1. Nama : Pupus Qira
Nim : M0213070
Konsep Sederhana Lagrangian dan Hamiltonian
Sebelum membahas tentang penggunaan teori Lagrangian dan Hamiltonian, kita
perlu meninjau ulang tentang prinsip Newtonian dimana persoalan gerak suatu benda
diselesaikan dengan menerapkan prinsip hukum pertama, kedua, dan ketiga Newton.
Hukum Newton I tentang gerak yang terkadang disebut hukum inersia,
mendefinisikan suatu kerangka acuan khusus yang disebut kerangka inersia. Hukum
I Newton menjelaskan jika sebuah benda tidak berinteraksi dengan benda lainnya,
maka kita dapat mengidentifikasi suatu kerangka acuan di mana benda itu memiliki
percepatan nol (Serway, 2009). Dalam bahasa yang lebih sederhana dapat dikatakan
bahwa apabila suatu benda pada keadaan diam atau bergerak dengan kelajuan yang
konstan jika tidak diberi gaya luar maka benda tersebut akan tetap pada keadaan diam
atau bergerak dengan kelajuan konstan. Perlu diperhatikan bahwa Hukum I Newton
tidak menjelaskan mengenai resultan gaya yang bekerja sama dengan nol. Hukum ini
menjelaskan jika tidak ada gaya yang bekerja pada benda tersebut.
Sedangkan pada Hukum II Newton akan dijelaskan mengenai apa yang terjadi
pada benda yang mengalami gaya resultan sebesar nol. Hukum II Newton
menyatakan bahwa sebuah benda dikenakan sebuah gaya sebesar F maka benda
tersebut akan mengalami perubahan momentum setiap waktu. Perubahan momentum
inilah yang menyebabkan benda mengalami sebuah percepatan. Secara matematis
dapat dituliskan :




dt
md
dt
d
)( v
F
p
F

2. 



aF
v
F
m
dt
d
m
Dari persamaan (1) menujukkan bahwa jika suatu benda diberikan gaya maka benda
tersebut akan mengalami percepatan. Jika resultan gaya nya nol maka percepatan dari
benda tersebut adalah nol. Resultan gaya-gaya itu sendiri dijelaskan pada Hukum III
Newton tentang gaya aksi-reaksi, ketika dua buah benda saling berinteraksi satu sama
lain, maka gaya-gayanya akan memiliki besar yang sama, dengan arah yang
berlawanan dan parallel terhadap garis lurus yang menghubungkan gaya tersebut
(Gregory, 2006). Secara matematis hukum III Newton dapat dituliskan
211
21
FF
FF
F



2
12 0
0
Persamaan (2) menjelaskan bahwa ketika gaya benda pertama dikenakan pada benda
dua 21F sama dengan gaya benda dua yang dikenakan pada benda pertama 21F .
Contoh sederhana dari Hukum III Newton adalah ketika meletakkan buku
diatas meja yang datar seperti pada gambar 1
F12
F21
y
x
Gambar 1. Sebuah buku diletakkan diatas permukaan sebuah meja
(2)
(1)

3. Pada gambar 1 menunjukkan bahwa gaya-gaya yang bekerja pada buku tersebut
hanya pada sumbu y dimana gaya tersebut terdiri dari gaya buku ke meja 21F dan
gaya meja ke buku 21F , dengan besar yang sama tetapi dengan arah yang berlawanan.
Pada kasus-kasus mekanika sederhana, kita dapat memecahkan kasus tersebut
menggunakan prinsip Newtonian. Akan tetapi penyelesaian menggunakan prinsip
Newtonian akan jauh lebih sulit dikerjakan pada kasus-kasus yang lebih rumit seperti
teori gerak osilasi dan dinamika benda kaku. Maka dari itu Joseph-Louis Lagrange
(Giuseppe Lodovico Lagrangia),(1736-1813) mengenalkan kepada kita semua
tentang penentuan persamaan gerak suatu benda ditinjau dari energi kinetic (T) dan
energy potensial (U).
Formulasi Lagrange dapat dituliskan
 tqqLtqqqqqqL nn ,,),,...,,,,...,,( 2121
 
Formulasi diatas menyatakan bahwa lagrange L merupakan fungsi dari  tqq ,,  .
Dimana q merupakan posisi benda atau nilai potensial benda pada titik tersebut, q
menunjukkan kecepatan atau kinetic benda tersebut, sedangkan t fungsi waktu.
Persamaan Lagrange merupakan reprentasi dari Hukum II Newton dimana
menggunakan peninjauan energy kinetic (T) dan energy potensial (U). Untuk energy
kinetic menggunakan persamaan :
2
2
1
qmT 
Untuk energy potensial menggunakan persamaan :
mgqU 
Dimana q merupakan posisi dari benda
Karena persamaan Lagrange merupakan selisih dari dari energi kinetik dan energi
potensial, maka :
UTL 
Dari persamaan (3), (4), dan (5)
(3)
(4)
(5)

4. mgqqmL
UTL


2
2
1

Untuk menentukan persamaan gerak fungsi lagrange dari suatu partikel maka dapat
digunakan persamaan Euler-Lagrange :
0





q
L
dt
d
q
L

Dari persamaan (6) dan (7)
Dari persamaan (8) dapat dianalogikan dengan persamaan (7) dimana
mg
q
L



merupakan gaya F
qm
q
L
dt
d





merupakan perubahan momentum
Dari pembuktian diatas dimana persamaan Lagrange didasarkan pada perubahan
momentum dimana terdapat nilai kecepatan yang artinya terdapat energy kinetik,
selain itu terdapat posisi yang artinya memiliki potensial tertentu.
(6)
(7)
 
0
0
0
2
1
2
1 22




















qmmg
qm
dt
d
mg
mgqqm
qdt
d
mgqqm
q





(8)