Il documento discute l'importanza della statistica nel controllo di processo, evidenziando la raccolta, analisi e rappresentazione dei dati per comprendere fenomeni collettivi. Viene presentata una panoramica sui metodi di analisi statistica, come media, moda e varianza, e sul loro utilizzo nel miglioramento della qualità nei processi industriali. Infine, si illustrano casi pratici e applicazioni statistiche nel contesto della produzione e manutenzione, con particolare attenzione alla modellazione matematica.

1. STATISTICA PER IL CONTROLLO DI PROCESSO

2. COSA VUOL DIRE FARE STATISTICA Quando si fanno affermazioni del tipo: il profitto di questa classe è in media sufficiente; quest’anno sono di moda le vacanze di tipo agrituristico si fanno affermazioni di tipo statistico.

3. STATISTICA La statistica si occupa della raccolta, classificazione, analisi dei dati che esprimono aspetti di fenomeni collettivi scelti come oggetto di studio e che si manifestano negli elementi di un determinato insieme. Scopo della statistica è quello di descrivere questi fenomeni o di individuare regolarità di comportamento in essi.

4. Indagine statistica Raccolta dei dati Spoglio e trascrizione dei dati Elaborazione dei dati

5. Raccolta dei dati Natura dei dati: qualitativa, quantitativa Metodo di raccolta: censimento, campionamento Tecnica di raccolta: intervista, compilazione di questionario, ecc.

6. Spoglio e trascrizione dei dati Enumerazione dei dati Classificazione in gruppi Trascrizione in tabelle

7. Tabella semplice Frequenza o frequenza assoluta ( peso ) di una modalità è il numero totale di volte che essa si presenta nelle unità rilevate

8. Tabella composta Situazione dei voti nel 1° e 2° quadrimestre

9. Tabella a doppia entrata

10. Frequenze Frequenza relativa di una particolare modalità è il rapporto fra la sua frequenza assoluta e il numero totale delle unità rilevate, se moltiplicata per 100 è detta frequenza relativa percentuale 2 / 22  0.09 4 / 22  0.18 … .

11. Confronto tra distribuzioni

12. Frequenze cumulate : la somma delle frequenze delle modalità inferiori e uguali di una data modalità

13. Elaborazione dei dati Rappresentazione dei dati (grafici) perché con l’immagine si riesce a dare un quadro generale della situazione indagata riuscendo a dare informazioni facilmente, rapidamente comprensibili. Quali grafici? Istogrammi, diagrammi a torta, grafici cartesiani, cartogrammi, ecc.

15. Cartogramma

16. Indici Statistici Per sintetizzare i dati ed evidenziare una certa caratteristica: Indici di tendenza centrale Indici di dispersione

17. La media Non esiste una sola media buona per ogni occasione, ma esistono più medie e verrà scelta la più adatta a mettere in evidenza la situazione cercata.

18. La media Gli obiettivi che ci si prefigge nel calcolo di una media sono sostanzialmente due: 1) sostituire a più dati rilevati un solo numero che dia però una efficace rappresentazione del fenomeno dato; 2) esprimere l’ordine di grandezza o tendenza centrale dell’insieme dei dati relativi a un fenomeno. Tale ordine di grandezza può a volte sfuggire perché i dati sono spesso differenti fra loro.

19. La Media A questo punto bisogna dare dei criteri pratici per calcolare tale valor medio; i più importanti, quindi quelli più usati, sono i seguenti: a) si può calcolare il valor medio come funzione matematica dei dati rilevati e in tal caso si parla di media analitica ; b) si possono ordinare i dati rilevati e ottenere la media in relazione alla posizione che occupa fra essi e in tal caso si parla di media di posizione .

20. La media aritmetica La media aritmetica semplice M di n valori è il rapporto fra la loro somma e il loro numero n:

21. La media aritmetica ponderata Quando ciascuna modalità si presenta con una certa frequenza o peso, è più vantaggioso calcolare la media aritmetica considerando le frequenze (assolute o relative): in tal caso si parla di media aritmetica ponderata perché ogni valore entra nella media con il suo peso , cioè la sua frequenza. La media aritmetica ponderata M di n valori è:

22. Calcolo della media ponderata

23. Attenzione! Non sempre il calcolo della media aritmetica rappresenta in modo significativo l’insieme dei valori a cui si riferisce. Per esempio, assegnati i valori:

24. È opportuno allora definire altri valori medi che non siano frutto di calcolo matematico, ma che siano individuati in base alla loro posizione nella sequenza dei valori osservati. Tali medie si dicono medie di posizione le più utilizzate sono: La moda La mediana

25. La MODA Moda di un fenomeno è la modalità con frequenza più elevata. Mo = 6

26. La MEDIANA Mediana : è il valore divisorio in quanto bipartisce la successione dei dati in due gruppi ugualmente numerosi; è il valore che taglia in due parti uguali la distribuzione dei dati ordinati, cioè il termine preceduto e seguito dallo stesso numero di dati.

27. Mediana Me di n valori ordinati in modo non decrescente è: Esempio: dati i valori ordinati: 1, 2, 2, 3 , 4, 5, 6 Me = 3 i valori sono 7 la mediana è il termine che occupa il 4° posto  (7+1)/2=4

28. Avendo a disposizione la distribuzione di frequenza (Frequenze cumulate) la mediana corrisponde al valore con frequenza del 50%, cioè quel valore che ha il 50% dei casi prima e il 50% dopo. Dalla tabella Me = 6

29. Asimmetria - simmetria

30. I Quartili Il concetto di mediana si può facilmente generalizzare ottenendo altri valori divisori fra i quali i più usati sono i quartili . Tali indici di posizione si fondano sempre sul concetto di divisione della distribuzione. I Quartili dividono la serie ordinata in quattro parti contenendo ciascuna lo stesso numero di dati. x 1 Q 1 Q 2 = Me Q 3 Q 4 = x n

31. Primo quartile : si trova esattamente sul valore 7, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 25,0% Secondo quartile : si trova esattamente sul valore 13, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 50,0%. Coincide sempre con la mediana Terzo quartile : si trova all’incirca sul valore 21, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 79,2% (75,0%) Quarto quartile : si trova sempre sull’ultimo valore, in questo caso è 29, dato che la percentuale cumulata corrispondente a tale punto è 100%

32. La variabilità Il calcolo della media ci permette di sintetizzare una quantità di dati, ma dall’altro riduce l’informazione racchiudendo tanti valori in un solo ‘dato’, rende simili situazioni che proprio simili non sono. Per ridurre la perdita di informazioni, si ricorre allo studio della variabilità del fenomeno.

33. Variabilità è la tendenza di un fenomeno ad assumere modalità diverse fra loro. La variabilità può essere rappresentata graficamente mediante il diagramma di dispersione .

34. Indici statistici di variabilità Campo di variazione o range R Varianza Scarto quadratico medio … . Permettono di valutare le disuguaglianze dei dati rilevati in relazione al loro scostamento o dispersione da una media.

35. Campo di variazione o range R di un insieme di valori osservati è la differenza fra il valore massimo e il valore minimo: R= x max - x min

36. Attenzione tale indice presenta due grossi difetti: 1) dipende esclusivamente dai valori massimo e minimo registrati, senza considerare i valori intermedi; 2) su di esso influisce pesantemente la presenza anche di un solo valore anomalo. Altri indici di variabilità, più raffinati, si possono trovare utilizzando un altro criterio,cioè la variabilità rispetto a un centro che può essere la media.

37. La varianza La varianza è la media aritmetica degli scarti dalla media al quadrato,  2 ( sigma quadrato ).

38. Scarto quadratico medio Lo scarto quadratico medio (sqm)  o deviazione standard è la radice quadrata (positiva) della varianza.

39. Normalizzazione La normalizzazione è un’operazione statistica che permette di mettere a confronto distribuzioni diverse. Avendo due prove il cui punteggio grezzo massimo raggiungibile dagli studenti è diverso, 30 nella prima prova e 45 nella seconda prova, non permette di confrontare i risultati ottenuti. Per superare questo inconveniente ricorro alla normalizzazione. Essa si basa su una proporzione: (Punti studente) : (p.ti totali) = (P.ti studente normalizzati) : 100

40. Per A1 1^p 25 : 30 = x : 100 x = 25/30*100 = 83,3 2^p 40 : 45 = x : 100 x = 40/45*100 = 88,9 Normalizzazione

41. E. Cascini – Dal conrollo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Breve panoramica della Qualità dal 1970 al 1980 Controllo della qualità del prodotto Piani di campionamento Norme Mil-STD- 105 Norme Mil- STD- 414 Concetti fondamentali AQL, RQL, α , β , OC, AOQL Sintesi statistica dei dati per la valutazione della qualità nel tempo Concetti fondamentali Media, Scarto quadratco medio % scarto, distribuzione frequenza, analisi qualitativa dei comportamenti nel tempo Analisi della varianza per le misure e i primi esperimenti Concetti fondamentali Ripetibilità Riproducibilità Effetti principali e interazioni 2

42. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Media : 7,502 Sigma : 2,036 Q1 : 6,000 Q3 : 9,000 Media :7,260 Sigma :1,956 Q1 : 6,000 Q3 : 9,000 3

43. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Breve panoramica della Qualità dal 1980 al 1990 Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Controllo qualità del processo 4

44. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Inizia l’uso degli esperimenti Fattoriali Frazionari Superfici di risposta ed i risultati vengono interpretati con modelli matematici deterministici Strumenti fondamentali Un esempio Modello matematico per il controllo automatico dello spessore di un film in linea 5

45. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Ho diversi esempi pubblicati a sostegno di queste affermazioni: per esempio: E. Cascini, (1988)- Un falso problema di deriva nel controllo di qualità in linea - Qualità, 63, 13-22 E. Cascini, (1995) - Produzione e Tecnologia: una testimonianza aziendale - Il quaderno dell’Istituto Tagliacarne, n.9, 101-120 E. Cascini, (1996) - Alcuni esempi del ruolo della Statistica nella Qualità Totale - Atti XXXVIII Riunione SIS, Vol.II, 455-462 E. Cascini, (2003) - Qualche considerazione sull’impiego dei metodi statistici nell’ industria e sulle iniziative che potrebbero favorirne la diffusione – Statistica & Società, anno I, n.2, 5-10 da cui è possibile ricavare una bibliografia più estesa Non ancora pubblicato è il seguente: Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Modello matematico per il controllo dello spessore di un film in linea E. Cascini – F. Moscarella Rapporto interno 3M - 1980 6

46. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Il problema consisteva nella impossibilità di commercializzare un prodotto (4,0 mils per arti grafiche) per una inspiegabile variazione di spessore tra rotolo e rotolo e tra campagne diverse, nonostante la conoscenza di tutte le variabili indipendenti coinvolte. I test statistici non evidenziavano differenze significative e consistenti, per l’elevata variabilità presente. La soluzione fu trovata nella modellazione matematica della superficie del film, che permise di stabilire una procedura di regolazione flessibile, cioè in funzione di certe condizioni esistenti, ma non identificabili, senza l’utilizzazione della matematica Molto sinteticamente questa è la fotografia del film 7

47. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Queste sono le equazioni del fenomeno e il software messo a punto per il controllo Il risultato finale fu la possibilità di commercializzare il prodotto 8

48. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 FINE ANNI ‘80 PUBBLICAZIONE NORME DI QUALITA’ ISO - 9000 9

49. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Metodi statistici per la qualità 1990 -2000 10

50. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Breve panoramica della Qualità dal 1990 al 2003 Controllo statistico del processo Metodi di controllo multivariati Valutazione della Qualità complessiva Valutazione e misura della Customer Satisfaction Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Controllo statistico del processo 11

51. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Un esempio di SPC del 2003 Il problema Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Si definisce “corsa” il tempo che intercorre tra la partenza e la fermata programmata di un impianto di produzione. In una “ corsa” l’impianto, che può fabbricare in sequenza un certo numero di prodotti diversi, può essere soggetto a fermate, per manutenzione. Si vuole capire il perché dell’ andamento del numero di manutenzioni indicato qui di seguito, per cercare di ridurne la media e la variabilità. 12

52. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Sequenza di produzione di una corsa IMPIANTO n 1 n 2 n j n k input Modello probabilistico ipotizzato La probabilità di fabbricare, senza arresti, il primo gruppo di n1 unità è: P1 . La probabilità di fabbricare, senza arresti il primo e secondo gruppo è: (P1) (P1 P2) .La probabilità di fabbricare, senza arresti, il primo, secondo e terzo gruppo di n3 unità è: (P1) (P1P2) (P1P2P3) ,e così via…Si assume che il numero di fermate in un gruppo è, al più, una. 13

53. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Significato del modello probabilistico ipotizzato Il modello ipotizza questa situazione : se il risultato di uno stadio di produzione è di procurare una frazione di (1-P1) decessi, una stessa frazione (1- P1) delle unità residue è indebolita al punto da cedere all’inizio di una fase successiva, in modo che, di fatto, su 1 unità iniziale alla seconda fase accede una frazione complessiva di P 1. 2 0,8 Esempio per P 1 = 0,8 OK NOK 0,2 1 unità 1 fase 2 fase OK NOK 0,64 0,16 [Composizione di 0,8] 14

54. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Si può dimostrare che la probabilità di eseguire una corsa con i fermate, i = ( 0, 1, 2, …, k ), può essere determinata con la matrice del tipo riportata qui di seguito, per i = 2 e k = 5 , determinabile con regole semplici e facilmente automatizzabili, mediante la formula che segue la matrice, il cui elemento, appartenente alla riga r e alla colonna j , è indicato con il simbolo arj . colonna m 1 m 2 riga 1 2 3 4 5 6 1 2 1 0 0 3 2 1 0 1 3 2 0 1 0 2 1 0 1 4 3 0 2 1 0 1 0 1 5 4 0 3 2 1 0 0 2 3 5 1 0 0 2 1 0 2 4 6 1 0 1 0 1 0 2 5 7 1 0 2 1 0 0 3 4 8 2 1 0 0 1 0 3 5 9 2 1 0 1 0 0 4 5 10 3 2 1 0 0 0 15

55. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Definizione dei simboli utilizzati nella formula Pj : Probabilità di eseguire una corsa, formata con il solo prodotto J, senza fermate. (Valore sperimentale) Qj : Pj + (1-Pj)/2 qj : Qj se a rj = 0; 1 se a rj ≠ 0 mt : valore numerico variabile tra 0 e k 16

56. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Conseguenze del modello ipotizzato Una “corsa” formata da una sequenza di k prodotti può essere effettuata con un numero di arresti i (0, 1, …k) , essendo i la realizzazione di una variabile casuale con densità discreta di probabilità: k i ∑ (P1 r = 1 ( ) a r 1 P2 a r2 … Pk a rk ) q1 ( Pj … a rj x x a r2 q2 a a a r3 r j+1 r k+1 … qj … qk ) x x x ( 1- P1 P2 Pm 1 ) (1 – Qm 1 Pm 1 +1 Pm 1 +2 Pm 2 ) x … x (1 – Qm t Pm t +1 Pm t +2 Pm i ) … … 17

57. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Calcolo della densità di probabilità del numero di fermate di una corsa composta da tre prodotti (Esempio numerico: P1=0,6; P2=0,8; P3=0,4) m 1 1 2 3 4 0 3 2 1 0 P(0) = Ao = 0,055296 3 2 m 1 1 2 3 4 1 0 2 1 0 A1 = P2 P3 Q1 (1-P1) = 0,065536 2 1 0 1 0 A2 = P1 P3 Q2 (1-P1P2) = 0,11232 3 2 1 0 0 A3 = P1 P2 (1-P1P2P3) = 0,232704 P(1) = A1 + A2 + A3 = 0,41056 2 2 2 Ao = P1 P2 P3 = 0,055296 18

58. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 m 1 m 2 1 2 3 4 1 2 0 0 1 4 1 3 0 1 0 4 2 3 1 0 0 4 A 12 = P3 Q2 (1-P1) (1-Q1P2) = 0,05184 A 13 = P2 Q1 (1- P1) (1- Q1P2 P3) = 0,190464 A 23 = P1 (1-P1P2) (1-Q2P3) = 0,19968 m1 m 2 m 3 1 2 3 4 1 2 3 0 0 0 0 P(2) = A 12 + A 13 + A 23 = 0,441984 A 123 = (1-P1) (1-Q1P2) (1-Q2P3) = 0,09216 P(3) = A 123 = 0,09216 P(0) + P(1) + P(2) + P(3) = 1 19

59. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Densità discreta di probabilità Media 1,5758 Sigma 0,7297 20

60. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 Verifica sperimentale del modello Sono state valutate 10 corse, effettuate con gli stessi prodotti, nel medesimo ordine, ottenendo le seguenti frequenze: Fermate frequenze sperimentali frequenze modello 0 0,0 0,0000 1 0,1 0,0353 2 0,2 0,3220 3 0,6 0,4713 4 0,1 0,1568 5 0,0 0,0146 Valore del chi quadrato calcolato = 2,3505 Valore critico del chi-quadrato @ 0,95, a 5 G.d.L. = 11,077 21

61. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 CONCLUSIONI PRATICHE DEL MODELLO Per ridurre il numero di fermate per corsa la sequenza dei prodotti deve essere tale per cui la successione dei valori Pj deve costituire una successione monotona decrescente. In pratica il numero di fermate è riducibile del 30% 22

62. E. Cascini – Dal controllo statistico del prodotto al controllo statistico del processo: un’esperienza concreta Convegno SIS – La Statistica per le Imprese – l’esperienza degli Operatori – Bologna 21 – 22 Nov. 2003 CONCLUSIONI DEL LAVORO L’evoluzione delle applicazioni statistiche dagli anni ’70 ad oggi, nell’ambito della Tecnologia e della Produzione Industriale, è stata analizzata con l’ausilio di alcuni flash, tratti da un insieme molto ampio di casi reali. Da quest’insieme scaturisce che il miglioramento reale della qualità è dovuto essenzialmente ai metodi quantitativi. Ciò, considerando anche quanto osservato al riguardo della normativa di qualità ISO-9000, ci suggerisce un’idea conclusiva: Il gruppo di lavoro per la Tecnologia e la Produzione dovrebbe promuovere l’edizione di una normativa statistica del tipo di quella ISO – 9000, con certificazione finale; in attesa, mi sembra indispensabile l’affiancamento di uno Statistico Industriale agli Ispettori, durante gli audits di qualità, condotti ai fini della certificazione del sistema di qualità. Si veda anche: E . Cascini , (2003) - Qualche considerazione sull’impiego dei metodi statistici nell’ industria e sulle iniziative che potrebbero favorirne la diffusione – Statistica & Società, anno I, n.2, 5-10 23

63. Come leggere i risultati Nella tabella sono riportati i dati relativi alla media, alla deviazione standard, al valore minimo e massimo, alla mediana e alla moda. Vediamo come leggere questi dati aiutandoci con le definizioni di tali valori statistici ed un esempio di risultati ottenuti da una scuola. I punteggi sono normalizzati a 100 : la scala di riferimento ha come valore minimo 0 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono errate) e come valore massimo 100 (le risposte a tutti i quesiti della prova sono corrette).

64. Media (o punteggio medio) È la somma dei punteggi ottenuti dagli studenti diviso il numero totale degli stessi. Una media elevata indica la presenza nella scuola di elevate competenze, al contrario una media bassa indica la presenza di scarse competenze nella scuola. Nell'esempio la Media (o punteggio medio) è 59,3; Moda È il punteggio ottenuto più frequentemente dagli studenti, nell'esempio la scuola ha ottenuto come valore modale 73,3. Ovvero tra tutti i punteggi possibili tra 0 e 100, tale punteggio è quello ottenuto da più studenti. Mediana È il punteggio in corrispondenza del quale gli studenti vengono esattamente divisi in due parti uguali. Nell'esempio la mediana corrisponde a 61,3 e indica che il 50% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore a 61,3% e che il restante 50% ha ottenuto un punteggio superiore al 61,3;

65. Minimo E' il punteggio più basso ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio minimo è 20,0; Massimo E' il punteggio più alto ottenuto dagli studenti. Nell'esempio il punteggio massimo è 98,2; Deviazione standard È una misura della dispersione del punteggio intorno al punteggio medio. Un basso valore della deviazione standard indica che i punteggi sono concentrati intorno alla media e che le competenze degli studenti sono omogenee; al contrario una deviazione standard alta indica che le competenze degli studenti sono disomogenee . Nel nostro esempio, aggiungendo e sottraendo al punteggio medio (59,3) la deviazione standard (16,9) si ottiene un intervallo (42,4 - 76,2) in cui si trova il 68% degli studenti. Analogamente aggiungendo e sottraendo 2 volte la deviazione standard si ottiene un intervallo (25,5 - 93,1) in cui si trova il 95% degli studenti.

66. Come si può notare, i risultati ottenuti dagli studenti della Scuola XX sono decisamente migliori rispetto alle medie del Veneto e del Nord-Est, sia nei valori medi che nella omogeneità della preparazione.

67. … ancora sui quartili Dalla distribuzione dei punteggi si sono trovati i seguenti percentili notevoli (i 4 quartili): x 25 = 37 x 50 = 51 x 75 = 62 x 90 = 74 Allora il 51,5% degli studenti ha ottenuto un punteggio inferiore al 25-esimo percentile (37) , il 27,9% un punteggio compreso tra il 25-esimo e il 50-esimo percentile (tra37-51) ...

68. Confronto con il campione nazionale Nel confronto tra i dati della scuola e quelli del campione nazionale si dovrà tener conto dell’errore di campionamento. Esempio: se la scuola ha M = 80 e la media del campione è M c = 70 con un errore di 10, il dato della scuola non si discosta significativamente dal dato del campione 80 70  10

69. Coefficiente di variazione Il coeff.di variazione è dato dal rapporto tra deviazione standard e media moltiplicato per 100. Se supera il 35% indica una variablità eccessiva, fuori ai parametri di normalita’.