Một số tính chất của vành giao hoán artin

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN
…..o0o….
VŨ KIM HỒNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH GIAO HOÁN ARTIN
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH
KHOA TOÁN – TIN
VŨ KIM HỒNG
MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA
VÀNH GIAO HOÁN ARTIN
Ngành: Sư phạm Toán
MSSV: 34101028
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
PGS. TS. TRẦN TUẤN NAM
Thành phố Hồ Chí Minh – 2012

LỜI CẢM ƠN
Đầu tiên, tôi xin gửi lời cảm ơn chân thành nhất đến PGS. TS. Trần Tuấn
Nam, người đã trực tiếp hướng dẫn, giúp đỡ tôi về mặt nghiên cứu cũng như niềm
tin để hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, tôi cũng xin bày tỏ lòng cảm ơn đến các quý thầy cô trong tổ
bộ môn Đại số nói riêng và toàn thể quý thầy cô khoa Toán – Tin trường Đại học
Sư phạm thành phố Hồ Chí Minh nói chung đã tận tình giảng dạy, truyền thụ những
tri thức quý báu cho tôi trong suốt bốn năm học tại trường.
Và cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã hỗ trợ tôi về vật chất cũng
như tinh thần để tôi hoàn thành luận văn tốt nghiệp này.
Vũ Kim Hồng

MỤC LỤC
Trang
Trang phụ bìa ............................................................................................................. 1
Lời cảm ơn ................................................................................................................. 2
Mục lục....................................................................................................................... 3
Danh mục các ký hiệu................................................................................................ 4
MỞ ĐẦU.....................................................................................................................5
Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN.............................................................................7
1.1. Vành và iđêan...................................................................................................7
1.2. Môđun.............................................................................................................15
1.3. Sự phân tích nguyên sơ...................................................................................20
Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH ARTIN........................................22
2.1. Điều kiện dây chuyền .....................................................................................22
2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether..................................................29
2.3. Một số tính chất của vành Artin.....................................................................32
KẾT LUẬN...............................................................................................................38
TÀI LIỆU THAM KHẢO.........................................................................................40

DANH MỤC CÁC KÝ HIỆU
Vành và môđun được ký hiệu bởi chữ in hoa: A, B,…, M, N,….
Iđêan được ký hiệu bởi chữ cái thường tiếng Đức: , ,..., ,..., , ,...a b m p q .
Phần tử của vành, môđun và iđêan được ký hiệu bởi chữ thường: a, b, …, x, y,….
Kết thúc một chứng minh (hoặc thiếu đi chứng minh) được đánh dấu: .
Sự bao hàm của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊆ .
Sự bao hàm ngặt của những tập hợp được ký hiệu bởi: ⊂ .

MỞ ĐẦU
Điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện dây chuyền giảm là những tính chất
hữu hạn được thỏa mãn bởi cấu trúc đại số nào đó, đặc biệt là các iđêan của vành
giao hoán. Hai điều kiện này đóng vai trò quan trọng đối với sự phát triển lý thuyết
cấu trúc của vành giao hoán trong những nghiên cứu của David Hilbert, Emmy
Noether và Emil Artin.
Vành Artin và vành Noether là những vành giao hoán thỏa điều kiện dây
chuyền giảm và điều kiện dây chuyền tăng trên mọi tập không rỗng những iđêan.
Trong đó, vành Artin được tìm ra bởi nhà toán học người Áo Emil Artin (1898 –
1962), là loại vành đơn giản nhất sau trường. Và luận văn này nhằm mục đích tìm
hiểu một số tính chất của vành giao hoán Artin. Bố cục luận văn được chia làm hai
chương:
• Chương 1: Kiến thức cơ bản
Chương này trình bày những kiến thức cơ bản liên quan đến đề tài: 1.1. Vành
và iđêan, 1.2. Môđun, 1.3. Sự phân tích nguyên sơ. Các chứng minh ở chương này
được bỏ qua.
• Chương 2: Một số tính chất của vành Artin
Đây là chương chính của luận văn gồm ba phần:
2.1. Điều kiện dây chuyền: Từ điều kiện dây chuyền xây dựng khái
niệm môđun Artin (và Noether), vành Artin (và Noether), chứng minh một số tính
chất của môđun Artin (và Noether).
2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether: Phần này cung cấp
một số định lý, mệnh đề nhằm phục vụ cho việc chứng minh các tính chất của vành
Artin có liên quan đến vành Noether ở phần tiếp theo.
2.3. Một số tính chất của vành Artin: Phần này đi sâu vào tìm hiểu
những tính chất của vành Artin về: iđêan nguyên tố, căn lũy linh, vành Artin địa

phương, mối quan hệ giữa vành Artin và vành Noether và đặc biệt là định lý cấu
trúc của vành Artin.
Vì khả năng và thời gian còn hạn chế nên luận văn này không thể tránh khỏi
những thiếu sót. Kính mong quý thầy cô và bạn đọc đóng góp để luận văn được
hoàn chỉnh hơn nữa.

Chương 1: KIẾN THỨC CƠ BẢN
1.1. Vành và iđêan
Định nghĩa 1.1.1. Một vành A là một tập hợp với hai phép toán hai ngôi (phép cộng
và phép nhân) thỏa:
1) A là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử trung hòa là phần tử
không (ký hiệu 0).
2) Phép nhân có tính kết hợp: ( ) ( )ab c a bc= , và phân phối đối với phép
cộng: ( )a b c ab ac+ = + , ( )b c a ba ca+ = + .
Ta chỉ xét những vành có tính giao hoán:
3) ab ba= với mọi a,b A∈ ,
và có phần tử đơn vị (ký hiệu 1):
4) 1 A∃ ∈ sao cho a1 1a a= = với mọi a A∈ .
Ghi chú:
• Khái niệm “vành” được dùng ở đây là “vành giao hoán có đơn vị”,
nghĩa là một vành thỏa các tiên đề từ (1) đến (4) cho ở trên.
• Nếu trong vành A ta có 1 0= thì A chỉ có một phần tử là 0. Ta gọi A là
vành không, ký hiệu 0.
Mệnh đề 1.1.2. Cho vành A. Khi đó:
• Phần tử đơn vị của vành là duy nhất.
• 0a 0= với mọi a A∈ .
• ( ) ( ) ( )a b a b ab− = − =− với mọi a,b A∈ .
• ( )( )a b ab− − = với mọi a,b A∈ .
• ( ) ( ) ( )na b a nb n ab= = với mọi a,b A∈ , mọi n ∈ .
•
n m n m
i j i j
i 1 j 1 i 1 j 1
a b a b
= = = =
  
=  
  
∑ ∑ ∑∑ với mọi 1 n 1 ma ,...,a ,b ,...,b A∈ .

• ( )
n n n
ab a b= với mọi a,b A∈ , mọi n ∈ .
• ( )
n
n i n i i
n
i 0
a b C a b−
=
+ =∑ với mọi a,b A∈ , mọi n ∈ . 
Định nghĩa 1.1.3. Một tập con S của vành A được gọi là vành con của A nếu thỏa:
i) a b S− ∈ với mọi a,b S∈ ,
ii) ab S∈ với mọi a,b S∈ ,
iii) 1 S∈ .
Định nghĩa 1.1.4. Một đồng cấu vành là một ánh xạ f từ vành A vào vành B thỏa:
i) ( ) ( ) ( )f a b f a f b+ = + với mọi a,b A∈ ,
ii) ( ) ( ) ( )f ab f a .f b= với mọi a,b A∈ ,
iii) ( )f 1 1= .
Ghi chú:
• Đồng cấu vành f được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu ánh
xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.
• Nếu có một đẳng cấu vành từ vành A đến vành B thì ta nói hai vành A
và B đẳng cấu nhau, ký hiệu A B≅ .
Mệnh đề 1.1.5. Cho đồng cấu vành f : A B→ . Khi đó:
• ( )f 0 0= .
• ( ) ( )f a f a− =− với mọi a A∈ .
• ( ) ( ) ( )f a b f a f b− = − với mọi a,b A∈ . 
Mệnh đề 1.1.6. Nếu f : A B→ , g : B C→ là hai đồng cấu vành thì tích (ánh xạ
hợp) g f : A C→ cũng là đồng cấu vành. 
Định nghĩa 1.1.7. Một iđêan a của vành A là một tập con của A thỏa:
i) ≠ ∅a ,
ii) x y− ∈a với mọi x,y∈a ,

iii) ax ∈a với mọi a A∈ và mọi x ∈a .
Định nghĩa 1.1.8. Cho a là một iđêan của một vành A. Quan hệ hai ngôi  xác
định trên A:
a b a b⇔ − ∈ a với mọi a,b A∈
là một quan hệ tương đương. Tập thương A  được ký hiệu A a , lớp tương đương
với đại diện a A∈ được ký hiệu a + a .
Khi đó, tập thương A a có cấu trúc vành với hai phép toán:
• Phép cộng: với mọi x + a , y A+ ∈a a : ( ) ( ) ( )x y x y+ + + = + +a a a
• Phép nhân: với mọi x + a , y A+ ∈a a : ( )( ) ( )x y xy+ + = +a a a
Ta gọi đó là vành thương của vành A trên iđêan a .
Mệnh đề 1.1.9. Ánh xạ
: A Aφ → a
x x + a
là một toàn cấu vành. Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ A lên vành thương A a .
Hơn nữa, Kerφ =a . 
Mệnh đề 1.1.10. Nếu f : A B→ là một đồng cấu vành bất kỳ thì ( )1
Kerf f 0−
= là
một iđêan của A, ( )Imf f A= là một vành con của B và f cảm sinh một đẳng cấu
vành: A Kerf Imf≅ . 
Định nghĩa 1.1.11.
• Một phần tử x của vành A được gọi là ước của không nếu trong A tồn
tại phần tử y 0≠ sao cho xy 0= . Nếu x là ước của không và x 0≠ thì
x được gọi là ước thật sự của không.
• Vành khác không và không có ước thật sự của không được gọi là miền
nguyên.

• Một phần tử x của vành A được gọi là lũy linh nếu có một số nguyên
dương n sao cho n
x 0= .
• Một phần tử x của vành A được gọi là phần tử khả nghịch nếu trong A
tồn tại phần tử y sao cho xy 1= . Phần tử y được xác định duy nhất bởi
x và được viết là 1
x−
.
• Những bội số ax của phần tử x thuộc vành A lập thành một iđêan chính,
ký hiệu Ax hoặc x〈 〉 . Iđêan không 0〈 〉 thường được ký hiệu 0.
• Vành A được gọi là trường nếu A 0≠ và mọi phần tử khác không đều
khả nghịch.
Mệnh đề 1.1.12. Một phần tử x của vành A là phần tử khả nghịch khi và chỉ khi
x A〈 〉 = . 
Mệnh đề 1.1.13. Cho A là một vành khác 0. Khi đó những phát biểu sau là tương
đương:
i) A là một trường;
ii) Chỉ có hai iđêan trong A là 0 là 1〈 〉 ;
iii) Mọi đồng cấu từ A vào vành B khác 0 là đơn ánh. 
• Một iđêan p của vành A được gọi là iđêan nguyên tố nếu 1≠ 〈 〉p và
nếu xy∈p thì suy ra x ∈p hoặc y∈p.
• Một iđêan m của vành A được gọi là iđêan tối đại nếu 1≠ 〈 〉m và chỉ
có hai iđêan của A chứa m là m và A.
Mệnh đề 1.1.15. Cho a là iđêan của vành A, khi đó:
• a là iđêan nguyên tố khi và chỉ khi A a là miền nguyên.
• a là iđêan tối đại khi và chỉ khi A a là trường. 
Hệ quả 1.1.16.
• Mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố.

• Iđêan 0 của vành A là nguyên tố khi và chỉ khi A là miền nguyên. 
Mệnh đề 1.1.17. Nếu f : A B→ là một đồng cấu vành và q là một iđêan nguyên tố
của B thì ( )1
f −
q là một iđêan nguyên tố của A. 
Định lý 1.1.18. Mọi vành A khác không đều chứa ít nhất một iđêan tối đại. 
Hệ quả 1.1.19.
• Nếu 1≠ 〈 〉a là một iđêan của vành A thì tồn tại một iđêan tối đại của A
chứa a .
• Mỗi phần tử không khả nghịch của vành A luôn được chứa trong một
iđêan tối đại. 
Định nghĩa 1.1.20. Vành A chỉ có một iđêan tối đại duy nhất được gọi là vành địa
phương.
Mệnh đề 1.1.21. Tập N gồm tất cả lũy linh của vành A là một iđêan và A N
không chứa lũy linh nào khác 0. 
Định nghĩa 1.1.22. Iđêan N được gọi là căn lũy linh của vành A.
Mệnh đề 1.1.23. Căn lũy linh của vành A là giao của tất cả các iđêan nguyên tố của
A. 
Định nghĩa 1.1.24. Căn Jacobson J của vành A là giao của tất cả iđêan tối đại của
A.
Mệnh đề 1.1.25. Giao i
i I∈
a của một họ iđêan ( )i i I∈
a của vành A là một iđêan của
vành A. 
Định nghĩa 1.1.26. Cho a và b là hai iđêan của vành A.
• Tổng của a và b, ký hiệu +a b, là tập gồm tất cả các phần tử x y+ với
x ∈a , y∈b. Tổng quát, tổng i
i I∈
∑a của họ iđêan ( )i i I∈
a là tập gồm tất

cả các tổng i
i I
x
∈
∑ với i ix ∈a (i I∈ ) và hầu hết ix 0= trừ một số hữu
hạn.
• Tích của a và b, ký hiệu ab, là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn
i jx y∑ với ix ∈a , jy ∈b. Tổng quát, tích của n iđêan 1 2 n, ,...,a a a là
1 2 n...a a a . Nói riêng, ta có khái niệm lũy thừa của iđêan a : ( )0
: A=a ,
( )1
:=a a , 2
a , 3 n
,..., ,...a a .
• Thương của a và b, ký hiệu ( ):a b , là tập gồm tất cả các phần tử x A∈
thỏa x ⊆b a . Nói riêng, ( )0:b là tập gồm tất cả các phần tử x A∈ thỏa
x 0=b , được gọi là linh hóa tử của b, ký hiệu ( )Ann b . Nếu b là iđêan
chính x〈 〉 thì có thể viết ( ): xa thay cho ( ): x〈 〉a .
• Căn của a , ký hiệu ( )rad a , là tập gồm tất cả phần tử x A∈ thỏa có số
nguyên dương n sao cho n
x ∈a .
Mệnh đề 1.1.27. Cho a và b là hai iđêan của vành A. Khi đó +a b, ab, ( ):a b ,
( )rad a đều là iđêan của A. 
Mệnh đề 1.1.28. Cho a , b, c, ( )i i I∈
a là những iđêan của vành A. Ta có:
• ∩ ⊇a b ab
• ( )+ = +a b c ab ac
• ( ):⊆a a b
• ( ): ⊆a b b a
• ( )( ) ( ) ( )( ): : : : := =a b c a bc a c b
• ( )i i
i I i I
: :
∈ ∈
 
= 
 
 a a a a
• ( ) ( ) ( ): : :+ = ∩a b c a b a c
• ( )rad ⊇a a

• ( )( ) ( )rad rad rad=a a
• ( ) ( ) ( ) ( )rad rad rad rad= ∩ = ∩ab a b a b
• ( )rad A A= ⇔ =a a
• ( ) ( ) ( )( )rad rad rad rad+= +a b a b 
Định nghĩa 1.1.29. Hai iđêan a và b của vành A được gọi là nguyên tố cùng nhau
nếu 1+ =〈 〉a b .
Mệnh đề 1.1.30. Hai iđêan a và b của vành A nguyên tố cùng nhau khi và chỉ khi
tồn tại x ∈a và y∈b sao cho x y 1+ =.
Mệnh đề 1.1.31. Nếu a và b iđêan nguyên tố cùng nhau thì ∩ =a b ab. 
Định nghĩa 1.1.32. Cho 1 2 nA ,A ,...,A là vành. Khi đó, tích trực tiếp của chúng
n
i
i 1
A A
=
= ∏ là tập tất cả các dãy ( )1 2 nx x ,x ,...,x= với i ix A∈ (1 i n≤ ≤ ) cùng với
hai phép toán theo thành phần:
• ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nx y x ,x ,...,x y ,y ,...,y : x y ,x y ,...,x y+ = + = + + + ,
• ( ) ( ) ( )1 2 n 1 2 n 1 1 2 2 n nxy x ,x ,...,x . y ,y ,...,y : x y ,x y ,...,x y= = ,
là một vành giao hoán với đơn vị ( )1 1,1,...,1= . Vành A này được gọi là vành tích
của 1 2 nA ,A ,...,A .
Mệnh đề 1.1.33.
• Cho 1 2 nA ,A ,...,A là vành và
n
i
i 1
A A
=
= ∏ là vành tích của chúng. Những
phép chiếu i ip : A A→ được xác định bởi ( )i ip x x= là những đồng
cấu vành.

• Cho 1 2 n, ,...,a a a là những iđêan của vành A. Ánh xạ ( )
n
i
i 1
: A A
=
φ → ∏ a
xác định bởi quy tắc ( ) ( )1 2 nx x ,x ,...,xφ = + + +a a a là một đồng cấu
vành. 
Mệnh đề 1.1.34. Cho 1 2 n, ,...,a a a là những iđêan của vành A và đồng cấu vành
( )
n
i
i 1
: A A
=
φ → ∏ a , ( ) ( )1 2 nx x ,x ,...,xφ = + + +a a a . Khi đó :
• Nếu i j,a a nguyên tố cùng nhau với mọi i j≠ thì
n
1 n i
i 1
...
=
= a a a .
• φ toàn ánh ⇔ i j,a a nguyên tố cùng nhau với mọi i j≠ .
• φ đơn ánh ⇔
n
i
i 1
0
=
=〈 〉a . 
Định lý 1.1.35. (Định lý tránh nguyên tố)
• Cho 1 n,...,p p là những iđêan nguyên tố và a là một iđêan chứa trong
n
i
i 1=
p . Khi đó i⊆a p với i nào đó.
• Cho 1 n,...,a a là những iđêan và p là một iđêan nguyên tố chứa
n
i
i 1=
a .
Khi đó i ⊆a p với i nào đó. Nếu
n
i
i 1=
= p a thì i =a p với i nào đó. 
Mệnh đề 1.1.36. Cho a là một iđêan của vành A. Khi đó căn của iđêan a là giao
của tất cả iđêan nguyên tố chứa a . 
Mệnh đề 1.1.37. Cho ,a b là hai iđêan của vành A. Khi đó ( ) ( )rad ,rada b nguyên
tố cùng nhau khi và chỉ khi ,a b nguyên tố cùng nhau. 

1.2. Môđun
Định nghĩa 1.2.1. Cho A là một vành. Một A – môđun là một tập hợp M với phép
nội toán : M M M+ × → và phép ngoại toán : A M M× → thỏa:
1) M là một nhóm aben đối với phép cộng, có phần tử không (ký hiệu 0),
2) ( )a x y ax ay+ = + với mọi a A∈ và mọi x,y M∈ ,
3) ( )a b x ax bx+ = + với mọi a,b A∈ và mọi x M∈ ,
4) ( ) ( )a bx ab x= với mọi a,b A∈ và mọi x M∈ ,
5) 1x x= với mọi x M∈ (1 là phần tử đơn vị của vành A).
Khi đó, vành A được gọi là vành hệ tử của môđun.
Định nghĩa 1.2.2. Cho M, N là hai A – môđun. Một ánh xạ f : M N→ là một đồng
cấu A – môđun (hay A – tuyến tính) nếu:
i) ( ) ( ) ( )f x y f x f y+ = + với mọi x,y M∈ ,
ii) ( ) ( )f ax a.f x= với mọi a A∈ và mọi x M∈ .
Ghi chú:
• Nếu A là trường thì một đồng cấu A – môđun giống như phép biến đổi
tuyến tính của không gian vectơ.
• Đồng cấu A – môđun được gọi là đơn cấu, toàn cấu hay đẳng cấu nếu
ánh xạ f tương ứng là đơn ánh, toàn ánh hay song ánh.
• Nếu có một đẳng cấu A – môđun từ M đến N thì ta nói M và N đẳng
cấu nhau, ký hiệu M N≅ .
Mệnh đề 1.2.3 Nếu f : M N→ , g : N L→ là hai đồng cấu A – môđun thì tích (ánh
xạ hợp) g f : M L→ cũng là đồng cấu A – môđun. 
Định nghĩa 1.2.4. Cho A – môđun M và N là tập con của M. Khi đó, N được gọi là
môđun con của M nếu:
i) N ≠ ∅ ,
ii) x y N− ∈ với mọi x,y N∈ ,

iii) ax N∈ với mọi x N∈ , a A∈ .
Ghi chú:
• Môđun con cũng là một A – môđun với các phép toán cảm sinh.
• Iđêan a của vành A cũng là một A – môđun. Đặc biệt, bản thân A cũng
là một A – môđun.
• Nếu A là một trường K thì A – môđun là một K – không gian vectơ.
Định nghĩa 1.2.5. Cho N là môđun con của A – môđun M. Tập thương M N có
cấu trúc A – môđun với hai phép toán:
• Với mọi x N,y N M N+ + ∈ : ( ) ( ) ( )x N y N x y N+ + + = + + .
• Với mọi x N M N+ ∈ , a A∈ : ( )a x N ax N+ = + .
Ta gọi đó là môđun thương của môđun M trên môđun con N.
Mệnh đề 1.2.6. Ánh xạ
: M M Nφ →
x x N+
là một toàn cấu A – môđun. Ta gọi đó là toàn cấu chính tắc từ môđun M lên môđun
thương M N . 
Mệnh đề 1.2.7. Cho N là môđun con của A – môđun M. Có một sự tương ứng 1 – 1
bảo toàn thứ tự giữa những môđun con của M mà chứa N với những môđun con của
M N .
Mệnh đề 1.2.8. Nếu f : M N→ là một đồng cấu A – môđun thì ( )1
Kerf f 0−
= là
một môđun con của M, ( )Imf f M= là một môđun con của N và f cảm sinh một
đẳng cấu A – môđun: M Kerf Imf≅ . 
Mệnh đề 1.2.9. Cho f : M N→ là một đồng cấu A – môđun. Khi đó :
• Nếu M' là môđun con của M thì ( )f M' là môđun con của N.
• Nếu N' là môđun con của N thì ( )1
f N'−
là môđun con của M. 

Mệnh đề 1.2.10. Giao i
i I
M
∈
 của một họ môđun con ( )i i I
M ∈
của A – môđun M là
một môđun con của M. 
Định nghĩa 1.2.11. Cho 1M , 2M là hai môđun con của A – môđun M và a là một
iđêan của A.
• Tổng của 1M và 2M , ký hiệu 1 2M M+ , là tập gồm tất cả các phần tử
x y+ với 1x M∈ , 2y M∈ . Tổng quát, tổng i
i I
M
∈
∑ của họ môđun con
( )i i I
M ∈
của A – môđun M là tập gồm tất cả các tổng i
i I
x
∈
∑ với i ix M∈
(i I∈ ) và hầu hết ix 0= trừ một số hữu hạn.
• Tích của a và M, ký hiệu Ma , là tập gồm tất cả các tổng hữu hạn
i ia x∑ với ia ∈a , ix M∈ .
• Thương của 1M và 2M , ký hiệu ( )1 2M : M , là tập gồm tất cả phần tử
a A∈ thỏa 2 1aM M⊆ . Đặc biệt, thương ( )0: M là tập gồm tất cả phần
tử a A∈ thỏa aM 0= , được gọi là linh hóa tử của A – môđun M và ký
hiệu ( )Ann M .
Ghi chú: Nếu iđêan ( )Ann M⊆a thì A – môđun M sẽ có cấu trúc A a – môđun
nhờ phép nhân ngoài ( )a x ax+ =a (a A,x M∈ ∈ ).
Mệnh đề 1.2.12. Cho 1M , 2M là hai môđun con của A – môđun M và a là một
iđêan của A. Khi đó, 1 2M M+ , Ma là hai môđun con của M và ( )1 2M : M là một
iđêan của A. 
Mệnh đề 1.2.13. Nếu x là một phần tử của A – môđun M thì tập tất cả các bội số ax
với a A∈ là một môđun con của M, ký hiệu Ax hoặc x〈 〉 và gọi là môđun con của
M sinh bởi x. 

Định nghĩa 1.2.14. Cho A – môđun M.
• Nếu i
i I
M Ax
∈
= ∑ thì ( )i i I
x ∈
được gọi là hệ sinh của M, có nghĩa là mọi
phần tử của M có thể biểu diễn (không nhất thiết duy nhất) dưới dạng tổ
hợp tuyến tính hữu hạn của ( )i i I
x ∈
với hệ số trong A.
• M được gọi là hữu hạn sinh nếu nó có một hệ sinh hữu hạn.
• Hệ sinh ( )i i I
x ∈
của M được gọi là cơ sở của M nếu phần tử 0 được biểu
diễn một cách duy nhất dưới dạng tổ hợp tuyến tính của họ ( )i i I
x ∈
, tức
là nếu i i
i I
a x 0
∈
=∑ thì ia 0= với mọi i I∈ .
• Nếu M, N là các A – môđun thì tổng trực tiếp của chúng, ký hiệu
M N⊕ , là tập gồm tất cả các cặp ( )x,y với x M,y N∈ ∈ . Tổng quát,
nếu ( )i i I
M ∈
là một họ bất kỳ các A – môđun thì tổng trực tiếp
i I
M
∈
⊕ là
tập gồm tất cả các họ ( )i i I
x ∈
thỏa i ix M∈ với mỗi i I∈ và hầu hết
ix 0= .
• Nếu ( )i i I
M ∈
là một họ bất kỳ các A – môđun thì tích trực tiếp của
chúng, ký hiệu i
i I
M
∈
∏ , là tập gồm tất cả các họ ( )i i I
x ∈
thỏa i ix M∈ với
mỗi i I∈ .
Ghi chú: Khi tập chỉ số { }I 1,2,...,n= là một tập hữu hạn thì tổng trực tiếp
1 2 n
i I
M M M ... M
∈
⊕ = ⊕ ⊕ ⊕ và tích trực tiếp i 1 2 n
i I
M M M ... M
∈
= × × ×∏ hiển nhiên
trùng nhau. Còn nếu I là tập vô hạn thì tổng trực tiếp và tích trực tiếp hoàn toàn
khác nhau.
Mệnh đề 1.2.16. Nếu M, N là các A – môđun thì tổng trực tiếp M N⊕ là một A –
môđun nếu ta định nghĩa phép cộng và phép nhân vô hướng:

• ( ) ( ) ( )1 1 2 2 1 2 1 2x ,y x ,y x x ,y y+ = + +
• ( ) ( )a x,y ax,ay= 
Mệnh đề 1.2.17. M là một A – môđun hữu hạn sinh khi và chỉ khi M đẳng cấu với
thương của n
A A ... A= ⊕ ⊕ (n số hạng) với số nguyên dương n nào đó. 
Mệnh đề 1.2.18. (Bổ đề Nakayama). Cho M là một A – môđun hữu hạn sinh và a
là một iđêan của A được chứa trong căn Jacobson J của A. Khi đó nếu M M=a thì
suy ra M 0= . 
Ghi chú: Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của nó, M là một A –
môđun hữu hạn sinh. Khi đó M Mm được linh hóa bởi m , do đó là một A m –
môđun, nghĩa là A m – không gian vectơ hữu hạn chiều.
Mệnh đề 1.2.19. Cho 1 nx ,...,x là những phần tử của M mà ảnh của chúng trong
M Mm tạo thành một cơ sở của không gian vectơ này. Khi đó, ix sinh ra M. 
• Một dãy các A – môđun và A – đồng cấu:
i i 1f f
i 1 i i 1... M M M ...+
− +→ → → →
được gọi là khớp tại iM nếu i i 1Imf Kerf += .
• Một dãy được gọi là dãy khớp nếu dãy đó khớp tại mọi iM .
• Dãy khớp dạng f g
0 M' M M'' 0→ → → → được gọi là dãy
khớp ngắn.
Mệnh đề 1.2.21.
• Dãy f
0 M' M→ → là khớp khi và chỉ khi f đơn cấu.
• Dãy g
M M'' 0→ → là khớp khi và chỉ khi g toàn cấu. 

1.3. Sự phân tích nguyên sơ
Định nghĩa 1.3.1. Một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ nếu A≠q
và nếu xy∈q, x ∉q thì suy ra n
y ∈q với n nào đó.
Nói cách khác, một iđêan q của vành A được gọi là iđêan nguyên sơ khi và
chỉ khi A 0≠q và mọi ước của 0 trong vành thương A q đều là lũy linh.
Mệnh đề 1.3.2. Cho q, a là hai iđêan của vành A và ⊆a q. Khi đó q nguyên sơ
khi và chỉ khi q a nguyên sơ trong vành thương A a . 
Mệnh đề 1.3.3. Nếu q là một iđêan nguyên sơ của vành A thì ( )rad q là iđêan
nguyên tố nhỏ nhất trong số tất cả những iđêan nguyên tố của A mà chứa q. 
Định nghĩa 1.3.4. Cho q là một iđêan nguyên sơ của vành A. Nếu ( )rad=p q thì q
được gọi là p – nguyên sơ.
Mệnh đề 1.3.5. Nếu ( )rad a là tối đại thì a là nguyên sơ. Đặc biệt, lũy thừa của một
iđêan tối đại m là m – nguyên sơ. 
Mệnh đề 1.3.6. Nếu 1 n,...,q q là p – nguyên sơ thì
n
i
i 1=
= q q là p – nguyên sơ. 
Định nghĩa 1.3.7. Một sự phân tích nguyên sơ của một iđêan a của vành A là sự
biểu diễn a dưới dạng giao hữu hạn những iđêan nguyên sơ:
n
i
i 1=
= a q .
Ngoài ra, nếu tất cả ( )irad q đều phân biệt và không iq nào chứa giao của
những cái còn lại (tức i j
j i≠
⊇ q q với i 1,...,n= ) thì sự phân tích nguyên sơ được gọi
là tối tiểu.
Định lý 1.3.8. Cho a là iđêan có sự phân tích nguyên sơ và
n
i
i 1=
= a q là một sự phân
tích nguyên sơ tối tiểu của a . Đặt ( )i irad=p q , i 1,...,n= . Khi đó ip là những iđêan

nguyên tố xuất hiện trong tập những iđêan ( )rad : xa ( x A∈ ) và không phụ thuộc
vào sự phân tích nguyên sơ của a . 
• Những iđêan nguyên tố ip ở trên được gọi là liên kết với a .
• Những phần tử tối tiểu của tập { }1 n,...,p p ở trên được gọi là iđêan
nguyên tố cô lập liên kết với a .
Hệ quả 1.3.10. Những thành phần nguyên sơ iq ứng với iđêan nguyên tố cô lập ip
là xác định duy nhất bởi a . 
Định nghĩa 1.3.11. Một iđêan a của vành A được gọi là bất khả qui nếu nó không
phải là giao của hai iđêan chứa nó thật sự.
Nói cách khác, iđêan a của vành A là bất khả qui khi và chỉ khi A≠a và
với mọi iđêan ,b c nếu = ∩a b c thì =a b hoặc =a c .

Chương 2: MỘT SỐ TÍNH CHẤT CỦA VÀNH
ARTIN
2.1. Điều kiện dây chuyền
Mệnh đề 2.1.1. Những điều kiện sau đây là tương đương:
i) Mọi dãy giảm các môđun con 1 2M M ...⊇ ⊇ của M đều dừng (nghĩa là,
tồn tại n thỏa n n 1M M ...+= = ).
ii) Mọi họ khác rỗng những môđun con của M, sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm ⊇, đều có phần tử tối tiểu.
Chứng minh:
i) ii)⇒ Giả sử ii) sai, tức có một họ khác rỗng T các môđun con của M
không có phần tử tối tiểu. Lấy 1M T∈ , khi đó tồn tại 2M T∈ sao cho 1 2M M⊃ .
Lập luận tương tự ta xây dựng được dãy vô hạn giảm nghiêm ngặt
1 2 3M M M ...⊃ ⊃ ⊃ nên trái với giả thiết i).
ii) i)⇒ Họ ( )m m 1
M ≥
có một phần tử tối tiểu, chọn phần tử tối tiểu đó làm
nM ta được i). 
Ghi chú:
• i) được gọi là điều kiện dây chuyền giảm và ii) được gọi là điều kiện tối
tiểu.
• Nếu tập những môđun con của môđun M được sắp thứ tự theo quan hệ
bao hàm ⊆ thì i) được gọi là điều kiện dây chuyền tăng và ii) được gọi
là điều kiện tối đại.

• Môđun M thỏa một trong hai điều kiện tương đương: điều kiện dây
chuyền giảm hoặc điều kiện tối tiểu, gọi là môđun Artin (đặt theo tên
Emil Artin).
• Môđun M thỏa một trong hai điều kiện tương đương: điều kiện dây
chuyền tăng hoặc điều kiện tối đại, gọi là môđun Noether (đặt theo tên
Emmy Noether).
Mệnh đề 2.1.3. M là A – môđun Noether khi và chỉ khi mọi môđun con của M là
hữu hạn sinh.
Chứng minh:
)⇒ Giả sử N là một môđun con của M và Σ là tập tất cả những môđun con
hữu hạn sinh của N. Khi đó Σ ≠ ∅ (vì 0∈Σ) và Σ có một phần tử tối đại, gọi là
0N . Nếu 0N N≠ thì ta có môđun con 0N Ax+ (với 0x N,x N∈ ∉ ) là môđun hữu
hạn sinh và chứa 0N thực sự, ta gặp mâu thuẫn. Do đó 0N N= và N hữu hạn sinh.
)⇐ Giả sử 1 2M M ...⊆ ⊆ là dãy tăng các môđun con của M. Đặt
i
i 1
N M
∞
=
=  thì N là một môđun con của M, do đó N hữu hạn sinh với hệ sinh là
1 rx ,...,x . Giả sử ii nx M∈ và đặt ( )1 rn max n ,...,n= thì i nx M∈ . Suy ra
n n 1M M ...+= = , do đó dãy 1 2M M ...⊆ ⊆ phải dừng. Vậy M là môđun Noether. 
Mệnh đề 2.1.4. Cho 0 M' M M'' 0α β
→ → → → là một dãy khớp A –
môđun. Khi đó, M là môđun Artin (hoặc Noether) khi và chỉ khi M' và M'' là
môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:
)⇒ : Giả sử 1 2M' M' ...⊇ ⊇ là dãy giảm các môđun con của M'. Theo
(1.2.9) thì ( ) ( )1 2M' M' ...α ⊇ α ⊇ là dãy giảm các môđun con của M và dừng (vì M
là môđun Artin). Tức là tồn tại n sao cho ( ) ( )n n 1M' M' ...+α =α =. Mà α là đơn cấu
nên n n 1M' M' ...+= = . Do đó 1 2M' M' ...⊇ ⊇ phải dừng. Vậy M' là môđun Artin.

Giả sử 1 2M'' M'' ...⊇ ⊇ là dãy giảm các môđun con của M''. Theo (1.2.9) thì
( ) ( )1 1
1 2M'' M'' ...− −
β ⊇ β ⊇ là dãy giảm các môđun con của M và dừng (vì M là
môđun Artin). Tức là tồn tại n sao cho ( ) ( )1 1
n n 1M'' M'' ...− −
+β =β =. Mà β là toàn
cấu nên n n 1M'' M'' ...+= = . Do đó 1 2M'' M'' ...⊇ ⊇ phải dừng. Vậy M'' là môđun
Artin.
)⇐ : Giả sử 1 2M M ...⊇ ⊇ là dãy giảm các môđun con của M. Theo (1.2.9)
thì ( ) ( )1 1
1 2M M ...− −
α ⊇ α ⊇ , ( ) ( )1 2M M ...β ⊇ β ⊇ lần lượt là dãy giảm các môđun
con của M', M'' và phải dừng (vì M', M'' là môđun Artin). Tức là tồn tại nα , nβ
sao cho ( ) ( )1 1
n n 1M M ...α α
− −
+α =α =, ( ) ( )n n 1M M ...β β +β =β =. Đặt ( )n max n ,nα β=
suy ra ( ) ( )1 1
n n 1M M ...− −
+α =α =, ( ) ( )n n 1M M ...+β =β =. Ta sẽ chứng minh
n n 1M M += .
Rõ ràng n n 1M M +⊇ . Lấy nx M∈ , tồn tại n 1y M +∈ sao cho ( ) ( )x yβ =β .
Suy ra ( ) ( ) ( )x y x y 0β −β = β − = hay ( )x y Ker Im M'− ∈ β = α = α . Do đó tồn tại
n 1z M +∈ sao cho ( ) ( )1 1
x y z− −
α − =α (với nx y M− ∈ ). Suy ra x y z− =mà
n 1y,z M +∈ nên n 1x M +∈ . Do đó n n 1M M +⊆ .
Tương tự ta suy ra n n 1M M ...+= = , tức dãy 1 2M M ...⊇ ⊇ phải dừng. Vậy M
là môđun Artin.
Chứng minh tương tự cho trường hợp môđun Noether. 
Hệ quả 2.1.5. Nếu 1 nM ,...,M là các A – môđun Artin (hoặc Noether) thì
n
i
i 1
M
=
⊕
cũng là A – môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:
Ta chứng minh bằng quy nạp theo n.

Khi n 2= : ta có dãy 1 1 2 20 M M M M 0→ → ⊕ → → là khớp nên theo
(2.1.4) suy ra 1 2M M⊕ là môđun Artin (hoặc Noether). Giả sử
n 1
i
i 1
M
−
=
⊕ là môđun
Artin (hoặc Noether), khi đó dãy
n n 1
n i i
i 1 i 1
0 M M M 0
−
= =
→ → ⊕ → ⊕ → là khớp nên theo
(2.1.4) lại suy ra
n
i
i 1
M
=
⊕ là môđun Artin (hoặc Noether). 
Hệ quả 2.1.6. Môđun con và môđun thương của môđun Artin (hoặc Noether) là
môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:
Do dãy 0 N M M N 0→ → → → là dãy khớp mà M là môđun Artin (hoặc
Noether) nên theo (2.1.4) N và M N cũng là môđun Artin (hoặc Noether). 
Định nghĩa 2.1.7. Một vành A được gọi là vành Artin (hoặc Noether) nếu nó cũng
là một A – môđun Artin (hoặc Noether), nghĩa là, nếu nó thỏa điều kiện dây chuyền
giảm (hoặc tăng) trên các iđêan.
Mệnh đề 2.1.8. Cho A là một vành Artin (hoặc Noether), M là một A – môđun hữu
hạn sinh. Khi đó, M cũng là môđun Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:
Vì M là A – môđun hữu hạn sinh nên theo (1.2.17) n
M A N≅ với n là số
nguyên dương nào đó và với N là môđun con nào đó của n
A . Ta có
n
n
i 1
A A
=
= ⊕ và A
là môđun Artin (hoặc Noether) nên theo (2.1.5) n
A cũng là môđun Artin (hoặc
Noether). Theo (2.1.6) n
A N là môđun Artin (hoặc Noether). Do đó M cũng là
môđun Artin (hoặc Noether). 
Mệnh đề 2.1.9. Cho A là một vành Artin (hoặc Noether), a là một iđêan của A. Khi
đó A a là một vành Artin (hoặc Noether).
Chứng minh:

Theo (2.1.6) A a là một A – môđun Artin nên nó thỏa điều kiện dây chuyền
giảm, tức mọi dãy giảm các A – môđun con 1 2M M ...⊇ ⊇ của A – môđun A a
đều dừng. Mà các A – môđun con 1 2M ,M ,... cũng là các A a – môđun. Do đó, mọi
dãy giảm các A a – môđun con 1 2M M ...⊇ ⊇ của A a – môđun A a đều dừng.
Vậy A a là A a – môđun Artin hay A a là vành Artin.
Tương tự đối với trường hợp vành Noether. 
• Xích các môđun con của môđun M là một dãy 1 nM ,...,M các môđun
con của M thỏa: 0 1 nM M M ... M 0= ⊃ ⊃ ⊃ = (bao hàm ngặt). Độ dài
của xích là n.
• Một dãy hợp thành của M là xích các môđun con của môđun M mà
không có môđun con nào có thể bổ sung thêm vào xích.
Mệnh đề 2.1.11. Xích 0 1 nM M M ... M 0= ⊃ ⊃ ⊃ = là dãy hợp thành khi và chỉ khi
i 1 iM M− (0 i n≤ ≤ ) là đơn (nghĩa là không có môđun con nào ngoài 0 và chính nó).
Chứng minh:
)⇒ Vì xích 0 1 nM M M ... M 0= ⊃ ⊃ ⊃ = là dãy hợp thành nên với mỗi
i 1,...,n= chỉ có hai môđun con của i 1M − chứa iM là i 1M − và iM . Do đó theo
(1.2.7) i 1 iM M− cũng chỉ có hai môđun con là 0 và i 1 iM M− .
)⇐ Vì i 1 iM M− chỉ có hai môđun con là 0 và i 1 iM M− nên theo (1.2.7)
i 1M − cũng chỉ có hai môđun con chứa iM là i 1M − và iM . 
Mệnh đề 2.1.12. Giả sử rằng M có một dãy hợp thành có độ dài n. Khi đó, mọi dãy
hợp thành của M đều có độ dài n và mọi xích trong M đều có thể mở rộng thành
một dãy hợp thành.
Chứng minh:

Đặt ( )M là ký hiệu độ dài nhỏ nhất của một dãy hợp thành của môđun M
( ( )M = +∞ nếu M không có dãy hợp thành nào).
i) Chứng minh: nếu N M⊂ thì ( ) ( )N M<  . Gọi ( )i i
M là dãy hợp thành
của M có độ dài nhỏ nhất. Khi đó i iN N M= ∩ là những môđun con của N. Vì
i 1 i i 1 iN N M M− −⊆ mà i 1 iM M− là môđun đơn nên i 1 i i 1 iN N M M− −= hoặc
i 1 iN N− = . Do đó ( )i i
N là dãy hợp thành của N thỏa ( ) ( )N M≤  . Nếu
( ) ( )N M n= =  thì i 1 i i 1 iN N M M− −= với mọi i 1,...,n= , suy ra n 1 n 1M N− −= ,
n 2 n 2M N− −= ,…, cuối cùng M N= .
ii) Chứng minh: mọi xích trong M đều có độ dài ( )M≤  . Gọi
0 1 kM M M ... M 0= ⊃ ⊃ ⊃ = là một xích có độ dài k. Khi đó, theo i) ta có
( ) ( ) ( )1 kM M ... M 0> > > =   , suy ra ( )M k 1> − hay ( )M k≥ .
iii) Nếu một dãy hợp thành của M có độ dài k thì theo ii) trên ta có
( )M k≥ , mặt khác theo định nghĩa ( )M thì ( )M k≤ , suy ra ( )k M=  . Do đó
mọi dãy hợp thành trong M đều có độ dài bằng nhau. Nếu một xích có độ dài bằng
( )M thì nó là dãy hợp thành. Nếu một xích có độ dài ( )M<  thì không phải là
dãy hợp thành, do đó có thể chèn thêm vào đến khi độ dài của xích bằng ( )M . 
Mệnh đề 2.1.13. M có một dãy hợp thành khi và chỉ khi M thỏa cả hai điều kiện
dây chuyền.
Chứng minh:
)⇒ Khi M có một dãy hợp thành thì tất cả những xích trong M đều có độ dài
bị chặn. Do đó M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền.
)⇐ Giả sử M thỏa cả hai điều kiện dây chuyền. Ta xây dựng một dãy hợp
thành của M như sau. Vì 0M M= thỏa điều kiện tối đại nên nó có một môđun tối
đại 1 0M M⊂ . Tương tự 1M có một môđun tối đại 2 1M M⊂ . Tiếp tục như thế ta
thu được xích nghiêm ngặt 0 1 2M M M M ...= ⊃ ⊃ ⊃ . Theo điều kiện dây chuyền

giảm thì xích này phải dừng, tức độ dài hữu hạn. Vậy ta có một dãy hợp thành của
M. 
Định nghĩa 2.1.14. Một môđun thỏa cả hai điều kiện dây chuyền được gọi là môđun
có độ dài hữu hạn. Khi đó độ dài của môđun M, ký hiệu ( )M , chính là độ dài của
một dãy hợp thành nào đó của M.
Mệnh đề 2.1.15. Cho K – không gian vectơ V. Những điều kiện sau đây là tương
đương:
i) Chiều hữu hạn;
ii) Độ dài hữu hạn;
iii) Điều kiện dây chuyền tăng;
iv) Điều kiện dây chuyền giảm.
Hơn nữa, nếu những điều kiện trên thỏa mãn thì độ dài bằng chiều.
Chứng minh:
i) ii)⇒ Giả sử 1 nx ,...,x là cơ sở của K – không gian vectơ V. Khi đó xích
n n 1
i i 1 2 1
i 1 i 1
V Kx Kx ... Kx Kx Kx 0
−
= =
= ⊃ ⊃ ⊃ + ⊃ ⊃∑ ∑ là một dãy hợp thành của V. Do
đó V có độ dài hữu hạn là n.
ii) iii),ii) iv)⇒ ⇒ Vì K – không gian vectơ V có độ dài hữu hạn nên V có
một dãy hợp thành. Theo (2.1.13) V thỏa điều kiện dây chuyền tăng và điều kiện
dây chuyền giảm.
iii) i),iv) i)⇒ ⇒ Giả sử i) sai khi đó tồn tại dãy vô hạn ( )n n
x những phần tử
độc lập tuyến tính của V. Gọi nU là không gian vectơ sinh bởi 1 nx ,...,x và nV là
không gian vectơ sinh bởi n 1 n 2x ,x ,...+ + thì ( )n n
U là dãy tăng nghiêm ngặt vô hạn và
( )n n
V là dãy giảm nghiêm ngặt vô hạn. Do đó V không thỏa điều kiện dây chuyền
tăng và điều kiện dây chuyền giảm. Do đó iii) và iv) cũng sai. 

Hệ quả 2.1.16. Cho A là một vành mà iđêan 0 là tích 1 n...m m của những iđêan tối
đại (không nhất thiết phải phân biệt). Khi đó, A là Artin khi và chỉ khi A là Noether.
Chứng minh:
Xét dãy những iđêan 1 1 2 1 nA ... ... 0⊃ ⊇ ⊇ ⊇ =m m m m m . Vì im là iđêan tối
đại nên theo (1.1.15) iA m là trường với mọi i. Do đó 1 i 1 1 i... ...−m m m m là không
gian vectơ trên trường iA m . Theo (2.1.15) điều kiện dây chuyền tăng tương
đương điều kiện dây chuyền giảm với mỗi 1 i 1 1 i... ...−m m m m . Áp dụng (2.1.6) cho
từng dãy khớp sau:
1 n 1 1 n 2 1 n 2 1 n 10 ... ... ... ...− − − −→ → →m m m m m m m m
1 n 2 1 n 3 1 n 3 1 n 20 ... ... ... ...− − − −→ → →m m m m m m m m
…
1 2 1 1 1 20 → → →m m m m m m
1 10 A A→ → →m m
Ta được: điều kiện dây chuyền tăng (hoặc điều kiện dây chuyền giảm) với
mỗi 1 i 1 1 i... ...−m m m m tương đương điều kiện dây chuyền tăng (hoặc điều kiện dây
chuyền giảm) với A. Do đó, điều kiện dây chuyền tăng tương đương điều kiện dây
chuyền giảm với A. Vậy A là Noether khi và chỉ khi A là Artin. 
2.2. Sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether
Bổ đề 2.2.1. Trong một vành Noether A mọi iđêan đều là giao hữu hạn của những
iđêan bất khả qui.
Chứng minh:
Giả sử điều cần chứng minh là sai, gọi Σ là tập những iđêan của A mà không
là giao hữu hạn của những iđêan bất khả qui, khi đó Σ ≠ ∅. Do đó tồn tại phần tử
tối đại a . Dĩ nhiên a không thể là bất khả qui vì ∈Σa , do đó tồn tại ,b c sao cho
⊂a b, ⊂a c và = ∩a b c. Do tính tối đại của a nên , ∉Σb c , nghĩa là ,b c là giao

hữu hạn của những iđêan bất khả qui, suy ra a cũng là giao hữu hạn của những
iđêan bất khả qui, vô lý. Vậy Σ = ∅ . 
Bổ đề 2.2.2. Trong một vành Noether mọi iđêan bất khả qui đều là iđêan nguyên sơ.
Chứng minh:
Giả sử iđêan 0 trong vành Noether là bất khả qui. Ta sẽ chứng minh nó cũng
là iđêan nguyên sơ. Giả sử xy 0= và y 0≠ . Xét ( ) ( )2
Ann x Ann x ...⊆ ⊆ Theo
điều kiện dây chuyền tăng, dãy này phải dừng, tức là tồn tại n sao cho
( ) ( )n n 1
Ann x Ann x ...+
= = Lấy n
z x y∈〈 〉 ∩ 〈 〉 thì n
z x∈〈 〉 và z y∈〈 〉 , suy ra
n
z ax by= = , suy ra n 1
zx ax byx 0+
= = = , suy ra ( ) ( )n 1 n
a Ann x Ann x+
∈ =, suy ra
n
ax 0= , suy ra z 0= . Do đó n
x y 0〈 〉 ∩ 〈 〉 = nhưng vì 0 là iđêan bất khả qui và
y 0〈 〉 ≠ nên n
x 0〈 〉 = hay n
x 0= . Vậy 0 là nguyên sơ.
Xét một iđêan bất khả qui a bất kỳ của vành Noether. Theo (2.1.9) A a là
vành Noether và iđêan 0 = a a là bất khả qui trong A a . Do đó theo chứng minh
trên 0 = a a là nguyên sơ và theo (1.3.2) thì a là nguyên sơ. 
Định lý 2.2.3. Trong một vành Noether mọi iđêan đều có một sự phân tích nguyên
sơ.
Chứng minh:
Theo (2.2.1) mọi iđêan trong vành Noether đều là giao hữu hạn của những
iđêan bất khả qui, mà theo (2.2.2) những iđêan bất khả qui đó đều là iđêan nguyên
sơ. Do đó mọi iđêan trong vành Noether đều có một sư phân tích nguyên sơ. 
Mệnh đề 2.2.4. Trong một vành Noether A mọi iđêan a đều chứa một lũy thừa của
( )rad a .
Chứng minh:

Gọi 1 kx ,...,x là hệ sinh của ( )rad a : tồn tại 1 kn ,...,n sao cho in
ix ∈a với mọi
i. Đặt
k
i
i 1
m n 1
=
= +∑ . Khi đó ( )
m
rad a được sinh bởi những tích 1 kr r
1 kx ...x với
k
i
i 1
r m
=
=∑ . Từ định nghĩa của m ta phải có i ir n≥ với ít nhất một chỉ số i, do đó
những tích 1 kr r
1 kx ...x đều thuộc a . Vậy ( )
m
rad ⊆a a . 
Hệ quả 2.2.5. Cho A là vành Noether, m là iđêan tối đại và q là iđêan bất kỳ của
A. Những phát biểu sau đây là tương đương:
i) q là m – nguyên sơ;
ii) ( )rad =q m ;
iii) n
⊆ ⊆m q m với n 0> nào đó.
Chứng minh:
i) ii)⇒ Hiển nhiên.
ii) i)⇒ Vì ( )rad =q m là iđêan tối đại nên theo (1.3.5) q là iđêan nguyên
sơ. Vậy q là m – nguyên sơ.
ii) iii)⇒ Theo (2.2.4) ( )
n
rad ⊆q q với n 0> nào đó. Mà ( )rad =q m là
iđêan tối đại nên n
⊆ ⊆m q m .
iii) ii)⇐ Lấy căn n
⊆ ⊆m q m ta được ( ) ( ) ( )n
rad rad rad⊆ ⊆m q m . Mà
( )rad =m m (vì m là iđêan tối đại) nên ( ) ( ) ( )
n
n
i 1
rad rad rad m
=
= = =m m m . Do
đó ( )rad =q m . 

2.3. Một số tính chất của vành Artin
Mệnh đề 2.3.1. Trong một vành Artin mọi iđêan nguyên tố là tối đại.
Chứng minh:
Gọi p là một iđêan nguyên tố của A. Theo (1.1.15) và (2.1.9) B A= p là
một miền nguyên Artin. Lấy x B∈ , x 0≠ . Theo điều kiện dây chuyền giảm ta có
n n 1
x x +
〈 〉 = 〈 〉 với n nào đó, do đó n n 1
x x y+
= với y B∈ . Vì B là một miền nguyên
và x 0≠ nên ta có thể đơn giản n
x , suy ra xy 1= . Do đó x có nghịch đảo trong B
nên B là một trường. Theo (1.1.15) p là iđêan tối đại. 
Hệ quả 2.3.2. Trong một vành Artin căn lũy linh bằng căn Jacobson.
Chứng minh:
Theo (1.1.16) mọi iđêan tối đại đều là iđêan nguyên tố. Mặt khác, theo
(2.3.1) trong vành Artin mọi iđêan nguyên tố là tối đại. Mà N là giao của tất cả
iđêan nguyên tố còn J là giao của tất cả iđêan tối đại nên ta có =N J . 
Mệnh đề 2.3.3. Một vành Artin chỉ có hữu hạn iđêan tối đại.
Chứng minh:
Xét tập gồm tất cả những giao hữu hạn 1 r...∩ ∩m m , với im là iđêan tối đại.
Vì đây là vành Artin nên thỏa điều kiện tối tiểu, suy ra tập hợp này có một phần tử
tối tiểu, gọi là 1 n...∩ ∩m m . Do đó với một iđêan tối đại bất kì m ta có
1 n 1 n... ...∩ ∩ ∩ = ∩ ∩m m m m m , nên 1 n...⊇ ∩ ∩m m m . Theo (1.1.35) i⊇m m
với i nào đó, mà im là iđêan tối đại, do đó i=m m . 
Mệnh đề 2.3.4. Trong một vành Artin căn lũy linh N là lũy linh.
Chứng minh:
Theo điều kiện dây chuyền giảm ta có k k 1
...+
= = =N N a với k 0> nào đó.
Giả sử 0≠a , gọi Σ là tập tất cả iđêan b thỏa 0≠ab . Do 2
0= = ≠aa a a nên

∈Σa , suy ra Σ ≠ ∅. Gọi c là phần tử tối tiểu của Σ. Khi đó tồn tại x ∈c thỏa
x 0≠a . Ta có x〈 〉 ⊆ c , mà c tối tiểu nên x〈 〉 =c . Vì ( ) 2
x x x 0= = ≠a a a a nên
x ∈Σa và vì x x⊆ 〈 〉a nên x x=〈 〉a (vì c tối tiểu). Do đó tồn tại y∈a sao cho
x xy= , suy ra 2 n
x xy xy ... xy ...= = = = = . Nhưng k
y∈ = ⊆a N N , do đó y là lũy
linh và do đó n
x xy 0= = . Điều này mâu thuẫn với việc chọn x, do đó 0=a . Vậy
k k 1
... 0+
= = =N N hay N là lũy linh. 
• Xích các iđêan nguyên tố của vành A là một dãy hữu hạn tăng ngặt các
iđêan nguyên tố 0 1 n...⊂ ⊂ ⊂p p p . Độ dài của xích là n.
• Chiều của A là cận trên đúng của những độ dài của tất cả những xích
các iđêan nguyên tố trong A. Đó là một số nguyên 0≥ hoặc +∞.
Định lý 2.3.6. A là vành Artin khi và chỉ khi A là vành Noether và dimA 0= .
Chứng minh:
)⇒ Theo (2.3.1) ta có dimA 0= . Theo (2.3.3) số iđêan tối đại của A là hữu
hạn nên gọi 1 n,...,m m là những iđêan tối đại phân biệt của A. Theo (2.3.4) tồn tại k
sao cho k
0=N . Theo (2.3.2)
kn
k k k k k
1 2 n i
i 1
... 0
=
 
⊆ === 
 
m m m m J N . Do đó theo
(2.1.16) A là vành Noether.
)⇐ Theo (2.2.3) iđêan 0 có một sự phân tích nguyên sơ
n
i
i 1
0
=
= q . Đặt
( )i irad=p q , i 1,...,n= , theo (1.3.3) các ip đều là iđêan nguyên tố. Vì dimA 0=
nên các ip đều là iđêan tối đại. Với m là iđêan tối đại bất kỳ ta có
n
i
i 1=
⊆q m , lấy
căn ta được ( ) ( )
n n n
i i i
i 1 i 1 i 1
rad rad rad
= = =
 
= = ⊆ = 
 
  p q q m m . Theo (1.1.35) i ⊆p m
với i nào đó, mà ip là iđêan tối đại nên i=m p . Do đó A chỉ có hữu hạn iđêan tối

đại. Theo (2.2.5) tồn tại 1 nk ,...,k thỏa ik
i i⊆p q , i 1,...,n= . Đặt ( )1 nk max k ,...,k= ta
được k
i i⊆p q , i 1,...,n= . Suy ra
n
k k
1 n 1 n i
i 1
... ... 0
=
⊆ ⊆ =p p q q q . Do đó theo (2.1.16) A
là vành Artin. 
Ghi chú: Nếu A là một vành Artin địa phương với iđêan tối đại m thì m là iđêan
nguyên tố duy nhất của A, suy ra m là căn lũy linh của A. Do đó mọi phần tử của
m là lũy linh và bản thân m cũng là lũy linh. Mỗi phần tử của A hoặc khả nghịch
hoặc là lũy linh.
Mệnh đề 2.3.7. Giả sử A là một vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại của
nó. Khi đó, chỉ có một trong hai phát biểu sau là đúng:
i) n n 1+
≠m m với mọi n;
ii) n
0=m với n nào đó, trong trường hợp này A là một vành Artin địa
phương.
Chứng minh:
Giả sử n n 1+
=m m với n nào đó. Theo bổ đề Nakayama (1.2.18) ta có
n
0=m . Gọi p là iđêan nguyên tố bất kì của A. Khi đó n
⊆m p, lấy căn suy ra
( ) ( ) ( )n
rad rad rad⊆ = ⊆ =m m m p p, mà m là iđêan tối đại nên =m p. Do đó m
là iđêan nguyên tố duy nhất của A, suy ra dimA 0= . Theo (2.3.6) A là vành Artin
địa phương. 
Định lý 2.3.8. (Định lý cấu trúc của vành Artin). Một vành Artin A được phân tích
duy nhất (sai khác một đẳng cấu) thành tích trực tiếp của hữu hạn những vành Artin
địa phương.
Chứng minh:
• Chứng minh: A được phân tích thành tích trực tiếp hữu hạn của những
vành Artin địa phương.

Gọi 1 n,...,m m là những iđêan tối đại phân biệt của A, đồng thời cũng là
những iđêan nguyên tố của A. Theo phần thuận chứng minh của (2.3.6) ta có
k k
1 n... 0=m m với k 0> nào đó. Vì ( )k
i irad =m m và các iđêan im nguyên tố cùng
nhau từng đôi một nên theo (1.1.37) các iđêan ( )k
irad m cũng nguyên tố cùng nhau
từng đôi một. Theo (1.1.34)
n
k k k
i 1 n
i 1
... 0
=
= =m m m . Lại theo (1.1.34) ánh xạ tự nhiên
( )
n
k
i
i 1
A A
=
→ ∏ m là một phép đẳng cấu. Theo (2.1.9) mỗi k
iA m là một vành Artin.
Ta có ảnh của ( )k
i irad =m m trong k
iA m là căn lũy linh của k
iA m , suy ra k
iA m
chỉ có một iđêan nguyên tố duy nhất cũng đồng thời là iđêan tối đại duy nhất. Do đó
mỗi k
iA m là một vành Artin địa phương.
• Chứng minh: tích trực tiếp đó là duy nhất (sai khác một đẳng cấu).
Giả sử
n
i
i 1
A A
=
≅ ∏ với iA là những vành Artin địa phương. Với mỗi i ta có
toàn cấu tự nhiên (phép chiếu trên phần tử thứ i) i i: A Aφ → . Đặt ( )i iKer= φa .
Theo (1.1.34) ia là nguyên tố cùng nhau từng đôi một và
n
i
i 1
0
=
=a . Gọi iq là iđêan
nguyên tố duy nhất của iA thì iq cũng là iđêan tối đại duy nhất của iA và đặt
( )1
i i i
−
= φp q . Theo (1.1.17) ip cũng là iđêan nguyên tố và là iđêan tối đại của A . Ta
sẽ chứng minh ia là ip – nguyên sơ.
Thật vậy, lấy ( )ix rad∈ a thì tồn tại m thỏa m
ix ∈a , suy ra ( )m
i ix 0φ =∈q ,
suy ra m
ix ∈p , mà ip là iđêan nguyên tố nên ix ∈p . Ngược lại, lấy ix ∈p thì
( )i ixφ ∈q , mà iq là căn lũy linh nên tồn tại m sao cho ( ) ( )
m m
i ix x 0φ  = φ =  , suy
ra m
i ix Ker∈ φ =a , do đó ( )ix rad∈ a . Do đó ( )i irad =a p theo (1.3.5) ia là ip –
nguyên sơ.

Vì ia là ip – nguyên sơ nên
n
i
i 1
0
=
=a là một phân tích nguyên sơ của iđêan 0
trong A. Vì ia là nguyên tố cùng nhau từng đôi một nên theo (1.1.37) ip cũng vậy.
Suy ra ip là những iđêan nguyên tố cô lập liên kết với 0. Theo (1.3.10) tất cả thành
phần nguyên sơ ia ứng với iđêan nguyên tố cô lập ip là xác định duy nhất bởi A.
Do đó, những vành i iA A≅ a là xác định một cách duy nhất bởi A. 
Ghi chú: Nếu A là một vành địa phương, m là iđêan tối đại của nó, khi đó A –
môđun 2
m m được linh hóa bởi m và do đó có cấu trúc của K – vectơ không gian
với K A= m . Nếu m là hữu hạn sinh (nếu A là vành Noether) thì ảnh của tập
những phần tử sinh của m trong 2
m m sẽ mở rộng 2
m m như một không gian
vectơ và do đó ( )2
Kdim m m là hữu hạn. (xem (1.2.19))
Mệnh đề 2.3.9. Cho A là một vành Artin địa phương với m là iđêan tối đại. Khi đó
những mệnh đề sau là tương đương:
i) Mọi iđêan trong A là iđêan chính;
ii) Iđêan tối đại m là iđêan chính;
iii) ( )2
Kdim 1≤m m .
Chứng minh:
i) ii) iii)⇒ ⇒ là rõ ràng.
iii) i)⇒ : Nếu ( )2
Kdim 0=m m thì 2
=m m , theo bổ đề Nakayama (1.2.18)
0=m . Do đó A chỉ có 2 iđêan là 0〈 〉 và 1〈 〉 (tức A là một trường theo (1.1.13)).
Nếu ( )2
Kdim 1=m m , khi đó theo (1.2.19) m là một iđêan chính x=〈 〉m .
Gọi a là một iđêan của A, khác 0 và A. Ta có =m N , theo (2.3.4) m là lũy linh;
do đó tồn tại một số nguyên r thỏa r
⊆a m , r 1+
⊆a m ; do đó tồn tại y∈a thỏa
r
y ax= (a A∈ ), r 1
y x +
∉〈 〉 ; do đó a x∉〈 〉 =m và theo (1.1.19) a khả nghịch trong

A. Do đó r 1 r 1
x a ax a y− −
= = ∈a , suy ra r r
x= 〈 〉 ⊆m a mà r r
x⊆ =〈 〉a m nên
r r
x= =〈 〉a m . Vậy a là iđêan chính. 

KẾT LUẬN
Luận văn đã trình bày các điều kiện dây chuyền, từ đó định nghĩa môđun
Artin (và Noether), định nghĩa vành Artin (và Noether), chứng minh một số tính
chất của môđun Artin (và Noether). Đồng thời, luận văn cũng chứng minh một số
định lý, mệnh đề về sự phân tích nguyên sơ trong vành Noether để tiện sử dụng
chứng minh các tính chất của vành Artin có liên quan đến vành Noether. Đóng góp
chính của luận văn gồm:
• Tìm hiểu và chứng minh một số tính chất của vành Artin như:
− Trong một vành Artin mọi iđêan nguyên tố là tối đại.
− Trong một vành Artin căn lũy linh bằng căn Jacobson.
− Một vành Artin chỉ có hữu hạn iđêan tối đại.
− Trong một vành Artin căn lũy linh là lũy linh.
• Chứng minh rằng vành Artin tất nhiên cũng là vành Noether và vành
Noether có thêm tính chất đặc biệt nào đó thì sẽ trở thành vành Artin:
− A là vành Artin khi và chỉ khi A là vành Noether và dimA 0= .
− Cho A là một vành mà iđêan 0 là tích 1 n...m m của những iđêan tối đại
(không nhất thiết phải phân biệt). Khi đó, A là Artin khi và chỉ khi A là Noether.
− Giả sử A là một vành Noether địa phương, m là iđêan tối đại của nó.
Khi đó, chỉ có một trong hai phát biểu sau là đúng:
i) n n 1+
≠m m với mọi n;
ii) n
0=m với n nào đó, trong trường hợp này A là một vành Artin
địa phương.
• Tìm hiểu và chứng minh một số tính chất của vành Artin địa phương như:
− Cho A là một vành Artin địa phương với m là iđêan tối đại. Khi đó
những mệnh đề sau là tương đương:
i) Mọi iđêan trong A là iđêan chính;
ii) Iđêan tối đại m là iđêan chính;

iii) ( )2
Kdim 1≤m m .
• Chứng minh định lý cấu trúc của vành Artin:
− Một vành Artin A được phân tích duy nhất (sai khác một đẳng cấu)
thành tích trực tiếp của hữu hạn những vành Artin địa phương.

TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng Việt:
[1] Nguyễn Tự Cường (2007), Giáo trình đại số hiện đại, Nhà xuất bản Đại học
Quốc gia Hà Nội, Hà Nội.
[2] Hoàng Xuân Sính (2008), Đại số đại cương, Nhà xuất bản Giáo dục, Hà Nội.
Tiếng Anh:
[3] Atiyah M. F., Macdonald I. G. (1969), Introduction to commutative algebra,
Addison – Wesley Publishing Company.
[4] Matsumura H. (1890), Commutative algebra, The Benjamin/Cummings
Publishing Company.
[5] Matsumura H. (1989), Commutative ring theory, Cambridge University Press.

Một số tính chất của vành giao hoán artin

Recommended

Recommended

More Related Content

What's hot

What's hot (20)

Similar to Một số tính chất của vành giao hoán artin

Similar to Một số tính chất của vành giao hoán artin (20)

More from https://www.facebook.com/garmentspace

More from https://www.facebook.com/garmentspace (20)

Recently uploaded

Recently uploaded (18)

Một số tính chất của vành giao hoán artin