1. Un quadrato magico di ordine n è una tabella suddivisa in n2 caselle (matrice di ordine n x
n ), come quelle di una scacchiera, in ciascuna delle quali viene collocato un numero
naturale, senza essere ripetuto , in modo tale che la somma dei numeri disposti lungo
ciascuna riga (orizzontale), colonna (verticale) o diagonale sia la stessa per tutte.
Tale somma è detta costante (magica) del quadrato .
Quadrati magici

2. Sono state scoperte le più svariate categorie di quadrati (ordinari, bimagici, trimagici, panmagici,
diabolici, cabalistici, ...), ma quella che più ha interessato gli studiosi è quella dei quadrati cosiddetti
ordinari e, cioè, di quelli formati da una successione di numeri naturali consecutivi a partire
dall'unità o dallo zero.
I quadrati magici hanno le seguenti caratteristiche :
• sono formati da un minimo di tre caselle per lato (non esistono quadrati magici di ordine due);
• i numeri interi che vengono utilizzati per riempire le caselle devono essere in una sequenza (si
utilizzano ad esempio i numeri da 1 a 9, da 1 a 16, oppure anche da 0 a 15, e così via) e non possono
essere ripetuti;
• numeri della sequenza devono essere disposti nelle caselle in modo che la somma di ciascuna riga, la
somma di ciascuna colonna e la somma di ciascuna diagonale diano come totale un valore sempre
identico.
Dal sito
http://www.math.it/magici/quadrati_magici.htm

4. La somma di tutte le righe di tutte le colonne e delle 2
diagonali principali deve essere la stessa, quindi
In un quadrato magico di ordine n la somma dei numeri su
una riga o su una colonna sarà 1 n­ esimo della somma di
TUTTI I NUMERI DA 1 AD n
Per calcolare la somma di tutti i numeri da 1 a n c'è una
formula scoperta dal grande matematico Gauss quando andava
alle scuole elementari dei suoi tempi

5. Per calcolare la somma S di tutti i numeri
naturali da 1 a k si usa la formula:
S = k ( k + 1 )
2

6. Consideriamo ora, come esempio, la somma dei numeri da 1 a 16 (4²)
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16
16 15 14 13 12 11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1
La somma delle 2 righe è IL DOPPIO della somma che cerchiamo
La somma di ciascuna delle 16 colonne è 17 (cioè 16 + 1)
La somma che cerchiamo sarà la metà di 17 per 16
cioè, se sostituiamo k a 16, S = k ( k + 1 )
2

7. In un quadrato magico di ordine n, per calcolare la somma di
tutti i numeri, dovrò sostituire k con n²
La formula sarà : S = n² ( n² + 1 )
2
Infine, se voglio conoscere la magica somma dei numeri su ciascuna
riga o di ciascuna colonna, dovrò dividere S per il numero delle
righe (o delle colonne), cioè ancora per n
Magic = n² ( n² + 1 )
2
1
n
Magic = n ( n² + 1 )
2

8. se n = 4 = 4 ( 16 + 1 )
2
Magic = n ( n² + 1 )
2
= 34
se n = 5 = 5 ( 25 + 1 )
2
Magic = n ( n² + 1 )
2
= 65
se n = 6 = 6 ( 36 + 1 )Magic = n ( n² + 1 )
2
= 111
2
se n = 7 = 7 ( 49 + 1 )Magic = n ( n² + 1 )
2
= 175
2
... e così via

9. adesso possiamo provare a
completare qualche quadrato magico
C'è una tecnica molto semplice per completare un quadrato
magico di ordine n DISPARI qualsiasi.
Un'altra tecnica permette di costruire facilmente un
quadrato magico di ordine 4.
Infine, una tecnica un po' più complicata, dedotta dalla
precedente, permette di costruire un quadrato magico
di ordine n PARI, ma multiplo di 4 ( 8, 12, 16, 20, 24, ecc.)
Rimangono esclusi da queste tecniche i quadrati magici di
ordine n PARI, NON multipli di 4, cioè 6, 10, 14, 18, 22, ecc..
Per questi le soluzioni sono più difficili da ricostruire.
LA SFIDA E' APERTA

10. Quale quadrato magico vuoi?

11. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 15
di ordine 3

12. fai clic sui numeri e trascinali nel quadrato
1 2
3 4
5 6
7 8
9
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi

13. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 34
di ordine 4

14. 9 1
2
3
4
5
6
7
8
Prova a posizionare i numeri trascinandoli nel quadrato
10
11
12
15
13
14
16
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi Soluzione Statica
Come ottenere una soluzione diversa con trasformazioni Soluzione dell'alunna Danieli Asia

15. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 65
di ordine 5

16. 1
2
164
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18 25
19
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi Soluzione Statica

17. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 111
di ordine 6

18. 1 2 3
4 5 6
7 8 9
10 11 12
13 14 15
16 17 18
19 20 21
22 23
25
24
26 27
28 29 30
31 32 33
34 35 36
Quadrato magico di ordine 6
Una soluzione dinamica una soluzione da trovare (se c'è)
Una soluzione ANTICA
Una soluzione Staca con
spiegazione

19. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 175
di ordine 7

20. 1
2
16
4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11 21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi Soluzione Statica

21. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 260
di ordine 8

22. Prova a comporre il quadrato magico
1 2 3 4
5 6 7 8
9 10 11 12
13 14 15 16
17 18 19 20
21 22 23 24
25 26 27 28
29 30 31 32
33 34 35 36
37 38 39 40
41 42 43 44
45 46 47 48
49 50 51 52
53 54 55 56
57 58 59 60
61 62 63 64
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi
Soluzione Statica

23. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 369
di ordine 9

24. 1
2
16
4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11 21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
Se vuoi vedere la soluzione dinamica premi
Soluzione Statica

25. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 505
di ordine 10

26. Soluzione statica Soluzione DINAMICA
1 2 3 4 5
6 7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20
21 22 23 24 25
26 27 28 29 30
31 32 33 34 35
36 37 38 39 40
41 42 43 44 45
46 47 48 49 50
51 52 53 54 55
56 57 58 59 60
61 62 63 64 65
66 67 68 69 70
71 72 73 74 75
76 77 78 79 80
81 82 83 84 85
86 87 88 89 90
91 92 93 94 95
96 97 98 99 100
Quadrato Magico d'ordine 10

27. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre
di ordine 12
870

28. Soluzione statica Soluzione con foglio di calcolo
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126
127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138
139 140 141 142 143 144
Quadrato Magico d'ordine 12
Soluzione DINAMICA

29. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre 1379
di ordine 14

30. Soluzione statica Soluzione DINAMICA
1 2 3 4 5 6 7
8 9 10 11 12 13 14
15 16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
29 30 31 32 33 34 35
36 37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48 49
50 51 52 53 54 55 56
57 58 59 60 61 62 63
64 65 66 67 68 69 70
71 72 73 74 75 76 77
78 79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90 91
92 93 94 95 96 97 98
99 100
Quadrato Magico d'ordine 14
101 102 103 104 105
106 107 108 109 110 111 112
113 114 115 116 117 118 119
120 121 122 123 124 125 126
127 128 129 130 131 132 133
134 135 136 137 138 139 140
141 142 143 144 145 146 147
148 149 150 151152 153 154
155 156 157 158 159 160 161
162 163 164 165 166 167 168
169 170 171 172 173 174 175
176 177 178 179 180 181 182
183 184 185 186 187 188 189
190 191 192 193 194 195 196

31. la somma dei numeri inseriti
nelle singole colonne,
nelle singole righe e nelle diagonali
deve risultare sempre
di ordine 16
2056

32. Quadrato magico di ordine 16
Soluzione statica Soluzione con foglio di calcolo
Prova a proseguire1
2
4
5
6 7
10 11
12
1316
15
14
8
9
3 256
255

33. scopriamo le soluzioni

34. Soluzione del quadrato magico di ordine 3
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Avvia l'animazione

35. 9
1
23
4
5
6 7
8 10 11
12
15
13
14
16
Avvia l'animazioneSoluzione del quadrato magico di ordine 4

36. 9
1
23
4
5
6 7
8 10 11
12
15
13
14
16
Soluzione (statica) ordine 4

37. 9
1
2
3
45
6
7
8
10
11
12
15
13
14
16
Soluzione di ordine 4 trasformata

38. 9
1
23
4
5
6 7
810 11
12
15
13
14
16
Altra soluzione

39. 9
1
2
3
45
6
7
8
10
11
12
15
13
14
16
Soluzione autonoma trovata dall'alunna Asia Danieli (1ªE)

40. 1
2
16
4 13
14
1517
20
3
5 7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18 25
19
Avvia l'animazione

41. 1
2
16
4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
2324
61218
25 19
Soluzione (statica) ordine 5

42. Una Antica Soluzione per il quadrato magico di ordine 6

43. 1
2
3
4
5
6
7
8
910
11
12
13
14
15 16
17
18
19
20
21 22
23
25
24
26
27 28
29
30
31
32
33
34
35
36
Quadrato magico di ordine 6
74
74
74
74
74
74
7474 74 74
3737
111111 3836
vedi se riesci a trovare un modo
per completarlo

44. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23 25
2426
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Soluzione Statica del Quadrato Magico di Ordine 6: FASE 1
Q0
Q3
Q2
Q1
Somma Q0: 15 Somma Q2: 15+ 3*(9*2)
Somma Q1: 15+ 3*(9*1)Somma Q3: 15+ 3*(9*3)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*15 + 3*(9*3) = 30 + 81 = 111
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*15 + 3*(9*3) = 30 + 81 = 111
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*15 + 3*(9*2) = 30 + 54 = 84 = 111 ­ 27
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*15 + 3*(9*3+9) = 30 + 81 + 27 = 111 + 27
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*15 + 3*(9*1) = 30 + 27 = 111 ­ 2*27
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*15 + 3*(9*2 + 9*3) = 111 + 2*27
Occorre compensare
scambiando 1 elemento tra
Q3 e Q0
Occorre compensare
scambiando 2 elementi tra
Q3 e Q0
111111 111 111 111 111 Le somme delle colonne
sono quelle attese
FASE 2

45. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23 25
2426
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Soluzione Statica del Quadrato Magico di Ordine 6: FASE 2
Q0
Q3
Q2
Q1
Somma Q0: 15 Somma Q2: 15+ 3*(9*2)
Somma Q1: 15+ 3*(9*1)Somma Q3: 15+ 3*(9*3)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*15 + 3*(9*3) = 30 + 81 = 111
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*15 + 3*(9*3) = 30 + 81 = 111
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*15 + 3*(9*2) = 30 + 54 = 84 = 111 ­ 27
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*15 + 3*(9*3+9) = 30 + 81 + 27 = 111 + 27
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*15 + 3*(9*1) = 30 + 27 = 111 ­ 2*27
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*15 + 3*(9*2 + 9*3) = 111 + 2*27
Occorre compensare
scambiando 1 elemento tra
Q3 e Q0
Occorre compensare
scambiando 2 elementi tra
Q3 e Q0
111
111111 111
111
FASE 1

46. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23 25
2426
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
Soluzione dinamica Quadrato magico di ordine 6
Una soluzione ANTICA Soluzione Staca

47. 1
2
16
413
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Soluzione statica del quadrato magico di ordine 7

48. 1
2
16
413
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
Soluzione del quadrato magico di ordine 7 Avvia l'animazione

49. Avvia l'animazione
1
23
4
5
6 7
8
9
1011
12
13
14 15
16
17
1819
20
21
22 23
24
25
2627
28
29
30 31
32
33
34 35
36
37
3839
40
41
42 43
44
45
4647
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
Se dopo aver visto l'animazione non hai ancora capito, sfoglia le pagine seguenti
Soluzione Statica

50. 1
2 16
4
13
1415
17
20
3
5
7
8
9
10 11
21
22
23
24
612
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
Soluzione del quadrato magico di ordine 8 parte prima (statica)

51. 1
2
16 4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58 59
60
61
6263
64
Sostituzione

52. 1
2
16
4
13
14 15
17
20
3
5
7
8
9
1011
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58 59
60
61
6263
64
+8

53. 1
2
16
4
13
14 15
17
20
3
5
7
8
9
1011
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
­8

54. 1
2
16
4
13
14 15
17 20
3
5
7
8
9
1011
21
22 23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
+16

55. 1
2
16
4
13
14 15
17 20
3
5
7
8
9
1011
21
22 23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42 43
44
45
4647
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
­16

56. 1
2
16
4
13
14 15
17 20
3
5
7
8
9
1011
21
22 23
24
6
12
18
25
19 2627
28
29
30 31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42 43
44
45
4647
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
+24

57. 1
2
16
4
13
14 15
17 20
3
5
7
8
9
1011
21
22 23
24
6
12
18
25
19 2627
28
29
30 31
32
33
34 35
36
37
3839
40
41
42 43
44
45
4647
48
49
50 51
52
53
5455
56
57
58 59
60
61
6263
64
Soluzione statica del quadrato magico di ordine8

58. 1
2 16
4
13
14
15
17
20
3 5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6 12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
+8 ­8
+16 ­16 +24 ­24
Osservare il "trucco"

59. Soluzione del quadrato
d'ordine 9

60. 1
2
16
4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81

61. 1
2
16
4
13
14
15
17
20
3
5
7
8
9
10
11
21
22
23
24
6
12
18
25
19
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
369
369

62. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
505 505 505 505 505 505 505 505 505 505 505
Soluzione statica del quadrato magico di ordine 10: FASE 1
Q0
Q3
Somma Q0: 65
Somma Q3: 65+ 5*(25*3)
Q2
Q1
Somma Q2: 65+5*(25*2)
Somma Q1: 65+5*(25*1)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*65 + 5*(25*3) = 130 + 375 = 505
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*65 + 5*(25*3) = 130 + 375 = 505
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*65 + 5*(25*2) = 130 + 250 = 380 = 505 ­ 125
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*65 + 5*(25*3+25) = 130 + 375 + 125 = 505 + 125
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*65 + 5*(25*1) = 130 + 125 = 505 ­ 2*125
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*65 + 5*(25*2 + 25*3) = 505 + 2*125
Occorre compensare 2
elementi tra Q3 e Q0 e 1
tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 2*75 e
togliere 25.
25*(3*2­1) = 5 * 25
Occorre compensare scambiando 3
elementi tra Q3 e Q0 e 1 tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 3*75 e aggiungere 25 .
25*(3*3 + 1) = 10*25
Occorre compensare
scambiando 3 elementi tra Q3
e Q0 e 1 tra Q2 e Q1 cioè
sottrarre 3*75 e sottrarre 25 .
25*(3*3 + 1) = 10*25
FASE 2
Le somme delle colonne
sono quelle attese

63. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
505
505
505
505
505
505
505
505
505
505
505
505
505 505
Soluzione statica del quadrato magico di ordine 10: FASE 2
Q0
Q3
Somma Q0: 65
Somma Q3: 65+ 5*(25*3)
Q2
Q1
Somma Q2: 65+5*(25*2)
Somma Q1: 65+5*(25*1)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*65 + 5*(25*3) = 130 + 375 = 505
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*65 + 5*(25*3) = 130 + 375 = 505
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*65 + 5*(25*2) = 130 + 250 = 380 = 505 ­ 125
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*65 + 5*(25*3+25) = 130 + 375 + 125 = 505 + 125
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*65 + 5*(25*1) = 130 + 125 = 505 ­ 2*125
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*65 + 5*(25*2 + 25*3) = 505 + 2*125
Occorre compensare 2
elementi tra Q3 e Q0 e 1
tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 2*75 e
togliere 25.
25*(3*2­1) = 5 * 25
Occorre compensare scambiando 3
elementi tra Q3 e Q0 e 1 tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 3*75 e aggiungere 25 .
25*(3*3 + 1) = 10*25
Occorre compensare
scambiando 3 elementi tra Q3
e Q0 e 1 tra Q2 e Q1 cioè
sottrarre 3*75 e sottrarre 25 .
25*(3*3 + 1) = 10*25
FASE 1

64. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
Soluzione dinamica del quadrato magico di ordine 10. Attiva l'animazione
Soluzione statica

65. Soluzione Dinamica Soluzione con foglio di calcolo
1
23
4
5
6 7
8
9
1011
12
13
14 15
16
17
1819
20
21
22 23
24
25
2627
28
29
30 31
32
33
3435
36
37
38 39
40
41
4243
44
45
46 47
48
49
5051
52
53
54 55
56
57
5859
60
61
62 63
64
65
6667
68
69
70 71
72
73
74 75
76
77
7879
80
81
82 83
84
85
8687
88
89
90 91
92
93
9495
96
97
98 99
100
101
102103
104
105
106 107
108
109
110111
112
113
114 115
116
117
118119
120
121
122 123
124
125
126127
128
129
130 131
132
133
134135
136
137
138 139
140
141
142143
144
Soluzione Statica Quadrato Magico d'ordine 12
870
870
870
870
870
870
870
870
870
870
870
Somma parziale
di un quadrato 4x4
870
290

66. Soluzione statica Soluzione con foglio di calcolo
1 2 3 4 5 6
7 8 9 10 11 12
13 14 15 16 17 18
19 20 21 22 23 24
25 26 27 28 29 30
31 32 33 34 35 36
37 38 39 40 41 42
43 44 45 46 47 48
49 50 51 52 53 54
55 56 57 58 59 60
61 62 63 64 65 66
67 68 69 70 71 72
73 74 75 76 77 78
79 80 81 82 83 84
85 86 87 88 89 90
91 92 93 94 95 96
97 98 99 100 101 102
103 104 105 106 107 108
109 110 111 112 113 114
115 116 117 118 119 120
121 122 123 124 125 126
127 128 129 130 131 132
133 134 135 136 137 138
139 140 141 142 143 144
Soluzione Dinamica Quadrato Magico d'ordine 12:
Avvia l'animazione

67. 1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
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Somma Q0: 175
Somma Q3: 175+ 7*(49*3)
Q2
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Somma Q2: 175+7*(49*2)
Somma Q1: 175+7*(49*1)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*175 + 7*(49*3) = 350 + 1029 = 1379
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*175 + 7*(49*3) = 350 + 1029 = 1379
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*175 + 7*(49*2) = 350 + 686 = 1379 ­ 343
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*175 + 7*(49*3+49) = 350 +686 + 343 = 1379 + 343
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*175 + 7*(49*1) = 350 + 343 = 1379 ­ 2*343
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*175 + 7*(49*2 + 49*3) = 1379 + 2*343
Occorre compensare 3
elementi tra Q3 e Q0 e 2
tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 3*49*3 e
togliere 2*49.
49*(9 ­ 2) = 7*49
e VICEVERSA
Occorre compensare
scambiando 4 elementi
tra Q3 e Q0 e 2 tra Q2 e Q1
cioè aggiungere 4*49*3 e
aggiungere 2*49.
49*(3*4 + 2) = 14 *49
Occorre compensare
scambiando 4 elementi
tra Q3 e Q0 e 2 tra Q2 e Q1
cioè sottrarre 4*49*3 e
sottrarre 2*49.
49*(3*4 + 2) = 14 *49
FASE 2

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Somma Q2: 175+7*(49*2)
Somma Q1: 175+7*(49*1)
Somma di una colonna Q0 e Q3: 2*175 + 7*(49*3) = 350 + 1029 = 1379
Somma di una colonna Q2 e Q1: 2*175 + 7*(49*3) = 350 + 1029 = 1379
Somma di una RIGA Q0 e Q2: 2*175 + 7*(49*2) = 350 + 686 = 1379 ­ 343
Somma di una RIGA Q3 e Q1: 2*175 + 7*(49*3+49) = 350 +686 + 343 = 1379 + 343
Somma di una DIAGONALE Q0 e Q1: 2*175 + 7*(49*1) = 350 + 343 = 1379 ­ 2*343
Somma di una DIAGONALE Q2 e Q3: 2*175 + 7*(49*2 + 49*3) = 1379 + 2*343
Occorre compensare 3
elementi tra Q3 e Q0 e 2
tra Q2 e Q1 cioè
aggiungere 3*49*3 e
togliere 2*49.
49*(9 ­ 2) = 7*49
e VICEVERSA
Occorre compensare
scambiando 4 elementi
tra Q3 e Q0 e 2 tra Q2 e Q1
cioè aggiungere 4*49*3 e
aggiungere 2*49.
49*(3*4 + 2) = 14 *49
Occorre compensare
scambiando 4 elementi
tra Q3 e Q0 e 2 tra Q2 e Q1
cioè sottrarre 4*49*3 e
sottrarre 2*49.
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FASE 1

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Soluzione Dinamica Quadrato Magico d'ordine 14.
Avvia l'animazione
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70. soluzione

71. Allegati
Double 6 magic­square.jpg
4­6x6ms.gif
6x6magicsquare.gif
10x10magicsquare.gif
finish­6x6.gif
Home.jpg
Quadrato magico ordine 4x.xlsx