PRML第９章「混合モデルとEM」
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パターン認識と機械学習(PRML)の第９章「混合モデルとEM」について説明したスライドです。文字多め。 潜在変数を持つモデルの最適化を行うことができるEMアルゴリズムについて、最初は具体的でイメージしやすいk-meansクラスタリングから説明し、最後は数式を詳細に見ていきその意味を考察します 9.1 K-meansクラスタリング 9.2 混合ガウス分布 9.3 EMアルゴリズムのもう１つの解釈 9.4 一般のEMアルゴリズム
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- 1. パターン認識と機械学習 M1 菅原啓介 第9章 混合モデルとEM 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 1
- 2. 目次 1. K-meansクラスタリング 2. 混合ガウス分布 3. EMアルゴリズムのもう１つの解釈 4. 一般のEMアルゴリズム 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 2
- 3. ９章の概要 • ＥＭアルゴリズム：最適化の手法 • 観測データに対しモデルを設定し、そのモデルのパラメータを決定 • ＥＭアルゴリズムは「潜在変数」を持つモデルに対応 • 観測変数が「潜在変数」に影響を受ける 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 3 ＥＭアルゴリズム 9.2節 混合ガウス分布 9.3節 混合ベルヌーイ分布 9.1節 K-meansクラスタリング 抽象度 9.3節 9.4節
- 5. K-meansクラスタリング • 多次元空間上のデータ集合をK個のクラスターに分割する方法 • クラスター • データ点の集まり • クラスター内部のデータ点間の距離が、 外部のデータ点間の距離と比べて小さい 2個のクラスターに分割 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 5
- 7. K-means法に対するＥＭアルゴリズム • 目的関数：「歪み尺度」 • 𝐽 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑟𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 2 • 𝑟𝑛𝑘：𝑛番目のデータ点がクラスタ𝑘に属するか 0,1 • 𝐱 𝑛：データ点の座標 • 𝝁 𝑘：クラスタのプロトタイプ（中心） • Ｅステップの目的 • 𝑟𝑛𝑘について𝐽を最小化（𝝁 𝑘は固定） • Mステップの目的 • 𝝁 𝑘について𝐽を最小化（𝑟𝑛𝑘は固定） 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 7 例：3番目のデータ点がクラスタ2に属する場合 𝑟31, 𝑟32 = 0,1
- 8. Eステップ • 𝐽 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑟𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 2 • Ｅステップの目的：𝑟𝑛𝑘について𝐽を最小化 • 例：クラスター２つの場合 • 𝐽 = 𝑛=1 𝑁 𝑟𝑛1 𝐱 𝑛 − 𝝁1 2 + 𝑟𝑛2 𝐱 𝑛 − 𝝁2 2 • 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 が最小となる𝑘に対して𝑟𝑛𝑘 = 1とすればよい 大 小0 1 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 8
- 9. Mステップ • 𝐽 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑟𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 2 • Mステップの目的：𝝁 𝑘について𝐽を最小化 • 𝐽の𝝁 𝑘に関する変微分を0とおき、最小化 • 2 𝑛=1 𝑁 𝑟𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 = 0 • ∴ 𝝁 𝑘 = 𝑛 𝑟 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 𝑛 𝑟 𝑛𝑘 • クラスターに属するデータ点の座標の平均 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 9
- 10. 画像圧縮への利用 r g b r g b 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 10 • 画像の色情報を3次元空間にプロット • クラスタリングをして代表ベクトルを 保持しておく • 元画像では、各ピクセルは2563色を 区別する必要があったが、 • 圧縮後の画像はK色を区別できればよい 必要データ量が減少
- 11. 画像圧縮への利用 r g b r g b 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 11 圧縮前 圧縮後 1ピクセルがとりうる色 256 3 = 224 𝐾 1ピクセルが必要とする情報量（ビット） log2 224 = 24 log2 𝐾 代表ベクトルの保持に必要な情報量（ビット） 𝐾 log2 28 3 = 24𝐾 Nピクセルの画像全体で必要な情報量（ビット） 24𝑁 𝑁 log2 𝐾 + 24𝐾 𝑵 = 𝟏𝟎𝟎𝟎𝟎, 𝑲 = 𝟐𝟓𝟔としたときの情報量（ビット） 𝟐𝟒𝟎𝟎𝟎𝟎 𝟖𝟎𝟎𝟎𝟎 + 𝟔𝟏𝟒𝟒 = 𝟖𝟔𝟏𝟒𝟒
- 12. 9.2 混合ガウス分布 p146~ 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 12
- 13. ９章の概要 • ＥＭアルゴリズム：最適化の手法 • 観測データに対しモデルを設定し、そのモデルのパラメータを決定 • ＥＭアルゴリズムは「潜在変数」を持つモデルに対応 • 観測変数が「潜在変数」に影響を受ける 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 13 ＥＭアルゴリズム 9.2節 混合ガウス分布 9.3節 混合ベルヌーイ分布 9.1節 K-meansクラスタリング 抽象度 9.3節 9.4節
- 14. 混合ガウス分布の例 • ガウス分布を重ね合わせた分布 • 例：的当てゲーム • 的が１つ • →ガウス分布に従う • 的が３つ • →混合ガウス分布に従う • 「壁のどこに当たったか」だけが 観測可能とし、的がどこにあるかを推定する 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 14
- 15. 混合ガウス分布 確率変数とパラメータ • 𝐱 = 𝑥1, 𝑥2 ：観測変数 • データ点から観測できる • 𝐳 = 𝑧1, 𝑧2, 𝑧3 ：潜在変数 • 𝑧 𝑘は 0,1 の2値変数 • 𝑘番目の的を狙うとき、 𝑧 𝑘 = 1 • 𝑘番目の的を狙う確率：𝑝 𝑧 𝑘 = 1 = 𝜋 𝑘 • データ点からは観測できない • 的に関する情報 • 的の中心座標𝝁 𝑘、ばらつき𝚺 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑧3 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 15 𝑥2 観測可能 観測不可能
- 16. 混合ガウス分布 確率分布 • 潜在変数𝐳の確率分布 • 𝑝 𝐳 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑧 𝑘 • 狙いをつけた下での𝐱の条件付分布 • 𝑝 𝐱|𝑧 𝑘 = 1 = 𝒩 𝐱|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 • 𝑝 𝐱|𝐳 = 𝑘=1 𝐾 𝒩 𝐱|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 𝑧 𝑘 • 同時分布は𝑝 𝐳 𝑝 𝐱|𝐳 なので、𝐱の周辺分布は • 𝑝 𝐱 = 𝐳 𝑝 𝐳 𝑝 𝐱|𝐳 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑧3 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 16 𝑝 𝑧 𝑘 = 1 = 𝜋 𝑘
- 17. 混合ガウス分布 負担率 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 17 𝑥1 𝑥2 𝑧1 𝑧2 𝑧3 • あるデータ点は、どの的を狙うことにより 生成されたのか？ →「負担率」 • 𝐱が与えられた下での𝐳の条件付確率 • 𝛾 𝑧 𝑘 ≡ 𝑝 𝑧 𝑘 = 1|𝐱 = 𝑝 𝑧 𝑘=1 𝑝 𝐱|𝑧 𝑘=1 𝑗=1 𝐾 𝑝 𝑧 𝑗=1 𝑝 𝐱|𝑧 𝑗=1 = 𝜋 𝑘 𝒩 𝑥|𝜇 𝑘, Σ 𝑘 𝑗=1 𝐾 𝜋 𝑗 𝒩 𝑥|𝜇 𝑗,Σ 𝑗 • 混合要素𝑘が𝐱の観測を説明する度合い
- 18. 負担率の図示 • (a) 赤の的を狙った人が生成したデータ点は赤で示されている。他色も同様 • (b) どの的を実際に狙ったのか不明 • (c) 図(b)のデータ点と的の中心から、負担率を計算。 例えば青の負担率と緑の負担率が同程度であれば、水色でプロット 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 18 的
- 19. 最尤推定 𝐱 𝑇 = 𝑥1, … , 𝑥 𝐷 , 𝐳 𝑇 = 𝑧1, … , 𝑧 𝐾 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 19 𝐗 = 𝑥11 ⋯ 𝑥 𝐷 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑥 𝑁1 ⋯ 𝑥 𝑁𝐷 𝐙 = 𝑧11 ⋯ 𝑧 𝐷 ⋮ ⋱ ⋮ 𝑧 𝑁1 ⋯ 𝑧 𝑁𝐷 データ集合 • 尤度関数 • 𝑝 𝐗|𝝅, 𝝁, 𝚺 = 𝑛=1 𝑁 𝑝 𝐱 𝑛|𝝅, 𝝁, 𝚺 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 • 対数尤度関数 • ln 𝑝 𝐗|𝝅, 𝝁, 𝚺 = 𝑛=1 𝑁 ln 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 • データ集合として考え、最尤推定を行う
- 20. 混合ガウス分布の最尤推定における問題 • 各混合要素の共分散行列を 𝚺 𝑘 = 𝜎 𝑘 2 𝐈 とする • ある𝑛について𝝁 𝑗 = 𝐱 𝑛と仮定 • つまり混合要素の平均（中心）とデータ点が一致 • データ点は次の形で尤度関数に寄与 • 𝒩 𝐱 𝑛|𝐱 𝑘, 𝜎𝑗 2 𝐈 = 1 2𝜋 𝐷/2 ∙ 1 𝜎𝑗 𝐷 • 𝜎𝑗 → 0の極限をとると発散 • ガウス分布のパラメータに制限 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 20 【ガウス分布の一般形】 𝒩 𝐱|𝝁, 𝚺 = 1 2𝜋 𝐷/2 ∙ 1 𝚺 1 2 exp − 1 2 𝐱 − 𝝁 𝑇 𝚺−1 𝐱 − 𝝁
- 21. 混合ガウス分布のＥＭアルゴリズム • 混合ガウス分布：潜在変数を持つモデル • EMアルゴリズムを利用して最尤解を求める • 方針 • 最終目標：対数尤度関数の最大化 • 対数尤度関数を、ガウス分布の各パラメータ 𝝁, 𝚺 、𝜋 𝑘で微分 • 𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘, 𝜋 𝑘のそれぞれに対して対数尤度関数を最大化 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 21
- 22. 𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘に対する尤度関数の最大化 • 対数尤度を𝝁 𝑘について微分して0とおく • 0 = 𝑛=1 𝑁 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘,𝚺 𝑘 𝑗 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 Σ 𝑘 −1 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 • 整理して • 𝝁 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 • ただし、 • 𝑁𝑘 = 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 • 𝚺 𝑘についても同様に • 𝚺 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 T 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 22 負担率𝛾 𝑧 𝑛𝑘 k番目の的が狙われた回数 データ点の重み（=負担率）つき平均 各データ点が的（ガウス要素の中心） からどのくらい離れているか ln 𝑝 𝐗|𝝅, 𝝁, 𝚺 = 𝑛=1 𝑁 ln 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘
- 23. 𝜋 𝑘に関する尤度関数の最大化（１） • 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 = 1という制約条件の下で、ラグランジュの未定乗数法を用いる • 次の量を𝜋 𝑘で微分して0とおく • ln 𝑝 𝐗|𝝅, 𝝁, 𝚺 + 𝜆 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 − 1 • 次の式が得られる • 0 = 𝑛=1 𝑁 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘,𝚺 𝑘 𝑗 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 + 𝜆 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 23 次スライド
- 24. 𝜋 𝑘に関する尤度関数の最大化（２） • 両辺に𝜋 𝑘をかけて • 0 = 𝑛=1 𝑁 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘,𝚺 𝑘 𝑗 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 + 𝜆𝜋 𝑘 ⋯ ∗ • 𝑘について和をとる • 0 = 𝑘=1 𝐾 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 + 𝜆 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 24 負担率𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝑘=1 𝐾 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 = 1 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 = 1 • 0 = 𝑁 + 𝜆 ∴ 𝜆 = −𝑁 • ∗ より、 • 0 = 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 − 𝑁𝜋 𝑘 ∴ 𝜋 𝑘 = 𝑁 𝑘 𝑁 • よって𝜋 𝑘は、的𝑘の負担率の合計を正規化したもの 𝑁𝑘 = 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘
- 25. 𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘, 𝜋 𝑘の最尤解 • 𝝁 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 • データ点の重み（=負担率)つき平均 • 𝚺 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 T • 各データ点がガウス要素の中心からどのくらい離れているか • 𝜋 𝑘 = 𝑁 𝑘 𝑁 • その要素の負担率の合計を正規化したもの 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 25
- 26. ＥＭアルゴリズムの適用 【Eステップ】 負担率の更新 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 26 【Mステップ】 ガウス分布のパラメータ調整 繰り返し
- 27. 混合ガウス分布のためのＥＭアルゴリズム • 目的：混合ガウス分布のパラメータについて、尤度関数を最大化 • Eステップ：負担率の計算 • 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 = 𝜋 𝑘 𝒩 𝑥|𝜇 𝑘, Σ 𝑘 𝑗=1 𝐾 𝜋 𝑗 𝒩 𝑥|𝜇 𝑗,Σ 𝑗 • Mステップ：各パラメータの更新 • 𝝁 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 • 𝚺 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 T • 𝜋 𝑘 = 𝑁 𝑘 𝑁 • 対数尤度関数 • ln 𝑝 𝐗|𝝅, 𝝁, 𝚺 = 𝑛=1 𝑁 ln 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 27
- 29. ９章の概要 • ＥＭアルゴリズム：最適化の手法 • 観測データに対しモデルを設定し、そのモデルのパラメータを決定 • ＥＭアルゴリズムは「潜在変数」を持つモデルに対応 • 観測変数が「潜在変数」に影響を受ける 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 29 ＥＭアルゴリズム 9.2節 混合ガウス分布 9.3節 混合ベルヌーイ分布 9.1節 K-meansクラスタリング 抽象度 9.3節 9.4節
- 30. ＥＭアルゴリズムの一般化 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 30 目的：尤度関数𝒑 𝐗|𝜽 の最大化 • 𝑝 𝐗|𝜽 = 𝐙 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 • 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 を求めるには𝐙の観測が必要 • →不可能 • 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 を求めることはできないので、 条件付期待値𝔼 𝐙|𝐗 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 を求める 目的：条件付期待値𝔼 𝐙|𝐗 𝒍𝒏 𝒑 𝐗, 𝐙|𝜽 の最大化
- 31. 混合ガウス分布再訪 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 31 求められるもの 観測変数𝐗 条件付確率𝑝 𝐙 𝐗 対数尤度の期待値 𝔼 𝐙|𝐗 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 対数尤度の期待値を最大化するように、 パラメータを調整 完全データ対数尤度 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽
- 32. 完全データ対数尤度の期待値を導出 • 完全データ尤度 • 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝚺, 𝝅 = 𝑝 𝐗|𝐙, 𝝁, 𝚺, 𝝅 𝑝 𝐙|𝝁, 𝚺, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑝 𝐱 𝑛|𝐳 𝑛 𝑝 𝐳 𝑛 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 𝑧 𝑛𝑘 • 完全データ対数尤度を求める • ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝚺, 𝝅 = ln 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 𝑧 𝑛𝑘 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑧 𝑛𝑘 ln 𝜋 𝑘 + ln 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 • 𝑧 𝑛𝑘は観測できないので、期待値を用いると • 𝔼 𝐙|𝐗 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝚺, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝔼 𝐙 𝑧 𝑛𝑘 ln 𝜋 𝑘 + ln 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 • 𝔼 𝐙|𝐗 𝑧 𝑛𝑘 を求める 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 32 𝑝 𝐳 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑧 𝑘 𝑝 𝐱|𝐳 = 𝑘=1 𝐾 𝒩 𝐱|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 𝑧 𝑘
- 33. 𝑧 𝑛𝑘の期待値の導出 • 事後分布𝑝 𝐳 𝑛|𝐱 𝑛, 𝝁, 𝚺, 𝝅 に関する期待値 • 𝔼 𝐙|𝐗 𝑧 𝑛𝑘 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝑝 𝐳 𝑛|𝐱 𝑛, 𝝁, 𝚺, 𝝅 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝑘′=1 𝐾 𝜋 𝑘′ 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘′,𝚺 𝑘′ 𝑧 𝑛𝑘′ 𝐳 𝑛 𝑗=1 𝐾 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 𝑧 𝑛𝑗 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘,𝚺 𝑘 𝐳 𝑛 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 = 𝜋 𝑘 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘,𝚺 𝑘 𝑗=1 𝐾 𝜋 𝑗 𝒩 𝐱 𝑛|𝝁 𝑗,𝚺 𝑗 ≡ 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 33 𝐳 𝑛 = 𝑧 𝑛1, 𝑧 𝑛2, … , 𝑧 𝑛𝑘, … , 𝑧 𝑛𝐾 𝐳 𝑛 = 𝑧 𝑛1, 𝑧 𝑛2, … , 𝑧 𝑛𝑗, … , 𝑧 𝑛𝐾 1 1 𝐳 𝑛 の意味： 𝐳 𝑛のすべてのとりうる値、つまり 1,0, … , 0, … , 0 0,1, … , 0, … , 0 0,0, … , 1, … , 0 0,0, … , 0, … , 1 に対して和をとる 𝐾
- 34. K-meansとの関連（１） 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 34 • K-means • 二値変数𝑟𝑛𝑘による ハード割り当て 混合ガウス分布に関するＥＭアルゴリズムのある極限として、 K-meansアルゴリズムを導ける • 混合ガウス分布 • 負担率𝛾 𝑧 𝑛𝑘 による ソフトな割り当て
- 35. K-meansとの関連（２） • 各ガウス要素の共分散行列が𝜖𝐈で与えられる混合ガウス分布を考える • 𝑝 𝐱|𝝁 𝑘, 𝚺 𝑘 = 1 2𝜋𝜖 𝐷/2 exp − 1 2𝜖 𝐱 − 𝝁 𝑘 2 • 負担率を計算すると • 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 ≡ 𝑝 𝑧 𝑘=1 𝑝 𝐱|𝑧 𝑘=1 𝑗=1 𝐾 𝑝 𝑧 𝑗=1 𝑝 𝐱|𝑧 𝑗=1 = 𝜋 𝑘 exp − 𝐱−𝝁 𝑘 2 2𝜖 𝑗=1 𝜋 𝑗 exp − 𝐱−𝝁 𝑗 2 2𝜖 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 35
- 36. K-meansとの関連（３） • 𝐱 − 𝝁 𝑗 2 が最小になる𝑗を𝑗∗とおく。 • 𝑟 𝑛𝑗∗ = 1、𝑘 ≠ 𝑗∗に対して𝑟𝑛𝑘 = 0 • lim 𝜖→∞ 𝛾 𝑧 𝑛𝑗∗ = lim 𝜖→∞ 𝜋 𝑗∗ exp − 𝐱−𝝁 𝑗∗ 2 2𝜖 𝜋1 exp − 𝐱−𝝁1 2 2𝜖 +⋯+𝜋 𝑗∗ exp − 𝐱−𝝁 𝑗∗ 2 2𝜖 +⋯+𝜋 𝐾 exp − 𝐱−𝝁 𝐾 2 2𝜖 = 1 = 𝑟 𝑛𝑗∗ • lim 𝜖→∞ 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 = lim 𝜖→∞ 𝜋 𝑘 exp − 𝐱−𝝁 𝑘 2 2𝜖 𝜋1 exp − 𝐱−𝝁1 2 2𝜖 +⋯+𝜋 𝑗∗ exp − 𝐱−𝝁 𝑗∗ 2 2𝜖 +⋯+𝜋 𝐾 exp − 𝐱−𝝁 𝐾 2 2𝜖 = 0 = 𝑟𝑛𝑘 • 𝝐 → ∞の極限をとると、𝜸 𝒛 𝒏𝒌 と𝒓 𝒏𝒌が一致する 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 36
- 37. K-meansとの関連（４） • Ｍステップにおける𝝁 𝑘の値 • 𝝁 𝑘 = 𝑛 𝑟 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 𝑛 𝑟 𝑛𝑘 • 対数尤度の期待値 • 𝔼 ln 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝚺, 𝝅 → − 1 2 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑟𝑛𝑘 𝐱 − 𝝁 𝑘 2 + const. • 対数尤度の期待値の最大化は、歪み尺度の最小化と同等 • 𝐽 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑟𝑛𝑘 𝐱 𝑛 − 𝝁 𝑘 2 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 37 𝝁 𝑘 = 𝑛 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 𝑛 𝛾 𝑧 𝑛𝑘
- 38. 混合ベルヌーイ分布 • 手書き文字の分類などに利用可能 • 方針 • ピクセル数が𝐷の手書き数字を、 𝐷個の2値変数を要素にもつベクトル𝐱 = 𝑥1, 𝑥2, … , 𝑥 𝐷 とする • 観測変数： 𝐱 • 潜在変数： 𝐳 = 𝑧1, 𝑧2, … , 𝑧 𝐾 • 書き手が文字𝑘を書こうとしたとき、𝑧 𝑘 = 1となる。𝑧𝑙≠𝑘 = 0 • パラメータを調整し対数尤度関数を最大化 • 新しい手書き文字𝐱′を実際に分類 • 𝑝 𝑧1 = 1|𝐱′ , 𝑝 𝑧2 = 1|𝐱′ , … , 𝑝 𝑧 𝐾 = 1|𝐱′ を比較し、 最大となる𝑘に分類 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 38 ここまで
- 39. 尤度関数の導出 • 潜在変数の事前分布（=どの文字を書くか） • 𝑝 𝐳|𝝅 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑧 𝑘 • 観測変数の条件付確率（=書く文字を決めた上での、手書き文字の分布） • 𝑝 𝐱|𝐳, 𝝁 = 𝑘=1 𝐾 𝑝 𝐱|𝝁 𝑘 𝑧 𝑘 • 同時分布（尤度関数）の導出 • 𝑝 𝐱, 𝐳|𝝁, 𝝅 = 𝑝 𝐱|𝐳, 𝝁 𝑝 𝐳|𝝅 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑝 𝐱|𝝁 𝑘 𝑧 𝑘 = 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑑=1 𝐷 𝜇 𝑘𝑑 𝑥 𝑑 1 − 𝜇 𝑘𝑑 1−𝑥 𝑑 𝑧 𝑘 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 39 𝑝 𝑧 𝑘 = 1|𝜋 𝑘 = 𝜋 𝑘 𝑝 𝑥 𝑑 = 1|𝝁 𝑘 = 𝜇 𝑘𝑑 𝑝 𝑥 𝑑 = 0|𝝁 𝑘 = 1 − 𝜇 𝑘𝑑 ↓ 𝑝 𝐱|𝝁 𝑘 = 𝑑=1 𝐷 𝜇 𝑘𝑑 𝑥 𝑑 1 − 𝜇 𝑘𝑑 1−𝑥 𝑑
- 40. 混合ベルヌーイ分布による手書き文字分類 • 各文字はピクセルごとに、黒くなる確率 𝜇 𝑘𝑑を持っている 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 40 𝜇11 𝜇12 𝜇13 ⋯ 𝜇1𝐷 𝜇 𝐾1 𝜇 𝐾2 𝜇 𝐾3 ⋯ 𝜇 𝐾𝐷 ・・・ 𝜇11 クラス番号 （どの文字か） 要素番号 文字１の各要素 文字Kの各要素
- 41. 対数尤度関数の期待値 • データ集合𝐗 = 𝐱 𝑛 , 𝐙 = 𝐳 𝑛 に対する尤度関数 • 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝜋 𝑘 𝑑=1 𝐷 𝜇 𝑘𝑑 𝑥 𝑑 1 − 𝜇 𝑘𝑑 1−𝑥 𝑑 𝑧 𝑘 • 対数尤度関数の導出 • ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝑧 𝑛𝑘 ln 𝜋 𝑘 + 𝑑=1 𝐷 𝑥 𝑛𝑑 ln 𝜇 𝑘𝑑 + 1 − 𝑥 𝑛𝑑 ln 1 − 𝜇 𝑘𝑑 • 対数尤度関数の期待値の導出 • 𝔼 𝐙|𝐗 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝔼 𝑧 𝑛𝑘 ln 𝜋 𝑘 + 𝑑=1 𝐷 𝑥 𝑛𝑑 ln 𝜇 𝑘𝑑 + 1 − 𝑥 𝑛𝑑 ln 1 − 𝜇 𝑘𝑑 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 41
- 42. 𝑧 𝑛𝑘の期待値の導出 • ベイズの定理を用いて負担率を計算（混合ガウス分布のものと同様） 𝔼 𝑧 𝑛𝑘 = 𝐳 𝑛 𝑝 𝐳 𝑛|𝐱 𝑛, 𝝁 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝑝 𝐱 𝑛,𝐳 𝑛|𝝁 𝑝 𝐱 𝑛 |𝝁 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝑝 𝐱 𝑛,𝐳 𝑛|𝝁 𝐳 𝑛 𝑝 𝐱 𝑛,𝐳 𝑛|𝝁 = 𝐳 𝑛 𝑧 𝑛𝑘 𝑘′ 𝜋 𝑘′ 𝑝 𝐱 𝑛 |𝝁 𝑘′ 𝑧 𝑛𝑘′ 𝐳 𝑛 𝑗 𝜋 𝑗 𝑝 𝐱 𝑛 |𝝁 𝑗 𝑧 𝑛𝑗 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 42 = 𝜋 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛 |𝝁 𝑘 𝑗=1 𝐾 𝜋 𝑗 𝑝 𝐱 𝑛 |𝝁 𝑗 = 𝑝 𝑧 𝑛𝑘=1|𝝁 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛 |𝑧 𝑛𝑘=1,𝝁 𝑘 𝑗=1 𝐾 𝑝 𝑧 𝑛𝑗=1|𝝁 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛 |𝑧 𝑛𝑗=1,𝝁 𝑗 = 𝑝 𝑧 𝑛𝑘=1|𝝁 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛 |𝑧 𝑘=1,𝝁 𝑘 𝑧 𝑛𝑗=1 𝑝 𝐱 𝑛,𝑧 𝑛𝑗=1|𝝁 = 𝑝 𝑧 𝑛𝑘=1|𝝁 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛 |𝑧 𝑛𝑘=1,𝝁 𝑘 𝑝 𝐱 𝑛|𝝁 𝑘 = 𝑝 𝑧 𝑛𝑘 = 1|𝐱 𝑛, 𝝁 𝑘 = 𝛾 𝑧 𝑛𝑘
- 43. 対数尤度の期待値を最大化するパラメータ • 𝔼 𝐙|𝐗 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝝁, 𝝅 = 𝑛=1 𝑁 𝑘=1 𝐾 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 ln 𝜋 𝑘 + 𝑑=1 𝐷 𝑥 𝑛𝑑 ln 𝜇 𝑘𝑑 + 1 − 𝑥 𝑛𝑑 ln 1 − 𝜇 𝑘𝑑 を各種パラメータで微分して、最大化する解を求める • 𝝁 𝑘 = 1 𝑁 𝑘 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 𝐱 𝑛 • 各ピクセルは、全データの重みつき平均値 • 𝜋 𝑘 = 𝑁 𝑘 𝑁 • 全データに対する文字𝑘の割合 • ただし𝑁𝑘 = 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛𝑘 • 文字𝑘に分類されるデータの枚数 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 43
- 44. パラメータ𝝁 𝑘の直感的理解 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 44 𝑛 = 1 𝑛 = 2 𝑛 = 3 𝑛 = 4 𝑛 = 5 𝝁4 𝛾 𝑧 𝑛4 各データの 「４らしさ」 𝑥1𝑑 𝑥2𝑑 𝑥3𝑑 𝑥4𝑑 𝑥5𝑑 𝟏𝟎% 𝟕𝟎% 𝟕𝟓% 𝟓% 𝟕𝟓% 𝜇4𝑑 = 1 𝑁4 𝑛=1 𝑁 𝛾 𝑧 𝑛4 𝑥 𝑛𝑑𝜇4𝑑 𝝁4 = 𝜇41, … , 𝜇4𝑑, … , 𝜇4𝐷 文字４において、 各ピクセルが黒くなる確率
- 45. ベイズ線形回帰に関するEMアルゴリズム • エビデンス近似再訪 • 方法 • 𝑝 𝐭 |𝛼, 𝛽 = 𝐰 𝑝 𝐭, 𝐰|𝛼, 𝛽 なので、𝑝 𝐭, 𝐰|𝛼, 𝛽 を求めたい。 • 𝐰の値が観測できないので 𝐰|𝐭 に関する期待値をとる • Eステップ • 𝐰の事後分布𝑝 𝐰|𝐭, 𝛼, 𝛽 を計算 • 期待完全データ対数尤度𝔼 𝐰|𝐭 𝑝 𝐭, 𝐰|𝛼, 𝛽 • Mステップ • 期待完全データ対数尤度を最大化するように𝛼, 𝛽を更新 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 45 観測変数 潜在変数 パラメータ 尤度関数 混合ガウス分布 𝐗 𝐙 𝝁, 𝚺, 𝝅 𝑝 𝐗|𝝁, 𝚺, 𝝅 エビデンス近似 𝐭 𝐰 𝛼, 𝛽 𝑝 𝐭 |𝛼, 𝛽
- 47. ９章の概要 • ＥＭアルゴリズム：最適化の手法 • 観測データに対しモデルを設定し、そのモデルのパラメータを決定 • ＥＭアルゴリズムは「潜在変数」を持つモデルに対応 • 観測変数が「潜在変数」に影響を受ける 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 47 ＥＭアルゴリズム 9.2節 混合ガウス分布 9.3節 混合ベルヌーイ分布 9.1節 K-meansクラスタリング 抽象度 9.3節 9.4節
- 48. 一般のＥＭアルゴリズム • EMアルゴリズムをより一般的に取り扱う • 尤度関数の最大化であることの証明 • 観測変数𝐗、潜在変数𝐙、パラメータの組𝜽 • 目的：尤度関数𝑝 𝐗|𝜽 = 𝐙 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 の最大化 • 潜在変数についての分布𝑞 𝐙 を導入すると • ln 𝑝 𝐗|𝜽 = ℒ 𝑞, 𝜽 + KL 𝑞||𝑝 • ただしℒ 𝑞, 𝜽 、KL 𝑞||𝑝 は次の通り • ℒ 𝑞, 𝜽 = 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐗,𝐙|𝜽 𝑞 𝐙 • KL 𝑞||𝑝 = − 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐙|𝐗,𝜽 𝑞 𝐙 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 48 ℒ 𝑞, 𝜽 ：自由エネルギー KL 𝑞||𝑝 ：KLダイバージェンス
- 49. ln 𝑝 𝐗|𝜽 = ℒ 𝑞, 𝜽 + KL 𝑞||𝑝 の証明 ℒ 𝑞, 𝜽 + KL 𝑞||𝑝 = 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 𝑞 𝐙 − 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 𝑞 𝐙 = 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 𝑞 𝐙 − ln 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 𝑞 𝐙 = 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 𝑞 𝐙 ∙ 𝑞 𝐙 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 = 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐗|𝜽 = ln 𝑝 𝐗|𝜽 𝐙 𝑞 𝐙 = ln 𝑝 𝐗|𝜽 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 49 𝑝 𝐗, 𝐙|𝜽 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 = 𝑝 𝐗|𝜽 ∴ ln 𝑝 𝐗|𝜽 = ℒ 𝑞, 𝜽 + KL 𝑞||𝑝
- 50. ℒ 𝑞, 𝜽 とKL 𝑞||𝑝 の意味 • KL 𝑞||𝑝 = − 𝐙 𝑞 𝐙 ln 𝑝 𝐙|𝐗,𝜽 𝑞 𝐙 は 𝑞 𝐙 と 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 間のKLダイバージェンス • KL 𝑞||𝑝 ≥ 0、等号成立は𝑞 𝐙 = 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 のときのみ • したがって、ℒ 𝑞, 𝜽 ≤ ln 𝑝 𝐗|𝜽 • ℒ 𝑞, 𝜃 はln 𝑝 𝐗|𝜽 の下界をなすといえる 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 50
- 51. Ｅステップ • Ｅステップで行うこと • 𝜽oldを固定し、下界ℒ 𝑞, 𝜽old を𝑞 𝐙 について最大化 • 下界を最大化するにはKL 𝑞||𝑝 = 0とすればよい • つまり𝑞 𝐙 = 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽old とする 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 51
- 52. Ｍステップ • Ｍステップで行うこと • 分布𝑞 𝐙 を固定し、下界ℒ 𝑞, 𝜽 を𝜽について最大化し𝜽newを得る • 𝑞 𝐙 は𝜽old のままだが 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 のパラメータは𝜽new に更新 • →KL 𝑞||𝑝 ≥ 0 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 52
- 53. 下界の意味 • ℒ 𝑞, 𝜽 = 𝐙 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽old ln 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽 − 𝐙 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽old ln 𝑝 𝐙|𝐗, 𝜽old = 𝒬 𝜽, 𝜽old + const • 対数尤度の期待値𝒬 𝜽, 𝜽old が現れる • Mステップで行ったℒ 𝑞, 𝜽 の最大化=𝒬 𝜽, 𝜽old の最大化 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 53
- 54. ＥＭアルゴリズムの応用 • 複雑なモデルに対してはＥＭアルゴリズムを拡張する必要がある • 一般化ＥＭアルゴリズム（ＧＥＭアルゴリズム） • 複雑なＭステップにも対応可能 • 下界の最大化は諦め、少しでも増加させるようにパラメータを変化 • ＥＣＭ法 • ＧＥＭアルゴリズムの形式の１つ • Ｍステップでいくつかの制限つき最適化を用いる • パラメータの一部を固定して、残りを最適化 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 54
- 55. ９章 混合モデルとＥＭ まとめ • ＥＭアルゴリズム：最適化の手法 • 目標：モデルのパラメータを調整し、対数尤度関数の期待値を最大化する • 混合ガウス分布などのように、潜在変数をもつモデルに対応可能 • 以下のＥ・Ｍステップを繰り返す • Ｅステップ • パラメータを固定し、事後分布𝑝 𝐙|𝐗 を求める • Ｍステップ • 事後分布を固定し、対数尤度関数の期待値を最大化するように パラメータを決定 2016/9/12 パターン認識と機械学習 輪読 55
Editor's Notes
- 上段：観測データに対しパラメトリックなモデルを設定し・・・
- タイトル：数式を使って説明していく
- タイトル：ここまではk-meansの原理を説明してきたが、k-meansの利用法としてはデータ解析などさまざまなものがある。ここではその利用法の１つである画像圧縮について説明する
- 的当てゲームといったが、わかるのは壁のどこに
- 中段：負担率は、ｘが与えられた下での・・・と定義されます 下段：ｋがどのくらい関与しているか という考え方も可能
- aは潜在変数Zも観測できている状態。しかし実際は観測できないbの状態
- タイトル：ここまでで必要な確率分布を定義してきたので、データに対してパラメータつまり的の場所とプレイヤーの正確さがもっともらしくなるように推定を行う。つまり最尤推定
- タイトル：それではＥＭアルゴリズムを混合ガウス分布に適用していく
- Nkはkを1つ決めてつまり的を１つ決めて、その的に対する全データ点の負担率の合計を求める
- 下段：ここでいう正規化とは、負担率の合計を全データ数でわったもの。 直感的には、より多くのデータ点を負担しているガウス要素が、π_kの値が大きくなる
- タイトル：まとめ
- 対数尤度関数を確率変数の実現値とし、条件付確率𝑝(Z|X)についての期待値を求める 同時分布の式にはzが変数として含まれているが、zについての期待値を求めることで、式からzを消すことができる
- 目的は例によって、観測データ集合から計算される対数尤度関数 完全データ対数尤度は、潜在変数zの値も観測できているときに値がわかる
- 上段： 実際、求めた式の中にzが入っているので、zというデータが必要であることがわかる 期待値をとることによってそのzを消す（矢印の意味）
- 下段：テキストの9.13式と全く同じ形
- タイトル：次に混合ガウス分布とk-meansの関連について
- 上段：まず混合ガウス分布において、
- 上段：各データ点は、K個のクラスターに対して、距離が最小になるときのみrnj=1とした
- 上段：ガウス分布の式でのパラメータはこの式で表されたが、負担率とrが一致したので、k-meansにおけるμは次の式で表される。γとrを置き換えた
- タイトル：全く話は変わって、ベルヌーイ分布 手書き文字の分類などに利用可能なので、ここではそれを扱いながら数式を説明していく
- 中段：上の式の対数をとって対数尤度を求める。対数尤度関数はzの値がわからないと求められないが、zは観測できない 下段：混合がうすのものと同じなので省略
- 混合がうすのものと同じなので省略
- タイトル p164 9.3.4節
- 具体的な例を扱うわけではないので抽象的になるが、ＥＭアルゴリズムが数式的に正しいことを証明していく
- 吹き出し：このテキストには書いていなかったが、文献によってはLを自由エネルギーと言っているものもあった。熱力学で使われるような単語でおもしろいが、どうしてそう言うのかは調べ切れなかった
- タイトル：ℒ 𝑞,𝜽 とKL 𝑞||𝑝 の意味を考えていきます
- 下界ℒ 𝑞, 𝜽 old を直接動かすのではなくて、KLダイバージェンスを最小化することで下界を最大化する。 θを固定するので、pも固定。その状態で、qをpと等しくする
- 先ほど更新した分布𝑞 𝐙 を固定し・・・
- 定数項はθから独立。θについて最大化されるのは、対数尤度の期待値
- Ｅステップ：事後分布を求めるためにいったんパラメータを固定する Ｍステップ：最適なパラメータを求めるために事後分布を固定 事後分布やパラメータ別々に一発で求められるのであれば繰り返す必要はないのだが、事後分布とパラメータはお互いに依存しているので、ＥＭステップでどちらかを固定しながら繰り返す必要がある