1. TÝch ph©n
Ph¬ng ph¸p tÝnh TÝch ph©n

Mời Thầy cô vào http://violet.vn/n2chanoi để có
nhiều tư liệu cùng loại
I. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p ®æi biÕn:
Nh÷ng phÐp ®æi biÕn phæ th«ng:
- NÕu hµm cã chøa dÊu ngoÆc kÌm theo luü thõa th× ®Æt t lµ
phÇn bªn trong dÊu ngoÆc nµo cã luü thõa cao nhÊt.
- NÕu hµm chøa mÉu sè th× ®Æt t lµ mÉu sè.
- NÕu hµm sè chøa c¨n thøc th× ®Æt t lµ phÇn bªn trong dÊu
c¨n thøc.
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = ln x .
x
- NÕu tÝch ph©n chøa e x th× ®Æt t = e x .
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = x .
x
dx 1
- NÕu tÝch ph©n chøa 2 th× ®Æt t = .
x x
- NÕu tÝch ph©n chøa cos xdx th× ®Æt t = sin x .
- NÕu tÝch ph©n chøa sin xdx th× ®Æt t = cos x .
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = tgx .
cos 2 x
dx
- NÕu tÝch ph©n chøa th× ®Æt t = cot gx .
sin 2 x
Bµi tËp minh ho¹:
dx e x dx
1. ∫ ( x + 1) ( x + 2x − 1) dx
1 1 e 1
3
2. ∫ x. 1 − xdx ∫ x. 4. ∫ x
2
3.
3
0 0 1 1 − ln 2 x 0 e −1
π π π
1
dx
∫ cos xdx 4sin xdx e tgx dx
2 2 3 4
5. 6. ∫ sin 2 x − 5sin x + 6 7. ∫ 1 + cos x 8. ∫ cos 2 x
0 x 1+ x 0 0 0
π
dx
2 1
9. ∫ 10. ∫ x . 1 − x dx
3 2
4
π sin x 0
4
II. TÝnh tÝch ph©n b»ng ph¬ng ph¸p tÝch ph©n tõng phÇn:
b b
b
C«ng thøc: ∫ f ( x )dx = uv a − ∫ vdu . Nh vËy viÖc chän ®îc u vµ dv cã
a a
vai trß quyÕt ®Þnh trong viÖc ¸p dông ph¬ng ph¸p nµy.
Ta thng gĆ p ba lo i tÝch ph©n nh
ę ¹ sau:
Lo¹i 1:
-N2C- 1

2. TÝch ph©n
b
 ∫ Pn ( x). sin f ( x).dx
ba

 ∫ Pn ( x). cos f ( x).dx ⇒ u = Pn ( x ) : Trong ®ã Pn ( x ) lµ ®a thøc bËc n.
a
b
 ∫ Pn ( x).e .dx
f (x)
a
Ta ph¶i tÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng phÇn.
b
Lo¹i 2: ∫ P( x). ln
n
f ( x ).dx ⇒ u = ln n f ( x ) : TÝnh n lÇn tÝch ph©n tõng
a
phÇn.
 b αx
 ∫ e . sin β x.dx
Lo¹i 3:  b

a
§©y lµ hai tÝch ph©n mµ tÝnh tÝch ph©n
 e αx . cos β x.dx
∫
a
nµy ph¶i tÝnh lu«n c¶ tÝch ph©n cßn l¹i. Th«ng thêng ta lµm nh
sau:
b
- TÝnh ∫ e . sin β x.dx :§Æt u = e αx . Sau khi tÝch ph©n tõng phÇn ta
αx
a
l¹i cã tÝch ph©n
b
∫e
αx
. cos β x.dx .Ta l¹i ¸p dông TPTP víi u nh trªn.
a
- Tõ hai lÇn TPTP ta cã mèi quan hÖ gi÷a hai tÝch ph©n vµ dÔ
dµng t×m ®îc kÕt qu¶.
Bµi tËp minh ho¹:
π
e π
1. ∫ ( x − x + 1) . sin x.dx
2
∫x ∫x
3 2 2
2 2. . ln x.dx 3. . cos 3x.dx
1 0
0
π π π
2 2 2
4. ∫ e 3x . cos 5x.dx 5. ∫ e 2003x . sin 2004x.dx 6. ∫ e 2x . sin 2 x.dx
0 0 0
Ngoµi ra ta xÐt thªm mét vµi bµi tÝch ph©n ¸p dông ph¬ng ph¸p
TPTP nhng kh«ng theo quy t¾c ®Æt ë trªn:
3
x 8 .dx
π
e 2 e
 ln x 
1
x 2e x .dx
1. ∫ cos( ln x ) .dx 2. ∫ 4 3. ∫   .dx 4. ∫ 5.
0 ( x − 1) 0 ( x + 2)
3 2
1 1 x 
π
2
1 + sin x
∫ 1 + cos x .e dx
x
0
III. TÝch ph©n hµm ph©n thøc h÷u tû:
PhÇn 1: TÝch ph©n h÷u tû c¬ b¶n.
A A
1. a.D¹ng: ∫ ax + b dx = a
ln ax + b + C
-N2C- 2

3. TÝch ph©n
ax + b a A
b.D¹ng: ∫ dx = ∫ dx + ∫ dx
cx + d c cx + d
ax 2 + bx + c C
c. D¹ng: ∫ dx = ∫ ( Ax + B ) dx + ∫ dx
dx + e dx + e
dx
2. a.D¹ng: ∫ 2
ax + bx + c
dx 1 ( x − x1 ) − ( x − x 2 ) dx
- NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ...
a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2
dx
∫ 2
= ...
- NÕu ∆ = 0 :  b
a x − 
 2a 
dx
- NÕu ∆ < 0 : ∫ ( x − α ) = β.tgt
( x − α ) 2 + β 2 §Æt
Ax + B
3. D¹ng: I = ∫ 2 dx
ax + bx + c
Ph©n tÝch: I = ∫ 2
Ax + B
dx = m .∫
( ax 2 + bx + c)' dx + n. dx
ax + bx + c ax + bx + c
2 ∫ ax 2 + bx + c
dx
= m . ln ax 2 + bx + c + n.∫ 2
ax + bx + c
Bµi tËp minh ho¹:
1
2004x − 2003 2
dx 4
dx 1
dx
1. ∫ dx 2. ∫ 3. ∫ x 2 − 6x + 9 4. ∫x
0 2003x + 2004 1 6 + x + 5x + x+1
2 2
0 0
2
2x + 3 1
4 − 3x
5. ∫ dx 6. ∫ 2 dx
1 6 + x + 5x 0 x + x + 1
2
b
A( x )
PhÇn 2: TÝch ph©n h÷u tû tæng qu¸t. ∫ Q(x) dx
a
- Bíc 1: NÕu bËc cña A(x) lín h¬n bËc cña B(x): Chia chia A(x)
cho B(x). Ta ph¶i tÝnh tÝch ph©n:
b
P( x )
∫ Q(x) dx
a
- Bíc 2:
+ NÕu Q(x) chØ toµn nghiÖm ®¬n: Q( x ) = ( x − a 1 )( x − a 2 ) ...( x − a n ) , ta
t×m A 1 ,A 2 ...A n sao cho :
P( x ) A1 A2 An
= + + .. +
Q( x ) x − a 1 x − a 2 x − an
+ NÕu Q(x) gåm c¶ nghiÖm ®¬n vµ nghiÖm béi:
Q( x ) = ( x − a )( x − b )( x − c ) , ta t×m A, B,C1 ,C 2 sao cho :
2
P( x ) A B C1 C2
= + + +
Q( x ) x − a x − b ( x − c )
2
( x − c)
+ NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai ®¬n:
-N2C- 3

4. TÝch ph©n
Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A, B, C sao cho :
P( x ) A Bx + C
= + 2
Q( x ) x − a x + px + q
+ NÕu Q(x) gåm nh©n tö bËc hai ®¬n vµ nh©n tö bËc hai béi:
Q( x ) = ( x − a ) ( x 2 + px + q ) , ta t×m A, B 1 , C1 , B 2 , C 2 sao cho :
2
P( x ) A B x + C1 B x + C2
= + 2 1 + 22
Q( x ) x − a ( x + px + q ) x + px + q
2
Bµi tËp minh ho¹:
3
4x 2 + 16x − 8 2
3x 2 + 3x + 3 5
x+1
1. ∫
x 3 − 4x
dx 2. ∫ 3 dx 3. ∫x − x2
dx
1 x − 3x + 2
3
2 2
IV. TÝch ph©n hµm v« tû ®¬n gi¶n:
b b
dx
∫ ∫ ax + b = ( ax + b ) n
1
1.D¹ng:
n
ax + b .dx; : §æi n
a a
n
ax + b
b
2.D¹ng: ∫
a
ax 2 + bx + c .dx
b
- NÕu a>0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫ a
u 2 + a 2 du ®Æt u=atgt
HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc:
u 2 2 u2
∫ u + a du = 2 u + a + 2 ln u + u + a + C
2 2 2 2
b
-- NÕu a<0 : TÝch ph©n cã d¹ng ∫
a
a 2 −u 2 du ®Æt u=asint
b
dx
3.D¹ng: ∫
ax 2 + bx + c
a
dx 1 ( x − x 1 ) − ( x − x 2 ) dx
- NÕu ∆ > 0 : ∫ = ∫ a( x − x )( x − x ) = ...
a( x − x 1 )( x − x 2 ) x 2 − x 1 1 2
dx dx
∫ =∫
 b
=
- NÕu ∆ = 0 :
2
 b a x − 
a x −  2a 
 2a  
dx
- NÕu ∆ < 0 : Víi a>o: ∫ §Æt ( x − α ) = β.tgt
( x − α) 2 + β 2
du
HoÆc chøng minh ngîc c«ng thøc: ∫ = ln u + u 2 + a 2 + C
u +a
2 2
dx
Víi a<0: ∫ §Æt ( x − α ) = β. sin t
β 2 − ( x − α)
2
Bµi tËp minh ho¹:
-N2C- 4

5. TÝch ph©n
3
dx 1
dx 1
dx
1. I = ∫ 2. I = ∫ 3. I=∫ 2 4.
0 x 2 − 3x + 2 0 x 2 + 2x + 1 0 x + x+1
1
dx
I=∫
0 − x 2 − 2x + 3
1 1
5. I = ∫ x + x + 1.dx 6. I = ∫ − x − 2x + 3.dx
2 2
0 0
b
dx 1
4.D¹ng ∫ ( x + α) §Æt ( x + α ) =
a ax + bx + c
2
t
1
dx 1
dx
BTMH: 1. ∫ 2. ∫
( x + 1) x + x + 1
0
2
( 2x + 4) x + 2x 0
2
∫ R ( ( ax + b ) ; ( ax + b ) ).dx §Æt t = ( ax + b )
m q p 1
5.D¹ng: n
s víi s lµ BCNN cña n vµ
q.
1
dx 1
dx 1 6
x
BTMH: ∫ ∫ ∫ 1+ dx
− ( 2x + 1)
0 3 ( 2x + 1) 2
0 ( 1 − 2x ) − 4 ( 1 − 2x ) 0
3
x
V. TÝch ph©n hµm sè lîng gi¸c:
b
1.D¹ng: ∫ f ( sin x; cos x ) dx
a
- NÕu f lµ hµm lÎ theo sinx: §Æt t=cosx.
- NÕu f lµ hµm lÎ theo cosx: §Æt t=sinx.
- NÕu f lµ hµm ch½n theo sinx vµ cosx: §Æt t=tgx.
Bµi tËp minh ho¹:
π π π π
1. ∫ sin x dx 2.
2 3 6
cos x 3
3.
4
dx 4.
4
dx
3 ∫ 4 + sin x dx ∫ sin x. cos 3 ∫ ( sin x + cos x ) 2
0 cos x 0 0 x 0
b
2.D¹ng: ∫ sin x. cos x.dx
m n
a
- NÕu m vµ n ch½n: H¹ bËc.
- NÕu m lÎ: §Æt t=cosx.
- NÕu n lÎ: §Æt t=sinx.
Bµi tËp minh ho¹:
π π π π
1. ∫ sin 3 x. cos 2 x.dx 2. ∫ sin 4 x. cos 2 x.dx 3. ∫ sin x dx 4. dx
2 2 2 4 2
0 0
2
0 cos x
∫ cos
0
4
x. sin 4 x
b
3.D¹ng: ∫ R ( sin x;cos x ) .dx trong ®ã R lµ hµm h÷u tØ theo sinx, cosx.
a
x 2dt 2t 1− t2 2t
§Æt t = tg ⇒ dx = ; sin x = ; cos x = ; tgx =
2 1+ t2 1+ t2 1+ t2 1− t2
-N2C- 5

6. TÝch ph©n
b
dx
Cô thÓ lµ hµm: I=∫
a a sin x + b cos x + c
Bµi tËp minh ho¹:
π π π
1. I = ∫
4
dx 2.
2
( 1 + sin x )
3. I = ∫ dx 2
I=∫ dx
0 sin x + cos x + 1 0 sin x.( cos x + 1)
0 ( cos x + 2)
b
a sin x + b cos x
4.D¹ng: I=∫ dx
a c sin x + d cos x
Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’
a sin x + b cos x
b b b
c cos x − d sin x b b
d( c sin x + d cos x )
I=∫ dx = A ∫ dx + B.∫ dx = A ∫ dx + B.∫
a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x a a c sin x + d cos x
π
Bµi tËp minh ho¹: I = 3sin x − 2cos x dx
2
∫ 4sin x + 3cos x
0
b
a 1 sin x + b 1 cos x + c1
5.D¹ng: I = ∫ dx
a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
Ph©n tÝch: (Tö sè)=A.(MÉu sè)+B.(MÉu sè)’ +C
b b
a 2 cos x − b 2 sin x b
dx
I = A ∫ dx + B ∫ dx + + C∫
a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
b
d( a 2 sin x + b 2 cos x + c 2 )
b
= A ∫ dx + B ∫ + C.J
a a a 2 sin x + b 2 cos x + c 2
J lµ tÝch ph©n tÝnh ®îc.
π π
Bµi tËp minh ho¹: 1. I = sin x − cos x + 1 dx 2. I = sin x + 1
2 2
∫ sin x + 2cos x + 3
0
∫ 3sin x − 4cos x + 5 dx
0
VI. PhÐp ®æi biÕn ®Æc biÖt:
b
I = ∫ f ( x)dx
a
Khi sö dông c¸c c¸ch tÝnh tÝch ph©n mµ kh«ng tÝnh ®îc ta thö
dïng phÐp ®æi biÕn:
t = ( a + b ) − x .Thùc chÊt cña phÐp ®æi biÕn nµy lµ nhê tÝnh chÊt
ch½n lÎ cña hµm sè f(x).
Bµi tËp minh ho¹:
π
( )
π
2
cos x 1
x sin x
1. I = ∫ x dx 2. I = ∫ ln 3 x + x 2 + 1 dx 3. I = ∫ dx 4.
πe + 1 0 1 + cos x
2
−1
−
2
1
sin 2004x
I= ∫ dx
−1 2003 + 1
x
Chøng minh r»ng:
-N2C- 6

7. TÝch ph©n
1. NÕu f(x) lµ hµm sè ch½n vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×:
a a
∫ f ( x)dx = 2.∫ f (x)dx
−a 0
a
2. NÕu f(x) lµ hµm sè lÎ vµ liªn tôc trªn [ − a; a] th×: ∫ f ( x)dx = 0
−a
π π π π
2 2 2 2
3. ∫ f (sin x )dx = ∫ f (cos x )dx 4. ∫ x.f (sin x)dx =π ∫ f (sin x)dx
0 0 0 0
-N2C- 7