Dokumen tersebut membahas tentang ekspektasi matematik yang merupakan konsep penting dalam teori probabilitas dan statistika. Ekspektasi matematik adalah nilai rata-rata yang diharapkan dari suatu peubah acak diskrit atau kontinu. Diberikan contoh perhitungan ekspektasi matematik dari pelemparan dua koin secara bersamaan.
Bagian ini membahas mengenai variabel acak dan distribusi peluang. Diuraikan di sini bagaimana menghitung rata-rata dan simpangan baku suatu variabel acak.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi teoretis. Secara singkat, variabel random dibedakan menjadi diskrit dan kontinu, sedangkan distribusi teoretis dibedakan menjadi diskrit dan kontinu berdasarkan jenis variabel randomnya. Distribusi teoretis memberikan daftar probabilitas terjadinya nilai-nilai variabel random.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas dan statistika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan:
1) Konsep distribusi probabilitas dari suatu variabel acak berdasarkan ruang sampel dan nilai-nilai variabel acaknya.
2) Cara menentukan fungsi distribusi probabilitas dan kumulatif dari suatu variabel acak.
3) Pengertian dan rumus harapan matematis sebagai ukuran rata-rata dari suatu variabel
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi peluang binomial dan variabel acak binomial. Secara singkat, distribusi peluang binomial terjadi ketika terdapat percobaan yang berulang dengan dua kemungkinan hasil (sukses/gagal), peluang tetap pada setiap percobaan, dan jumlah percobaan tetap. Variabel acak binomial merepresentasikan jumlah kejadian sukses yang dihasilkan dari serangkaian percobaan binomial.
Bagian ini membahas mengenai variabel acak dan distribusi peluang. Diuraikan di sini bagaimana menghitung rata-rata dan simpangan baku suatu variabel acak.
Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi teoretis. Secara singkat, variabel random dibedakan menjadi diskrit dan kontinu, sedangkan distribusi teoretis dibedakan menjadi diskrit dan kontinu berdasarkan jenis variabel randomnya. Distribusi teoretis memberikan daftar probabilitas terjadinya nilai-nilai variabel random.
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi probabilitas dan statistika. Secara singkat, dokumen tersebut menjelaskan:
1) Konsep distribusi probabilitas dari suatu variabel acak berdasarkan ruang sampel dan nilai-nilai variabel acaknya.
2) Cara menentukan fungsi distribusi probabilitas dan kumulatif dari suatu variabel acak.
3) Pengertian dan rumus harapan matematis sebagai ukuran rata-rata dari suatu variabel
Dokumen tersebut membahas tentang distribusi peluang binomial dan variabel acak binomial. Secara singkat, distribusi peluang binomial terjadi ketika terdapat percobaan yang berulang dengan dua kemungkinan hasil (sukses/gagal), peluang tetap pada setiap percobaan, dan jumlah percobaan tetap. Variabel acak binomial merepresentasikan jumlah kejadian sukses yang dihasilkan dari serangkaian percobaan binomial.
Probstat ekpektasi matematika (kelompok2)Dila Nurlaila
Bab 4 membahas konsep ekspektasi matematika, varians, dan kovarians variabel acak, serta hubungannya dengan kombinasi linier variabel acak. Teorema Chebyshev menyatakan probabilitas variabel acak berada dalam k kali standar deviasi dari rata-rata. Parameter-parameter statistik ini penting dalam memahami sifat distribusi probabilitas.
Dokumen tersebut merangkum konsep peluang, teknik menghitung peluang menggunakan permutasi dan kombinasi, serta contoh soal peluang. Dibahas pula makna peluang, ruang sampel, kejadian, dan cara menghitung peluang suatu kejadian.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas tentang ruang sampel dan peluang suatu kejadian dalam percobaan acak.
2. Beberapa konsep yang dijelaskan meliputi ruang sampel, banyak ruang sampel, peluang suatu kejadian, peluang komplemen, peluang kejadian majemuk, dan frekuensi harapan.
3. Contoh-contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk membantu mema
Dokumen tersebut membahas tentang variabel acak, variabel acak diskret, fungsi massa kemungkinan, dan fungsi distribusi kumulatif. Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi dari ruang contoh ke bilangan riil, sedangkan variabel acak diskret hanya dapat mengambil nilai terbatas. Fungsi distribusi kumulatif menyatakan kemungkinan suatu variabel acak kurang dari atau sama dengan suatu nilai.
Buku kerja soal-soal ujian probabilitas dan statistika Pendidikan Aktuaris Indonesia berisi 15 soal latihan yang membahas konsep-konsep dasar seperti probabilitas, distribusi binomial, Poisson, dan variansi untuk variabel acak. Soal-soal memberikan latihan kuantitatif untuk menghitung nilai probabilitas dan statistik.
05 - Variabel Random dan Distribusi Peluang.pdfElvi Rahmi
Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi peluang. Variabel random digunakan untuk mendefinisikan hasil suatu peristiwa menjadi nilai kuantitatif agar dapat diolah secara statistik. Distribusi peluang menggambarkan kemungkinan terjadinya nilai variabel random dan dapat disajikan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. Terdapat dua jenis variabel random yaitu diskrit dan kontinu, yang kemudian mempengaruhi bentuk
STD BAB 7 ATURAN PENCACAHAN DAN PELUANG.pptxdindaspd2000
Dokumen tersebut membahas tentang aturan perkalian, pencacahan, ruang sampel, peluang suatu kejadian, frekuensi harapan, dan kejadian majemuk dalam konteks matematika.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang dasar-dasar peluang, termasuk menentukan ruang sampel dengan mendaftar, tabel dan diagram pohon, perhitungan peluang suatu kejadian dengan frekuensi relatif dan rumus peluang, nilai peluang, frekuensi harapan, dan latihan soal.
Dokumen ini membahas tentang kombinatorik, peluang dan statistika. Terdapat penjelasan mengenai konsep dasar kombinatorik seperti permutasi dan kombinasi beserta contoh soalnya. Dokumen ini juga menjelaskan tentang pengertian ruang sampel, kejadian, dan cara menghitung peluang kejadian secara frekuensi relatif dan klasik beserta contoh soalnya. Terdapat pula penjelasan mengenai kejadian majemuk, komplemen ke
Probstat ekpektasi matematika (kelompok2)Dila Nurlaila
Bab 4 membahas konsep ekspektasi matematika, varians, dan kovarians variabel acak, serta hubungannya dengan kombinasi linier variabel acak. Teorema Chebyshev menyatakan probabilitas variabel acak berada dalam k kali standar deviasi dari rata-rata. Parameter-parameter statistik ini penting dalam memahami sifat distribusi probabilitas.
Dokumen tersebut merangkum konsep peluang, teknik menghitung peluang menggunakan permutasi dan kombinasi, serta contoh soal peluang. Dibahas pula makna peluang, ruang sampel, kejadian, dan cara menghitung peluang suatu kejadian.
Ringkasan dokumen tersebut adalah:
1. Dokumen tersebut membahas tentang ruang sampel dan peluang suatu kejadian dalam percobaan acak.
2. Beberapa konsep yang dijelaskan meliputi ruang sampel, banyak ruang sampel, peluang suatu kejadian, peluang komplemen, peluang kejadian majemuk, dan frekuensi harapan.
3. Contoh-contoh soal dan penyelesaiannya juga diberikan untuk membantu mema
Dokumen tersebut membahas tentang variabel acak, variabel acak diskret, fungsi massa kemungkinan, dan fungsi distribusi kumulatif. Variabel acak didefinisikan sebagai fungsi dari ruang contoh ke bilangan riil, sedangkan variabel acak diskret hanya dapat mengambil nilai terbatas. Fungsi distribusi kumulatif menyatakan kemungkinan suatu variabel acak kurang dari atau sama dengan suatu nilai.
Buku kerja soal-soal ujian probabilitas dan statistika Pendidikan Aktuaris Indonesia berisi 15 soal latihan yang membahas konsep-konsep dasar seperti probabilitas, distribusi binomial, Poisson, dan variansi untuk variabel acak. Soal-soal memberikan latihan kuantitatif untuk menghitung nilai probabilitas dan statistik.
05 - Variabel Random dan Distribusi Peluang.pdfElvi Rahmi
Dokumen tersebut membahas tentang variabel random dan distribusi peluang. Variabel random digunakan untuk mendefinisikan hasil suatu peristiwa menjadi nilai kuantitatif agar dapat diolah secara statistik. Distribusi peluang menggambarkan kemungkinan terjadinya nilai variabel random dan dapat disajikan dalam bentuk tabel, grafik, atau fungsi. Terdapat dua jenis variabel random yaitu diskrit dan kontinu, yang kemudian mempengaruhi bentuk
STD BAB 7 ATURAN PENCACAHAN DAN PELUANG.pptxdindaspd2000
Dokumen tersebut membahas tentang aturan perkalian, pencacahan, ruang sampel, peluang suatu kejadian, frekuensi harapan, dan kejadian majemuk dalam konteks matematika.
Dokumen tersebut memberikan penjelasan tentang dasar-dasar peluang, termasuk menentukan ruang sampel dengan mendaftar, tabel dan diagram pohon, perhitungan peluang suatu kejadian dengan frekuensi relatif dan rumus peluang, nilai peluang, frekuensi harapan, dan latihan soal.
Dokumen ini membahas tentang kombinatorik, peluang dan statistika. Terdapat penjelasan mengenai konsep dasar kombinatorik seperti permutasi dan kombinasi beserta contoh soalnya. Dokumen ini juga menjelaskan tentang pengertian ruang sampel, kejadian, dan cara menghitung peluang kejadian secara frekuensi relatif dan klasik beserta contoh soalnya. Terdapat pula penjelasan mengenai kejadian majemuk, komplemen ke
ANALISIS PENGARUH INDUSTRI BATU BARA TERHADAP PENCEMARAN UDARA.pdfnarayafiryal8
Industri batu bara telah menjadi salah satu penyumbang utama pencemaran udara global. Proses ekstraksi batu bara, baik melalui penambangan terbuka maupun penambangan bawah tanah, menghasilkan debu dan gas beracun yang dilepaskan ke atmosfer. Gas-gas tersebut termasuk sulfur dioksida (SO2), nitrogen oksida (NOx), dan partikel-partikel halus (PM2.5) yang berbahaya bagi kesehatan manusia dan lingkungan. Selain itu, pembakaran batu bara di pembangkit listrik dan industri menyebabkan emisi karbon dioksida (CO2), yang merupakan penyebab utama perubahan iklim global dan pemanasan global.
Pencemaran udara yang disebabkan oleh industri batu bara juga memiliki dampak lokal yang signifikan. Di sekitar area penambangan, debu batu bara yang dihasilkan dapat mengganggu kesehatan masyarakat dan ekosistem lokal. Paparan terus-menerus terhadap debu batu bara dapat menyebabkan masalah pernapasan seperti asma dan bronkitis, serta berkontribusi pada penyakit paru-paru yang lebih serius. Selain itu, hujan asam yang disebabkan oleh emisi sulfur dioksida dapat merusak tanaman, air tanah, dan ekosistem sungai, mengancam keberlanjutan lingkungan di sekitar lokasi industri batu bara.
1. MCL 421 – PROBABILITAS STATISTIK
EKSPEKTASI MATEMATIK
Semester Genap Jurusan Teknik Mesin STT-PLN 2016
2. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Satu konsep yang penting di dalam teori probabilitas dan
statistika adalah ekspektasi matematik atau nilai
ekspektasi.
• Ekspektasi matematik = harapan matematik.
• Misalkan dua uang logam dilempar secara bersamaan
sebanyak 16 kali. Misalkan X menyatakan banyaknya sisi
angka (A) yang muncul pada setiap pelemparan, maka X
dapat bernilai 0, 1, atau 2.
• Misalkan pada eksperimen tersebut dicatat berapa kali
muncul 0, 1, atau 2 sisi buah sisi angka pada setiap
pelemparan, dan diperoleh hasil masing-masing 4 kali, 7
kali, dan 5 kali. Berapa rata-rata banyaknya sisi angka
yang muncul pada setiap lemparan?
3. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Rata-rata (atau rataan) banyaknya sisi angka yang
muncul pada setiap pelemparan kedua koin tersebut
adalah:
• Kita ingin menghitung berapa rataan banyaknya sisi
angka dari pelemparan dua uang logam yang dapat
diharapkan muncul dalam jangka panjang?
• Inilah yang dinamakan nilai ekspektasi atau nilai harapan.
Notasi: E(X) = nilai harapan (harapan matematik)
4. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Untuk suatu peubah acak diskrit X yang memiliki nilai-nilai
yang mungkin x1,x2,…,xn, nilai harapan dari X
didefinisikan sebagai:
• Mengingat P(X = xi ) = f(xi), maka
5. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Sebagai kasus khusus bila peluang setiap nilai xi adalah
sama, yaitu 1/n, maka:
• Nilai harapan dari X seringkali disebut rataan dan
dilambangkan dengan μx , atau μ jika peubah acaknya
sudah jelas diketahui.
6. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Definisi 1. Misalkan X adalah peubah acak dengan
distribusi peluang f(x). Nilai harapan atau rataan X
adalah:
7. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Tinjau kembali contoh pelemparan dua uang logam.
Ruang sampel dari pelemparan dua uang logam:
S = {AA, AG, GA, GG}
sehingga:
P(X = 0) = P(GG) = 1/4
P(X = 1) = P(AG) + P(GA) = ¼ + ¼ = ½
P(X = 2) = P(AA) = ¼
maka, rataan banyaknya sisi angka yang muncul pada
pelemparan dua buah uang logam adalah:
μ= E(X) = (0)(1/4) + (1)(1/2) + (2)(1/4) = 1
• Jadi, bila seseorang melantunkan dua uang logam secara
berulang-ulang, maka rata-rata dia memperoleh satu sisi
angka (A) yang muncul pada setiap lemparan.
8. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Misalkan X adalah peubah acak diskrit dengan distribusi
peluang f(x). Sebuah peubah acak baru g(X) yang
bergantung pada X. Nilai harapan peubah acak g(X)
adalah:
bila X peubah acak diskrit, dan
bila X peubah acak kontinu.
9. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Definisi 2. Bila X dan Y adalah peubah acak dengan
distribusi peluang gabungan f(x, y) maka nilai harapan
peubah acak g(X,Y) adalah:
bila X dan Y peubah acak diskrit, dan
bila X dan Y peubah acak kontinu
10. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Teorema 1. Bila a dan b konstanta, maka:
E(aX + b) = aE(X) + b
Akibat 1: Jika a = 0, maka E(b) = b
Akibat 2: Jika b = 0, maka E(aX) = aE(X)
• Teorema 2. E[g(X)±h(X) ] = E[g(X)]±E[h(X)]
• Teorema 3. E[g(X,Y)±h(X,Y) ] = E[g(X,Y)]±E[h(X,Y)
11. Ekspektasi Matematik
(Definisi & Pengertian)
• Teorema 4. Jika X dan Y adalah peubah acak
sembarang, maka:
E(X + Y) = E(X) + E(Y)
• Teorema 5. Jika X dan Y adalah peubah acak bebas,
maka:
E(XY) = E(X) E(Y)
12. Latihan Soal
• Seorang pembalap mobil ingin mengasuransikan
mobilnya selama musim balapan mendatang sebesar
$50000. Perusahaan asuransi menaksir terjadinya
kerugian total dengan peluang 0.002, kerugian 50%
dengan peluang 0.01, dan kerugian 25% dengan peluang
0.1. Jika kerugian lainnya diabaikan, berapa besarkah
premi yang seharusnya ditagih oleh perusahaan asuransi
tiap musim balapan agar mendapat keuntungan $500?
13. Latihan Soal
• Lamanya pengobatan, dalam hari, bagi penderita sejenis
penyakit ginjal setelah operasi merupakan peubah acak
Y = X + 4, sedangkan X mempunyai fungsi padat
Cari rata-rata lamanya pengobatan bagi seseorang setelah
dioperasi karena penyakit ini.
lainnya
x
x
x
f
0
0
,
)
4
(
32
)
( 3
14. • Suatu perusahaan besar membeli beberapa mesin pada akhir
tahun, banyaknya bergantung pada seringnya perbaikan pada
tahun sebelumnya. Misalkanlah banyaknya mesin, X, yang
dibeli tiap tahun mempunyai distribusi peluang sebagai berikut:
X 0 1 2 3
f(x) 1/10 3/10 2/5 1/5
Bila harga mesin, dalam ribuan rupiah, tetap 1200 sepanjang
tahun ini dan potongan 50X2, dalam ribu rupiah, diberikan
terhadap tiap pembelian, berapa banyak perusahaan tadi
diharapkan membelanjakan uangnya membeli mesin baru pada
akhir tahun ini?