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Le 4 operazioni de marzi
1. le 4
operazioni
e le loro
proprieta'
Prof.ssa De Marzi
SCUOLA SECONDARIA DI I GRADO "ISTITUTO MASSIMO"
2. l'addizione
1 + 2 = 3
addendi somma
L'addizione è l'operazione che associa a due numeri, detti ADDENDI, un
terzo numero, detto SOMMA, che si ottiene contando dopo il primo numero
tante unità quante ne indica il secondo.
E' un'operazione interna all'insieme N
(addizionando due numeri naturali si ottiene SEMPRE un altro numero
naturale)
3. l'insieme n
L'insieme N indica l'insieme dei numeri naturali, ossia l'insieme di tutti i
numeri interi non negativi che si ottengono partendo dal numero zero ed
aggiungendo, di volta in volta, un'unità.
4. l'addizione
6 + 0 = 6
Lo zero è L'ELEMENTO NEUTRO dell'addizione
Qualsiasi numero addizionato a zero dà il numero stesso.
Se le addizioni sono semplici, si possono fare a mente, magari
immaginandoli su una semiretta graduata. Altrimenti, si fanno in colonna.
5. le proprieta' dell'addizione
PROPRIETA' COMMUTATIVA PROPRIETA' ASSOCIATIVA
Cambiando l'ordine degli addendi,
il risultato NON cambia
a + b = b + a
es. 3 + 7 + 1 = 7 + 3 + 1 = 11
Se a due o più addendi si
sostituisce la loro somma, il
risultato NON cambia
a + b + c = a + (b + c) =
= (a + b) + c
es. 15 + 14 + 16 = 15 + 30 = 45
6. Se a due o più addendi si
sostituisce la loro somma, il
risultato NON cambia
a + b + c = a + (b + c) =
= (a + b) + c
es. 15 + 14 + 16 = 15 + 30 = 45
le proprieta' dell'addizione
PROPRIETA' ASSOCIATIVA
LA PROPRIETA' ASSOCIATIVA
PUO' ESSERE APPLICATA ANCHE
ALL'INVERSO
es. 12 + 27 =
dissocio in modo da avere le decine e le unità da
sommare a parte, mi facilito i calcoli mentali
(10 + 2) + (20 + 7) =
10 + 2 + 20 + 7 =
(10 + 20) + (2 + 7) =
30 + 9 = 39
7. la sottrazione
8 - 3 = 5
minuendo sottraendo differenza
La sottrazione è l'operazione che associa a due numeri, detti MINUENDO
e SOTTRAENDO (tali che il minuendo è maggiore o uguale al sottraendo),
un terzo numero detto DIFFERENZA.
La DIFFERENZA, aggiunta al SOTTRAENDO, dà il MINUENDO.
(minuendo e sottraendo si chiamano anche "termini della sottrazione")
NON è un'operazione interna all'insieme N
(si potrebbe ottenere un numero sotto lo zero, cioè negativo, che non
appartiene all'insieme dei numeri naturali)
8. la sottrazione
3 - 3 = 0
Se due numeri sono uguali, la differenza è 0
9 - 0 = 9
0 - 9 = 9
La differenza tra un numero e 0 è uguale al numero stesso
Vediamo che però non è possibile applicare la proprietà commutativa:
lo zero non è un elemento neutro della sottrazione
9. le proprieta' della sottrazione
PROPRIETA' INVARIANTIVA
Aggiungendo o togliendo uno stesso numero sia al
minuendo che al sottraendo di una sottrazione, il
risultato NON cambia
a - b = (a + c) - (b + c) = (a - c) - (b - c)
es. 15 - 5 = 10 = (15 + 2) - (5 + 2) = 17 - 7
15 - 5 = 10 = (15 - 2) - (5 - 2) = 13 - 3
10. le addizioni in colonna
Fonte: https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/addizioni-con-la-virgola/
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/addizione-in-colonna/
esempi
con i numeri interi (a sx)
e con i decimali (a dx)
11. le sottrazioni in colonna
Fonte: https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/sottrazione-in-colonna/
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/sottrazioni-con-la-virgola/
esempi con i numeri interi (a sx)
e con i decimali (a dx)
12. Si dice espressione aritmetica una successione di operazioni che
si devono eseguire su numeri, con un determinato ordine.
Calcolare il valore di un'espressione vuol dire trovarne il risultato.
15 - 6 + 2 - 4 + 3 =
= 9 + 2 - 4 + 3 =
= 11 - 4 + 3 =
= 7 + 3 =
= 10
le espressioni aritmetiche
con addizioni e sottrazioni
Se ci sono solo addizioni e
sottrazioni, si eseguono le
operazioni nell'ordine in cui
sono indicate
13. le parentesi
Nelle espressioni possono
comparire parentesi:
(parentesi tonde)
[parentesi quadre]
{parentesi graffe}
Si eseguono prima le operazioni
nelle TONDE, poi quelle nelle
QUADRE, poi quelle nelle
GRAFFE
15. la moltiplicazione
7 ∙ 3 = 21
fattori prodotto
La moltiplicazione è l'operazione che associa a due numeri, detti FATTORI,
un terzo numero, detto PRODOTTO, che si ottiene addizionando tanti
addendi uguali al primo numero quanti ne indica il secondo.
7 ∙ 3 = 7 + 7 + 7
E' un'operazione interna all'insieme N
(moltiplicando due numeri naturali si ottiene SEMPRE un altro numero
naturale)
16. la moltiplicazione
5 ∙ 0 = 0
Lo zero è L'ELEMENTO ASSORBENTE DELLA MOLTIPLICAZIONE.
Se in una moltiplicazione a due o più fattori uno di essi è zero, il prodotto è
sempre zero.
5 ∙ 0 indica l'addizione di nessun addendo
Legge di annullamento del prodotto: il prodotto di un numero per zero è
sempre zero.
17. la moltiplicazione
5 ∙ 1 = 5
L'uno è L'ELEMENTO NEUTRO DELLA MOLTIPLICAZIONE.
Il prodotto di un numero per l'unità è uguale al numero stesso
18. le proprieta' della moltiplicazione
proprietà COMMUTATIVA
proprietà ASSOCIATIVA
proprietà DISTRIBUTIVA
19. le proprieta' della moltiplicazione
Cambiando l'ordine
dei fattori, il risultato
non cambia
7 ∙ 3 ∙ 2 =
= 3 ∙ 7 ∙ 2
PROPRIETA'
COMMUTATIVA
PROPRIETA'
ASSOCIATIVA
PROPRIETA'
DISTRIBUTIVA
Il prodotto di tre o più
fattori non cambia se a due
o più di essi si sostituisce
il loro prodotto.
7 ∙ 2 ∙ 5 = 7 ∙ 10 = 70
Vale anche all'inverso
5 ∙ 12 =
=5 ∙ (2 ∙ 6) =
= 5 ∙ 2 ∙ 6 =
= 10 ∙ 6
= 60
Per moltiplicare un'addizione (o
una sottrazione) per un numero, si
moltiplica ciascun termine
dell'addizione (o della sottrazione)
per quel numero e poi si
addizionano (o sottraggono) i
prodotti parziali ottenuti
(2 + 4 - 3 ) ∙ 5 =
=(2 ∙ 5) + (4 ∙ 5) - (3 ∙ 5) =
= 10 + 20 - 15 = 15
20. moltiplicazione PER 10, 100, 1000
Per moltiplicare un numero naturale per 10, 100, 1000... si aggiungono
alla destra del numero rispettivamente uno, due, tre... zeri.
37 ∙ 10 = 370 105 ∙ 1000= 105.000
Per moltiplicare un numero decimale per 10, 100, 1000 si sposta la
virgola verso destra di tanti posti quanti sono gli zeri del secondo
fattore. Se i posti delle cifre decimali non sono sufficienti, si aggiungono
tanti zeri quanti ne servono.
7,35 ∙ 10 = 73,5 7,35 ∙ 1000 = 7350
Tre zeri: sposto la virgola di due posti,
non mi bastano più le cifre,
aggiungo lo zero rimanente
Un solo zero, sposto la virgola
di un posto
21. le moltiplicazioni in colonna
Moltiplicazioni in colonna con numeri naturali:
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/moltiplicazioni-in-colonna/
Moltiplicazioni in colonna con due numeri con la virgola:
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/moltiplicazioni-con-la-virgola/
22. la divisione
21 : 7 = 3
dividendo divisore quoziente
La divisione è l'operazione che associa a due numeri, detti DIVIDENDO e
DIVISORE, un terzo numero, detto QUOZIENTE, che moltiplicato per il
secondo dà come risultato il primo.
E' l'operazione inversa della moltiplicazione.
NON E' un'operazione interna all'insieme N
(il quoziente di due naturali potrebbe non essere un numero naturale)
ex. 5 : 2 = 2,5 non è naturale
23. la divisione
0 : 4 = 0
Perchè se si fa la prova con l'operazione inversa 0 ∙ 4 = 0
4 : 0 = IMPOSSIBILE
Perchè non esiste un numero che moltiplicato per 0 dà 4.
0 : 0 = INDETERMINATO
Qualsiasi numero moltiplicato per 0 dà 0 come risultato...
5 : 1 = 5
Perchè se si fa la prova con l'operazione inversa 5 ∙ 1 = 5
24. PROPRIETA'
INVARIANTIVA
PROPRIETA'
DISTRIBUTIVA
Moltiplicando o dividendo
entrambi i termini di una
divisione per uno stesso numero
diverso da zero, il risultato non
cambia
10 : 2 = 5
(10 ∙ 6) : (2 ∙ 6) = 60 : 12 = 5
Per dividere un'addizione (o una
sottrazione) per un numero, si
divide ciascun termine
dell'addizione (o della sottrazione)
per quel numero e poi si
addizionano (o sottraggono) i
quozienti parziali ottenuti
(15 + 33 - 3 ) : 3 =
= (15 : 3) + (33 : 3) - (3 : 3) =
= 5 + 11 - 1 = 15
le proprieta' della divisione
25. le divisioni in colonna
Moltiplicazioni in colonna con numeri naturali:
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/divisione-in-colonna//
Moltiplicazioni in colonna con due numeri con la virgola:
https://ilgeniodellamatematica.altervista.org/divisioni-con-la-virgola/
26. con tutte e 4 le operazioni!
le espressioni
01
02
03
ATTENZIONE: prima di sommare o sottrarre date un'occhiata se avete
svolto tutte le moltiplicazioni e divisioni che ci sono!
Se in un espressione compaiono delle parentesi, si calcolano prima quelle
più interne (nell'ordine: tonde, poi quadre, poi graffe).
Sia che stiamo lavorando dentro una parentesi, sia che non ci siano parentesi, si svolgono
prima le moltiplicazioni e le divisioni nell'ordine in cui si presentano
Dopo aver svolto tutte le moltiplicazioni e le divisioni, si svolgono le addizioni e le
sottrazioni nell'ordine in cui si presentano
