1. 实验三 用 Mathematica 软件计算导数与微分
实验目的:
掌握用 Mathematica 软件计算导数与微分的语句和方法。
实验准备
数学概念
1. 导数
2. 微分
实验过程与要求:
教师利用多媒体组织教学,边讲边操作示范。
实验的内容:
1、求函数的导数
在 Mathematica 系统中用 D 函数求函数的导数，基本格式为：
D[f[x],{x,n}]
其中 f[x]是以 x 为自变量的函数或表达式， n 为求导的阶数，若省略则系
统默认为一阶.
3
实验 求 y = x − 4 sin x + 2 arctan x − 9 的导数.
解 In[1]:=D[x^3-4Sin[x]+2ArcTan[x]-9,x]
sin x
实验 求 y = x 的二阶导数.
解 In[2]:=D[Sin[x]/x,{x,2}]
arctan x
实验 求y=e 的导数.
解 In[3]:=D[Exp[ArcTan[Sqrt[x]]],x]
t − sin t π
实验 设 y = t + sin t , 求f ′( 2 ) .
解 In[4]:=f[t_]=(t-Sin[t])/(t+Sin[t])
In[5]:=D[f[t],t]
In[6]:=ff[t_]=% （*定义新函数 ff *）
In[7]:=Simplify[ff[Pi/2]]
O
其中%代表上一计算结果. Simplify[表达式]为化简表达式函数，注

2. 意括号内的内容为注释内容，上机时不需输入.
2、求函数的微分
在 Mathematica 系统中用 Dt 函数求函数的微分，基本格式为：
Dt[ f [ x ]]
实验 求 y = sin 2 x 的微分.
解 In[8]:=Dt[Sin[2x]]
2x
实验 求 y = e − 5 sinx 的微分.
解 In[9]:= Dt[Exp[2x]-5Sin[x]]
3. 应用实验
本实验研究咳嗽问题。
人体的肺内压力增加可以引起咳嗽，通常肺内压力增加伴随着人体气管半径
的缩小，那么较小半径是促进了还是阻碍了空气在人体气管里的流动？
1）问题分析
查找有关流体在圆柱形管子中流动的资料，获得如下物理学的结果：
在单位时间内流体流过管子的体积
πpr 4
V= （2-1）
8qs
这里 r 表示管子半径， s 表示管子长度， p 表示管子两端的压力差， q 表示流体
的粘滞度。
r0
实验结果表明： 当压力差 p 增加，且在 [0, ] 内，半径 r 按照方程 r=r0-ap
2a

3. 减小,其中 r 为无压力差时的管子半径，a 为正的常数。
我们将人体气管看作一个圆柱形的管子。并用 r 表示气管半径，s 表示气管长
度，p 表示气管两端的压力差，q 表示流体的粘滞度。于是我们可以使用如上的
结果。
由于人在咳嗽时气管的压力差增加，因此由实验结果，有 r=r0-ap 在 p∈
r0
[0, ] 时成立。从 r=r0-ap 解出 p，则有
2a
r0 − r r
p= ∈ [0, 0 ]
a 2a
于是可以得到
r0 − r r0 r
0≤ ≤ ⇒ 0 ≤ r ≤r 0
a 2a 2
把得到关系：
r0 − r r0
p= , ≤ r ≤r 0
a 2
代入(2-1)式，有：
π (r0 − r )r 4 π r0
V = = k (r0 − r )r 4 , k= , ≤ r ≤ r0 ，
8aqs 8aqs 2
由于 s 和 q 在咳嗽过程中通常不发生变化，因此上式中的 k 是常数。于是在咳嗽
过程中单位时间内流体流过气管的体积 V 只是 r 的函数，即 V=V(r)。为解决本

4. 题问题，从考虑 V(r)取最大值时 r 的取值情况着手。由
V′(r)= kr3(4r0-5r)=0
4
得到驻点 r1=0（舍去）和 r2 = r0 。
5
V″(r)=4 k r 2 (-5 r + 3 r0)
64 3
V ′′(r2 ) = − kr0＜ 0
25
因此由极值的充分条件， V(r)在 r=r2 时取得极大值，由于本题在考虑的范围内
4
有唯一极值点，因此 V(r)在 r=r2 也取得最大值。于是有在半径 r= r2 = r0 时单位
5
r0 4
时间内流体流过气管的体积最大。由于 ＜r2 = r0＜r0 说明气管半径缩小可以
2 5
在单位时间内流体流过的体积最大，从而有利于空气在气管里的流动。因此我们
说，咳嗽时气管在一定范围内收缩有助于咳嗽，可以促进气管内空气的流动与
气管中异物的快速排出。
2)实验步骤
In[1]:= Clear[v,r]
v[r_]:=k*(r0-r)*r^4
In[2]:= v1=D[v[r],r]
Out[2]= -(k r 4) + 4 k r3 (-r + r0)
In[3]:= Simplify[v1]
Out[3]= k r 3 (-5r + 4r0)

5. In[3]:= Solve[v1==0,r]
4r0
Out[3]= {{r -> 0}, {r -> 0}, {r -> 0}, {r − > }}
5
In[4]:= v2=D[v[r],{r， 2}]
Out[4]= -8 k r 3 + 12 k r2 (- r + r0)
In[5]:= Simplify[v2]
Out[5]= 4 k r2 (-5r+ 3r0)
In[6]:= %/.r->4/5*r0
64kr03
Out[6]= −
25
实验
5
1. 求 y = x − 5 sin 2 x + 2 arccos x − 9 ln x + ln 2 的导数.
2. 求 y = sin(5 x − 1) 的导数.
5x − 1
3 . 求 y = 1 + x 的导数.
4. 求 y = x ln x 的二阶导数.
5. 求 y = cos 2 x 的微分.