2. STATISTICA
Si definisce statistica la scienza cha ha per
oggetto la raccolta, l’analisi e la
descrizione di fenomeni collettivi.
In generale si distingue tra:
• Statistica descrittiva
• Statistica induttiva o inferenza statistica
3. • La statistica descrittiva ha lo scopo di
raccogliere ed elaborare dati per
descrivere fenomeni collettivi o di massa
• La statistica induttiva si occupa di stimare
le caratteristiche di un fenomeno collettivo
a partire dall’analisi delle caratteristiche di
un campione.
4. Unità statistiche
• Definiamo unità statistica il più piccolo
elemento su cui si operano le rilevazioni.
• A sua volta l’unità statistica può essere
suddivisa in :
Unità statistica semplice se corrisponde ad un
solo elemento (persone, automobili etc.)
Unità statistica composta se corrisponde ad
un insieme di elementi (famiglie, categorie
sociali etc.)
5. • Definiamo dato statistico il dato ottenuto da
una rilevazione operata sulle unità statistiche.
• All’insieme sul quale viene svolta l’indagine si dà
il nome di popolazione statistica .
La popolazione statistica può essere un
Universo statistico se costituita da tutti gli elementi
oggetto di rilevazione
Campione statistico se costituita da un certo numero
di elementi estratti dalla popolazione.
DATI E POPOLAZIONE
6. Caratteri
L’indagine statistica si indirizza su una o più
caratteristiche comuni di una popolazione. Tali
caratteristiche prendono il nome di caratteri
statistici.
Gli aspetti secondo i quali i caratteri si manifestano
si chiamano modalità.
Esse possono essere:
Qualitative se sono espresse da attributi (colore dei
capelli, marche etc.)
Quantitative se sono espresse da numeri (altezze,
reddito, pesi etc.)
8. Sistemazione dei dati
• Tabella a semplice entrata:
– È costituita da due colonne: nella prima sono
riportate le modalità del carattere qualitativo o
le varie intensità del carattere quantitativo.
Nella seconda colonna sono riportate le
frequenze (ossia il numero di unità statistiche
che possiedono quella modalità del carattere).
– Per esempio è una tabella a semplice entrata
la seguente:
9. Indagine sul tipo di lettura preferita
dagli alunni dell’ITC.”Calasso”
Tipo di lettura N.di giovani
Narrativa 300
Fantascienza 175
Giallo 200
Storica 150
Scientifica 175
totale 1000
10. • Tabelle a doppia entrata:
Le unità statistiche vengono classificate
secondo due caratteri.
Sulle righe si riportano le modalità di un
carattere e sulle colonne le modalità
dell’altro carattere.
Nell’ultima colonna e nell’ultima riga si
riportano i totali.
Vediamo un esempio…..
11. Distribuzione di 100 abitazioni secondo il numero di
vani e i componenti della famiglia
N. vani
Componenti famiglia
Totali1 2 3 4 5 6
1 10 4 1 0 0 0 15
2 6 10 5 2 0 0 23
3 3 10 12 8 2 1 36
4 1 3 8 4 2 2 20
5 0 1 2 1 1 1 6
totali 20 28 28 15 5 4 100
12. Frequenza assoluta, relativa e
percentuale
• Frequenza assoluta è il numero di individui il
cui carattere assume una determinata modalità
• Frequenza relativa è il rapporto tra la frequenza
assoluta e la totalità della popolazione statistica
su cui si sta svolgendo l’indagine. Pertanto è un
numero positivo minore o uguale a uno.
• Frequenza percentuale è semplicemente la
frequenza relativa moltiplicata per cento.
Pertanto è un numero positivo minore o uguale a
cento.
13. Indagine sul tipo di lettura preferita
dagli alunni dell’ITC.”Calasso”
Tipo di lettura Freq. Assolute Freq. relative Percentuali
Narrativa 300 0,3 30%
Fantascienza 175 0,175 17,5%
Giallo 200 0,2 20%
Storica 150 0,15 15%
Scientifica 175 0,175 17,5%
totale 1000 1 100%
14. Rappresentazione grafica di
un’indagine statistica
• Diagrammi cartesiani:
si usano per
rappresentare caratteri
quantitativi:in ascissa si
riportano i valori del
carattere ed in ordinate le
frequenze.
Andamento delle iscrizioni
0
500
1000
1500
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009 2010
anno scolastico
numerodiiscritti
15. Istogrammi
• Si usano soprattutto nel
caso di caratteri divisi in
classi. L’asse del
carattere viene suddiviso
in intervalli adiacenti e su
ogni intervallo si disegna
un rettangolo la cui area
è proporzionale alla
frequenza assoluta o
relativa.
N.B. Con i dati divisi per classi la
costruzione dell’istogramma deve
tener conto anche dell’ampiezza della
classe. Nell’esempio i rettangoli hanno
tutti la stessa base e quindi sono le
altezze ad essere proporzionali alle
frequenze.
16. Diagrammi a torta
• Diagrammi a torta (o
a settori circolari):
si divide un cerchio in
settori ciascuno dei
quali ha un’area
(ovvero l’angolo al
centro) proporzionale
alla frequenza
corrispondente.
Letture preferite
300
175
200
150
175
Narrativa
Fantascienza
Giallo
Storica
Scientifica
17. I valori di sintesi
Spesso è utile descrivere una distribuzione di dati statistici
mediante pochi valori sintetici che possono consentire di:
•Confrontare analisi effettuate in tempi e luoghi diversi
•Farci un’idea della variabilità dei dati.
Per quanto riguarda il primo punto distinguiamo tra:
Medie di calcolo : sono quelle che dipendono da tutti i
valori della distribuzione e si ottengono mediante una
formula (con la condizione di lasciare invariato un risultato
operato sui dati)
Medie di posizione: si ottengono considerando solo
alcuni valori della distribuzione.
18. Media aritmetica
semplice e ponderata
• La media aritmetica è quel valore che
sostituito ai dati lascia invariata la loro
somma.
• Se i dati sono singoli si parla di media
aritmetica semplice:
n
X
M
ni
i
i∑
=
=
= 1
19. Esempio
Se i tuoi voti sono:
5,7,8,3,5,6,7,7,7,5
Allora
n=10
∑
=
=
=+++++++++=
10
1
605777653875
i
i
iX
6
10
60
10
1
===
∑=
n
X
M i
i
20. • Se ad ogni valore è
associata una
frequenza allora si
parla di :
media aritmetica
ponderata:
• Dove pi sono le
frequenze associate
al dato i-mo
∑
∑
=
=
=
=
= ni
i
i
ni
i
ii
p
pX
M
1
1
21. Esempio di calcolo di una media
aritmetica ponderata:
Dato Frequenza Dato x freq.
X p Xp
3 2 6
4 4 16
5 5 25
7 3 21
8 5 40
10 1 10
totali 20 118
M=118/20= 5,9
22. Classe Valore Frequenza Dato x freq.
da a centrale p Xp
0 5 2,5 2 5
5 10 7,5 4 30
10 15 12,5 5 62,5
15 20 17,5 3 52,5
20 30 25 5 125
30 50 40 1 40
totali 20 315
M=315/20= 15,75
Calcolo di una media aritmetica con dati
divisi per classi
23. Medie di posizione
• Mediana.
Se i dati sono ordinati in senso non decrescente la
mediana è il valore centrale ossia il valore che
supera la prima metà dei valori ed è superato
dall’altra metà.
• Moda
E’ il valore al quale corrisponde la frequenza più
alta.
….non ci addentriamo oltre nel calcolo delle medie
di posizione
24. Indici di variabilità
• I valori medi non sono sufficienti a darci un’idea
della distribuzione dei dati attorno al valore
medio. Distribuzioni diverse possono avere la
stessa media ma dati molto diversi tra di loro e
diversi dal valore medio.
• Per quantificare la variabilità di una distribuzione
si utilizzano alcuni indici di variabilità.
Ne vedremo solo alcuni….
25. Intervallo di variazione
• Non è altro che la
differenza tra il valore
massimo ed il valore
minimo della
distribuzione.
• Per esempio nella
tabella riportata a lato
l’intervallo di
variazione è pari a
(10-3)=7
Dato
X
3
4
5
7
8
10
26. Varianza a scarto quadratico medio
• Se definiamo scarto di un valore dalla media
aritmetica la differenza di quel valore dalla
media stessa, allora
• La Varianza è il valore medio degli scarti al
quadrato
• Lo Scarto quadratico medio è la radice
quadrata della varianza
….Vedremo nelle prossime diapositive due
esempi di calcolo della varianza e dello s.q.m.
27. Calcolo della varianza e dello scarto quadratico
medio nel caso di dati singoli
Voti Scarti Scarti ^2
5 -1 1
7 1 1
8 2 4
3 -3 9
4 -2 4
6 0 0
9 3 9
somma 42 0 28
media=42/7= 6
Varianza=28/7= 4
S.q.m.= radq(4)= 2
28. Calcolo della varianza e dello scarto quadratico
medio nel caso di dati con frequenze diverse
Dato Frequenza
Dato x
freq. Scarti Scarti x p Scarti^2
Scarti^2 x
p
X p Xp v vp v^2 v^2p
3 2 6 -2,9 -5,8 8,41 16,82
4 4 16 -1,9 -7,6 3,61 14,44
5 5 25 -0,9 -4,5 0,81 4,05
7 3 21 1,1 3,3 1,21 3,63
8 5 40 2,1 10,5 4,41 22,05
10 1 10 4,1 4,1 16,81 16,81
totali 20 118 1,6 0 35,26 77,80
M=118/20= 5.9
Varianza = 77.80/20= 3.89
S.q.m.= radq(3.89)=1.97
