Statistika

1. Peubah Acak

2. Peubah Acak
Tiga keping koin dilempar sebanyak 1 kali
Ruang Sampel : 𝑆 = 𝐺𝐺𝐺, 𝐺𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐺, 𝐴𝐴𝐴, 𝐴𝐴𝐺, 𝐴𝐺𝐴, 𝐺𝐴𝐴,
Dua Kelereng diambil berturut-turut tanpa pemulihan dari sebuah
kotak yang berisi 4 kelereng merah dan 3 kelereng hitam
Ruang Sampel : 𝑆 = 𝑀𝑀, 𝑀𝐻, 𝐻𝑀, 𝐻𝐻

3. Peubah Acak
“Banyaknya Kemunculan Gambar”
“Banyaknya Kelereng Merah yang terambil”
0 , 1 , 2 , 3
0 , 1 , 2
Peubah Acak : “Suatu Fungsi yang nilainya berupa bilangan nyata yang
ditentukan oleh setiap unsur di dalam ruang sampel”
y
x
Y
X
Peubah Acak X Peubah Acak Y

4. Peubah Acak
GGG
GGA
GAG
AGG
AAA
AAG
AGA
GAA
0
1
2
3
y
S
Y

5. Contoh Soal Peubah Acak
Seorang petugas penitipan topi mengembalikan 3 topi secara acak kepada pemiliknya. Jika Sadi,
Johan, dan Budi, dalam urutan tersebut, menerima masing-masing sebuah topi, daftarkan semua
titik sampel bagi kemungkinan urutan pengembalian topi dan tentukan nilai m bagi peubah acak
M yang melambangkan banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat.
Sadi Johan Budi M
S J B 3
S B J 1
J S B 1
J B S 0
B S J 0
B J S 1
𝑀 = 0, 1, 3
𝑆 = 𝑆𝐽𝐵, 𝑆𝐵𝐽, 𝐽𝑆𝐵, 𝐽𝐵𝑆, 𝐵𝑆𝐽, 𝐵𝐽𝑆

6. Klasifikasi Peubah Acak
Diskret Kontinu
Ruang Sampel Diskret Ruang Sampel Kontinu
Banyaknya kecelakaan setiap tahun di
ruas tol Jagorawi.
Lamanya memainkan permainan golf 18
lubang.
Produksi susu sapi perah jenis tertentu per
tahun.
Produksi telur ayam per bulan per induk.
Banyaknya izin mendirikan bangunan yang
diterbitkan setiap bulan.
Produksi beras varietas tertentu dalam 1
hektar.

7. Distribusi Peubah Acak
Peubah Acak Fungsi yang memetakan setiap unsur dalam ruang contoh tepat ke satu
bilangan riil.
Setiap bilangan riil yang mungkin diambil oleh Peubah Acak, pasti memiliki
peluang tertentu untuk muncul.
Setiap peluang yang muncul dari nilai Peubah Acak ini, dapat diringkas
dalam suatu fungsi.
Fungsi ini disebut sebagai Fungsi Peluang atau Distribusi Peluang dari
suatu Peubah Acak.

8. Distribusi Peubah Acak
Distribusi Peubah Acak
Distribusi Peubah Acak Diskret Distribusi Peubah Acak Kontinu
Fungsi Massa Peluang Fungsi Padat Peluang
p 𝒙 = 𝐏 𝑿 = 𝒙 𝒇 𝒙 = 𝐏 −∞ ≤ 𝒙 ≤ ∞
“Suatu fungsi adalah sebuah fungsi peluang jika nilai kumulatif
untuk seluruh nilai peubah acaknya adalah 1 (satu)”
𝑃 𝑋 < 𝑏 = 𝑃 𝑋 ≤ 𝑏 = න
−∞
𝑏
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑃 𝑋 > 𝑎 = 𝑃 𝑋 ≥ 𝑎 = න
𝒂
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥
𝑃 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏 = න
𝒂
𝒃
𝑓 𝑥 𝑑𝑥

9. Distribusi Peubah Acak
GGG
GGA
GAG
AGG
AAA
AAG
AGA
GAA
0
1
2
3
y
S
Y
𝟏
𝟖
𝟑
𝟖
f (y)
P (Y=y)

10. Contoh Soal Distribusi Peubah Acak Diskret
Seorang petugas penitipan topi mengembalikan 3 topi secara acak kepada pemiliknya. Jika Sadi, Johan, dan Budi, dalam urutan
tersebut, menerima masing-masing sebuah topi, daftarkan semua titik sampel bagi kemungkinan urutan pengembalian topi dan
tentukan nilai m bagi peubah acak M yang melambangkan banyaknya pasangan topi dan pemiliknya yang tepat. Tentukan peluang
bahwa tidak ada satu pun pasangan topi dan pemiliknya yang tepat.
S m
SJB 3
SBJ 1
JSB 1
JBS 0
BSJ 0
BJS 1
SJB
SBJ
JSB
JBS
BSJ
BJS
0
1
3
𝟏
𝟔
𝟐
𝟔
𝟑
𝟔
S m
M
P (M=m)
p(m)
m 0 1 3
𝑷 ( 𝑴 = 𝒎) 2
6
3
6
1
6
p 𝑚 =
2
6
, 𝑚 = 0
3
6
, 𝑚 = 1
1
6
, 𝑚 = 3
0, 𝑚 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

11. Contoh Soal Distribusi Peubah Acak Kontinu
Sebuah Peubah Acak Kontinu X mempunyai fungsi kepekatan peluang 𝑓 𝑥 =
𝑥+1
8
untuk nilai peubah acak di antara 2 dan 4. Hitunglah
peluang bagi nilai peubah acak yang berada kurang dari 3,5.
f 𝑥 = ቐ
𝑥 + 1
8
, 2 < 𝑥 < 4
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
න
−∞
∞
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 = 1 → න
𝟐
4
𝑥 + 1
8
𝑑𝑥 =
1
16
𝑥2
+
1
8
𝑥
2
4
=
1
16
(4)2
+
1
8
(4) −
1
16
(2)2
+
1
8
(2)
= 1 +
1
2
−
1
4
+
1
4
=
3
2
−
1
2
= 1
𝑃 𝑋 < 3,5 = ‫׬‬𝟐
3,5 𝑥+1
8
𝑑𝑥 =
1
16
𝑥2
+
1
8
𝑥
2
3,5
=
1
16
(3,5)2
+
1
8
(3,5) -
1
16
(2)2
+
1
8
(2)
=
12,25
16
+
3,5
8
-
1
4
+
1
4
=
12,25
16
+
7
16
-
4
16
+
4
16
=
11,25
16
= 0,7031
𝟐 𝟒 𝟓
𝟏
𝟎
−𝟏
𝟑, 𝟓

12. Nilai Harapan & Ragam Peubah Acak
Nilai Harapan
Nilai Harapan Peubah Acak adalah pemusatan dari nilai peubah
acak jika suatu percobaan dilakukan berulang-ulang sampai tak
terhingga
E 𝑋 = 𝜇 =
෍
𝑖=1
𝑛
𝑥𝑖 𝑝 𝑥𝑖 , 𝑋 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡
න
−∞
∞
𝑥 𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑋 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢
Ragam
Ragam Peubah Acak adalah penyebaran dari nilai peubah acak.
Var 𝑋 = E 𝑋 − 𝜇 2
= 𝜎2
=
෍
𝑖=1
𝑛
𝑋 − 𝜇 2
𝑝 𝑥𝑖 , 𝑋 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑑𝑖𝑠𝑘𝑟𝑒𝑡
න
−∞
∞
𝑥 − 𝜇 2
𝑓 𝑥 𝑑𝑥 , 𝑋 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ 𝑝𝑒𝑢𝑏𝑎ℎ 𝑎𝑐𝑎𝑘 𝑘𝑜𝑛𝑡𝑖𝑛𝑢

13. Distribusi Seragam Diskret
1. Setiap Peubah Acak mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.
2. Parameter distribusi adalah 𝑘
p 𝑥 = ቐ
1
𝑘
, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥𝑘
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
E 𝑋 =
𝑘 + 1
2
Var 𝑋 =
𝑘 + 1 𝑘 − 1
12
Suatu kotak yang berisi 12 gulungan kertas yang setiap gulungan diberi nomor 1
sampai dengan 12. Berapa peluang jika sebuah kertas yang diambil, berisi
nomor-nomor di bawah 5?
p 𝑥 = ቐ
1
12
, 𝑥 = 𝑥1, 𝑥2, 𝑥3, … , 𝑥12
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
p 𝑋 < 5 = 𝑃 𝑋 = 𝑥1 + 𝑃 𝑋 = 𝑥2 + 𝑃 𝑋 = 𝑥3 + 𝑃 𝑋 = 𝑥4
p 𝑥 = ቐ
1
12
, 𝑥 = 1, 2, 3, … , 12
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
p 𝑋 < 5 =
1
12
+
1
12
+
1
12
+
1
12
p 𝑋 < 5 = 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2 + 𝑃 𝑋 = 3 + 𝑃 𝑋 = 4
p 𝑋 < 5 =
4
12
= 0,33

14. Distribusi Binomial
1. Percobaan terdiri atas n ulangan
2. Setiap percobaan hanya ada 2 kemungkinan hasil, yaitu “sukses” atau “gagal”.
3. Setiap ulangan bersifat saling bebas.
4. Parameter distribusi adalah 𝑛 dan 𝑝
Dari hasil suatu survei diperoleh informasi bahwa 4 dari 10 orang menggunakan obat
jenis A. Jika 7 pasien berikutnya berobat ke seorang dokter, Berapa peluang:
a. Tepat 3 orang akan menggunakan obat jenis A
b. Terdapat 3 sampai dengan 5 orang akan menggunakan obat jenis A
c. Lebih dari 2 orang akan menggunakan obat jenis A
p 𝑥 = ቐ
𝑛
𝑥
𝑝𝑥
𝑞𝑛−𝑥
, 𝑥 = 0, 1, 2, … , 𝑛
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
E 𝑋 = 𝑛𝑝
Var 𝑋 = 𝑛𝑝𝑞
p 𝑥 = ቐ
7
𝑥
0,4𝑥
0,67−𝑥
, 𝑥 = 0, 1, 2, … , 7
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎

15. Distribusi Poisson
1. Kejadian pada selang waktu atau luasan tertentu
2. Parameter distribusi adalah 𝜇
Rata-rata banyaknya tikus di dalam sebuah petak sawah diperkirakan sebanyak 3
ekor. Berapa peluang terdapat paling banyak 2 tikus di dalam sebuah petak
sawah?
p 𝑥 = ൞
𝑒−𝜇
𝜇𝑥
𝑥!
, 𝑥 = 0, 1, 2, …
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
E 𝑋 = Var 𝑋 = 𝜇 p 𝑥 = ൞
𝑒−𝜇
𝜇𝑥
𝑥!
, 𝑥 = 0, 1, 2, …
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
𝑝 𝑋 ≤ 2 = 𝑃 𝑋 = 0 + 𝑃 𝑋 = 1 + 𝑃 𝑋 = 2
p 𝑥 = ൞
𝑒−3
3𝑥
𝑥!
, 𝑥 = 0, 1, 2, …
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
𝑝 𝑋 ≤ 2 =
𝑒−3
30
0!
+
𝑒−3
31
1!
+
𝑒−3
32
2!
𝑝 𝑋 ≤ 2 = 0,0498 + 0,1494 + 0,2240
𝑝 𝑋 ≤ 2 = 0,4232

16. Distribusi Seragam Kontinu
1. Setiap titik di dalam selang Peubah Acak mempunyai peluang yang sama untuk terjadi.
2. Parameter distribusi adalah 𝑎 dan 𝑏.
f 𝑥 = ቐ
1
𝑏 − 𝑎
, 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
E 𝑋 =
𝑏 + 𝑎
2
Var 𝑋 =
𝑏 − 𝑎 2
12

17. Distribusi Normal
1. Distribusi yang mempunyai bentuk kurva seperti lonceng.
2. Mean = Median = Modus
3. Distribusi mempunyai parameter 𝜇 dan 𝜎 → 𝑋 ~ 𝑁( 𝜇, 𝜎)
4. Kurva Simetrik pada nilai 𝜇
5. Lebar kurva ditentukan oleh besar 𝜎
E 𝑋 = 𝜇
f 𝑥 = ൞
1
𝜎 2𝜋
𝑒
−
1
2
𝑥−𝜇
𝜎
2
, −∞ ≤ 𝑥 ≤ ∞
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
Var 𝑋 = 𝜎2

18. Distribusi Normal Baku
1. Karakteristik sama dengan Distribusi Normal
2. Distribusi mempunyai parameter 𝜇 = 0 dan 𝜎 = 1 → Z ~ 𝑁( 0,1)
f 𝑧 = ൞
1
2𝜋
𝑒−
𝑧2
2 , −∞ ≤ 𝑧 ≤ ∞
0 , 𝑥 𝑙𝑎𝑖𝑛𝑛𝑦𝑎
E 𝑍 = 0 Var 𝑍 = 1
𝑍 =
𝑋 − 𝜇
𝜎
𝑃 𝑋 ≤ 𝑥 = 𝑃
𝑋 −𝜇
𝜎
≤
𝑥 −𝜇
𝜎
= 𝑃 𝑍 ≤ 𝑧 Tabel Distribusi Normal Baku

19. Contoh Soal Distribusi Normal Baku
Sebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan secara rata-rata sebanyak 200 milliliter per gelas.
Jika banyaknya minuman yang dikeluarkan dari mesin tersebut menyebar normal dengan simpangan baku 15 milliliter, tentukan:
a. Peluang suatu gelas berisi kurang dari 191 milliliter.
b. Peluang suatu gelas berisi antara 191 dan 209 milliliter.
c. Berapa persentase banyaknya gelas yang berisi lebih dari 224 milliliter.
d. Berapa gelas di antara 1000 gelas berikutnya akan tumpah jika 1000 gelas itu berukuran 230 milliliter.

20. Contoh Soal Distribusi Normal Baku
Sebuah mesin minuman ringan diatur sedemikian rupa sehingga mengeluarkan secara rata-rata sebanyak 200 milliliter per gelas.
Jika banyaknya minuman yang dikeluarkan dari mesin tersebut menyebar normal dengan simpangan baku 15 milliliter, tentukan:
a. Peluang suatu gelas berisi kurang dari 191 milliliter.
b. Peluang suatu gelas berisi antara 191 dan 209 milliliter.
c. Berapa persentase banyaknya gelas yang berisi lebih dari 224 milliliter.
d. Berapa gelas di antara 1000 gelas berikutnya akan tumpah jika 1000 gelas itu berukuran 230 milliliter.

21. Tugas
https://forms.gle/rsdoKyM6zn4pFTwk8

22. Terimakasih