості додавання, множеннята відношення порядку для множини цілих чисел ті самі, що й для множини натуральних чисел. Головну роль у всій теорії цілих чисел відіграють наступні властивості чисел: 1) Для будь-якого цілого а і b > 0 існують і притому єдині цілі q та r, такі, що а = bq + r, де r < | b |. 2) Сума двох цілих чисел q та r є цілим числом. 3) Добуток двох цілих чисел q та r є цілим числом. Приклад 1. У виразі 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 розставити між деякими із цифр знаки чотирьох арифметичних дій +, -, ∙, : та дужки так, щоб вийшло 2014. Розв’язання Джерелом для пошуку розв’язку є такі рівності: 9 ∙ 8 ∙ 7 = 504 і 504 ∙ 4 = 2016. Далі використовуємо решту цифр, щоб одержати рівність: 9 ∙ 8 ∙ 7 ∙ (6 + 5 – 4 – 3) – 2 + 1 ∙ 0 = 2014. Це є одна є можливих відповідей. Приклад 2. Число закінчується цифрою 7. Якщо цю цифру відкинути і від першого числа відняти отримане число, то дістанемо 2014. Знайти початкове число. Розв’язання Нехай отримане число дорівнює х, тоді початкове число буде дорівнювати 10х + 7. Маємо рівняння: 10х + 7 – х = 2014; 9х = 2007; х = 223. Відповідь: 2237. Приклад 3. Двозначне число помножили на суму його цифр. Отримали 814. Знайдіть це число. 27
  • 28.
    Розв’язання Нехай x –шукане двозначне число, y – сума його цифр. За умовою добуток числа x на суму y його цифр дорівнює 814. Тому має місце рівність x ∙ y = 814. Розкладемо число 814 на прості множники: 814 = 2 ∙ 11 ∙ 37 Оскільки числа x і y є натуральними, добуток яких дорівнює 814, то з урахуванням розкладу 814 і того, що x є двозначним числом, можливими є лише наступні випадки: 1)    = ⋅= ;37 ,112 у х    = = ;37 ,22 у х 2)    = = ;11 ,74 у х 3)    = = .2 ,407 у х Оскільки число y повинно дорівнювати сумі цифр шуканого числа x, то перший і третій випадки не задовольняють умову задачі. Очевидно, що сума цифр числа 74 становить 11. Отже, 74 є шуканим числом. Відповідь: 74. Приклад 4. Чи можна у виразі 1 * 2 * 3 * … * 2014 = 2 * 0 * 1 * 4 замінити кожний знак «*» знаком «+» або «-» так, щоб отримати вірну рівність? Розв’язання = 2 + 0 + 1 – 4 = -1. Відповідь: Можна. Приклад 5. Чотиризначне число закінчується цифрою 4. Якщо цю цифру перенести на початок числа, то 28
  • 29.
    отримаємо число, різницяміж яким і даним числом дорівнює сьомому степеню числа 3. Знайти дане чотиризначне число. Розв’язання Відомо, що 37 = 2187. Нехай шукане чотиризначне число дорівнює або 1000a + 100b + 10c + 4. Тоді нове число буде дорівнювати: 4000 + 100a + 10b + c. Згідно умови 4000 +100а + 10b + с - 1000а - 100b -10с – 4 = 2187; 1000 (4 – а) + 100 (а – b) + 10 (b – с) + (с - 4) = 2187. Звідки а = 2, b = 0, с =1. Відповідь: 2014. Задачі для самостійного розв’язування 1. Розв’язати ребус: А2014А = Б ∙ В ∙ 1Б0В. Однакові букви позначають однакові цифри, а різні букви позначають різні цифри. (120141 = 9 ∙ 7 ∙ 1907) 2. Знайти найменше натуральне число, сума цифр якого дорівнює 2014. ( ) 3. У числі 7 ****** 1 замініть зірочки цифрами так, щоб сума будь-яких трьох сусідніх цифр дорівнювала 11. Знайдіть всі розв’язання і доведіть, що інших немає. (71371371) 4. Вася задумав три різні ненульові цифри. Петро записав всі дев'ять можливих двозначних чисел, у десятковому записі яких використовувалися тільки ці 29
  • 30.
    цифри. Сума записанихчисел дорівнює 231. Знайдіть цифри, задумані Василем. (1, 2 і 4) 5. Про деяке двозначне число зроблені наступні твердження. «Це число або закінчується на 5, або ділиться на 7». «Це число або більше 20, або закінчується на 9». «Це число або ділиться на 12, або менше 21». Знайдіть всі двозначні числа, які задовольняють умовам задачі. (84) 6. Різні натуральні числа x, y, z збільшили на 1, 2 і 3 відповідно. На яку найбільшу величину могла змінитися сума їх обернених величин? (13/12) 7. Від тризначного числа відняли суму кубів його цифр. Який найбільший результат міг при цьому вийти? (396) 8. Чи існують такі натуральні числа а і b, що число b є натуральним степенем числа a і число b в 16 разів більше числа а? (2,32; 4,64; 16,256) 9. Чи існують такі три різні числа а, b і с, що а (b - c) = b (c - a) = c (a - b)? ( ні) 10. Назвемо натуральне число гарним, якщо його можна подати у вигляді суми двох тризначних чисел сва + авс , (a і с не рівні 0). Скільки існує гарних чисел? (170) 11. Відновіть ребус КОКА+ КОЛА = ВОДА (однаковим буквам відповідають однакові, різним буквам - різні цифри). (3930 + 3980 = 7910) 12. Назвемо число «дзеркальним», якщо справа наліво воно читається так само, як і зліва направо. Наприклад, число 78887 . Знайдіть усі «дзеркальні» п’ятицифрові 30
  • 31.
    натуральні числа, взаписі яких використовуються тільки цифри 1 та 0. (100001, 10101, 11011, 11111) 13. Мар’ян задумав натуральне число, про яке його друзі сказали: Тарас: «Це число 9», Роман: «Це число просте», Андрій: «Це число парне», Михайло: «Це число 15». Роман з Тарасом разом сказали одне правильне твердження, як і Андрій з Михайлом. Яке це число? ( 2) 14. Знайдіть всі трицифрові числа, які в результаті викреслювання середньої цифри зменшуються в 7 разів. (105) 15. Чи існує чотири натуральних числа, сума яких дорівнює їх добутку? (Так, 1+1+2+4=1∙1∙2∙4) 16. Знайдіть усі такі чотирицифрові числа , для яких виконується рівність + + +а=2013. (1813) 17. У Андрійка на картках записані лише одиниці, четвірки, шістки та дев’ятки. Він склав із них два числа. Чи може одне з них у 17 разів більше від іншого? (Ні) 3. Розв’язування задач на подільність. Основна теорема арифметики Усі натуральні числа, крім одиниці, поділяють на прості і складені. Простим називається число, яке має лише 31
  • 32.
    два дільники: одиницюі саме число. Найменшим простим числом є два ( це єдине парне просте число). Складеним називається число, яке має більше двох дільників. Основна теорема арифметики: кожне натуральне число, більше одиниці, можна представити, як добуток простих чисел. Це представлення єдине, якщо не враховувати порядок, у якому записані прості множники. Надалі слово «ділиться» - означає, що «ділиться без остачі» або націло. Якщо n m, то це значить, що ціле число n ділиться без остачі на ціле число m. Приклад 1. Чи ділиться число 320 513 на число 135? Розв’язання Оскільки число 135 = 33 5, а числа 33 і 5 входять до розкладу 320 513 , то число 320 513 ділиться на 135. Приклад 2. Відомо, що n 4 і n 6. Чи ділиться n на 24? Розв’язання Ні. Наприклад, число 12 4 і 12 6, але 12 не ділиться на 24. Це пояснюється тим, що числа 4 і 6 мають спільний дільник – 2. Приклад 3. Відомо, що n 9 і n 5. Чи ділиться n на 45? Розв’язання Так. Оскільки n 9, то розклад числа n на прості множники містить 3 хоча б у другому степені. Але n 5, 32
  • 33.
    тобто розклад числаn містить 5. А це значить, що n ділиться на 32 ∙5, тобто на 45. Приклад 4. Відомо, що число n, не ділиться на 7. Чи ділиться число 2010n на 7 без остачі? Розв’язання Оскільки 2010 = 287 7 + 1, то 2010 не ділиться на 7. А якщо кожен із множників 2010 і n не ділиться на 7, то і добуток 2010n не ділиться на 7. Задачі для самостійного розв’язування 1. Чи ділиться 32 73 на 18? (Ні) 2. Чи може сума трьох послідовних натуральних чисел бути простим числом? ((n - 1) + n + (n + 1) = 3n 3, тому не може) 3. Просте, чи складене число 22002 – 1? (Складене) 4. У запису натурального числа n використовуються тільки одиниці та двійки. Відомо, що одиниць у 4 рази більше, ніж двійок. Довести, що число n + 1989 складене. 5. Чи існує прямокутний паралелепіпед, довжини ребер якого натуральні числа, а площа поверхні – просте число? (Ні) 6. Минулого року добуток віків черепах Тора і Тори дорівнював 22 33 11. Чи може цього року добуток їхніх віків бути кратним 22? (Ні) 33
  • 34.
    7. Ішли 40мишей і несли 40 грошей. Дві худіші миші несли по два гроша. Кілька мишей – зовсім без грошей. Здорові миші тягнули по 7 грошей. Решта несли по 4. Скільки мишей йшло без грошей? (32) 8. Шматок дроту довжиною 102см потрібно розрізати на частини довжиною 15см і 12см. Як це зробити? (6 і 1; 2 і 6) 9. П’ятниця написав у рядок декілька різних натуральних чисел, менших 11. Робінзон Крузо, побачивши ці числа, зауважив, що у кожній парі сусідніх чисел одне з них ділиться на інше. Яку найбільшу кількість чисел міг виписати П’ятниця? (9 чисел: 8, 4, 1, 5, 10, 2, 6, 3, 9) 10. На кожній з 18 карток записано число 4, або число 5. Сума всіх записаних чисел ділиться на 17. На скількох картках записано число 4? (5) 11. Знайти усі прості числа , для яких 2 + 3 + 11 – просте число. ( = 3) 12. Відновіть цифри, які зображені зірочками в записі 2 * * 1 : 13 = * 2 *, якщо відомо, що ділення виконане без остачі. (2951 : 13 = 227) 13. Знайдіть найменше складене число, яке не ділиться на жодне із натуральних чисел від 2 до 10. (121) 14. Знайдіть усі прості числа, квадрат яких, збільшений або зменшений на 2013, теж просте число. (2) 15. Простим чи складеним є число 2323 – 1717 ? (Складене) 34
  • 35.
    4. Ознаки подільності Ознакиподільності на 2, 3, 5, 9 і 10 вивчаються учнями у 6 класі. Але при підготовці до олімпіад необхідно знову їх повторити і розглянути ознаки подільності на 4, 6, 25, 8, 7, 11, 13, 17, 19, 37. Число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли дві його останні цифри складають число, яке ділиться на 4. Двозначне число ділиться на 4 тоді і тільки тоді, коли подвоєне число десятків, складене з числом одиниць ділиться на 4. Число ділиться на 6 тоді, коли воно ділиться і на 2, і на 3, тобто якщо воно парне і сума його цифр ділиться на 3. Число ділиться на 25, якщо дві останні цифри складають число, яке ділиться на 25. Число ділиться на 8, якщо число утворене трьома останніми цифрами цього числа ділиться на 8. Щоб дізнатися, чи ділиться тризначне число на 8, можна половину одиниць додати до десятків. У числа, що вийшло також половину одиниць додати до десятків. Якщо підсумкова сума ділиться на 2, значить, число ділиться на 8. Число ділиться на 11, якщо різниця між сумою цифр, що стоять на непарних місцях і сумою цифр, розташованих на парних місцях, ділиться на 11. Число ділиться на 7, 11, 13, якщо різниця між S1–S2 ділиться на 7, 11, 13 (S1 – сума трійок з непарними номерами, S2 – сума трійок з парними номерами. Число розбивати на трійки справа наліво). 35
  • 36.
    Число ділиться на17 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене із збільшеним в 12 разів числом одиниць, кратне 17. Число ділиться на 19 тоді і тільки тоді, коли число його десятків, складене з подвоєним числом одиниць, кратне 19. Число ділиться на 37, якщо сума трійок, на які поділене число з кінця, ділиться на 37. Число ділиться на n-у степінь десятки тоді і тільки тоді, коли n його останніх цифр - нулі. Приклад 1. Шестизначне число закінчується цифрами 137 і ділиться на 7, 11 і 13. Знайти це число. Розв’язання Оскільки число ділиться на 7, 11 і 13, значить воно ділиться на добуток 7 11 13 = 1001, тому це число 137137. Відповідь: 137137. Приклад 2. П’ятицифрове число 24х8у ділиться на 4, 5 і 9. Чому дорівнює сума цифр х і у? Розв’язання Оскільки число 24х8у ділиться на 4 і 5, то у = 0. Але це число ділиться на 9, тому (2 + 4 + x + 8 + 0) 9, (14 + x) 9, значить х = 4, звідси 4 + 0 = 4. Відповідь: 4. Приклад 3. Які цифри можна поставити замість зірочок у запису 320*2*44, щоб отримане число ділилося на 132? Розв’язання Оскільки 132 = 4 3 11. Число 320*2*44 4, бо 44 4. При діленні на 3 має виконуватись умова: 36
  • 37.
    (3+20+x+2 + у+ 4 + 4) 3; (15 + х + у) 3; (х + у) 3. А при діленні на 11 – ((3 + 0 + 2 + 4) – (2 + х + у + 4)) 11; (3 – (х + у) 11. Враховуючи, що х і у – цифри, то x + у = 3. Це рівняння має чотири розв’язки: (0; 3); (3; 0); (1; 2); (2; 1). Числа 32002344, 32012244, 32022144, 32032044 діляться на132. Відповідь: 32002344, 32012244, 32022144, 32032044. Приклад 4. Чи існує восьмицифрове число, у запису якого всі цифри різні, і яке ділиться на всі свої цифри? Розв’язання Ні, не існує. Цифра нуль відсутня. Сума інших дев’яти цифр дорівнює 45. Якщо ще одна цифра відсутня - це 5, то число не ділиться на 3. Якщо 5 присутня, то число ділиться на 5, цифра 5 на останньому місці, але тоді не буде подільності на будь-яку парну цифру. Відповідь: не існує. Задачі для самостійного розв’язування 1. Яке із чисел : 2009; 2+0+0+9; (2 + 0) (9 + 0); 29 чи 200–9 ділиться на 3? ((2 + 0) (9 + 0)) 2. Чи існують числа цифри a і b такі, щоб число 76аb119 99. (так; а = 2, b = 1) 3. Довести, що будь-яке тризначне число, записане однаковими цифрами, ділиться на 37. ( =100х+10х+х=111х,а 111 37, тому 111х 37) 37
  • 38.
    4. У шестизначномучислі перша цифра співпадає з четвертою, друга з п’ятою, а третя з шостою. Доведіть, що це число ділиться на 7, 11 і 13. ( авсавс = 1001 авс = 7 11 13 ) 5. Доведіть, що (967 – 225 – 486 ) 10. 6. Доведіть, що 220 + 320 + 420 + 721 10. 7. Доведіть, що (165 + 215 ) 33. 8. Доведіть, що 333555 + 555333 37. 9. Число ділиться на 8. Яку найбільшу суму цифр воно може мати? (999888 – сума цифр = 51) 10. Чи ділиться на 9? 81раз (Так) 11. До числа 10 справа і зліва приписати по одній цифрі так, щоб число було кратне 72. (4104) 12. Знайти найменше натуральне число, що ділиться на 36, у запису якого зустрічаються всі 10 цифр. 13. На дошці написано число 321321321321. Які цифри треба стерти, щоб отримати найбільше число, яке ділиться на 9? (Дві 3 з кінця) 14. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться на 3, то число а2 ділиться на 9. 15. Доведіть, що коли натуральне число а ділиться націло на 8, а натуральне число b ділиться націло на 4, а >b, то число а2 – b2 ділиться на 16. 16. У числі 8030604 замініть усі нулі такою цифрою, щоб знайдене число ділилося на 9. (2) 38
  • 39.
    17. Доведіть, щосума двох послідовних непарних чисел ділиться на 4. 18. Знайдіть останню цифру числа 97531*, щоб воно ділилося на 6, але не ділилося на 9. (8) 19. Знайдіть найбільше трицифрове число, яке ділиться на 9 та цифри ідуть зліва направо у порядку зростання. (567) 20. Три цифри п’ятицифрового числа одиниці. Відомо, що це число ділиться на 72. Знайти усі такі п’ятицифрові числа. (14112, 41112, 11160) 21. Доведіть, що сума чисел і кратна 11. 22. Скільки існує натуральних чисел, не більших 1999, які не діляться ні на 5, ні на 7? (1372) 23. Числа 2013...,,2,1 переставили у деякому порядку і отримали набір чисел 201321 ...,,, aaa . Чи обов’язково число )2013)...(2)(1( 201321 +++ aaa ділиться націло на а) 2 ; б) 4 ? (а)так; б) ні) 24. Серед чисел виду 3n+2 знайти три числа, які діляться на 5. (п=1, 6, 11) 25. Чи можна числа 1, 2, 3,…, 1999, 2000 записати в такому порядку, щоб сума будь-яких чисел, які записані через одне число, ділилася без остачі на 7? (Ні) 26. Знайдіть найменше натуральне число п таке, щоб число п2 +п ділилось без остачі на 2006. (118) 39
  • 40.
    5. Взаємно простічисла Два цілих числа називають взаємно простими, якщо вони не мають спільних додатних дільників, крім 1. Два різні прості числа є взаємно простими. Число 1 є взаємно просте з довільним цілим числом. Якщо деяке ціле число ділиться на кожне із взаємно простих чисел, то це число ділиться на їх добуток. Приклад 1.Нехай для цілих чисел а і b існують цілі числа m і n такі, що аm + bn = 1. Доведіть, що а і b взаємно прості. Розв’язання Припустимо, що а і b не є взаємно простими, тобто мають спільний дільник х > 1. Тоді (аm + bn) х, але 1 не ділиться на х, що суперечить умові аm + bn = 1. Отже, а і b – взаємно прості числа. Приклад 2. Чи є числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно простими для довільного цілого числа n? Розв’язання І спосіб: Оскільки 3 (14n +3) – 2 (21n +4) = 1, то згідно з попередньою задачею, числа 14n + 3 і 21n + 4 взаємно прості. ІІ спосіб: Умова буде виконуватися, коли дріб нескоротний. Тоді = 1 + ; = 2 + . 40
  • 41.
    Дріб – нескоротнийдля довільного цілого n. Отже, дані числа є взаємно простими. Задачі для самостійного розв’язування 1. Доведіть, що при будь-яких n дріб не можна скоротити. 2. Знайдіть будь-які два натуральні значення n при яких дріб можна скоротити. (n = 1; n = 4) 3. Доведіть, що для всіх натуральних n числа 2n + 1 і 2n(n + 1) взаємно прості. 4. Знайдіть усі пари взаємно простих чисел ( q), де q, для яких q та q – прості числа. ( q = 2) 5. Знайдіть усі цілі n, для яких числа 9n + 5 та 3n + 1 взаємно прості. (для n – парних чисел) 6. Нехай х – просте число. Скільки всього існує натуральних чисел, менших х2 і взаємно простих з х2 ? (х2 – х) 7. На екрані комп'ютера було записано число 123456789. Вася так вставив пробіли між деякими цифрами цього числа, що воно розбилося на кілька частин, причому числа, записані в будь-яких двох частинах, виявилися взаємно простими. Яка найбільша кількість частин могла при цьому утворитися? ( шість) 41
  • 42.
    8. Знайдіть всінатуральні числа, на які можна скоротити дріб 78 65 + + х х при різних цілих х. (13) 9. Знайдіть усі такі p , щоб числа p , p +10 та p +14 були простими. (р=3) 6. Періодичність остач Ділення числа а на число в з остачею можна записати у вигляді: а = bq + r, де r – остача. Нехай при діленні числа а на число b залишається остача r, то при діленні аn на b – остача rn (n є N). Оскільки різних остач всього b, то остачі мають повторюватися. Нехай для деяких натуральних чисел R і m : rR = rR+m. Тоді за правилами дій над остачами rк+1= rк+m+1, rк+2 = rк+m+2, rк+m = rк+2m, тобто послідовність остач періодична. Періодичність остач на одноцифрове число означає періодичність останньої цифри; а на двоцифрове – останньої і передостанньої цифр і т.д. Помітивши періодичність остач, можна раціональніше знайти розв’язок олімпіадних задач. Якщо остача від ділення числа а на b дорівнює с, то остача від ділення числа аn на b дорівнює остачі від ділення числа сn на b. Приклад 1. Знайдіть остачу від ділення 22010 на 7? Розв’язання Оскільки 21 = 2; 22 = 4; 23 = 8; 24 = 16; 25 = 32; 26 =64, то при діленні на 7 степенів числа 2, отримаємо остачі: 2; 4; 1; 2; 4; 1 і т.д. 42
  • 43.
    Послідовність остач маєперіод 3. Оскільки 22010 = 23∙ 670 , то 22010 має ту саму остачу від ділення на 7, що й 23 , тобто 1. Відповідь: 1. Приклад 2. Знайдіть останню цифру числа 999 . Розв’язання Оскільки 91 = 9, 92 = 81, 93 = 729, 94 = 6561, то остання цифра степенів 9 - непарна, а саме 1 або 9. Тому 99 закінчується непарною цифрою 9. А непарний 9 степінь цифри 9 закінчується на 1. Відповідь: 1. Приклад 3. На столі лежать 15 сірників. Грають двоє. За один хід дозволяється взяти 1, 2 або 3 сірники. Програє той, хто забирає останнього сірника. Хто з гравців має виграшну стратегію? Розв’язання Виграшну стратегію має перший гравець. Першим ходом він має взяти два сірники, а надалі доповнювати число сірників, що взяв другий гравець до чотирьох. Тут незмінною є остача 1 від ділення на 4, яку дає число 13 (13 = 15 – 2). Відповідь: перший гравець. Приклад 4. Знайти остачу від ділення числа 2222n на 7. Розв’язання Знайдемо остачу від ділення числа 2222 на 7: 2222 : 7 = 317 (ост. 3). Остача від ділення 2222n на 7 така сама, як остача від ділення 34 на 7, тобто 4, бо 34:7 = 81:7 = 11 (ост. 4). Відповідь: 4. 43
  • 44.
    Задачі для самостійногорозв’язання 1. Знайдіть остачу від ділення 444333 на 7. (6) 2. Знайдіть остачу від ділення 7100 + 11100 на 13. (12) 3. Якою цифрою закінчується 19821982 . (4) 4. Знайдіть останню цифру 22013 . (2) 5. Скільки існує тризначних чисел, які при діленні на 8 дають в остачі 3? (112) 6. Знайдіть х, якщо 144 і 220 при діленні на х дають остачу 11. (19) 7. Знайдіть останню цифру числа 20092011 . (9) 8. Знайти останню цифру числа 3322 + 2211 . (7) 9. Доведіть, що 22225555 + 55552222 ділиться на 7. 10. Гра полягає в тому, що кожен із двох гравців по черзі забирає будь-яку кількість камінців тільки з однієї із двох куп (з однаковою кількістю камінців). Виграє той, хто забере останній камінець. Хто з гравців має виграшну стратегію? (Перший, потрібно забирати кожен раз стільки, щоб камінців було однаково на двох купах). 11. На столі лежать 13 паличок. Двоє дітей по черзі беруть 1 або 2 палички з цієї купки. Виграє той, хто візьме останній сірник. Хто з дітей виграє? (Виграє перший, якщо спочатку візьме 1, а потім буде брати число кратне 3). 44
  • 45.
    12. Знайти остачувід ділення числа 72003 на 10. (3) 13. Довести, що 22011 + 32011 ділиться на 5. 2, 4, 6, 8,… 7. Парність цілих чисел Спроба класифікувати числа приводить до поділу їх на парні і непарні. Парні – числа, що закінчуються парною цифрою: 0, 2, 4, 6, 8. Непарні – всі інші числа. Іншими словами, парне число, це таке ціле число n, що можна представити у вигляді n = 2k, а непарне n = 2k + 1, де k — довільне ціле. Такий поділ є змістовним, оскільки використовується при розв’язуванні олімпіадних задач. Варто звернути увагу на те, що сума парної кількості непарних чисел є парною. Сума будь-якої кількості парних доданків – парна. Різниця будь-якої кількості парних чисел – парна. Таким чином, парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів між цілими числами, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Сума квадратів парної кількості непарних чисел є парною. Сума квадратів непарної кількості непарних чисел є парною. Добуток двох послідовних чисел число парне Приклад 1. Доведіть, що сума двох непарних чисел – число парне. Розв’язання Якщо а = 2n + 1, b = 2m + 1, то а + b = 2n + 2m + 2 = 45
  • 46.
    =2 (n+ m+1),а це число парне. Отже, сума двох непарних чисел – число парне. Приклад 2. Знайти всі цілі числа m і n, для яких виконується умова: m2 + m = n2 + n +2013 Розв’язання За умовою m2 + m = n2 + n +2013, m( m + 1) = n( n + 1) + 2013; тоді m( m + 1) - n ( n + 1) = 2013. Оскільки добуток двох послідовних чисел число парне, то m(m+1) і n( n + 1) – парні, але 2013 – непарне число. Виходить, що m(m+ 1) - n ( n + 1) – парні і дорівнює 2013. Цього бути не може, значить такі числа m і n не існують. Відповідь: такі числа m і n не існують. Приклад 3. Василько купив загальний зошит на 96 аркушів і пронумерував всі його сторінки по порядку числами від 1 до 192. Потім вирвав з цього зошита 35 аркушів і додав всі 70 чисел, що на них були написані. Чи міг він дістати 1990? Розв’язання Ні, не міг. Тому що на кожному аркуші сума номерів сторінок непарна, а сума 35 непарних чисел - непарна і не може дорівнювати парному числу 1990. Відповідь: не міг. Задачі для самостійного розв’язування 1. Знайдіть різницю між сумою перших ста парних і перших ста непарних натуральних чисел. (100) 46
  • 47.
    2. По колувписали 2003 натуральних числа. Доведіть, що знайдуться два сусідніх числа, сума яких є парною. 3. Розставити замість зірочок знаки «+» чи «–» так, щоб одержати правильну рівність: 1 * 2 * 3 * 4 * 5 * 6 * 7 * 8 * 9=10. (Рівність не виконується, бо зліва записана непарна кількість непарних чисел) 4. Чи можна в таблицю 5х5 записати числа 1, 2, …, 25 так, щоб у кожному рядку сума деяких із записаних в ньому чисел дорівнювала сумі решти чисел цього рядка? (Ні, бо тоді сума чисел у всій таблиці була б парною, а 1+2+…25=325 - непарне число) 5. Довести, що серед будь-яких трьох цілих чисел є два числа, сума яких парна. 6. Чи можна в запису 1*2*3* …*1997 = 1*9*9*7 розставити замість зірочок знаки «+» або «–» так, щоб одержати правильну рівність. (Ні) 7. На чудо-дереві садівник виростив 2013 бананів і 2012 апельсинів. Кожен день він зривав два плоди, а на їх місці виростав новий, притому якщо зривали два однакових плоди, то виростав апельсин, а якщо різні, то банан. Який може бути останній плід на цьому дереві? (Банан) 8. Чи можна скласти магічний квадрат з перших 36 простих чисел? (Ні) 9. Коник-стрибунець стрибає вздовж прямої, причому першого разу він стрибнув на 1см в якийсь бік, другого – на 2см і так далі. Доведіть, що після 2013 стрибків він не може зупинитися там, де починав. (сума 1 + 2 + … + 2013 – непарна) 47
  • 48.
    10. Сума 2010натуральних чисел - непарне число. Яким числом - парним або непарним - є добуток цих чисел? (парним) 11. На паралелі сьомих класів 120 учнів. Кожного дня чергують в шкільній їдальні троє. Чи можна скласти графік так, щоб кожні дві особи чергували разом рівно один раз? (Ні) 12. Числа від 1 до 20 виписані в рядок. Гравці, по черзі розставляють між ними плюси і мінуси. Після того, як всі місця заповнені, підраховується результат. Якщо він парний, виграє перший гравець, якщо непарний - другий. Хто програє у цій грі? (Парність результату не залежить від розстановки плюсів і мінусів, а залежить тільки від кількості непарних чисел в початковому наборі. Оскільки сума будь-якої кількості парних чисел є завжди парним числом, а їх в даному випадку 10 (тобто парне число), то виграє перший(починаючий гру) гравець). 8. Число натуральних дільників Якщо число a можна представити у вигляді добутку простих множників a = α qβ , де q – різні прості числа, то кількість усіх додатних дільників a дорівнює ( + 1) (β + 1). Приклад 1. Скільки дільників у числа 1010 ? Розв’язання Оскільки 1010 = (2 5)10 = 210 510 , то кількість усіх дільників 48
  • 49.
    дорівнює (10+1) (10+1)= 11 11 = 121. Відповідь: 121. Приклад 2. Скільки дільників має число 250 52 610 ? Розв’язання Представимо дане число у вигляді добутку простих множників: 250 52 610 = 250 52 210 310 = 260 52 310 , тому кількість дільників 61 3 11= 2013. Відповідь: 2013. Задачі для самостійного розв’язування 1. Скільки дільників має число 23 32 35? (48) 2. Скільки дільників у числа 100? (9) 3. Скільки дільників має число 972004 ? (2005) 4. Які натуральні числа мають рівно три натуральні дільники? (квадрати простих чисел) 5. Які натуральні числа мають непарну кількість додатних дільників? (квадрати натуральних чисел) 9. НСД і НСК Множина всіх спільних дільників цілих чисел m і n– скінченна, і тому має найбільший спільний дільник (НСД). Правила, за якими знаходять НСД і НСК чисел а і b учні вивчили у 6 класі. 49
  • 50.
    Найбільшим спільним дільникомдвох цілих чисел a та b, які одночасно не дорівнюють нулю, називається таке найбільше ціле число d, на яке a та b діляться без остачі. Цей факт позначається так: d = НСД(a, b). Якщо обидва числа дорівнюють нулю, то НСД(0, 0) = 0. Виходячи з означення, мають місце наступні співвідношення: НСД(a, b) = НСД(b, a), НСД(a, b) = НСД(-a, b), НСД(a, 0) = |a|. Найменшим спільним кратним двох цілих чисел a та b називається найменше додатне ціле число, кратне як a, так і b. Якщо a = ka k aa ppp ...21 21 , b = kb k bb ppp ...21 21 , то НСД(a, b) = ),min(),min( 2 ),min( 1 ...2211 kk ba k baba ppp , НСК(a, b) = ),max(),max( 2 ),max( 1 ...2211 kk ba k baba ppp . Існує ще один спосіб знаходження НСД – алгоритм Евкліда. Евклід – давньогрецький математик, що жив у ІІІ ст. до н.е. В своїй праці «Начала» він описав спосіб знаходження НСД натуральних чисел. Щоб знайти НСД двох чисел, використовуючи алгоритм Евкліда, необхідно: 1) Поділити більше з них на менше, дістанемо неповну частку і остачу; 2) Ділимо менше з даних чисел на здобуту (першу остачу) і дістанемо другу неповну частку і остачу; 3) Ділимо першу остачу на другу і т.д., при цьому остача зменшується; 4) Ділимо до тих пір, поки остача не стане рівною 0. Остання відмінна від нуля остача і є шуканий НСД двох чисел. 50
  • 51.
    Приклад 1. ЗнайтиНСД (200; 375). Розв’язання Використаємо алгоритм Евкліда: 37 5 20 0 200 1 20 0 17 5 17 5 1 17 5 25 17 5 7 0 Отже, НСД (200; 375) = 25. Відповідь: 25. Приклад 2. У кошику менше, ніж 100 яблук. Їх можна розділити порівну між 2, 3 і 5 дітьми, але не можна розділити між 4. Скільки яблук у кошику? Розв’язання Знайдемо НСК (2, 3, 5) = 30. Тому спільними кратними будуть числа 60, 90, … Оскільки яблук має бути менше 100 і їх кількість не ділиться на 4, то в кошику 30 або 90 яблук. Відповідь: 30 або 90 яблук. Задачі для самостійного розв’язання 51
  • 52.
    1. НСК (х;у) = 90; НСД (х; у) = 6, причому х і у не діляться одне на одне. Знайдіть х і у. (18 і 30) 2. НСК двох чисел, які не діляться одне на одне, дорівнює 630, а їх НСД дорівнює 18. Знайти ці числа. (90 і 126) 3. Жінка йшла на базар і несла у кошику яйця. Хтось штовхнув її і розбив яйця. «Скільки в тебе було яєць?» - запитав він. «Пам’ятаю, що коли розкладала їх по 2, по 3, по 4, по 5 і по 6, то кожного разу 1 яйце залишалося, а коли розкладала їх по 7, то остачі не було». Скільки яєць було в кошику, якщо їх було менше 400? (301) 4. Яке найбільше число однакових подарунків можна зробити з 320 горіхів, 240 цукерок та 200 пряників? Скільки горіхів, цукерок і пряників у кожному подарунку? (40) 5. Яку найбільшу кількість букетів можна скласти із 24 волошок і 32 ромашок? (8) 6. Прямокутний аркуш паперу завдовжки 56см і завширшки 48см потрібно розрізати без відходів на найменшу кількість рівних квадратів. Скільки квадратів одержимо? (8) 7. Дерев’яний брусок 48 х 30 х 24см потрібно розрізати на найменшу кількість рівних кубів. Скільки кубів одержимо? (6) 8. Батько і син вирішили переміряти кроками відстань між двома деревами, для чого відійшли водночас від того ж самого дерева. Довжина кроку батька – 70см, сина – 56см. 52
  • 53.
    Знайти відстань міжцими деревами, якщо відомо, що їхні сліди збіглися 10 разів. (2520см) ІІІ. МОДУЛІ 1. Розв’язування лінійних рівнянь з модулем Абсолютною величиною (модулем) невід’ємного числа є те саме число. Абсолютною величиною від’ємного числа є число, протилежне йому. Алгебраїчно це можна записати так: З геометричної точки зору означає відстань від початку відліку до точки, що має координати a. Тому = b, b > 0, а = b або а = - b Приклад 1. Розв’язати рівняння: Розв’язання І спосіб Алгебраїчне розв’язування на основі означення модуля: Якщо х – 1 ≥0, то х – 1 = 3, х = 4. Якщо х – 1 < 0, то – (х – 1) = 3, – х = 2, x= – 2. ІІ спосіб Геометричне розв’язування: 53
  • 54.
    Задачу можна сформулюватитак: на координатній прямій знайти координати точок, відстані від яких до точки з координатою 1 дорівнюють 3. Тому, х– 1 = 3, або х – 1 = – 3. х = 4, або х = – 2. Відповідь: 4; – 2. Приклад 2. Розв’язати рівняння: Розв’язання Якщо х ≥ 0, то рівняння матиме вигляд: х – 7 = 14 + 2х, х – 2х = 14 + 7, – х = 21, х = – 21 – не задовольняє умову х ≥ 0. Отже, х = – 21 – не є коренем. Якщо х< 0, то отримаємо рівняння: – х – 7 = 14 + 2х, – х – 2х = 14 + 7, – 3х = 21, х = 21: (– 3), х = –7. Відповідь: – 7. Приклад 3. Розв’язати рівняння: = 3 Розв’язання = 3. Маємо: . . х 2 = 4, або х 2 = 4. 54
  • 55.
    х = 6х = 2. Друге рівняння коренів не має, бо модуль - величина невід’ємна. Відповідь: 6; 2. Приклад 4. Розв’язати рівняння: Розв’язання . За означенням модуля: = 0, = 1, = 1, або . . Тоді: х + 1 = 2, або х + 1 = , х + 1 = 0, х = 1, х = – 3, х = – 1. Відповідь: ; – 1; 1. Приклад 5. Розв’язати рівняння: Розв’язання Оскільки сума двох невід’ємних доданків не може дорівнювати від’ємному числу, то рівняння коренів немає. Відповідь: коренів немає. Приклад 6. Розв’язати рівняння: Розв’язання 55
  • 56.
    Якщо х ≥0, то х2 – 4х +4 = 0, (x – 2)2 = 0, х– 2 = 0, х = 2. Якщо х< 0, то х2 + 4х +4 = 0, (x + 2)2 = 0, х + 2 = 0, х = –2. Відповідь: – 2; 2 Задачі для самостійного розв’язування Розв’яжіть рівняння: 1. (1; 3) 2. (–1) 3. 4. (коренів немає) 5. (-9 ; 9) 6. (х 3)2 – 10 · (8; - 2) 7. (0) 8. 2. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля Приклад 1. Побудувати графік функції: Розв’язання Оскільки за означенням модуля: 56
  • 57.
    можна записати: В результатіпобудови графіка цієї функції одержуємо прямий кут з вершиною в початку координат, сторони якого є бісектрисами першої і другої координатних чвертей. у у=| х| 0 1 х Приклад 2. Побудувати графік функції: у = Розв’язання За означенням модуля маємо: 1) якщо ; 2) якщо х < 0, то . Графіком є лінія, симетрична відносно осі ординат, розміщена в першій і другій координатних чвертях. у 57
  • 58.
    2 у=|2х| 1 0 1х Приклад 3. Побудувати графік функції: Розв’язання За означенням модуля отримаємо: 1) якщо ; 2) якщо х < 0, то . Графіком є лінія, симетрична відносно осі ординат і розміщена в третій і четвертій координатних чвертях. у 0 1 х 2 у=-2|х| Приклад 4. 58
  • 59.
    Побудувати графік функції: Розв’язання Використаємоозначення модуля: 1) Якщо . Тобто для всіх графіком функції буде частина прямої 2) Якщо x< 0, то . Для x< 0 графіком функції буде частина прямої . Приклад 5. у у=|х|-3 -3 0 3 х -3 59
  • 60.
    Побудувати графік функції: Розв’язання Скористаємосьозначенням модуля: 1) Якщо . 2) Якщо x< 0, то . Побудуємо графіки у = 0 для всіх невід’ємних значень х і у = 2х для від’ємних х: Приклад 6. у у=х-|х| -1 0 1 х 60
  • 61.
    Побудувати графік функції: Розв’язання Заозначенням модуля числа маємо: 1) Якщо . 2) Якщо x< 0, то . Графік функції матиме вигляд: у 3 2 у=|х|+2х -1 0 1 х Приклад 7. Побудувати графік функції: Розв’язання Згідно означенням модуля числа: 1) Якщо , тобто . 2) Якщо , тобто . 61
  • 62.
    Тоді даний графікфункції: у 2 у=|х-3|+2 1 -1 0 1 3 х Завдання для самостійного розв’язування Побудуйте графіки функцій: 1) 2) 3) 4) 5) ІV. МЕТОДИ РОЗВ'ЯЗУВАННЯ РІВНЯНЬ 1. Графічний метод розв’язування рівнянь Приклад 1. Розв’язати рівняння: 62
  • 63.
    Розв’язання Побудуємо в однійсистемі координат графіки функцій: і Абсциси точок перетину цих графіків є коренями рівняння. у у=4 4 3 2 у=|х-3| 1 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 х Відповідь: -1; 7. Приклад 2. Розв’язати рівняння: Розв’язання + Запишемо рівняння у вигляді: . Побудуємо в одній системі координат графіки функцій і 63
  • 64.
    Оскільки точок перетинуграфіків не має, то рівняння розв’язків немає. Відповідь: розв’язків немає. Приклад 3. Розв’язати рівняння: Розв’язання Знайдемо ті значення х, для яких функції та набувають рівних значень. Побудуємо в одній системі координат графіки даних функцій і знайдемо абсциси точок перетину. у у у=| х+5| 1 -5 -1 0 1 4 х у=-|х-4| 64
  • 65.
    у=|х-1|+2 6 у=6-|х-3| 2 1 -1 0 13 4 х Отже, х = 0 і х = 4. Відповідь: 0; 4. Завдання для самостійного розв’язування Розв’яжіть рівняння: 1. (-3 ; 7) 2. ( -1) 3. ( -3; 5) 2 . Лінійні діафантові рівняння Невизначені рівняння – рівняння, які містять більше однієї невідомої. До невизначених рівнянь належать так звані діафантові рівняння. 65
  • 66.
    Діафантовими рівняннями називаютьалгебраїчні рівняння з раціональними коефіцієнтами, розв’язки яких знаходять у цілих або раціональних числах. Цей вид рівнянь названий на честь відомого грецького математика Діафанта, який розробив ряд способів розв’язування невизначених рівнянь. Лінійним діафантовим рівнянням із двома невідомими називаються рівняння виду ах + bу = с а, b, с – цілі числа. Наведемо деякі теореми про існування та знаходження розв’язків деяких видів невизначених рівнянь. Теорема 1. Якщо в рівнянні ах + bу = с, НСД (а, b) = d, d>1 і с не ділиться на d, то рівняння в цілих числах розв’язків не має. Теорема 2. Якщо в рівнянні ах + bу = с, а і b - взаємно прості числа і пара чисел x0, у0 – будь-який його розв’язок, то формули х = х0 – bt, у = у0 + аt або х = х0 + bt, у = у0–аt, де t Z дають усі розв’язки цього рівняння. Для розв’язування діофантових рівнянь першого степеня з двома змінними можна використовувати метод спуску. Приклад 1. Розв’язати в цілих числах рівняння 7х – 4у = 2. Розв’язання 1. Виберемо змінну, що має найменший коефіцієнт, і виразимо її через іншу змінну: . Виділимо цілу частину: 66
  • 67.
    y = х+ . Число буде цілим, якщо цілим виявиться значення дробу . Це можливо тоді, коли число 3x – 2 без остачі поділиться 4. Вводимо нову змінну t, тоді останнє рівняння запишемо у вигляді: 3x – 2 = 4t. Ми прийшли до рівняння такого самого типу як і вихідне, але вже з меншими коефіцієнтами. Розв’язати його потрібно відносно змінних х і t. Аналогічно: 2. х = = t + ; 3. = t1 , t = 3t1– 2, t1 Z. Дробів немає, тому «спуск» закінчено. 4. Тепер необхідно «піднятися нагору». Виразимо х і у через t1 . х = 3t1 = 3t1– 2+ t1 = 4t1 – 2, у = 4t1 = 4t1 – 2+3t1 – 2 = 7t1 – 4. 67
  • 68.
    Формули задають загальнийрозв’язок рівняння в цілих числах. Відповідь: Для пошуку частинних розв’язків рівняння аx + by = с можна використовувати спосіб підбору. Приклад 2. Знайти частинний і загальний розв’язки рівняння 3x + 5у = 26 Розв’язання 1. Підбором визначаємо – частинний розв’язок. х = 0; 1; 2. у = . 2. За теоремою 2 або - загальний розв’язок, . Відповідь: Частинний розв’язок рівняння: Загальний розв’язок рівняння: 68
  • 69.
    або . Задачі длясамостійного розв’язування Розв’язати в цілих числах рівняння: 1) 13x – 16y = 7, 2) 7x+ 19y = 35, 3) 5x+ 7y = 19, 4) 6x + 4y = 11, 3. Задачі, пов’язані з цілими числами Задача 1. Вік людини у 1973 р. дорівнював сумі цифр її року народження. Скільки їй було років? Розв’язання Нехай людина народилася в 19ху році, тоді її вік дорівнює 1 + 9 + х + y. Маємо рівняння: 69
  • 70.
    1000 + 900+ 10х + у + 10 + х + у = 1973, 11x + 2у = 63, х = . Оскільки х – ціле, то число 63 – 2у має бути кратним 11, тобто дана різниця може дорівнювати 11, 22, 33, 44, 55. Враховуючи, що у ≤ 9, підбором встановлюємо: у = 4, x = 5. Отже, людина народилась у 1954 р. і у 1973 р. їй було 19 років. Відповідь: 19 років. Задача 2. Дано відрізки довжиною 7 см і 12 см. Скільки і яких відрізків треба взяти, щоб із них скласти відрізок 1 м? Розв’язання Нехай потрібно взяти х відрізків довжиною 7 см та y відрізків довжиною 12 см. Тоді матимемо рівняння: 7х + 12y =100, у = . Методом підбору знайдемо х: х = 1, 2, 3, 4. Отже, x = 4, тоді y = 6. Це означає, що лише одним способом можна утворити відрізок довжиною 1 м. Відповідь: 4 відрізки довжиною 7см і 6 відрізків довжиною 12см. Задача 3. Стріляючи по мішені, спортсмен кілька разів потрапив у десятку, стільки ж разів вибив 8 очок, інші постріли потрапив у п’ятірку. Усього він набрав 99 очок. Скільки пострілів зробив спортсмен? Розв’язання 70
  • 71.
    Нехай х разівспортсмен потрапив у десятку і стільки ж разів вибив 8 очок і у разів потрапив у п’ятірку. Оскільки всього він набрав 99 очок, то маємо рівняння: 10x + 8x + 5y = 99, 18x + 5y = 99, . Методом підбору: х = 1, 2, 3 знаходимо x = 3; = 9. Отже, спортсмен 3 влучив в десятку, 3 вибив 8 очок і 9 разів потрапив у п’ятірку, тому зробив 3 + 3 + 9 = 15 пострілів. Відповідь: 15 пострілів. Задача 4. Знайти двоцифрове число, яке дорівнює сумі кількості його десятків і квадрата одиниць. Розв’язання Нехай - дане двоцифрове число. Тоді за умовою задачі, маємо рівняння: = а + b2 , 10а +b = а + b2 , 9а = b2 – b, 9а = b· (b – 1), а = . Оскільки числа a і b – натуральні, то одне з чисел b або (b – 1) кратне 9, або b і (b – 1) кратне 3. Оскільки b і (b – 1) послідовні числа, то одночасно кратні числу 3 не можуть бути. Отже, b = 9, тоді а = 8. Значить шукане число 89. Відповідь: 89. 71
  • 72.
    Задачі для самостійного розв’язування 1.Від двоцифрового натурального числа відняли суму його цифр і отримали число, записане тими самими цифрами, але в зворотному порядку. Яке це число? (54) 2. Жінці у 1979 р. виповнилося стільки років, яка сума цифр її року народження. У якому році вона народилась? (1957) 3. У кімнаті були стільці на 4 ніжках і табуретки на 3 ніжках. Коли всі запрошені сіли, то місць не залишилось, а сума ніг у тих, то сиділи, і ніжок у стільців і табуреток виявилась 39. Скільки було стільців і табуреток? (4 стільці і 3 табуретки) 4. Кусок дроту довжиною 102см потрібно розрізати на частини довжиною 15см і 12см так, щоб не було залишків. Скільки розв’язків має задача? (Два розв’язки. 6 кусків по 15см і один кусок 12см або 2 куски по 15см і 6 кусків по 12см) 5. Знайти двоцифрове число, перша цифра якого дорівнює різниці між цим числом і числом, записаним тими самими цифрами, але в зворотному порядку. (98) 6. До деякого двоцифрового числа зліва і справа приписали по 1. У результаті отримали число, що у 23 рази більше від першого. Знайти дане число. (77) 72
  • 73.
    7. Трицифрове числопочинається цифрою 4. Якщо цю цифру переставити в кінець, то одержане число буде становити 0,75 даного. Знайти дане число. (432) 8. У касира є монети по 5 к. і по 10 к. Скількома способами він може дати здачу 50 к.? (4 способами) 4. Лінійні рівняння з параметром Лінійним рівнянням називається рівняння виду ах = , де а, b – деякі числа, х – змінна. Якщо а ≠ 0, то рівняння має один корінь: х = . Якщо a = 0 і b ≠ 0, то рівняння не має коренів. Якщо a = 0 і b = 0, то рівняння має безліч коренів. Приклад 1. Знайдіть значення а, при яких рівняння ах – 4 = 6х має єдиний корінь. Розв’язання ах – 4 = 6х, ах – 6х = 4, х(а – 6) = 4. Рівняння має єдиний корінь, якщо а – 6≠ 0, а ≠ 6. Отже, рівняння має єдиний корінь при всіх значеннях а, крім а =6. Відповідь: всі значення, крім а = 6. Приклад 2. Розв’яжіть рівняння залежно від значення а: 2х – 3(х – а) = 3 + а. Розв’язання 2х – 3(х – a) = 3 + а, 73
  • 74.
    2х – 3х+3а = 3 + а, –х = 3+а – 3а, –х = 3– 2а, х = 2а –3. Відповідь: 2а –3. Приклад 3. Розв’яжіть рівняння: . Розв’язання , Використавши основну властивість пропорції, отримаємо рівняння: 4ax – 8 = 6 – 2ax, 4ax + 2ax = 6 + 8, 6ax = 14, 3ax = 7. Якщо a ≠ 0, то x = ; якщо a = 0, то рівняння коренів не має. Відповідь: якщо a ≠ 0, то x = ; якщо a = 0, то рівняння коренів не має. Приклад 4. Розв’яжіть рівняння: (a–2)x = a2 – 4. Розв’язання (a–2)x = a2 – 4 Якщо a – 2 ≠ 0, то x = = a + 2; якщо a – 2 = 0, то рівняння має безліч коренів. Відповідь: якщо a≠ 2, то x = a + 2; якщо a = 2, то рівняння має безліч коренів. Приклад 5. Розв’яжіть рівняння: (a2 –4)x = a – 2. 74
  • 75.
    Розв’язання (a2 –4)x = a– 2 1) якщо a2 –4 = 0, то (a–2) ∙ (a+2) = 0 a –2 = 0 або a +2 = 0 a = 2 a = –2 а) якщо a = 2, то рівняння має вигляд 0х = 0, тобто рівняння має безліч коренів; б) якщо a = –2, то рівняння має вигляд 0х = –4, тобто рівняння не має коренів. 2) якщо a≠ ± 1, то x = Відповідь: якщо a = 2, то безліч коренів; a = –2, то коренів немає; a≠ ± 2, то x = . Приклад 6. Розв’яжіть рівняння: а2 х+2х+1 = а +3ах. Розв’язання а2 х+2х+1 = а+3ах. Виконаємо перетворення: а2 х+2х-3ах = а-1; х(а2 +2-3а) = а-1; х(а2 +2-а-2а) = а-1; х(а(а-1)-2(а-1)) = а-1; х(а-1)(а-2) = а-1. Тепер розглянемо можливі випадки: 1) Якщо а ≠1 , а ≠2, то коренем рівняння є х = 1 1 −à . 2) Якщо а =1, то отримаємо рівняння виду 0х = 0. Отже, розв’язком рівняння є будь-яке число. 3) Якщо а=2, то рівняння набуде виду 0х = 1. Таке рівняння коренів немає. 75
  • 76.
    Відповідь:1) якщо а≠1 , а ≠2, то х = 1 1 −à ; 2) а =1 - розв’язком є будь-яке число; 3) а=2 - коренів немає. Задачі для самостійного розв’язування 1. При яких значеннях параметра b рівняння (b–8) ∙ (b+6) = 4–b немає розв’язків? (b=8 або b= –6) 2. При яких значеннях параметра k рівняння 8(x+3) –8k = 5–2kx має єдиний розв’язок? (k ≠ –4) 3. Розв’язати рівняння: (2+m) – 3 = 0. 4. Розв’язати рівняння: (2–а) x = 8 – 4a ; 5. Розв’яжіть рівняння ах+2 = 1, якщо а 0˂ (х = -1/а) 5. Графічний метод розв’язування рівнянь з параметром Рівняння з параметром можна розв’язувати графічним методом. 76
  • 77.
    Приклад 1. Знайтикількість розв’язків рівняння: │х│-а = -3. Розв’язання Розглянемо параметричне рівняння │х│- а = -3. Задане рівняння перепишемо у вигляді: │х│+3 = а, де а- параметр, що може набувати будь-яких значень із множини дійсних чисел. Використовуючи графічний спосіб розв’язання рівнянь, розв’язки заданого рівняння знайдемо, як абсциси точок перетину графіків функцій у =│х│+3 та у = а. Побудуємо в одній системі координат графіки функцій у =│х│+3 та у = а. Графіком функції у =│х│+3 є прямий кут з вершиною в точці (0;3). Графіком функції у = а є рухома пряма, паралельна осі ОХ . Якщо а < 3, то рівняння розв’язків не має. Якщо а = 3, то рівняння має один розв’язок. Якщо а > 3 , то рівняння має два розв’язки. у у=|х| у=а 0 1 х 77
  • 78.
    Відповідь: Якщо а< 3, то рівняння розв’язків не має; якщо а = 3, то рівняння має один розв’язок; якщо а > 3 , то рівняння має два розв’язки. Задачі для самостійного розв’язування 1. Знайти кількість розв’язків рівняння │х-5│-а = 0. (якщо а < 0, рівняння розв’язків не має; якщо а= 0, то один розв’язок; якщо а > 0 , то два розв’язки). 2. Знайти кількість розв’язків рівняння │х│- а = 2. (якщо а < - 2, то рівняння розв’язків не має; якщо а = -2, то рівняння має один розв’язок; якщо а > -2 , то рівняння має два розв’язки). 6. Задачі на концентрацію і процентний вміст Задача 1. Змішали 100мл 10%-го розчину соляної кислоти і 400мл 20%-го розчину соляної кислоти. Знайдіть концентрацію соляної кислоти в отриманій суміші. Розв’язання 1) 10% = 0,1; 100 0,1 = 10(мл) – в першому розчині соляної кислоти; 2) 20% = 0,2; 400 0,2 = 80(мл) – в другому розчині соляної кислоти; 3) 10 + 80 = 90(мл) – разом в двох розчинах соляної кислоти; 4) 100 + 400 = 500(мл) – маса суміші; 5) 100 = 18(%). 78
  • 79.
    Відповідь: 18% концентраціясуміші. Задача 2. До 100мл 20%-го розчину солі долили 100мл дистильованої води. На скільки відсотків зменшилася концентрація солі в розчині? Розв’язання 1) 20% = 0,2; 100 0,2 = 20(мл) – чистої солі; 2) 100 + 100 = 200 (мл) – маса нового розчину; 3) 100 = 10(%) – концентрація нового розчину; 4) 20 – 10 = 10(%). Відповідь: на 10% зменшилась концентрація солі в розчині. Задача 3. Шляхом кип’ятіння зі 100мл 20%-го розчину солі випарили 50мл води. На скільки відсотків збільшилася концентрація солі в розчині? Розв’язання 1) 20% = 0,2; 100 0,2 = 20(мл) –солі в початковому розчині; 2) 100 – 50 = 50(мл) – маса розчину після випаровування води; 3) 100 = 40(%) – концентрація нового розчину; 4) . Відповідь: на 20% збільшилася концентрація солі в розчині. Задача 4. До розчину, який містить 40г солі, додали 100г води. Після цього концентрація солі в розчині стала 10%. Скільки грамів води містив початковий розчин? Розв’язання Нехай початковий розчин містив x2 води, тоді його маса 79
  • 80.
    ( + 40)г.Після того, як до розчину додали 100г води, його маса стала ( + 140)г. За умовою задачі відомо, що концентрація нового розчину 10%. Складаємо рівняння: 100 = 10, = 1, x + 140 = 400, x = 260. Отже, початковий розчин містить 260г води. Відповідь: 260г води. Задача 5. Сплав міді і цинку містив міді на 640г більше, ніж цинку. Після того, як із сплаву виділили міді, яка в ньому містилася і 60% цинку, маса сплаву стала 200г. Скільки важив сплав спочатку? Розв’язання Нехай в сплаві було x2 цинку і (x + 640)г міді. Так як в сплаві залишилося частина міді і частини цинку, то маємо рівняння (x + 640)+ x =200, 5(x + 640) + 14x = 7000, 5x + 3200 + 14x = 7000, 19x = 3800, x = 200. Отже, в сплаві спочатку було 200г цинку, і 200 + 640 = 840(г) міді. Сплав важив 200 + 840 = 1040(г) або 1 кг 40г. Відповідь: 1кг 40г. 80
  • 81.
    Задача 6. Єдва розчини із 25%-м і 15%-м вмістом солі. Скільки кілограмів кожного розчину потрібно взяти, щоб одержати 8кг нового розчину із 16%-м вмістом солі? Розв’язання Нехай потрібно взяти xкг 25% розчину солі і yкг 15% розчину солі. Тоді: x + y = 8. Перший розчин містить 0,25xкг чистої солі, а другий – 0,15у кг чистої солі. У 8кг міститься 8 0,16 = 1,28 (кг) чистої солі, отже, 0,25 x + 0,15у = 1,28. Маємо систему: Отже, потрібно взяти 0,8кг 25% розчину солі і 7,2кг 15% розчину солі. Відповідь: 0,8кг, 7,2кг. Задачі для самостійного розв’язування 1. Змішали 100 мл 10%-го розчину солі та 100 мл 20%-го розчину тієї самої солі. На скільки відсотків концентрація в суміші відрізняється від концентрації солі в менш концентрованому розчині? (на 5%) 81
  • 82.
    2. До 100мл 10%-го розчину солі долили 200 мл розчину тієї самої солі іншої концентрації. У результаті отримали 20%-й розчин солі. На скільки відсотків концентрація солі в долитому розчині відрізнялася від концентрації солі в початковому розчині? (на 15%) 3. Сплавили 2 кг залізної руди, що містить 40% заліза, і 3 кг залізної руди, що містить 20% заліза. Знайдіть відсотковий вміст заліза в отриманому сплаві. (28%) 4. Є два сплави із 40%-м і 20%-м вмістом міді. Скільки кілограмів кожного сплаву потрібно взяти, щоб одержати 5 кг нового сплаву з 28%-м вмістом міді? (2кг і 3кг) 5. У першому бідоні було молоко з масовою часткою жиру 3%, а в другому – 5%. Скільки потрібно взяти молока з кожного бідона, щоб одержати 14 кг молока, масова частка жиру в якому складає 3,5%? (10,5кг і 3,5кг) 6. Змішали 30%-й розчин соляної кислоти з 10%-м і отримали 600 г 15%-го розчину. Скільки грамів кожного розчину було взято? (150г і 450г) 7. Скільки води повинно випаруватись із 100 кг маси, яка містить 99% води, щоб одержати масу, яка б містила 80% води? (50кг води) 8. Змішали 250г солі та 1л води, а потім 100г солі та 1000г води – одержали два розчини. На скільки більше грамів другого розчину треба взяти, щоб при змішуванні частини першого й частини другого розчинів одержати 540г 15%-го розчину солі? (1 л води = 1кг води) (270г, 270г) 82
  • 83.
    7. Задачі напроцентний приріст і обчислення Задача 1. Перевірка показала, що відсоток учасників шкільної легкоатлетичної секції, які покращили свої результати, знаходиться в межах від 5,8% до 6,1%. Якою найменшою може бути кількість учасників секції? Розв’язання Нехай – кількість учасників секції, а y – кількість тих учасників, що покращили свої результати. Знайдемо відсоткове відношення учасників, які покращили результати до загальної кількості учасників секції. Маємо: 100. За умовою задачі відомо, що 5,8 < 100 < 6,1. Тоді 58 < 1000y < 61 . Якщо y =1, то 58 < 1000< 61 . Найменше значення x = 17, 58 17< 1000< 61 17, 986< 1000< 1037. Відповідь: 17 учасників. Задача 2. Гарбуз і диня важать разом 7,2 кг. 45% ваги дині дорівнює 36% ваги гарбуза. Знайти вагу гарбуза і вагу дині. Розв’язання 83
  • 84.
    Нехай маса диніx кг, а маса гарбуза y кг. Тоді за умовою задачі відомо, що 45% ваги дині дорівнює - 36% ваги гарбуза, маємо рівняння: 0,45x = 0,36y, отже . Тоді = 7,2, = 7,2, 3,2. Отже, маса дині 3,2 кг, а гарбуза . Відповідь: 3,2 кг і 4 кг. Задача 3. Ціна на товар була підвищена на 20%, а потім двічі знижувалась щоразу на 10%. Як змінилась ціна товару? Розв’язання. Нехай x початкова ціна товару, тоді після подорожчання на 20% вона стала = 1,2 Після першого зниження на 10% ціна становила Після другого зниження на 10% ціна стала Отже, ціна товару зменшилась на , тобто на 2,8%. Відповідь: на 2,8% зменшилася. 84
  • 85.
    Задача 4. Свіжіяблука містять 85% води, а сушені 10%. Скільки кілограмів свіжих яблук потрібно взяти, щоб отримати 4 кг сушених? Розв’язання 1) 100 – 85 = 15(%)- сухої маси без води в свіжих яблуках; 2) 100 – 10= 90(%)- сухої маси без води в сушених яблуках; 3) - сухої маси в сушених яблуках; 4) : 0,15 = 24(кг). Відповідь: 24 кг свіжих яблук потрібно взяти, щоб отримати 4 кг сушених. Задача 5. Підприємство одержало завдання за два роки знизити на 51% об’єм продукції, що випускається. Кожного року вимагають зменшити випуску товару на одну і ту ж кількість відсотків. На скільки? Розв’язання Нехай x початковий об’єм продукції, то через два роки він повинен становити Нехай об’єм випуску продукції щороку знижали на відсотків, 100. Тоді за перший рік знизивши на відсотків маємо: . За другий рік: = . Отримаємо рівняння: 85
  • 86.
    = 0,49 , =4900, = 70, . Відповідь: на 30%. Задача 6. На скільки відсотків збільшиться площа квадрата, якщо периметр його збільшити на 10%? Розв’язання Нехай сторона квадрата a, тоді його периметр Після того, як периметр збільшили на 10%, він ставP1 =4a + 0,4a = 4,4a. Тоді сторона нового квадрата дорівнює 1,1a. Площа початкового квадрата S = a2 , утвореного квадрата S1 = 1,21a2 . S1– S = 1,21a2 – a2 = 0,21a2, 0,21 = 21%. Відповідь: на 21% збільшиться площа квадрата. Задача 7. Магазин продав одному покупцеві 25% тканини, другому – 30% залишку, а третьому – 40% нового залишку. Скільки відсотків тканини залишилося продати? Розв’язання 1) 100 – 25 = 75(%) – залишок 2) 30% = 0,3; 75 0,3 = 22,5(%) – продано 2 дня 3) 75 – 22,5 = 52,5(%) – новий залишок 4) 40% = 0,4; 52,5 0,4 = 21(%) – продано 3 дня 5) 52,5 – 21 = 31,5(%). Відповідь: 31,5% тканини залишилося продати. Задачі для самостійного розв’язування 86
  • 87.
    1. Як зменшитьсявеличина дроту, якщо чисельник збільшити на 200%, а знаменник зменшити на 50%? (збільшиться в 6 разів) 2. Товар спочатку подорожчав на 10%, а потім подешевшав на 10%. Як змінилась ціна цього товару? (зменшиться на 1%) 3. Кількість хлопців класу дорівнює 80% від кількості дівчат. Скільки відсотків становлять дівчата від кількості хлопців? (125%) 4. Одна сторона прямокутника на 20% більша від сторони квадрата, а друга на 20% менша. Знайдіть відсоткове відношення площі прямокутника до площі квадрата. (96%) 6. Петрик купив дві книги. Перша з них на 50% дорожча за другу. На скільки відсотків друга книжка дешевша за першу? (на 6. На скільки відсотків збільшиться об’єм прямокутного паралелепіпеда, якщо його довжину і ширину збільшити на 10%, а висоту зменшити на 10%? (на 8,9%) 7. Зібрали 100 кг грибів. Їх вологість 99%. Після того, як їх підсушили, вологість стала 98%. Скільки важать гриби після сушіння? (50г) 8. У магазині молодіжного одягу діє акція: при покупці будь-яких двох однакових футболок за одну з них платять на 40% менше, ніж за іншу. За дві однакові футболки, придбані в цьому магазині під час акції, Микола 87
  • 88.
    заплатив 192 гривні.Скільки гривень заплатить Микола, якщо він купить лише одну таку футболку? (120грн.) 8. Задачі на роботу і продуктивність праці, задачі на спільну роботу При розв’язуванні задач на роботу потрібно пам’ятати, що обсяг робіт можна прийняти за одиницю, тоді продуктивність праці буде t 1 , де t – час виконання роботи. Якщо робота виконується декількома виконавцями одночасно, то складають продуктивності праці цих виконавців. Задача 1. До басейну підведено три труби. Через першу трубу він наповнюється за 7год, через другу – за 6год, а через третю спорожнюється за 4 години. Яка частина басейну наповнюється за 1год, якщо відкрити три труби одночасно? Розв’язання Позначимо об’єм басейну за 1. Тоді перша труба за 1год наповнить частину басейну, а друга труба за 1год – частину басейну. Через третю трубу за 1год спорожниться частина басейну. Маємо: Відповідь басейну наповнюється за 1 годину. 88
  • 89.
    Задача 2. Одинробітник може виконати замовлення за 24 дні, а інший за 12 днів. Спочатку над виконанням замовлення 6 днів працював перший робітник, а потім роботу закінчив другий робітник. Скільки днів працював другий робітник? Розв’язання Позначимо всю роботу за 1. Тоді перший робітник за 1 день виконує роботи, а другий – роботи. За 6 днів перший робітник виконав 6 частину роботи. Нехай другий робітник працював x днів. За x днів він виконав частину роботи. Маємо рівняння: , , , = 36 : 4, = 9. Отже, другий робітник працював 9 днів. Відповідь: 9 днів. Задача 3. Чоловік випиває бочку квасу за 14 днів, а разом з дружиною випиває таку саму бочку квасу за 10 днів. За скільки днів дружина сама вип’є цю бочку квасу? Розв’язання 89
  • 90.
    1) 14 10= 140 (д.) – за стільки днів випиває 10 бочок квасу чоловік. 2) 10 14 = 140 (д.) – 14 бочок квасу вип’ють чоловік і дружин разом за 140 д. 3) 14 – 10 = 4(б.) – за 140 днів дружина сама вип’є бочку квасу. 4) 140 : 4 = 35 (д.) Відповідь: за 35 днів дружина сама вип’є бочку квасу. Задача 4. 2 робітники за 2 години виготовляють дві деталі. Скільки деталей виготовлять 8 робітників за 8 годин? Розв’язання 1 робітник за 2 години виготовляє 1 деталь. Тоді 1 робітник за 1 годину виготовляє деталі. Отже, 8 робітників за 8 годин виготовлять: Відповідь: 32 деталі виготовлять 8 робітників за 8 днів. Задача 5. Майстер один виконує роботу за 3 дні, а з учнем за 2 дні. За скільки днів виконає роботу учень самостійно? Розв’язання. Позначимо всю роботу за . За 1 день майстер виконає частину роботи, а разом з учнем частину 90
  • 91.
    роботи. Нехай ученьвиконає всю роботу самостійно за днів, тоді за 1 день учень виконає частину роботи. Маємо рівняння: , , = , = 6. Отже, 6 днів потрібно учневі для виконання роботи. Відповідь: 6 днів. Задачі для самостійного розв’язування 1. До басейну підведено три труби. Через першу трубу він наповнюється за 6 год., через другу – за 8 год., а через третю вся вода витікає за 9 годин. Яка частина басейну наповнюється за 1 год., якщо відкрити всі 3 труби одночасно? ( басейну) 2.Одна кравчиня шиє сукню за 6 днів, а інша за 9 днів. Пропрацювавши протягом двох днів, перша кравчиня пішла у відпустку і закінчувала пошиття сукні інша кравчиня. Скільки днів закінчувала шити сукню друга кравчиня? (6 днів) 3. Кінь з’їдає віз сіна за місяць, коза за два місяці, вівця за три місяці. За який час кінь, коза і вівця разом з’їдять такий же віз сіна? 91
  • 92.
    ( місяця) 4. Триземлекопи за 2 години викопають 2 ями. Скільки ям викопають шість землекопів за 5 годин? (10 ям) 5. 5 робітників за 4 год. зберуть 15 пилососів. Скільки таких самих пилососів зберуть десять таких робітників за 2 години? (15 пилососів) 6.Тузик з’їдає пачку «Чаппі» за 6 днів, а разом з Шариком вони упораються з нею за 2 дні. На скільки днів вистачає цієї пачки одному Шарику? (на 3 дні) 7. Перший робітник один виконує виробниче завдання за 12 годин, а другий – за 24 години. За скільки годин вони виконають це завдання, працюючи разом? (8 годин) Список використаної літератури 1. Непочатова Т. С., Сіренький І. О., Смішко Г. С. Математичні олімпіади Хмельниччини. Інформаційний вісник. – Хмельницький, 2003 – 2011 2. Гринчук Л. В., Бойко В.В. Математичні олімпіади Хмельниччини. Інформаційний вісник. – Хмельницький: Видавництво, 2012 – 2013 3. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Радченко В.М., Ясінський В.А. Математичні олімпіади школярів України: 2001-2006. Львів: Євросвіт, 2008 4. Ясінський В. А. Практикум з розв’язування задач математичних олімпіад. – Х.: «Основа», 2006. (бібліотека журн. «Матетатика в школах України») 92
  • 93.
    5. Сарана О.А.,Математичні олімпіади: просте і складне поруч: Навчальний посібник. – К.: А.С.К., 2005. – 344 с. 6. Лейфура В. М., Мітельман І. М. Розв‘язуємо разом: Задачі з цілими числами.– Харків: Основа, 2003 7. Алгебра.7 клас. Тренувальні вправи. Самостійні та контрольні роботи / Ю.О.Захарійченко, Л.І.Захарійченко, І.М.Маркова, А.М.Попов, О.В.Степенко. - Х.: Вид-во «Ранок», 2013. – 128 с. 8. Повний курс математики в тестах / Ю.О.Захарійченко, О.В. Школьний, Л.І. Захарійченко, О. В. Школьна. -2-ге вид.,випр..-Х. : Вид- во «Ранок» ,2021. - 496с. 9. Кострикина Н. П. Задачи повышенной трудности вкурсе алгебры 7 -9 классов: Книга для учителя. – М.: Просвещение, 1991. - 239 с. 10. Апостолова Г.В., Перші зустрічі з параметрами. – К.: Факт, 2004. 11. Апостолова Г.В., Хитромудрий модуль. – К.: Факт, 2006. 12. Бардушкин В.В., Кожухов И.Б., Прокофьев А.А., Фадеичева Т.П., Основы теории делимости чисел.– М.:МГИЭТ (ТУ), 2003. – 224 с. 13. Репета В.К., Клешня Н.О., Коробова М.В., Репета Л.А., Задачі з параметрами. – К.: Вища школа, 2006. 14. Ясінський В., Теорія лишків та її застосування до розв'язування олімпіадних задач. - № 1/2. - Математика в школі: Науково–методичний журнал, 2009. – С. 35–40. 15. Шень А., Игры и стратегии с точки зрения математики. – М.: МЦНМО, 2007. – 40 с. 16. Лейфура В.М., Мітельман І.М., Математичні олімпіади школярів України. 1991– 2000. – К.: Техніка, 2003. – 541 с. 93
  • 94.
    17. Міжнародний математичнийконкурс „Кенгуру 2004 – 2011”, Укладачі: Добосевич М.С., Добосевич А.С., Кокорузь Р.Є., Трущак Х.Р. – Львів: Каменяр, 2004 – 2011 18. Басанько А.М., Романенко А.О., За лаштунками підручника з математики: Збірник розвиваючих задач– Тернопіль: Підручники і посібники, 2004. 19. Коваль Т. В., 400 задач з математичних олімпіад. 8– 11 класи. – Тернопіль: Мандрівець, 2004. – 80 с. 20. Вороний О. М., Готуємось до олімпіади з математики. Книга 2. – Х.: Основа, 2008. 21. http://osvita.ua/school/ 22. http://osnova.com.ua/ 23. http://hoippo.km.ua/ 24. http://olimp.hoippo.km.ua/ ЗМІСТ Передмова………………………………………..………..……..3 І. Логічні задачі………………………………………………… 4 1. Принцип Діріхле………………………..………….……4 2. Зважування………………………………………...…….8 3. Переливання…………………………………………….11 4. Задачі, «розв’язані з кінця»…………….………..…….14 II. Числа……………………………………………………...….19 1. Числові множини…………………………………..…..19 2. Числа, та їх властивості………..………………………24 3. Розв’язування задач на подільність. Основна теорема арифметики……………………...…………………………….…28 4. Ознаки подільності……………………………….…...31 5. Взаємно прості числа……………...………….………35 6. Періодичність остач………………………………..….37 7. Парність цілих чисел……………………………….…40 8. Число натуральних дільників………………………...43 9. НСД і НСК…………………………………….…….…44 94
  • 95.
    ІІІ. Модулі………………………………………………...….…46 1. Розв’язуваннялінійних рівнянь з модулем…….…....46 2. Побудова графіків функцій, що містять знак модуля…………………………………………………………....50 ІV. Методи розв’язування рівнянь…………………..…..….55 1. Графічний метод розв’язування рівнянь……………...55 2. Лінійні діафантові рівняння……………………………59 3. Задачі, пов’язані з цілими числами……………….……61 4. Лінійні рівняння з параметром………………………...64 5.Графічний метод розв’язування рівнянь з параметром..........................................................................67 6.Задачі на концентрацію і процентний вміст……………………………………………..………...69 7. Задачі на процентний приріст і обчислення………....73 8. Задачі на роботу і продуктивність праці, задачі на спільну роботу………………………………………….……….77 Список використаної літератури………………………..…82 95