a cura di Fabiana Gorini

2. Indice:
 Cos’è la statistica?
 Media aritmetica
 Media geometrica
 Media quadratica
 Frequenze
 Media armonica semplice e ponderata
 Medie di posizione: mediana e moda

3. Come si
Cos’è ? Statistica suddivide?
Descrittiva Inferenziale
Da cosa è
formata?
Aritmetica
Geometrica
Frequenze
Medie
Quadratica
Armonica
Relative
Mediana Assolute
Moda Assolute Relative
cumulate cumulate

4. Statistica
La statistica è l’applicazione dei metodi scientifici alla
programmazione della raccolta dei dati, alla loro
classificazione, elaborazione, analisi e presentazione riguardante
un’intera collettività. La statistica può essere:
• Descrittiva: riguarda un’analisi effettuata su un’intera
popolazione,ad esempio tutte le scuole italiane.
• Inferenziale o induttiva: riguarda un’analisi effettuata su un
campione che si trae dall’intera popolazione,ad esempio le scuole
lombarde.
Per la rilevazione dei dati è essenziale sapere il significato di:
• Unità statistica: è il più piccolo elemento sul quale si effettua una
osservazione.
• Dato statistico: è il risultato di una operazione compiuta sulle unità
statistiche.

5. Frequenze
Le frequenze possono essere di 4 tipi:
Assoluta: rappresentano il numero di volte in cui viene osservato un
carattere quantitativo o il numero di volte in cui viene osservata la
modalità di un carattere qualitativo.
• Relative: si ottengono dividendo ogni frequenza assoluta per la
somma delle frequenze assolute.
• Assolute cumulate: si ottengono attraverso la progressiva somma
delle frequenze assolute.
• Relative cumulate: si ottengono attraverso la progressiva somma
delle frequenze relative.

6. Rappresentiamo in una tabella alcuni esempi di tutti i tipi
di frequenze.
Frequenz Frequenz Frequenz Frequenz
e assolute e relative e assolute e relative
X
cumulate cumulate
3
2 3 3 3
20 20
4 6
4 3 6
20 20
6 6 12
6 12
20 20
8 4 16
4 16
20 20
10 4 20
4 20
20 20

7. Medie
Le medie possono essere di 2 tipi:
• Di calcolo: soddisfano ad una condizione di invarianza e si
calcolano tenendo conto di tutti i valori. Esse sono
aritmetica, geometrica, quadratica e armonica.
• Di posizione: si calcolano tenendo conto solo di alcuni valori.
Esse sono la moda e la mediana.

8. Medie di calcolo
Media Aritmetica: è il valore che sostituito ai singoli dati lascia
invariata la loro somma. Si ottiene sommando i voti e dividendoli per il
totale dei voti.
Può essere semplice,che si ottiene sommando i voti e dividendoli per il
totale dei voti:
Es: 2 4 6 8 10
x1 x 2 ... xn
6
n
5
Oppure ponderata,che si ottiene:
2*3 4 * 3 ... 10 * 4
Es:
x1 f 1 x 2 f 2 ... xnfn
181,20
f1 f 2 ... fn 3 3 6 4 4

9. Media geometrica: è quel valore che sostituito a ciascun
numero lascia invariato il loro prodotto.
Quando i singoli numeri x sono tutti ripetuti una sola volta,
parleremo di media geometrica semplice che calcoleremo nel
seguente modo:
7,96
G=
3
n
7 8 9
x 1 * x 2 ... * x n
Quando i numeri i x sono ripetuti con frequenze i y , parleremo
di media geometrica ponderata che calcoleremo nel seguente
modo:
2 5 7 6
20
G= 6,87
n y1 y2 yn
x 1 * x 2 ... * x n 4 *6 *7 *9

10. Medie quadratiche: è quel valore che sostituito a ciascun numero
lascia invariata la somma dei quadrati dei singoli numeri.
Quando i singoli numeri x sono tutti ripetuti una sola volta, parleremo
di media quadratica semplice che calcoleremo nel seguente modo:
2 2 2
2 2 2
x1 x2 ... xn 7 8 9
8,04
Q=
3
n
Quando i numeri x sono ripetuti con frequenze y parleremo di media
quadratica ponderata che calcoleremo nel seguente modo:
2 2 2 2 2 2 2
x1 y1 x 2 y 2 xn yn 4 *2 6 *5 7 *7 9 *6
7,21
...
Q=
20
y1 y2 ... yn

11. Media armonica: è quel valore che sostituito a ciascun numero
lascia invariata la somma dei reciproci dei singoli numeri.
Quando i numeri x sono tutti ripetuti una sola volta,parleremo
di media armonica semplice che calcoleremo nel seguente
modo:
3
7,92
M1 =
1 1 1
7 8 9
Quando i numeri xi sono ripetuti con frequenze y , parleremo
di media armonica ponderata che calcoleremo nel seguente
modo:
20
M2 = 6,67
2 5 7 6
4 6 7 9

12. Medie di posizione
Moda: di una distribuzione di frequenze è la modalità o il valore della
variabile al quale corrisponde la massima frequenza.
Se i valori sono raggruppati in classi e le classi hanno ampiezza
diversa, si divide ogni frequenza per l’ampiezza della rispettiva classe
e la classe modale è quella a cui corrisponde il rapporto maggiore.
Mediana: è il valore che bipartisce una successione di valori. Se
i valori sono ripetuti una sola volta ed il loro numero è dispari, la
mediana, dopo aver ordinato i valori in senso crescente o
decrescente, è rappresentata dal valore centrale; se il loro numero è
pari la mediana è calcolata attraverso la media aritmetica dei due
valori centrali.

13. Moda
Supponiamo di considerare gli Esiti dell’ultima sessione dell’esame di
Statistica di 20 studenti:
X  Voti 24 27 28 30
Y  Alunni 4 6 5 5
Il valore modale sarà quindi il voto 27 in quanto voto che si ripete con
la massima frequenza.
Supponiamo ora di considerare le fasce di reddito rilevate a proposito
di 20 famiglie:
La classe
0 – 20 20 – 30 30 – 35
X  Redditi 35 - 38
modale sarà
quindi la classe
Y  N° 7 9 3 1 20-30
Famiglie
Freq./Ampiezz 0,35 0,9 0,6 0,33
a

14. Mediana
Supponiamo di considerare i numeri 6,2,4,7.
Per calcolare la loro mediana è necessario metterli in ordine
crescente  2,4,6 e 7.
Valutando poi il fatto che i numeri sono 4, e quindi un numero
pari, considero i due valori centrali e ne calcolo la loro media
aritmetica:
4 6
5
M= 2
Se dovessi invece considerare i seguenti numeri: 4,2,1,7,9, dopo
averli disposti in ordine crescente 1,2,4,7,9, noto che sono un
numero dispari.
Considero il 4 come valore mediano perché questo valore bipartisce
la serie di valori considerati, ovvero lascia alla sua destra ed alla
sua sinistra una stessa quantità di numeri.