М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...Project KRIT
М.Г.Гоман «Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений, зависящих от параметра», Ученые записки ЦАГИ, том XVII, №5, 1986, стр. 94-102
Goman, M. G. (1986) Differential method for continuation of equilibrium solutions of a system of nonlinear equations depending on a parameter. Uch. Zap. TsAGI, vol.17, no.5, pp. 94-102 (in Russian).
Для продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений при изменении параметра получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой искомое однопараметрическое семейство решений конечных уравнений является устойчивой фазовой траекторией. Рассмотрен конечно-разностный алгоритм продолжения решения с ортогональной к траектории решения коррекцией, обеспечивающий прохождение предельных по параметру точек и точек ветвления траектории решения. Обсуждается использование метода продолжения по параметру в различных алгоритмах решения нелинейных систем уравнений. Приведен пример использования метола в задаче динамики пространственного движения самолета.
М.Г.Гоман (1986) – Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных...Project KRIT
М.Г.Гоман «Дифференциальный метод продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений, зависящих от параметра», Ученые записки ЦАГИ, том XVII, №5, 1986, стр. 94-102
Goman, M. G. (1986) Differential method for continuation of equilibrium solutions of a system of nonlinear equations depending on a parameter. Uch. Zap. TsAGI, vol.17, no.5, pp. 94-102 (in Russian).
Для продолжения решений систем конечных нелинейных уравнений при изменении параметра получена система обыкновенных дифференциальных уравнений, для которой искомое однопараметрическое семейство решений конечных уравнений является устойчивой фазовой траекторией. Рассмотрен конечно-разностный алгоритм продолжения решения с ортогональной к траектории решения коррекцией, обеспечивающий прохождение предельных по параметру точек и точек ветвления траектории решения. Обсуждается использование метода продолжения по параметру в различных алгоритмах решения нелинейных систем уравнений. Приведен пример использования метола в задаче динамики пространственного движения самолета.
2. Найдем корни квадратного трехчлена в левой части
неравенства с помощью теоремы Виета:
При каких a множество решений неравенства
x2
- ( a2
+ a ) x + a3
≤ 0 содержит не менее пяти
целых чисел? (задача из подборки И. Яковлева)
x1
+ x2
= a 2
+ a
x1
x2
= a 3 Отсюда x1= a2
, x2 = a
Разложим левую часть неравенства на множители:
( x - a2
) ( x – a ) ≤ 0
3. Введём параметрическую плоскость (a;x) - вертикальная
ось x, горизонтальная ось a.
Изобразим на параметрической плоскости (a;x) множество
решений неравенства (x-a2
)(x-a) ≤ 0
Знак неравенства меняется при переходе через нули левой
части, то есть через линии x=a2
и x=a.
Эти линии являются границами областей плоскости
(a;x),
в каждой из которых
точки соответствуют
определённому знаку
левой части неравенства.
a
x
4. Эти линии являются границами областей плоскости
(a;x) , в каждой из которых точки соответствуют
определённому знаку левой части неравенства.
Методом проб определим эти знаки.
Пусть a=3 x=0 , т.е.берём точку (3;0 ) ; получим:
(0-32
)(0-3)>0, значит, в области, где лежит эта
точка, левая часть неравенства положительна:
a
x
(3;0)
5. В самом деле,
a x Знак
неравенства Пояснения
0 2 + (2-0)(2-0)>0
3 0 + (0-9)(0-3) >0
3 4 - (4-9)(4-3) <0
-2 3 - (3-4)(2+3) <0
6. Выделим голубым цветом области,
координаты точек которых удовлетворяют
исходному неравенству:
Заметим, что точки,
на графиках x=a2
и x= a
принадлежат множеству
решений исходного неравенства.
Теперь варьируя значения а
(двигая слева направо прямую,
параллельную вертикальной оси) ,
заметим, что множество
решений исходного
неравенства содержит не
менее пяти целых
значений x при 3−≤a
или при 7≥a
8. Не менее пяти–это значит 5 и более ,т.е. « ≥5 »
По графику смотрим , где целых 5 значений х
(при каком a )?
Ответ: при a = -√3 , а более пяти при a ≤ -√3
В самом деле,
Двигаем далее вправо прямую х= a,
ищем, где количество целых значений х « ≥5 »
по графику смотрим :при a ≥ √7