Hirwanto Iwan , profile picture
Uploaded byHirwanto Iwan
PDF, PPTX905 views

Self Dual Codes and Binary Golay Code Presentation

Dokumen tersebut membahas tentang kode linear self-dual dan kode Golay binary extended. Terdapat definisi ruang vektor, kode linear, jarak dan berat Hamming, serta kode self-dual. Kode Golay binary extended dijelaskan sebagai contoh kode self-dual.

Embed presentation

Download as PDF, PPTX
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Codes dan Binary Golay Code Subroto(12164) 1 Ika Susanti(12321)1 Agus Fajar Nugroho(12018)1 1Gadjah Mada University, Yogyakarta, Indonesia Presentasi Paper Coding Theory, 2013 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Daftar Isi 1 Dasar Teori Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight 2 Pembahasan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code 3 Kesimpulan Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi Field Himpunan Fq merupakan field berhingga dengan order q. Himpunan tak kosong V dengan operasi jumlahan (+) dan perkalian skalar dengan anggota Fq merupakan ruang vektor (ruang linear) atas Fq jika memenuhi kondisi di bawah ini. ∀u, v, w ∈ V dan ∀α, β ∈ Fq maka; u + v ∈ V (u + v) + w = u + (v + w) Terdapat elemen 0 ∈ V sehingga 0 + v = v + 0, untuk setiap v ∈ V Untuk setiap u ∈ V, ∃(−u) ∈ V sehingga u + (−u) = 0 = (−u) + u u + v = v + u Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Lanjutan Definisi dan Contoh αv ∈ V α(u + v) = αu + αv dan (α + β)u = αu + βu (αβ)u = α(βu) Jika 1 merupakan identitas penjumlahan di Fq maka 1u = u Di bawah ini merupakan beberapa contoh dari ruang vektor: Fn q merupakan koleksi semua vektor dengan panjang n Fn q = {(v1, v2, . . . , vn) : vi ∈ Fq} merupakan ruang vektor atas Fq Dengan definisi penjumlahan dalam Fn q yaitu penjumlahan masing-masing elemen, dengan definisi penjumlahan pada Fq, jika v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn q dan w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ Fn q maka v + w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn) ∈ Fn q Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight serta definisi perkalian skalar untuk Fn q yaitu: v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn q dan α ∈ Fq maka αv = (αv1, αv2, . . . , αvn) ∈ Fn q serta vektor nol (0, 0, . . . , 0) ∈ Fn q . Z5 2 merupakan ruang vektor atas field Z2 Definisi 1.1 Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V merupakan subruang jika C merupakan ruang vektor atas penjumlahn vektor dan perkalian yang sama dengan V. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Akibat 1.2 Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V merupakan subruang jika dan hanya jika memenuhi kondisi dibawah ini: ∀x, y ∈ C dan α, β ∈ Fq, maka αx + βy ∈ Fn q Definisi 1.3 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq. Kombinasi linear dari v1, v2, . . . , vr ∈ V yaitu vektor α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr untuk sembarang α1, . . . , αr ∈ Fq Definisi 1.4 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq, maka himpunan vektor {v1, v2, . . . , vr } bebas linear jika α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αr = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.5 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq dan S = {v1, v2, . . . , vk } himpunan tidak kosong subset dari V. Maka span dari S yaitu: S = {α1v1 + α2v2 + · · · + αk vk : αi ∈ Fq} Jika S = ∅, maka S = {0}. Cukup jelas bahwa S merupakan sub ruang dari V, dan disebut subruang yang dibangun oleh S. Jika diberikan subruang C dari V, himpunan bagian S dari C dikatakan membangun C jika C = S Definisi 1.6 Jika V ruang vektor atas Fq, dan himpunan bagian tidak kosong B = {v1, v2, . . . , vk } dari V dikatakan basis untuk V jika V = B dan bebas linear. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Linear Code Definisi 1.7 Linear code C dengan panjang n atas field Fq yaitu subruang dari ruang vektor Fn q Contoh 1.8 Di bawah ini beberapa contoh linear code: 1 {(λ, λ, . . . , λ) : λ ∈ Fq}. Selanjutnya code ini sering disebut repetition code 2 C = {000, 001, 010, 011} 3 C = {0000, 1100, 2200, 0001, 0002, 1101, 1102, 2201, 2202} Selanjutnya anggota dari linear code C disebut dengan codeword Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.9 C merupakan linear code atas ruang vektor Fn q , maka 1 Dual code C yaitu C⊥ dengan C⊥ = {v ∈ Fn q : v.c = o, ∀c ∈ C} 2 Dimensi dari linear code C yaitu dimensi C atas ruang vektor Fq Linear code C dengan panjang n dan mempunyai dimensi k atas Fq sering disebut juga q-ary [n, k]-code atau [n, k]-code. Jika distance dari C diketahui maka biasanya ditulis dengan [n, k, d] Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Kita tahu berdasar Definisi 1.7 linear code C merupakan subruang maka secara eksplisit linear code C memiliki basis yang membangun C. Dalam koding teori, basis dari linear code C disajikan dalam bentuk matrik, dan disebut matrik generator. Selain itu, matrik yang menyajikan basis untuk dual code C atau C⊥ disebut parity-check matrik untuk linear code C. Definisi ini cukup penting dalam memahami materi selanjutnya. Definisi 1.10 1 Matrik generator untuk linear code C yaitu matrik G dengan vektor barisnya merupakan basis dari C. 2 Parity-check matrik H untuk linear code C yaitu matrik generator untuk dual code C⊥ Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Teorema 1.11 C merupakan [n,k]-linear code atas Fq dengan matrik generator G. Maka untuk v ∈ Fn q berada dalam C⊥ jika dan hanya jika v orthogonal dengan setiap vektor baris dari G dengan kata lain v ∈ C⊥ ⇔ vGT = 0 Akibat 1.12 Linear code C dengan matrik generator G serta Dual-code C⊥ dengan matrik generator H maka HGT = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Bukti Teorema 1.11 Katakan ri merupakan vektor ke-i dari G. Jelas bahwa ri ∈ C untuk setiap 1 ≤ i ≤ k Maka untuk setiap c ∈ C maka berdasarkan Definisi 1.10 maka c dapat ditulis sebagai c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk dengan α1, . . . , αr ∈ Fq Jadi untuk sebarang v ∈ C⊥ maka v.c = 0 untuk setiap c ∈ C. Maka jelas bahwa v orthogonal dengan ri untuk setiap 1 ≤ i ≤ k, dengan kata lain vGT = 0 Jika diketahui v.ri = 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ k maka jelas bahwa untuk setiap c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk ∈ C v.c = α1(v.r1) + α2(v.r2) + · · · + αk (v.rk ) = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Linear code C mempunyai matrik generator G. Jika matrik generator dari linear code C mempunyai bentuk G = [Ik |X] maka generator matrik ini disebut bentuk standar. Teorema 1.13 Jika G = [Ik |X] yaitu bentuk standar matrik generator untuk [n,k]-code C, maka parity-check matrik untuk C yaitu H = [−XT |In−k ] Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.14 Jika x dan y merupakan codeword dari linear code C. (Hamming)distance dari x ke ydinotasikan dengan d(x, y) dengan definisi jumlah elemen yang berbeda tiap koordinatnya. Jika x = x1, x2, . . . , xn dan y = x1, y2, . . . , yn maka, d(x, y) = d(x1, y1) + d(x2, y2) + · · · + d(xn, yn) dengan d(xi, yi) = 1, jika xi = yi 0, jika xi = yi Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.15 Jika C merupakan [n,k]-code. Maka Hamming distance dari code C yaitu: d(C) = min{d(x, y) : x, y ∈ C, x = y} Definisi 1.16 Untuk sembarang x codeword di Fn q . (Hamming) weight dari x dinotasikan dengan wt(x) dengan definisi, wt(x) = d(x, 0) Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Lemma 1.17 Jika x, y ∈ Fn q maka wt(x + y) = wt(x) + wt(y) − 2wt(x ∗ y) dengan x ∗ y = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn) Teorema 1.18 Code C dengan v-error correcting jika dan hanya jika d(C) ≥ 2v + 1; ekuivalen mengatakan suatu code dengan distance d mempunyai d−1 2 -error correcting code. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.1 Linear code C dikatakan self-orthogonal jika C ⊆ C⊥ Lemma 2.2 Linear code C dengan matrik generator G self-orthogonal jika dan hanya jika GGT = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Bukti Lemma 2.2 Karena C self-orthogonal maka C ⊆ C⊥, dengan matrik generator G. Ambil sebarang vektor baris dari G katakan ri dengan 1 ≤ i ≤ k, maka ri ∈ C dan ri ∈ C⊥. karena G merupakan parity-check matrik untuk C⊥ maka GrT i = 0 Karena berlaku untuk sembarang vektor baris maka diperoleh GGT = 0. Jika diketahui bahwa GGT = 0. Katakan G mempunyai k baris, katakan ri dengan 1 ≤ i ≤ k. Berdasarkan definisi maka ri ∈ C. Karena GGT = 0, maka rirj = 0, 1 ≤ i ≤ k. Ambil sebarang ck , cp ∈ C. Maka ck , cp merupakan kombinasi linear dari ri. Bentuk ck .cp, berdasarkan definisi inner product dan berdasarkan rirj = 0 maka jelas bahwa ck .cp = 0. Sehingga jelas bahwa C ⊆ C⊥. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.3 Linear code C self-dual jika C = C⊥ Contoh 2.4 Diperhatikan beberapa contoh matrik generator di bawah ini, Matrik G = 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 merupakan matrik generator untuk self-orthogonal code C, karena GGT = 0. G tidak membangun self-dual code karena C merupakan subruang berdimensi 2, dan C⊥ merupakan subruang berdimensi 3 jadi C = C⊥. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Diketahui Matrik G =     1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0     merupakan matrik generator untuk self-dual (8,4)-code C. G = [I6|A] merupakan matrik generator untuk self-dual (12,6)-code C atas F3, dengan A =         2 2 1 2 0 1 0 2 2 1 2 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 2 1 0 2 2         Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lemma 2.5 Jika G = [Ik |X] merupakan matrik generator untuk self-dual [n, k]-code atas field Fq maka XXT = −Ik Proof. Karena G merupakan self-dual, GGT = 0 dan 0 = [Ik |X][Ik |X]T = Ik + XXT maka BBT = −Ik Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Salah satu self-dual code yang penting yaitu binary (24,12,8) extended Golay code atau lebih dikenal dengan G24. Code tersebut dengan matrik generator G = [Ik |B] dengan, B =                      0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1                      Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Proposisi 2.6 (Properties of the extended binary Golay Code) 1. Panjang dari G24 yaitu 24 dan mempunyai dimensi 12 2. Parity-check matrik untuk G24 yaitu H = [B|I12] 3. Code G24 mrupakan self-dual, sehingga G24 = G⊥ 24 4. Parity-check matrik yang lain untuk G24 yaitu H = [I12|B] = G 5. Matrik generator yang lain untuk G24 yaitu G = [B|I12] = H Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Properties of the extended binary Golay Code 6. Weight untuk setiap codeword di G24 merupakan kelipatan 4 7. Code G24 tidak mempunyai codeword dengan weight 4, jadi distance dari G24 yaitu d=8 8. Code G24 mempunyai 3-error correcting code Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Bukti Proposisi 2.6 Kali ini akan dibuktikan proposisi 2.6. Untuk bukti 1-5 cukup jelas. Akan dibuktikan untuk proposisi 6-8. Ambil sebarang v ∈ G24. Maka v merupakan kombinasi linear dari vektor baris G. Jika v merupakan vektor baris dari G maka v mempunyai weight 8 atau 12, sehingga weight dari v kelipatan dari 4. Andaikan v = ri + rj yaitu jumlahan sebarang vektor baris dari G. Maka berdasarkan lemma 1.17 dan karena G24 merupakan self-dual maka wt(v) kelipatan dari 4. Jika v merupakan kombinasi linear dari vektor baris dari G maka dengan induksi matematika diperoleh wt(v) kelipatan dari 4. Berdasarkan proposisi bagian 6 maka distance dari G24 yaitu 4 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3. Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3. Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.6 Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2. Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang memenuhi sehingga wt(v2) = 2 Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1. Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.6 Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2. Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang memenuhi sehingga wt(v2) = 2 Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1. Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi. Jika wt(v1) = 4 dan wt(v2) = 0. Pada kasus ini sama dengan kasus pertama. Jadi terjadi kontradiksi.Maka jelas bahwa G24 tidak mempunyai codeword dengan weight 4. Maka distance dari G24 yaitu d=8. Berdasarkan proporsisi bagian 7 dan teorema 1.18 maka G24 mempunyai 3-error correcting. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Binary Golay Code Definisi 2.7 (Binary Golay Code) ˆG merupakan matrik 12 × 13 ˆG = [I12|ˆB] dengan ˆB matrik 12 × 11 yang dibentuk dari matrik B dengan menghilangkan kolom terakhir. Binary linear code dengan matrik generator ˆG disebut binary Golay code dan dinotasikan dengan G23. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.8 (Extended Ternary Golay Code) Extended ternary Golay code dinotasikan dengan G12, yaitu ternary linear code dengan matrik generator G = [I6|A] degan A =         0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 1 0 1 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 0 1 1 1 2 2 1 0         Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Jika G = [I12|B] matrik generator didefinisikan l1, l2, . . . , l12 merupakan vektor kolom dan r1, r2, . . . , l12. Serta x(i), y(i) merupakan binary 12-tupel dengan komponen ke-i adalah non-zero serta 0 merupakan 12-tupel zero. Jika r merupakan codeword yang diterima, Tentukan s = GrT Jika wt(s) ≤ 3 maka bentuk e = (sT , 0) dan lanjutkan ke 30 Jika wt(s + li) ≤ untuk suatu li, 1 ≤ i ≤ 12 lalu bentuk e = ((s + li)T , y(i)) lanjut ke 30 Bentuk BT s Jika wt(BT s) ≤ 3 maka bentuk e = (0, (BT s)T ) lanjut ke 30 Jika wt(BT s + rT i ) ≤ 2 untuk suatu ri, 1 ≤ i ≤ 12 lalu bentuk e = (x(i), (BT s)T + ri) lanjut ke 30 Jika sedikitnya ada 4 error yang terjadi. Retransmit dan mulai kembali 30 Decode r ke r − e = c Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.9 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r1 = 100010000000100100011101 Kita akan kodekan codeword r1. Kita cari GrT = (010010000000)T = s Karena wt(s) ≤ 3 maka kita bentuk e = (sT , 0) dan kodekan r1 ke r1 − (sT , 0) = 110000000000100100011101 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.10 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r2 = 100000100000100011010010 Kita akan kodekan codeword r2. Kita cari GrT = (101111101011)T = s Karena wt(s) > 3 maka kita cari li sehingga wt(s + li) ≤ 2. Kita lihat kolom ke-4 dari matrik B s + l4 = (000001100000)T Jelas bahwa vektor di atas mempunyai weight 2, maka e = (s + l4, y(4)) dengan y(4) = 000100000000. Maka kita kodekan r2 ke r2 − e = 100001000000100111010010 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.11 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r3 = 101100010000110011110001 Kita akan kodekan codeword r3. Kita cari GrT = (110010101011)T = s Karena wt(s) > 3 maka kita cari li sehingga wt(s + li) ≤ 2.Karena tidak ada kolom yang memenuhi kondisi di atas maka kita bentuk BT s = 010111110111. Karena wt(BT s) > 3 maka kita harus mencari vektor baris dari B dengan BT s untuk suatu ri sehingga wt(BT s + ri) ≤ 2.Kita lihat untuk i = 1 diperoleh,BT s + r1 = (001000001000)T = yT , sehingga kita peroleh e = (x(1), y) dengan x(1) = 100000000000 .Jadi, e = 1000000000000000001000001000. Jadi kita kodekan r3 ke r3 − e = 001100010000111011111001 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Kesimpulan Demikian beberapa hal yang dikenalkan dari Binary Golay Code (24,12,8) self-dual code yang digunakan pada misi luar angkasa Voyage dalam transmisi gambar dari Jupiter dan Saturnus. Kode ini memuat sampai 212 = 4096 codeword yang digunakan untuk transmisi warna. Code ini dapat mengoreksi sampai 3 error, relatif lebih baik dibandingkan Red-Muller code order satu. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank you for your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code

More Related Content

PPT
Dimensi tiga
byMoch Hasanudin
 
PDF
Differensial analisis 1
byIwan Umri
 
PDF
GEOMETRI ANALITIK
byendahnurfebriyanti
 
DOCX
Sejarah Geometri non euclid
byRizky Putri Jannati
 
PPTX
Transformasi elementer
byPenny Charity Lumbanraja
 
PDF
Exercise 2.3
byNaa Mariana
 
PPSX
Fungsi Kompleks (pada bilangan kompleks)
byRidha Zahratun
 
DOCX
kekontinuan fungsi
byRiris Christiani Purba
 
Dimensi tiga
byMoch Hasanudin
 
Differensial analisis 1
byIwan Umri
 
GEOMETRI ANALITIK
byendahnurfebriyanti
 
Sejarah Geometri non euclid
byRizky Putri Jannati
 
Transformasi elementer
byPenny Charity Lumbanraja
 
Exercise 2.3
byNaa Mariana
 
Fungsi Kompleks (pada bilangan kompleks)
byRidha Zahratun
 
kekontinuan fungsi
byRiris Christiani Purba
 

What's hot

PPTX
Ppt kaidah pencacahan
bynursyamsiahhartanti
 
PPTX
Teori Bilangan Pertemuan ke 6
byNgadiyono Ngadiyono
 
PPT
Stat prob09 distribution_continue
byArif Rahman
 
PPT
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
byOng Lukman
 
PPTX
Aljabar boolean
byTenia Wahyuningrum
 
PPTX
Ring ( gelanggang_)
bynurhayati atik
 
PPTX
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
bysilviarahayu6
 
PPTX
Banyak pemetaan fungsi
byArif Lubis
 
PPTX
Fungsi kuadrat
byIg Fandy Jayanto
 
PPTX
Teori bilangan bab ii
bySeptian Amri
 
PPTX
Ring faktor dan homomorfisma
byfitri mhey
 
PPS
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
PDF
Teori bilangan
byDia Cahyawati
 
DOC
Tugas matdisk
byTommy Bink
 
DOCX
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple
byyulisna hambali
 
PDF
Rangkuman materi Isometri
byNia Matus
 
PPTX
Persamaan elips dengan pusat (p,q)
byAser FK
 
PDF
Grup siklik
byRahmawati Lestari
 
DOCX
Soal dan pembahasan hiperbola
byNida Shafiyanti
 
PDF
Ring
byAisyhae Buanget
 
Ppt kaidah pencacahan
bynursyamsiahhartanti
 
Teori Bilangan Pertemuan ke 6
byNgadiyono Ngadiyono
 
Stat prob09 distribution_continue
byArif Rahman
 
INTEGRAL TENTU DAN PENERAPANNYA
byOng Lukman
 
Aljabar boolean
byTenia Wahyuningrum
 
Ring ( gelanggang_)
bynurhayati atik
 
PPT MATERI LINGKARAN SMP KELAS 8
bysilviarahayu6
 
Banyak pemetaan fungsi
byArif Lubis
 
Fungsi kuadrat
byIg Fandy Jayanto
 
Teori bilangan bab ii
bySeptian Amri
 
Ring faktor dan homomorfisma
byfitri mhey
 
Fungsi Dua Peubah ( Kalkulus 2 )
byKelinci Coklat
 
Teori bilangan
byDia Cahyawati
 
Tugas matdisk
byTommy Bink
 
himpunan vektor resiprokal dan hasil kali triple
byyulisna hambali
 
Rangkuman materi Isometri
byNia Matus
 
Persamaan elips dengan pusat (p,q)
byAser FK
 
Grup siklik
byRahmawati Lestari
 
Soal dan pembahasan hiperbola
byNida Shafiyanti
 
Ring
byAisyhae Buanget
 

Viewers also liked

PDF
PythonTeX
byHirwanto Iwan
 
PDF
Markus Torgeby
byKristine Hovda
 
PPTX
Managers hot seat
byRamesh Kandanarachchi
 
PDF
Oxigen Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
ON MODIFICATION OF PROPERTIES OF P-N-JUNCTIONS DURING OVERGROWTH
byZac Darcy
 
PDF
Pediatric truma 60 (2)
bygallevy16
 
PDF
A key management approach for wireless sensor networks
byZac Darcy
 
PDF
PythonTeX Quick Start
byHirwanto Iwan
 
PDF
¿Cómo es una sesión de Psicoterapia?
byMaría Clara Ruiz Martínez
 
PDF
Temperature Cycling Tests
byAnjar Bumi
 
PDF
Likumprojekta "Eiropas Savienības struktūrfondu un Kohēzijas fonda 2014.-2020...
byFinanšu ministrija
 
PPTX
Nataliiiaaa
bynaticonfresitas
 
PDF
Par valsts atbalsta pieejamības nosacījumiem BO un SEZ pēc 30.06.2014
byFinanšu ministrija
 
PDF
(484387875) learing for-life-soft-skills-sgd-29 june (1)
bySanjeev Deshmukh
 
DOCX
Majlis perasmian wou mc
byHafizd Zulhasni
 
PDF
Amrita Beamer
byHirwanto Iwan
 
PPTX
Oxford II Chester and Wells hondenbanken
bychesterandwells
 
PPTX
Tlc client charter (3)
byzieyanashazmin
 
PythonTeX
byHirwanto Iwan
 
Markus Torgeby
byKristine Hovda
 
Managers hot seat
byRamesh Kandanarachchi
 
Oxigen Beamer
byHirwanto Iwan
 
ON MODIFICATION OF PROPERTIES OF P-N-JUNCTIONS DURING OVERGROWTH
byZac Darcy
 
Pediatric truma 60 (2)
bygallevy16
 
A key management approach for wireless sensor networks
byZac Darcy
 
PythonTeX Quick Start
byHirwanto Iwan
 
¿Cómo es una sesión de Psicoterapia?
byMaría Clara Ruiz Martínez
 
Temperature Cycling Tests
byAnjar Bumi
 
Likumprojekta "Eiropas Savienības struktūrfondu un Kohēzijas fonda 2014.-2020...
byFinanšu ministrija
 
Nataliiiaaa
bynaticonfresitas
 
Par valsts atbalsta pieejamības nosacījumiem BO un SEZ pēc 30.06.2014
byFinanšu ministrija
 
(484387875) learing for-life-soft-skills-sgd-29 june (1)
bySanjeev Deshmukh
 
Majlis perasmian wou mc
byHafizd Zulhasni
 
Amrita Beamer
byHirwanto Iwan
 
Oxford II Chester and Wells hondenbanken
bychesterandwells
 
Tlc client charter (3)
byzieyanashazmin
 

More from Hirwanto Iwan

PDF
01. integral fungsi aljabar
byHirwanto Iwan
 
PDF
Membuat Dokumen LaTeX Edisi ke - 33
byHirwanto Iwan
 
PDF
Pembahasan Soal Matematika Wajib PTS Kelas XI IPA
byHirwanto Iwan
 
PDF
Pembahasan Soal Matematika Wajib PTS Kelas XI IPS
byHirwanto Iwan
 
PDF
Analisis Butir Soal Pilihan Ganda Matematika Wajib Kelas XII IPA
byHirwanto Iwan
 
PDF
Kumpulan Soal UM UGM
byHirwanto Iwan
 
PDF
Analisis Butir Soal PG Matematika Wajib Kelas XII IPA-IPS NFBS Serang
byHirwanto Iwan
 
PDF
Cambridge Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
AGH Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
Naked Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
Pemasangan WinEdt 9.1
byHirwanto Iwan
 
PDF
LUH Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
Analisis Butir Soal PAS Matematika Wajib Kelas 12 IPA/IPS 2024-2025
byHirwanto Iwan
 
PDF
Materi Limit Aljabar dan Turunan Aljabar
byHirwanto Iwan
 
PDF
LATEX OR INDESIGN
byHirwanto Iwan
 
PDF
ESOP Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
AFIT Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
Hackd Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
AP Beamer
byHirwanto Iwan
 
PDF
Fitur Baru WinEdt 9.1
byHirwanto Iwan
 
01. integral fungsi aljabar
byHirwanto Iwan
 
Membuat Dokumen LaTeX Edisi ke - 33
byHirwanto Iwan
 
Pembahasan Soal Matematika Wajib PTS Kelas XI IPA
byHirwanto Iwan
 
Pembahasan Soal Matematika Wajib PTS Kelas XI IPS
byHirwanto Iwan
 
Analisis Butir Soal Pilihan Ganda Matematika Wajib Kelas XII IPA
byHirwanto Iwan
 
Kumpulan Soal UM UGM
byHirwanto Iwan
 
Analisis Butir Soal PG Matematika Wajib Kelas XII IPA-IPS NFBS Serang
byHirwanto Iwan
 
Cambridge Beamer
byHirwanto Iwan
 
AGH Beamer
byHirwanto Iwan
 
Naked Beamer
byHirwanto Iwan
 
Pemasangan WinEdt 9.1
byHirwanto Iwan
 
LUH Beamer
byHirwanto Iwan
 
Analisis Butir Soal PAS Matematika Wajib Kelas 12 IPA/IPS 2024-2025
byHirwanto Iwan
 
Materi Limit Aljabar dan Turunan Aljabar
byHirwanto Iwan
 
LATEX OR INDESIGN
byHirwanto Iwan
 
ESOP Beamer
byHirwanto Iwan
 
AFIT Beamer
byHirwanto Iwan
 
Hackd Beamer
byHirwanto Iwan
 
AP Beamer
byHirwanto Iwan
 
Fitur Baru WinEdt 9.1
byHirwanto Iwan
 

Recently uploaded

PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 6
byModul Guruku
 
PDF
PENGENALAN FORMAT SPM BM KERTAS 1 TAHUN 2025/26
bySitiFatimahHuda
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 5 [modulguruku.com]
byModul Guruku
 
PDF
[MTI Insights X Industrial-ISM: Quick to Buy Slow to Die. A Truth About Fast ...
bykasthreadsimti25
 
PDF
MODUL AJAR DEEP LEARNING PENDIDIKAN AGAMA ISLAM (PAIBP) KELAS 3 (RENCANA PEMB...
byARIS AR
 
PDF
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 1 [modulguruku....
byModul Guruku
 
PDF
(Deep Learning) Modul Ajar Seni Tari Kelas 11 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
PDF
PPT Bab 3 - LINGKUNGAN DAN KEPENDUDUKAN.pdf
bywidyaaa20lestari
 
PDF
BAB IX - PENUTUP, SINTESIS KONSEPTUAL, DAN AGENDA MASA DEPAN
byUniversitas Islam Jakarta - Fakultas Ekonomi
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning IPS Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PDF
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Rekayasa Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 9 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PDF
Materi 13 - KUALIFIKASI WARTAWAN MEDIA ONLINE DAN SERBA SERBINYA
byAdePutraTunggali
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Prakarya budidaya Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Kerajinan Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Budidaya Kelas 7 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
DOCX
Modul Ajar Deep Learning Informatika Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PPTX
PPT Materi Evaluasi Kelas Doktrin Allah Dasar (DAD) 2026
bySABDA
 
PPTX
820330599-PPT-Bab-3-LINGKUNGAN-DAN-KEPENDUDUKAN.pptx
byMaytsaAqilla
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 6
byModul Guruku
 
PENGENALAN FORMAT SPM BM KERTAS 1 TAHUN 2025/26
bySitiFatimahHuda
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Fikih Kelas 5 [modulguruku.com]
byModul Guruku
 
[MTI Insights X Industrial-ISM: Quick to Buy Slow to Die. A Truth About Fast ...
bykasthreadsimti25
 
MODUL AJAR DEEP LEARNING PENDIDIKAN AGAMA ISLAM (PAIBP) KELAS 3 (RENCANA PEMB...
byARIS AR
 
Modul Ajar Kurikulum Berbasis Cinta (KBC) Akidah Akhlak Kelas 1 [modulguruku....
byModul Guruku
 
(Deep Learning) Modul Ajar Seni Tari Kelas 11 Kurikulum Merdeka
byModul Kelas
 
PPT Bab 3 - LINGKUNGAN DAN KEPENDUDUKAN.pdf
bywidyaaa20lestari
 
BAB IX - PENUTUP, SINTESIS KONSEPTUAL, DAN AGENDA MASA DEPAN
byUniversitas Islam Jakarta - Fakultas Ekonomi
 
Modul Ajar Deep Learning IPS Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Inggris Kelas 9 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Rekayasa Kelas 10 Kurikulum Merdeka
byModul Guruku
 
Modul Ajar Deep Learning Bahasa Indonesia Kelas 9 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Materi 13 - KUALIFIKASI WARTAWAN MEDIA ONLINE DAN SERBA SERBINYA
byAdePutraTunggali
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya budidaya Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Kerajinan Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Prakarya Budidaya Kelas 7 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
Modul Ajar Deep Learning Informatika Kelas 8 Semester 2 Terbaru 2026
bywahyurestu63
 
PPT Materi Evaluasi Kelas Doktrin Allah Dasar (DAD) 2026
bySABDA
 
820330599-PPT-Bab-3-LINGKUNGAN-DAN-KEPENDUDUKAN.pptx
byMaytsaAqilla
 

Self Dual Codes and Binary Golay Code Presentation

  • 1.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Codesdan Binary Golay Code Subroto(12164) 1 Ika Susanti(12321)1 Agus Fajar Nugroho(12018)1 1Gadjah Mada University, Yogyakarta, Indonesia Presentasi Paper Coding Theory, 2013 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 2.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Daftar Isi 1Dasar Teori Ruang Vektor atas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight 2 Pembahasan Self-Dual Code Extended Binary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code 3 Kesimpulan Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 3.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi Field Himpunan Fq merupakan field berhingga dengan order q. Himpunan tak kosong V dengan operasi jumlahan (+) dan perkalian skalar dengan anggota Fq merupakan ruang vektor (ruang linear) atas Fq jika memenuhi kondisi di bawah ini. ∀u, v, w ∈ V dan ∀α, β ∈ Fq maka; u + v ∈ V (u + v) + w = u + (v + w) Terdapat elemen 0 ∈ V sehingga 0 + v = v + 0, untuk setiap v ∈ V Untuk setiap u ∈ V, ∃(−u) ∈ V sehingga u + (−u) = 0 = (−u) + u u + v = v + u Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 4.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Lanjutan Definisi dan Contoh αv ∈ V α(u + v) = αu + αv dan (α + β)u = αu + βu (αβ)u = α(βu) Jika 1 merupakan identitas penjumlahan di Fq maka 1u = u Di bawah ini merupakan beberapa contoh dari ruang vektor: Fn q merupakan koleksi semua vektor dengan panjang n Fn q = {(v1, v2, . . . , vn) : vi ∈ Fq} merupakan ruang vektor atas Fq Dengan definisi penjumlahan dalam Fn q yaitu penjumlahan masing-masing elemen, dengan definisi penjumlahan pada Fq, jika v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn q dan w = (w1, w2, . . . , wn) ∈ Fn q maka v + w = (v1 + w1, v2 + w2, . . . , vn + wn) ∈ Fn q Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 5.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight serta definisi perkalian skalar untuk Fn q yaitu: v = (v1, v2, . . . , vn) ∈ Fn q dan α ∈ Fq maka αv = (αv1, αv2, . . . , αvn) ∈ Fn q serta vektor nol (0, 0, . . . , 0) ∈ Fn q . Z5 2 merupakan ruang vektor atas field Z2 Definisi 1.1 Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V merupakan subruang jika C merupakan ruang vektor atas penjumlahn vektor dan perkalian yang sama dengan V. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 6.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Akibat 1.2 Jika V merupakan ruang vektor. Himpunan tidak kosong C ⊆ V merupakan subruang jika dan hanya jika memenuhi kondisi dibawah ini: ∀x, y ∈ C dan α, β ∈ Fq, maka αx + βy ∈ Fn q Definisi 1.3 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq. Kombinasi linear dari v1, v2, . . . , vr ∈ V yaitu vektor α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr untuk sembarang α1, . . . , αr ∈ Fq Definisi 1.4 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq, maka himpunan vektor {v1, v2, . . . , vr } bebas linear jika α1v1 + α2v2 + · · · + αr vr = 0 ⇔ α1 = α2 = · · · = αr = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 7.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.5 Jika V merupakan ruang vektor atas Fq dan S = {v1, v2, . . . , vk } himpunan tidak kosong subset dari V. Maka span dari S yaitu: S = {α1v1 + α2v2 + · · · + αk vk : αi ∈ Fq} Jika S = ∅, maka S = {0}. Cukup jelas bahwa S merupakan sub ruang dari V, dan disebut subruang yang dibangun oleh S. Jika diberikan subruang C dari V, himpunan bagian S dari C dikatakan membangun C jika C = S Definisi 1.6 Jika V ruang vektor atas Fq, dan himpunan bagian tidak kosong B = {v1, v2, . . . , vk } dari V dikatakan basis untuk V jika V = B dan bebas linear. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 8.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Linear Code Definisi 1.7 Linear code C dengan panjang n atas field Fq yaitu subruang dari ruang vektor Fn q Contoh 1.8 Di bawah ini beberapa contoh linear code: 1 {(λ, λ, . . . , λ) : λ ∈ Fq}. Selanjutnya code ini sering disebut repetition code 2 C = {000, 001, 010, 011} 3 C = {0000, 1100, 2200, 0001, 0002, 1101, 1102, 2201, 2202} Selanjutnya anggota dari linear code C disebut dengan codeword Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 9.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.9 C merupakan linear code atas ruang vektor Fn q , maka 1 Dual code C yaitu C⊥ dengan C⊥ = {v ∈ Fn q : v.c = o, ∀c ∈ C} 2 Dimensi dari linear code C yaitu dimensi C atas ruang vektor Fq Linear code C dengan panjang n dan mempunyai dimensi k atas Fq sering disebut juga q-ary [n, k]-code atau [n, k]-code. Jika distance dari C diketahui maka biasanya ditulis dengan [n, k, d] Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 10.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Kita tahu berdasar Definisi 1.7 linear code C merupakan subruang maka secara eksplisit linear code C memiliki basis yang membangun C. Dalam koding teori, basis dari linear code C disajikan dalam bentuk matrik, dan disebut matrik generator. Selain itu, matrik yang menyajikan basis untuk dual code C atau C⊥ disebut parity-check matrik untuk linear code C. Definisi ini cukup penting dalam memahami materi selanjutnya. Definisi 1.10 1 Matrik generator untuk linear code C yaitu matrik G dengan vektor barisnya merupakan basis dari C. 2 Parity-check matrik H untuk linear code C yaitu matrik generator untuk dual code C⊥ Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 11.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Teorema 1.11 C merupakan [n,k]-linear code atas Fq dengan matrik generator G. Maka untuk v ∈ Fn q berada dalam C⊥ jika dan hanya jika v orthogonal dengan setiap vektor baris dari G dengan kata lain v ∈ C⊥ ⇔ vGT = 0 Akibat 1.12 Linear code C dengan matrik generator G serta Dual-code C⊥ dengan matrik generator H maka HGT = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 12.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Bukti Teorema 1.11 Katakan ri merupakan vektor ke-i dari G. Jelas bahwa ri ∈ C untuk setiap 1 ≤ i ≤ k Maka untuk setiap c ∈ C maka berdasarkan Definisi 1.10 maka c dapat ditulis sebagai c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk dengan α1, . . . , αr ∈ Fq Jadi untuk sebarang v ∈ C⊥ maka v.c = 0 untuk setiap c ∈ C. Maka jelas bahwa v orthogonal dengan ri untuk setiap 1 ≤ i ≤ k, dengan kata lain vGT = 0 Jika diketahui v.ri = 0 untuk setiap 1 ≤ i ≤ k maka jelas bahwa untuk setiap c = α1r1 + α2r2 + · · · + αk rk ∈ C v.c = α1(v.r1) + α2(v.r2) + · · · + αk (v.rk ) = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 13.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Linear code C mempunyai matrik generator G. Jika matrik generator dari linear code C mempunyai bentuk G = [Ik |X] maka generator matrik ini disebut bentuk standar. Teorema 1.13 Jika G = [Ik |X] yaitu bentuk standar matrik generator untuk [n,k]-code C, maka parity-check matrik untuk C yaitu H = [−XT |In−k ] Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 14.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.14 Jika x dan y merupakan codeword dari linear code C. (Hamming)distance dari x ke ydinotasikan dengan d(x, y) dengan definisi jumlah elemen yang berbeda tiap koordinatnya. Jika x = x1, x2, . . . , xn dan y = x1, y2, . . . , yn maka, d(x, y) = d(x1, y1) + d(x2, y2) + · · · + d(xn, yn) dengan d(xi, yi) = 1, jika xi = yi 0, jika xi = yi Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 15.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Definisi 1.15 Jika C merupakan [n,k]-code. Maka Hamming distance dari code C yaitu: d(C) = min{d(x, y) : x, y ∈ C, x = y} Definisi 1.16 Untuk sembarang x codeword di Fn q . (Hamming) weight dari x dinotasikan dengan wt(x) dengan definisi, wt(x) = d(x, 0) Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 16.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Ruang Vektoratas Field Berhingga Linear Code Hamming Distance dan Hamming Weight Lemma 1.17 Jika x, y ∈ Fn q maka wt(x + y) = wt(x) + wt(y) − 2wt(x ∗ y) dengan x ∗ y = (x1y1, x2y2, . . . , xnyn) Teorema 1.18 Code C dengan v-error correcting jika dan hanya jika d(C) ≥ 2v + 1; ekuivalen mengatakan suatu code dengan distance d mempunyai d−1 2 -error correcting code. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 17.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.1 Linear code C dikatakan self-orthogonal jika C ⊆ C⊥ Lemma 2.2 Linear code C dengan matrik generator G self-orthogonal jika dan hanya jika GGT = 0 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 18.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Bukti Lemma 2.2 Karena C self-orthogonal maka C ⊆ C⊥, dengan matrik generator G. Ambil sebarang vektor baris dari G katakan ri dengan 1 ≤ i ≤ k, maka ri ∈ C dan ri ∈ C⊥. karena G merupakan parity-check matrik untuk C⊥ maka GrT i = 0 Karena berlaku untuk sembarang vektor baris maka diperoleh GGT = 0. Jika diketahui bahwa GGT = 0. Katakan G mempunyai k baris, katakan ri dengan 1 ≤ i ≤ k. Berdasarkan definisi maka ri ∈ C. Karena GGT = 0, maka rirj = 0, 1 ≤ i ≤ k. Ambil sebarang ck , cp ∈ C. Maka ck , cp merupakan kombinasi linear dari ri. Bentuk ck .cp, berdasarkan definisi inner product dan berdasarkan rirj = 0 maka jelas bahwa ck .cp = 0. Sehingga jelas bahwa C ⊆ C⊥. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 19.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.3 Linear code C self-dual jika C = C⊥ Contoh 2.4 Diperhatikan beberapa contoh matrik generator di bawah ini, Matrik G = 1 0 0 1 0 1 0 1 1 1 merupakan matrik generator untuk self-orthogonal code C, karena GGT = 0. G tidak membangun self-dual code karena C merupakan subruang berdimensi 2, dan C⊥ merupakan subruang berdimensi 3 jadi C = C⊥. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 20.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Diketahui Matrik G =     1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 0 1 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 1 0 0 0 1 1 0 1 1 0     merupakan matrik generator untuk self-dual (8,4)-code C. G = [I6|A] merupakan matrik generator untuk self-dual (12,6)-code C atas F3, dengan A =         2 2 1 2 0 1 0 2 2 1 2 1 2 2 0 1 1 2 1 0 1 1 1 1 1 2 2 2 1 0 1 2 1 0 2 2         Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 21.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lemma 2.5 Jika G = [Ik |X] merupakan matrik generator untuk self-dual [n, k]-code atas field Fq maka XXT = −Ik Proof. Karena G merupakan self-dual, GGT = 0 dan 0 = [Ik |X][Ik |X]T = Ik + XXT maka BBT = −Ik Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 22.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Salah satu self-dual code yang penting yaitu binary (24,12,8) extended Golay code atau lebih dikenal dengan G24. Code tersebut dengan matrik generator G = [Ik |B] dengan, B =                      0 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 1 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 1 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 1                      Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 23.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Proposisi 2.6 (Properties of the extended binary Golay Code) 1. Panjang dari G24 yaitu 24 dan mempunyai dimensi 12 2. Parity-check matrik untuk G24 yaitu H = [B|I12] 3. Code G24 mrupakan self-dual, sehingga G24 = G⊥ 24 4. Parity-check matrik yang lain untuk G24 yaitu H = [I12|B] = G 5. Matrik generator yang lain untuk G24 yaitu G = [B|I12] = H Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 24.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Properties of the extended binary Golay Code 6. Weight untuk setiap codeword di G24 merupakan kelipatan 4 7. Code G24 tidak mempunyai codeword dengan weight 4, jadi distance dari G24 yaitu d=8 8. Code G24 mempunyai 3-error correcting code Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 25.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Bukti Proposisi 2.6 Kali ini akan dibuktikan proposisi 2.6. Untuk bukti 1-5 cukup jelas. Akan dibuktikan untuk proposisi 6-8. Ambil sebarang v ∈ G24. Maka v merupakan kombinasi linear dari vektor baris G. Jika v merupakan vektor baris dari G maka v mempunyai weight 8 atau 12, sehingga weight dari v kelipatan dari 4. Andaikan v = ri + rj yaitu jumlahan sebarang vektor baris dari G. Maka berdasarkan lemma 1.17 dan karena G24 merupakan self-dual maka wt(v) kelipatan dari 4. Jika v merupakan kombinasi linear dari vektor baris dari G maka dengan induksi matematika diperoleh wt(v) kelipatan dari 4. Berdasarkan proposisi bagian 6 maka distance dari G24 yaitu 4 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 26.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 27.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3. Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 28.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.7 Andaikan G24 memuat codeword non-zero v dengan wt(v) = 4. Kita dapat tulis v sebagai v = (v1, v2) dengan v1, v2 merupakan vektor dengan panjang 12. Jika wt(v1) = 0 dan wt(v2) = 4. Maka hal ini tidak mungkin terjadi, diperhatikan matrik generator G. wt(v1) = 0 jika dan hanya jika v merupakan vektor nol. Jika wt(v1) = 1 dan wt(v2) = 3. Pada kasus ini kembali diperhatikan matrik generator G v merupakan salah satu dari vektor baris dari G. Maka kontradiksi bahwa vektor baris dari G memiliki weight 12 atau 8. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 29.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.6 Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2. Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang memenuhi sehingga wt(v2) = 2 Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1. Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 30.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Lanjutan Bukti Proposisi 2.6 Jika wt(v1) = 2 dan wt(v2) = 2. Maka v merupakan jumlahan dari dua vektor baris. Mudah untuk ditunjukan bahwa tidak ada vektor baris yang memenuhi sehingga wt(v2) = 2 Jika wt(v1) = 3 dan wt(v2) = 1. Diperhatikan bahwa G’ merupakan generator matrik untuk G24. Maka v haruslah merupakan salah satu dari vektor baris dari G’. Jelas bahwa terjadi kontradiksi. Jika wt(v1) = 4 dan wt(v2) = 0. Pada kasus ini sama dengan kasus pertama. Jadi terjadi kontradiksi.Maka jelas bahwa G24 tidak mempunyai codeword dengan weight 4. Maka distance dari G24 yaitu d=8. Berdasarkan proporsisi bagian 7 dan teorema 1.18 maka G24 mempunyai 3-error correcting. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 31.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Binary Golay Code Definisi 2.7 (Binary Golay Code) ˆG merupakan matrik 12 × 13 ˆG = [I12|ˆB] dengan ˆB matrik 12 × 11 yang dibentuk dari matrik B dengan menghilangkan kolom terakhir. Binary linear code dengan matrik generator ˆG disebut binary Golay code dan dinotasikan dengan G23. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 32.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Definisi 2.8 (Extended Ternary Golay Code) Extended ternary Golay code dinotasikan dengan G12, yaitu ternary linear code dengan matrik generator G = [I6|A] degan A =         0 1 1 1 1 1 1 0 1 2 2 2 1 1 0 1 2 2 1 2 1 0 1 2 1 2 2 1 0 1 1 1 2 2 1 0         Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 33.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Jika G = [I12|B] matrik generator didefinisikan l1, l2, . . . , l12 merupakan vektor kolom dan r1, r2, . . . , l12. Serta x(i), y(i) merupakan binary 12-tupel dengan komponen ke-i adalah non-zero serta 0 merupakan 12-tupel zero. Jika r merupakan codeword yang diterima, Tentukan s = GrT Jika wt(s) ≤ 3 maka bentuk e = (sT , 0) dan lanjutkan ke 30 Jika wt(s + li) ≤ untuk suatu li, 1 ≤ i ≤ 12 lalu bentuk e = ((s + li)T , y(i)) lanjut ke 30 Bentuk BT s Jika wt(BT s) ≤ 3 maka bentuk e = (0, (BT s)T ) lanjut ke 30 Jika wt(BT s + rT i ) ≤ 2 untuk suatu ri, 1 ≤ i ≤ 12 lalu bentuk e = (x(i), (BT s)T + ri) lanjut ke 30 Jika sedikitnya ada 4 error yang terjadi. Retransmit dan mulai kembali 30 Decode r ke r − e = c Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 34.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.9 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r1 = 100010000000100100011101 Kita akan kodekan codeword r1. Kita cari GrT = (010010000000)T = s Karena wt(s) ≤ 3 maka kita bentuk e = (sT , 0) dan kodekan r1 ke r1 − (sT , 0) = 110000000000100100011101 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 35.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.10 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r2 = 100000100000100011010010 Kita akan kodekan codeword r2. Kita cari GrT = (101111101011)T = s Karena wt(s) > 3 maka kita cari li sehingga wt(s + li) ≤ 2. Kita lihat kolom ke-4 dari matrik B s + l4 = (000001100000)T Jelas bahwa vektor di atas mempunyai weight 2, maka e = (s + l4, y(4)) dengan y(4) = 000100000000. Maka kita kodekan r2 ke r2 − e = 100001000000100111010010 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 36.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Self-Dual Code ExtendedBinary Golay Code Decoding Extended Binary Golay Code Contoh 2.11 Jika kita mendapat codeword sebagai berikut: r3 = 101100010000110011110001 Kita akan kodekan codeword r3. Kita cari GrT = (110010101011)T = s Karena wt(s) > 3 maka kita cari li sehingga wt(s + li) ≤ 2.Karena tidak ada kolom yang memenuhi kondisi di atas maka kita bentuk BT s = 010111110111. Karena wt(BT s) > 3 maka kita harus mencari vektor baris dari B dengan BT s untuk suatu ri sehingga wt(BT s + ri) ≤ 2.Kita lihat untuk i = 1 diperoleh,BT s + r1 = (001000001000)T = yT , sehingga kita peroleh e = (x(1), y) dengan x(1) = 100000000000 .Jadi, e = 1000000000000000001000001000. Jadi kita kodekan r3 ke r3 − e = 001100010000111011111001 Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 37.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Kesimpulan Demikian beberapahal yang dikenalkan dari Binary Golay Code (24,12,8) self-dual code yang digunakan pada misi luar angkasa Voyage dalam transmisi gambar dari Jupiter dan Saturnus. Kode ini memuat sampai 212 = 4096 codeword yang digunakan untuk transmisi warna. Code ini dapat mengoreksi sampai 3 error, relatif lebih baik dibandingkan Red-Muller code order satu. Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 38.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank youfor your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 39.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank youfor your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 40.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank youfor your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code
  • 41.
    Dasar Teori Pembahasan Kesimpulan Thank youfor your attention Subroto, Ika Susanti,Nugroho Self-Dual Codes dan Binary Golay Code