OMSU - Mr. Syromiasov

Национальный исследовательский
Мордовский государственный университет
имени Н. П. Огарева
Курс «Алгебра и геометрия» на направлениях
«Программная инженерия»
и «Информатика и вычислительная техника»

МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)Оглавление
• Знания, умения, навыки:
o входные ( = пререквизиты);
o целевые (= что мы хотим сформировать).
• Содержание курса (чему мы учим?).
• Педагогические методы (как мы учим?):
o аудиторные;
o внеаудиторные.
• Объем курса (как глубоки должны быть знания у студентов?).
• Описание контингента (кто наши студенты?).
• Контрольные точки (как и когда мы оцениваем знания и умения
студентов?).

Входные ЗУН
Алгебра и геометрия (далее – АлГео) изучается в 1м семестре
1го курса. Предшествующим служит курс школьной математики:
• Сформированы основы логического, алгоритмического, математического
мышления.
• Имеются базовые навыки доказательства утверждений.
• Студент знаком с аксиоматическим методом.
• Студент обладает арифметическими навыками.
• Понимание терминов “переменная”, “функция”, и т.д.
• Навык решения стандартных уравнений (линейных, квадратных,
показательных, логарифмических, тригонометрических)
• Базовые знания о геометрических фигурах и телах и их свойствах.
Возможность решать практические задачи, используя эти свойства.
• Базовые знания о математическом моделировании и возможность
интерпретировать результат моделирования.
(В соответствии с ГОС среднего образования)
МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)

Целевые ЗУН – 1
Согласно ФГОС-3:
• Общекультурная компетенция – готовность использовать основные законы
естественнонаучных дисциплин в профессиональной деятельности,
применять методы математического анализа и моделирования,
теоретического и экспериментального исследования.
• Профессиональная компетенция – способность к формализации в своей
предметной области с учетом ограничений используемых методов
исследования.
После изучения АлГео студент должен
• знать основы линейной алгебры и аналитической геометрии;
• уметь применять математические методы и вычислительные алгоритмы
для решения практических задач; проектировать эксперимент и
анализировать результаты.

АлГео (1й семестр)
• изучается параллельно с дисциплинами
o Математический анализ (1й и 2й семестры);
o Физика (1й и 2й семестры);
• предшествует дисциплинам
o Дискретная математика (2й семестр);
o Теория вероятностей и математическая статистика (3й семестр)
o Теория игр и исследование операций (5й семестр)
o Вычислительная математика (5й семестр)
o Некоторым дисциплинам профессионального цикла (3й–8й семестры)
(Указано для направления ПИ, учебный план
направления ИВТ несколько отличается)
МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)Целевые ЗУН – 2

СОДЕРЖАНИЕ курса – 1
Содержание дисциплины точнее отражалось бы в названии “Линейная
алгебра и аналитическая геометрия”.
Содержание разбито на 3 раздела/модуля:
• “Матрицы и векторы” ( = “Введение в линейную и векторную алгебру”).
• “Аналитическая геометрия на плоскости”.
• “Аналитическая геометрия в пространстве”.
Объемы 1го и 2го разделов примерно одинаковы, объем 3го раздела
несколько меньше.
В конце изучения каждого раздела студент выполняет и защищает типовой
расчет (далее), т.е. за семестр выполняется 3 типовых расчета.
Изучение АлГео заканчивается экзаменом в январе.

Матрицы и векторы
Матрица. Виды матриц (квадратная, диагональная и т.д.) Арифметические
операции над матрицами: сложение, вычитание, умножение на число и на
матрицу, транспонирование. Свойства операций.
Определители 1го, 2го и 3го порядков. Определитель произвольного порядка
как функция квадратной матрицы. Свойства определителей.
Невырожденные матрицы. Обратная матрица и методы ее нахождения.
Умножение на обратную как «деление» на исходную матрицу.
Системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ). Совместные и
несовместные системы.
Формулы Крамера и матричный метод решения СЛАУ. Метод Гаусса.
Ранг матрицы. Теорема Кронекера – Капелли. Частные решения СЛАУ.
Структура общего решения неоднородной СЛАУ. Первое представление о
линейных комбинациях.
…продолжение – на следующем слайде
МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)СОДЕРЖАНИЕ курса – 2

…начало на предыдущем слайде
Векторы, их сложение и умножение на число. Линейные комбинации.
Линейная зависимость. Понятие о линейных пространствах. Базис,
размерность, координаты. Примеры: “геометрические” векторы, полиномы.
Произвольная аффинная и прямоугольная системы координат. Операции
над векторами в координатах.
Деление отрезка в заданном отношении. Рычаг. Понятие центра масс.
Длина вектора и его направляющие косинусы в прямоугольной системе.
Проекции (параллельная вектору, ортогональная и центральная).
Линейность проекций. Приложение к компьютерной графике:
формирование изображения с помощью проекций на картинной плоскости.
Скалярное произведение векторов и его свойства (включая билинейность).
Выражение скалярного произведения в координатах. Геометрические
(длина вектора в аффинной системе координат, угол между векторами) и
физические (работа, мощность) приложения скалярного произведения.

Ориентация тройки векторов.
Векторное произведение и его свойства (включая билинейность).
Выражение векторного произведения в координатах. Геометрические
(площаь параллелограмма и треугольника) и физические (момент силы,
сила Лоренца и т.д.) приложения векторного произведения.
Смешенное произведение векторов и его свойства (включая
трилинейность). Выражение смешанного произведения в координатах.
Геометрические приложения смешанного произведения (объем
параллелепипеда и тетраэдра).
Нулевое смешанное произведение, компланарные (линейно зависимые)
векторы и свойства определителя.

Аналитическая геометрия на плоскости
Система координат как отображение “точка – упорядоченный набор чисел”.
Полярные координаты. Связь между декартовыми прямоугольными и
полярными координатами.
Линейные преобразования плоскости: проекции, растяжения, симметрии,
повороты. Описание преобразований с помощью матриц. Однородные
координаты. Приложение к компьютерной графике: связь между
“реальными” and “экранными” (в пикселях) координатами.
Линия на плоскости. Виды уравнений линии: явное, неявное,
параметрическое (в декартовых и полярных координатах).
Прямая на плоскости. Типы уравнений и их геометрический, физический и
экономический смысл (параметрическое уравнение – прямолинейное
равномерное движение, уравнение с угловым коэффициентом – рост
прибыли и т.д.). Направляющие и нормальные векторы.

Взаимное расположение точки и прямой на плоскости. Расстояние от точки
до прямой.
Взаимное расположение прямых на плоскости. Точка пересечения прямых и
единственность решения СЛАУ. Угол между прямыми. Условия
параллельности и перпендикулярности прямых.
Геометрический смысл систем линейных неравенств. Простейшие задачи
линейного программирования (для 2 переменных).
Линии 2го порядка. Окружность как простейший пример такой линии.
Эллипс: определение, каноническое уравнение, свойства (симметрия,
ограниченность). Пример: орбиты планет и законы Кеплера.
Гипербола, ее определение, каноническое уравнение и свойства
(симметрия, основной прямоугольник, асимптоты). Сопряженная гипербола.
Парабола, ее определение, каноническое уравнение и свойства.

Оптические свойства кривых 2го порядка.
Уравнения эллипса, гиперболы и параболы в полярных координатах.
Директориальные свойства кривых.
Общее уравнение линии 2го порядка. Приведение общего уравнения к
каноническому виду. Классификация линий 2го порядка.
Иллюстрация эволюции кривой при
изменении ее эксцентриситета.
Иллюстрация подготовлена
студентами 1го курса ПИ.

Аналитическая геометрия в пространстве
Цилиндрическая и сферическая системы координат. Переход от этих систем
к декартовой прямоугольной и обратный переход.
Понятие о линейных преобразованиях в пространстве и об их матричном
описании.
Линии и поверхности в пространстве. Виды их уравнений.
Плоскость и прямая в пространстве. Виды их уравнений (в сравнении с
уравнениями прямой на плоскости). Нормальные и направляющие векторы.
Прямая как пересечение двух плоскостей. Геометрический смысл СЛАУ из 2
уравнений с 3 неизвестными.
Взаимное расположение точки и плоскости, точки и прямой. Расстояние от
точки до плоскости, от точки до прямой в пространстве.
Взаимное расположение двух плоскостей, двух прямых, прямой и плоскости.
Углы и расстояния между фигурами.

Поверхности вращения.
Канонические уравнения и свойства поверхностей 2го порядка. Эллипсоиды
(пример: земная поверхность) и мнимые эллипсоиды.
Однополостный гиперболоид, понятие о прямолинейных образующих.
Пример: Шаболовская и Шуховская телебашни. Двуполостный гиперболоид.
Сопряженные гиперболоиды.
Конус, его прямолинейные образующие. Конические сечения. Мнимый
конус. Конические поверхности с произвольной направляющей.
Эллиптический параболоид. Пример: параболические антенны.
Гиперболический параболоид (“седло”).
Цилиндры: эллиптический, гиперболический, параболический.
Прямолинейные образующие. Цилиндры с произвольной направляющей.
Понятие об общем уравнении поверхности 2го порядка.

Педагогические МЕТОДЫ – 1
Аудиторные
• Лекции – читаются для всего потока (направления).
• Практические занятия – проводятся с каждой группой отдельно.
Темы практических занятий должны согласовываться с темой лекции
(в идеале – повторять ее).
Иногда задания на практиках
выполняются в подгруппах: совместное
решение задач, которые допускают
«распараллеливание» (решение СЛАУ по
формулам Крамера и т.д.). Это приводит к
соревнованию между подгруппами и
мотивирует студентов.
Метод эффективен: выполняя совместное
задание, студенты объясняют материал друг другу
(и сами себе), учатся работать в команде.

Внеаудиторные
• Типовые расчеты
ТР – это совокупность теоретических вопросов и упражнений, а также
практических заданий, успешное выполнение которых подтверждает более-
менее полное освоение какого-либо раздела курса. Выполняется 3 ТР: в
середине октября, ноября и декабря.
• Задания на программирование
Будущие программисты должны уметь реализовывать некоторые
типовые алгоритмы АлГео на языках высокого уровня. Выбор языка
предоставляется студенту; как правило, это диалекты C и Pascal.
Внеаудиторная работа
контролируется преподавателем.
Необходимое условие сдачи
отчетности – ее защита.
МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)Педагогические МЕТОДЫ – 2

Практические задания в ТР “Матрицы и векторы”
1. Выполнить арифметические действия над матрицами (AB+CDT).
2. Найти определитель 4го порядка раскрытием по строке/столбцу.
3. Решить СЛАУ (3 уравнения, 3 неизвестных) матричным методом, по
формулам Крамера и методом Гаусса.
4. Найти ранг матрицы 4го порядка.
5. Найти общее и два частных решения СЛАУ из 4 уравнений с 4 неизвестными.
6. Траектория материальной точки – ломаная ABCDE, где DE - полуокружность.
Найти путь, пройденный материальной точкой, и ее перемещение.
7. Найти точку M, делящую отрезок AB в заданном отношении .
8. Неизвестные массы m1, m2, m3 размещены в точках A1, A2, A3, а их центр масс
находится в точке C. Найти m1, m2, m3. Единственно ли решение задачи?

… начало на предыдущем слайде
9. Разложить вектор b по базису a1, a2 (на плоскости).
10. Даны |a|, |b| и (a, b). Найти угол между двумя линейными комбинациями
a и b, а также длину их векторного произведения.
11. На плоскости задан треугольник ABC. Найти радиус окружности, описанной
около него, а также одну из высот треугольника.
12. Найти вектор r, если известны вектор a и произведения ar, ar.
13. Вычислить площадь плоского многоугольника (его вершины перечислены в
порядке обхода).
14. Выяснить ориентацию тройки векторов с заданными координатами.
15. В заданном тетраэдре ABCD найти высоту, проведенную из вершины D.
16. Доказать, что точки A, B, C, D, E лежат в одной плоскости.

Задания на программирование (раздел “Матрицы и векторы”)
(каждая программа должна проверять размерность матриц и возможность
выполнения требуемых действий)
1. Сложение, вычитание, умножение матриц.
2. Вычисление определителя матрицы:
a. раскрытием по строке/столбцу (номер вводится пользователем);
b. с помощью элементарных преобразований.
3. Определение ранга матрицы.
4. Нахождение обратной матрицы.
5. Решение СЛАУ:
a. методом Гаусса;
b. по формулам Крамера;
c. матричным методом.

ОБЪЕМ курса
Общий
6 ЗЕ = 216 часов
Экзамен
Семестр
Аудиторная нагрузка
2.5 ЗЕ = 90 часов
Внеаудиторная нагрузка
2.5 ЗЕ = 90 часов
Лекции – 36 часов (2 часа в неделю)
Практика – 54 часа (3 часа в неделю)
Продолжительность
семестра – 18 недель
(без учета экзамена)

Описание КОНТИНГЕНТА
Три позднейших набора на направления ПИ и ИВТ:
• 2012 год – 40 студентов: 32 юноши, 8 девушек.
• 2013 год – 38 студентов: 32 юноши, 6 девушек.
• 2014 год – 42 студента: 35 юношей, 7 девушек.
АлГео изучается на 1м
году обучения,
поэтому средний
возраст студентов –
около 18 лет.

КОНТРОЛЬНЫЕ точки – 1
С 2014-2015 учебного года в МГУ им. Н. П. Огарева принята балльно-
рейтинговая система, максимум баллов равен 100
• 86 – 100 – “Отлично” (приближенно – “A” или “B” по шкале ECTS)
• 71 – 85 – “Хорошо” (приближенно – “C” or “D” по шкале ECTS)
• 51 – 70 – “Удовлетворительно” (приближенно – “D” or “E” по шкале ECTS)
• 0 – 50 – “Неудовлетворительно” (приближенно – “Fx” or “F” по шкале ECTS)
Ранее система применялась в пилотном режиме
Студенты направлений ПИ и ИВТ имеют
• достаточно хорошее среднее образование,
• (как правило) высокую мотивацию,
поэтому их успеваемость достаточно высока.

Общий рейтинг (max 100)
Экзамен (max 30) – Январь
Семестровый рейтинг (max 70)
3 типовых расчета (max 320) – середина октября,
ноября и декабря, соответственно
Работа в аудитории (max 10) – в течение семестра
2 теоретических вопроса (max 210)
Задача (max 10)
Теоретическая часть (max 10)
Практическая часть (max 10)
КОНТРОЛЬНЫЕ точки – 2 МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)

Пример экзаменационного билета
Теоретические вопросы
1. Эллипс: определение, каноническое уравнение и свойства.
2. Обратная матрица. Матричный метод решения систем линейных
уравнений
Задача
Прямая l проходит через точки A(8;5;7) и B(-6;1;0). Прямая m есть
пересечение двух плоскостей: 2x + 3y – z – 6 = 0 и –x + 3y – 2z + 12 = 0. Найти
угол между l и m.
Список теоретических вопросов известен студентам заранее; он
может быть напечатан, размещен на университетском сайте или
разослан студентам с помощью соцсетей. На экзамене вопросы и
задачи распределяются случайным образом. На подготовку отводится
(суммарно) 45 минут.
КОНТРОЛЬНЫЕ точки – 3 МГУ – алгео (ПИ & ИВТ)

OMSU - Mr. Syromiasov

More Related Content

What's hot

Similar to OMSU - Mr. Syromiasov

More from metamath

OMSU - Mr. Syromiasov