2. WIELOMIAN I RÓWNANIE
CHARAKTERYSTYCZNE MACIERZY
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną).
Wielomianem charakterystycznym macierzy A nazywamy wielomian
rzeczywisty (zespolony) określony wzorem:
def .
W A (λ ) = det( A − λI )
Równaniem charakterystycznym tej macierzy nazywamy
równanie postaci:
W A (λ ) = 0
Wielomian charakterystyczny macierzy wymiaru n × n
ma stopień n .

3. Ćwiczenie 1.
Obliczyć wielomian charakterystyczny podanej macierzy
− 2 1
A=
 1 3
Rozwiązanie:
− 2 1 1 0 − 2 1 λ 0  − 2 − λ 1 
A − λI =   − λ ⋅ 0 1 =  1 3 −  0 λ  =  1
 1 3        3 − λ

− 2 − λ 1  −2−λ 1
det( A − λI ) = det  = = (−2 − λ ) ⋅ (3 − λ ) − 1 ⋅ 1 = λ2 − λ − 7
 1 3 − λ
 1 3−λ
Zatem W A (λ ) = λ − λ − 72

4. WARTOŚĆ I WEKTOR
WŁASNY MACIERZY
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespolona) stopnia n .
Wartością własną macierzy A nazywamy każdy rzeczywisty
(zespolony) pierwiastek wielomianu charakterystycznego tej macierzy,
to jest liczbę λ ∈ R ( λ ∈ C ) spełniającą równanie:
W A (λ ) = 0
 
Niezerowy wektor x = ( x1 , x 2 , x3 ,, x n ) ∈ R n ( x = ( x1 , x 2 , x3 , , x n ) ∈ C n)
nazywamy wektorem własnym macierzy A odpowiadającym wartości
własnej λ ∈ R ( λ ∈ C ) tej macierzy, jeśli spełnia warunek:

5.  x1   x1 
x  x 
A 2  = λ  2 
 
   
 xn   xn 
Wartości własne i wektory własne macierzy A są identyczne
z wartościami i wektorami własnymi przekształcenia liniowego
L : R n → R n ( L : C n → C n ) , dla którego A jest macierzą w bazie
n n
standardowej przestrzeni R ( C ) . Możemy więc mówić
o przestrzeni Wλ wektorów własnych macierzy odpowiadającej jej
wartości własnej λ . Jest to przestrzeń rozwiązań jednorodnego
układu równań postaci: ( A − λI ) X = 0 . Wymiar tej przestrzeni nie
przekracza krotności pierwiastka λ wielomianu
charakterystycznego tej macierzy.

6. Ćwiczenie 2.
Znaleźć wartości i wektory własne podanej macierzy
 4 1
A=
 − 2 1

Rozwiązanie:
Obliczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy A. Mamy:
4−λ 1
det( A − λI ) = = λ2 − 5λ + 6 = (λ − 2)(λ − 3)
− 2 1− λ
Wielomian ten ma dwa rzeczywiste pierwiastki λ1 = 2 , λ2 = 3 
które są wartościami własnymi macierzy A. Wektor własny v1 = ( x, y )
odpowiadający wartości własnej λ1 wyznaczamy z układu równań:

7. x  2 1   x  0 
( A − λ1 I )   =    y  = 0 ⇔ y = −2 x x∈R
 y  − 2 − 1    

Stąd v1 = ( x,−2 x) , gdzie x ∈ R /{0} . Podobnie znajdujemy wektor

własny v 2 = ( x, y ) odpowiadający własności λ2 :
x  1 1   x  0 
( A − λ2 I )   =    y  = 0  ⇔ y = − x x∈R
 y   − 2 − 2    

Zatem v 2 = ( x, − x ) , gdzie x ∈ R /{0} . Przestrzenie wektorów
własnych są więc następujące: W2 = lin{(1,−2)} dla λ1 = 2 oraz
W3 = lin{(1,−1)} dla λ 2 = 3 .

8. Ćwiczenie 3.
5 − 3
Znaleźć wartości i wektory własne podanej macierzy B = 
3 − 1  
Rozwiązanie:
Obliczamy najpierw wielomian charakterystyczny macierzy B.
5−λ −3
det( B − λI ) = = λ 2 − 4λ + 4 = ( λ − 2) 2
3 −1− λ
Liczba λ = 2 jest jedyną wartością własną (o krotności 2) macierzy
B. Rozwiązujemy układ równań:
 x  3 − 3  x  0
( B − λI )   =    y  = 0  ⇔ y = x
 y  3 − 3     x∈R

Otrzymujemy wówczas wektor własny v = ( x, x ) , x ∈ R /{0} oraz
przestrzeń wektorów własnych .
W2 = lin{(1,1)}

9. Ćwiczenie 4. 2 + i 1 
Wyznaczyć wartości i wektory własne macierzy C = 
Rozwiązanie:  2 2 − i

Mamy
2+i−λ 1
det(C − λI ) = = λ2 − 4λ + 3 = (λ − 1)(λ − 3)
2 2−i−λ
Wartości własne λ1 = 1 , λ2 = 3 są tutaj liczbami rzeczywistymi.
Rozwiązujemy teraz układ równań:
 x  1 + i 1   x  0
(C − λ1 I )   =    y  = 0 ⇔ y = −(1 + i ) x
 y  2 1 − i    x∈C
 x  1 − i 1   x  0 
(C − λ 2 I )   =    y  = 0 ⇔ y = (1 − i ) x x∈C
 y  2 − 1 − i    
 
Stąd wynika, że v1 = ( x,−(1 + i ) x) i v 2 = ( x, (1 − i ) x) , gdzie

10. x ∈ C /{0} oraz W1 = linC {(1,−1 − i )} , W3 = linC {(1,1 − i )} .
WARTOŚCI WŁASNE A WYZNACZNIK
Niech A będzie macierzą zespoloną stopnia n o wartościach własnych:
λ1 , λ 2 , , λ n i wielomianie charakterystycznym W A (λ ) . Wówczas:
1. det A = W A (0) = λ1 ⋅ λ2 ⋅  ⋅ λn
2. macierz A jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy 0 nie
jest jej wartością własną.
MACIERZ DIAGONALIZOWALNA
Macierz kwadratowa rzeczywista (zespolona) A jest
diagonalizowalna, jeżeli istnieje odwracalna macierz rzeczywista
(zespolona) P taka, że macierz P −1 AP jest diagonalna.

11. Mówimy wówczas o macierzy P, że diagonalizuje A.
Twierdzenie
(Warunki diagonalizowalności macierzy)
Niech A będzie macierzą rzeczywistą (zespoloną) stopnia n.
Wówczas następujące warunki są równoważne:
1. macierz A jest diagonalizowalna;
2. wektory własne macierzy A tworzą bazę przestrzeni R n ( C n )
3. A = PDP −1 gdzie D jest macierzą diagonalną, której główną
przekątną tworzą kolejne wartości własne macierzy A, zaś
odpowiadające im wektory własne tworzą kolejne kolumny
macierzy P.

12. MACIERZ DODATNIO OKREŚLONA
Niech A = [aij ] będzie macierzą rzeczywistą stopnia n.
Mówimy, że macierz A jest dodatnio określona, gdy dla dowolnego
niezerowego wektora ( x1 , x 2 ,, x n ) ∈ R n spełniona jest nierówność:
n
∑a
i , j =1
ij xi x j > 0
W zapisie macierzowym powyższa nierówność przyjmuje postać:
XAX T
>0 , gdzie X = [ x1 x 2  x n ]

13. TWIERDZENIE (SYLWESTRA)
Niech A = [aij ] będzie macierzą rzeczywistą symetryczną
stopnia n. Wówczas macierz A jest dodatnio określona wtedy i tylko
wtedy, gdy dla k = 1,2, , n zachodzi nierówność:
 a11 a12  a1k 
a a 22  a2k 
det  21 >0
     
 
a k1 ak 2  a kk 
Wszystkie wartości własne rzeczywistej macierzy dodatnio określonej
są dodatnie.

14. TWIERDZENIE
(O POSTACI WIELOMIANU
CHARAKTERYSTYCZNEGO MACIERZY)
Niech A będzie macierzą kwadratową stopnia n. Wtedy wielomian
charakterystyczny macierzy A ma postać:
W A (λ ) = (−1) n [λn − p1λn −1 + p 2 λn − 2 −  + (−1) n p n ]
n
gdzie p k jest sumą wszystkich  
k  minorów głównych
 
stopnia k macierzy A.