Perla talk

Parˆdoxa stic pijanìthtec

Πέρλα Σούση
University of Cambridge
http://www.statslab.cam.ac.uk/~ps422

Pèrla SoÔsh Parˆdoxa stic pijanìthtec
University of Cambridge http://www.statslab.cam.ac.uk/~ps422

Tuqaiìthta


Tuqaiìthta

Η τυχαιότητα απασχόλησε την ανθρωπότητα χιλιάδες χρόνια πριν...


Tuqaiìthta


Από πού προέρχονται αυτά τα ζάρια;


Tuqaiìthta


Από πού προέρχονται αυτά τα ζάρια;
Είναι Αιγυπτιακά – περίπου 7000 χρόνων....


Tuqaiìthta

Ο Αχιλλέας και ο Αίας παίζουν ζάρια.

520–510 π.Χ., Μουσείο Λούβρου


Tuqaiìthta

Η τυχαιότητα ήταν δύσκολο να εξηγηθεί...


Tuqaiìthta


Οι φιλόσοφοι προσπάθησαν να την εξηγήσουν.


Tuqaiìthta



Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τίποτα
που να σχετίζεται με την τύχη.


Tuqaiìthta



Ο Αριστοτέλης πίστευε ότι δεν μπορούμε να υπολογίσουμε τίποτα
που να σχετίζεται με την τύχη.

Αντιθέτως, ήξεραν πώς να σκέφτονται και να υπολογίζουν
χρησιμοποιώντας μαθηματικά.


Metˆ to 1600


Metˆ to 1600

Μετά το 1600 όμως τα πράγματα άρχισαν να αλλάζουν κι έκτοτε
άρχισαν να εξελίσσονται πολύ γρήγορα.


Metˆ to 1600


Παράδειγμα
Γύρω στο 1600, 2 αριστοκράτες στη Γαλλία, ο A και ο B παίζουν ένα
παιχνίδι. Και οι δύο έχουν ίση πιθανότητα να κερδίσουν κάθε γύρο.


Metˆ to 1600


Το παιχνίδι τελειώνει όταν κάποιος από τους δύο κερδίσει 10 γύρους και
αυτός ο παίκτης θα κερδίσει ένα ποσό χρημάτων x.


Metˆ to 1600


Κάποια στιγμή ο A έχει κερδίσει 9 γύρους και ο B 8 και πρέπει να
σταματήσουν το παιχνίδι.


Metˆ to 1600


Κάποια στιγμή ο A έχει κερδίσει 9 γύρους και ο B 8 και πρέπει να
σταματήσουν το παιχνίδι.
Πώς θα πρέπει να μοιραστούν τα χρήματα;


Metˆ to 1600

Πώς είναι πιο δίκαιο να μοιραστούν τα x χρήματα;


Metˆ to 1600

Ας υπολογίσουμε την πιθανότητα να κερδίσει ο A, αν υποθέσουμε ότι
το παιχνίδι συνεχιζόταν. (Ο A έχει κερδίσει 9 γύρους.)


Metˆ to 1600

Η πιθανότητα του A να κερδίσει:


Metˆ to 1600


P(A) =


Metˆ to 1600


P(A) = P(κερδίζει επόμενο γύρο ή χάνει επόμενο και κερδίζει μεθεπόμενο)
=


Metˆ to 1600


1
= 2


Metˆ to 1600


1 1
= 2 + 2


Metˆ to 1600


1 1 1
= 2 + 2 × 2 =


Metˆ to 1600


1 1 1 3
= 2 + 2 × 2 = 4


Metˆ to 1600


1 1 1 3
= 2 + 2 × 2 = 4

΄Αρα ο A θα πάρει τα 3/4 και ο B το 1/4 των χρημάτων.


Metˆ to 1600


1 1 1 3
= 2 + 2 × 2 = 4

΄Αρα ο A θα πάρει τα 3/4 και ο B το 1/4 των χρημάτων.
Αυτόν τον απλό για εμάς υπολογισμό τον έκανε πρώτος ο Blaise
Pascal (1623-1662).


'
Allo èna aplì parˆdeigma


'

΄Εχουμε ένα δίκαιο νόμισμα, δηλαδή

P(Κορώνα) = 1/2 και P(Γράμματα) = 1/2.


'



Ρίχνουμε το νόμισμα ανεξάρτητα, δηλαδή το αποτέλεσμα της πρώτης
ρίψης δεν επηρεάζει τη δεύτερη κ.ο.κ.


'



1o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΚ συνεχόμενα.
2o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΓ συνεχόμενα.


'



1o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΚ συνεχόμενα.
2o πείραμα: περιμένουμε ώσπου να έρθει ΚΓ συνεχόμενα.

Ερώτηση
Κατά μέσο όρο τι χρειάζεται πιο πολλές ρίψεις, το ΚΚ ή το ΚΓ;


'

΄Εστω x ο μέσος αριθμός των ρίψεων ώσπου να έρθει Κ για πρώτη
φορά. Τότε
x=


'

φορά. Τότε
x =1


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x
2


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2
και λόγω συμμετρίας του προβλήματος κατά μέσο όρο χρειάζονται
z = 2 ρίψεις ώσπου να έρθει Γ για πρώτη φορά.


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2
΄Εστω y ο αριθμός των ρίψεων ώσπου να έρθει ΚΓ συνεχόμενα. Τότε

y=


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y =x


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y =x +z


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.

΄Εστω x ο μέσος αριθμός ρίψεων μέχρι ΚΚ συνεχόμενα. Τότε


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.


x =


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.


x =x


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.


x =x +1


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.

1
x =x +1+ x
2


'

φορά. Τότε
1
x =1+ x ⇒x =2
2

y = x + z = 4.

1
x = x + 1 + x ⇒ x = 6.
2


To parˆdoxo twn lewforeÐwn



Ελβετικό λεωφορείο Ιταλικό λεωφορείο



Κάθε ώρα ακριβώς 1 λεωφορείο ξξξξξξ Κάθε λεπτό 1 λεωφ. με πιθ.
ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ1/60.




Ερώτηση
Φτάνουμε στη στάση σε μία τυχαία στιγμή. Κατά μέσο όρο πόσο θα
περιμένουμε;




Ερώτηση

Στην Ελβετία: 1/2 ώρα!




Ερώτηση

Στην Ελβετία: 1/2 ώρα!
Στην Ιταλία: 1 ώρα!

TuqaÐoc perÐpatoc ( Random walk)

Σε μία διάσταση, Z.

−5 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 5


TuqaÐoc perÐpatoc se 1d

΄Ενας περιπατητής ξεκινάει από το 0.



Κοιτάζει τους δύο γείτονές του



και με ίση πιθανότητα επιλέγει σε ποιον θα μεταβεί.



Και πάλι κοιτάζει τους δύο γείτονες



ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ



ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ


TuqaÐoc perÐpatoc


TuqaÐoc perÐpatoc

Σε δύο διαστάσεις, Z2 , δηλαδή όλα τα σημεία του R2 με ακέραιες
συντεταγμένες.

(0,1) (1,1)

(-1,0) (0,0)



΄Ενας περιπατητής ξεκινάει απο το (0, 0).



Κοιτάζει τους 4 γείτονές του



και με πιθανότητα 1/4 επιλέγει σε ποιον θα μεταβεί.



Και πάλι



ξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξξ


TuqaÐoc perÐpatoc

Από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τυχαίους
περιπάτους ήταν ο P´lya (1887-1985).
o


TuqaÐoc perÐpatoc

Από τους πρώτους μαθηματικούς που ασχολήθηκαν με τυχαίους
περιπάτους ήταν ο P´lya (1887-1985).
o
Κάποτε είπε ότι καθώς περπατούσε σε ένα πάρκο κοντά στο σπίτι του
συναντούσε συνεχώς το ίδιο ζευγάρι. Σκέφτηκε ότι θα νόμιζαν ότι
τους ακολουθούσε ή ότι τους κατασκόπευε. Θέλησε λοιπόν να
εξηγήσει το φαινόμενο αυτό μαθηματικά.


TuqaÐoc perÐpatoc

Ο P´lya λοιπόν ήθελε να αποδείξει το εξής:
o


TuqaÐoc perÐpatoc

o
΄Εστω ότι δύο περιπατητές ξεκινάν από το (0, 0) τη χρονική στιγμή 0
και περπατάνε ανεξάρτητα, δηλαδή ο κάθε περπατητής δεν έχει
πληροφορία για τη θέση του άλλου. Ποια είναι η πιθανότητα να
συναντηθούν άπειρες φορες;


TuqaÐoc perÐpatoc

o
Ας σταθεροποιήσουμε τον έναν περιπατητή στο (0, 0).


TuqaÐoc perÐpatoc

o
Ας σταθεροποιήσουμε τον έναν περιπατητή στο (0, 0).

Ερώτηση
Ποια είναι η πιθανότητα ο άλλος να τον συναντήσει άπειρες φορές;


TuqaÐoc perÐpatoc

Θεώρημα (P´lya 1920)
o
Σε μία διάσταση (d = 1) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει στο 0
άπειρες φορές.


TuqaÐoc perÐpatoc

o
Σε δύο διαστάσεις (d = 2) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει στο (0, 0)


TuqaÐoc perÐpatoc

o
Σε δύο διαστάσεις (d = 2) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει στο (0, 0)
Σε τρεις και άνω διαστάσεις (d ≥ 3) ο τυχαίος περίπατος επιστρέφει
στο 0 πεπερασμένο αριθμό φορών.


Sunant seic dÔo tuqaÐwn peripˆtwn

Ας επιστρέψουμε τώρα στο αρχικό πρόβλημα του P´lya.
o



o
Ερώτηση
Δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι σε δύο διαστάσεις συναντιούνται
άπειρες φορές;



o
Ερώτηση

΄Εστω Xn και Yn οι θέσεις των δύο περιπάτων τη χρονική στιγμή n.



o
Ερώτηση

Η διαφορά τους, Xn − Yn είναι και πάλι ένας τυχαίος περίπατος σε
δύο διαστάσεις, επομένως επιστρέφει στο (0, 0) άπειρες φορές.



o
Ερώτηση

Η διαφορά τους, Xn − Yn είναι και πάλι ένας τυχαίος περίπατος σε
δύο διαστάσεις, επομένως επιστρέφει στο (0, 0) άπειρες φορές.
΄Αρα είχε δίκιο ο P´lya όταν έλεγε ότι τυχαία συναντούσε διαρκώς το
o
ζευγάρι!



Στο επίπεδο λοιπόν παίρνοντας διαφορές έχουμε



ένας περίπατος επιστρέφει στο (0, 0) ∞ φορές ⇒ ∞ συναντήσεις δύο
περιπάτων



ένας περίπατος επιστρέφει στο (0, 0) ∞ φορές ⇒ ∞ συναντήσεις δύο
περιπάτων

Ερώτηση
Ισχύει άραγε το ίδιο και για άλλους γράφους;


TuqaÐoc perÐpatoc sto Comb(Z)


Sunant seic dÔo tuqaÐwn peripˆtwn sto Comb(Z)

Θεώρημα (Krishnapur, Peres (2004))
Δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι στο Comb(Z) που ξεκινούν από το
ίδιο σημείο συναντιούνται έναν πεπερασμένο αριθμό φορών.


TuqaÐoc perÐpatoc sto Comb(Z, f )

f(n)

n



΄Εστω f (n) = nα , για κάποιο α > 0.




Θεώρημα (Barlow, Peres, Sousi (2010) )
΄Οταν α ≤ 1, τότε δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι
συναντιούνται άπειρες φορές.




Θεώρημα (Barlow, Peres, Sousi (2010) )
΄Οταν α ≤ 1, τότε δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι
συναντιούνται άπειρες φορές.
΄Οταν α > 1, τότε δύο ανεξάρτητοι τυχαίοι περίπατοι
συναντιούνται έναν πεπερασμένο αριθμό φορών.


KinhtoÐ gewmetrikoÐ grˆfoi ( Mobile geometric graphs)



΄Εστω ότι τα σημεία αυτά κινούνται ανεξάρτητα ως τυχαίοι περίπατοι
(όχι πλέον στο Z2 αλλά σε όλο το R2 ).



΄Εστω ότι τα σημεία αυτά κινούνται ανεξάρτητα ως τυχαίοι περίπατοι
(όχι πλέον στο Z2 αλλά σε όλο το R2 ).
Τοποθετούμε ένα επιπλέον σημείο στο 0.



Ερώτηση
Ποια είναι η καλύτερη στρατηγική για το σημείο στο 0 ούτως ώστε να
μεγιστοποιήσει την πιθανότητα να μη συγκρουστεί με τα υπόλοιπα
σημεία για μεγάλο διάστημα;



Θεώρημα (Miller, Peres, Sousi (2011))
Αν το σημείο στο 0 παραμείνει ακίνητο, τότε μεγιστοποιεί την
πιθανότητα να μη συγκρουστεί με τα υπόλοιπα σημεία για μεγάλο
διάστημα.


Perla talk

Recommended

Recommended

More Related Content

Viewers also liked

Viewers also liked (11)

More from Σωκράτης Ρωμανίδης

More from Σωκράτης Ρωμανίδης (20)

Perla talk