Dokumen tersebut membahas tentang gerak dalam dua dan tiga dimensi, termasuk posisi, vektor perpindahan, kecepatan rata-rata dan sesaat, percepatan rata-rata dan sesaat, serta contoh soal yang terkait.

1. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
PosisiPosisidandanPerpindahanPerpindahan
Posisipartikeldalamkoordinatkartesiandiungkapkansbb:
kzjyixrˆˆˆ++=
r
Koefisienx,ydanzmerupakanlokasiparikeldalamkoordinat
kartesianrelatifterhadaptitikpusatkoordinat.kartesianrelatifterhadaptitikpusatkoordinat.
ContohContoh::
MenggambarkanMenggambarkanposisiposisipartikelpartikelyangyang
terletakterletakdalamdalamsumbusumbux:3mx:3mdaridarisumbusumbu
koordinatkoordinat,,dalamdalamsumbusumbuy:2my:2mdaridari
sumbusumbukoordinatkoordinat,,dandandalamdalamsumbusumbuz:5z:5
mmdaridarisumbusumbukoordinatkoordinat..
kjirˆ5ˆ2ˆ3++−=
r

2. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
PosisiPosisidandanPerpindahanPerpindahan
Jikapartikelbergerak,makavektorposisinyaakanberubah
misalkandarirr11kerr22.Vektorperpindahanpartikel
diungkapkansbb:
12rrr
rrr
−=∆kzzjyyixxrˆ)(ˆ)(ˆ)(121212−+−+−=∆
r
atau12kzzjyyixxr)()()(121212−+−+−=∆

3. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
ContohContoh
Sebuahpartikelbergerakdariposisi:
Keposisi:
Carilahvektorperpindahanpartikeltersebut
kjirˆ5ˆ2ˆ31++−=
r
kjirˆ8ˆ2ˆ92++=
r
Sebuahmobilmelintasditempatparkirdenganperubahan
posisiterhadapwaktusbb:
2872
++−=ttx
3095,02
+−=tty
a.Dimanakahposisimobilpadat=1s
b.Gambarkanlintasanmobildalamkoordinatkartesian

4. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
KecepatanKecepatanratarata--rataratadandanKecepatanKecepatansesaatsesaat
Jikapartikelbergerakdenganperpindahan∆rdalamselang
waktu∆t,makakecepatanrata-ratanyaadalah:
t
r
vav
∆
∆
=
r
r
t
kzjyix
vav
∆
∆+∆+∆
=
ˆˆˆr
t∆t∆
ContohContoh
Sebuahpartikelbergerakdariposisi:
Keposisi:dalam2s.
Tentukankecepatanrata-ratapartikeltersebut
kjirˆ5ˆ2ˆ31++−=
r
kjirˆ8ˆ2ˆ92++=
r

5. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
KecepatanKecepatanratarata--rataratadandanKecepatanKecepatansesaatsesaat
Kecepatansesaatdidefinisikansebagaiturunanpertama
dariposisiterhadapwaktu
dt
rd
v
r
r
=k
dt
dz
j
dt
dy
i
dt
dx
vˆˆˆ++=
r
dtdtdt
Sebuahmobilmelintasditempatparkirdenganperubahan
posisiterhadapwaktusbb:
2872
++−=ttx
3095,02
+−=tty
Berapakahkecepatanmobilpadat=2s
ContohContoh

6. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
PercepatanPercepatanratarata--rataratadandanPercepatanPercepatansesaatsesaat
Percepatanrata-ratadidefinisikansebagaiperubahan
kecepatandalamintervalwaktutertentu
t
v
aav
∆
∆
=
r
r
t
kvjviv
aav
∆
∆+∆+∆
=
ˆˆˆr
t∆t∆
Percepatansesaatdidefinisikansebagaiturunanpertama
darikecepatanterhadapwaktu
dt
vd
a
r
r
=k
dt
dv
j
dt
dv
i
dt
dv
azyxˆˆˆ++=
r

7. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
Sebuahmobilmelintasditempatparkirdenganperubahan
posisiterhadapwaktusbb:
2872
++−=ttx
3095,02
+−=tty
ContohContoh
Berapakahpercepatanmobilpadat=2s
Sebuahpartikelsedangbergerakdengankecepatan:
(dalamm/s).Padat=0,partikelmengalamipercepatan
dengannilaia=3m/s2danarahθ=120°terhadapsumbux
positif.Berapakahkecepatanpartikelpadat=5s.
jivˆ4ˆ20+−=
r

8. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
SebuahSebuahpartikelpartikelbergerakbergerakpadapadabidangbidangxyxydimanadimanaposisiposisidalamdalamaraharahsumbusumbuxx
dinyatakandinyatakandengandenganx(t)=tx(t)=t33––2t2tdandanposisiposisidalamdalamaraharahsumbusumbuyydinyatakandinyatakan
dengandengany(t)=2ty(t)=2t22+5+5,(x,(xdandanyydalamdalammetermeterdandanttdalamdalamdetikdetik).).TentukanlahTentukanlah::
a.a.PosisiPosisipartikelpartikelsetiapsetiapsaatsaat
b.b.PosisiPosisipartikelpartikelpadapadasaatsaatt=2t=2detikdetik
LatihanLatihan
b.b.PosisiPosisipartikelpartikelpadapadasaatsaatt=2t=2detikdetik
c.c.KecepatanKecepatanratarata--rataratadalamdalamselangselangwaktuwaktuantaraantarat=0t=0sampaisampai
t=3t=3detikdetik
d.d.KecepatanKecepatansesaatsesaatpadapadat=2t=2detikdetik
e.e.PercepatanPercepatanratarata--rataratadalamdalamselangselangwaktuwaktuantaraantarat=0t=0
sampaisampait=3t=3detikdetik
f.f.PercepatanPercepatansesaatsesaatpadapadat=2t=2detikdetik

9. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakDalamDalam2D/3D2D/3D
Contohfenomenayangtermasukgerak2Dadalahgerak
pelurudangerakmelingkar
Untukmempelajarigerakanpeluru,biasanyadiambilasumsi:
•Percepatangerakjatuhbebaskonstansepanjanggerakan.
•Efekhambatanudaradiabaikan
Dengankeduaasumsi
tersebut,makagerak
pelurumembentuk
lintasanparabola
simetris.

10. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakPeluruPeluru
BagaimanaBagaimanabentukbentukpersamaanpersamaangeraknyageraknya??
••BendaBendabergerakbergerakdengandenganpercepatanpercepatanaayy==--g(g(gerakgerakjatuhjatuhbebasbebas;y;ypositifpositif
jikajikagerakgerakkeataskeatas))dandanaaxx=0(=0(tidaktidakadaadapercepatanpercepatanhorisontalhorisontal).).
••PadaPadatitiktitikawalawal(t=0),(t=0),posisiposisixx00=y=y00=0,=0,kecepatankecepatanadalahadalahvv00
θ=cosvv
v0
vx0
vy0
θ
θ=
θ=
sinvv
cosvv
00y
00x
Arahhorisontal(x):Arahhorisontal(x):
()tcosvtv
at
2
1tvxx
00x
2
00
θ==
++=

11. 22:57:35
FisikaFisikaII
ArahArahvertikalvertikal(y):(y):
DariDariaraharahgerakgerakhorizontal(x):horizontal(x):
()2
0
2
0y
2
00
gt
2
1tsinvgt
2
1tv
at
2
1tvyy
−θ=−=
++=
GerakGerakPeluruPeluru
DariDariaraharahgerakgerakhorizontal(x):horizontal(x):
()
()θ
=⇒θ=
cosv
x
ttcosvx
0
0
SubstitusiSubstitusittkekedalamdalamy,y,makamakadiperolehdiperoleh::
()
2
22
o
2
00
0
x
cosv2
g
xtan
cosv
x
g
2
1
cosv
x
sinvy






θ
−θ=






θ
−
θ
θ=
y=ax+bxy=ax+bx22
(pers.Parabola)(pers.Parabola)

12. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakPeluruPeluru
BerapakahBerapakahtitiktitiktertinggitertinggiyangyangbisabisadicapaidicapai????
v0
vy0
h
vxA
vyA=0
v
gtv0
gtvv
A0y
0yyA
−=
−=
vx0
θg
v
t
0y
A=
TitikTitiktertinggitertinggi:y=:y=yyAA=h=h
g2
v
g
v
2
g
g
v
h
gt
2
1tvyhy
2
0y
2
0y
2
0y
2
A0y0A
=





−=
−+==

13. 22:57:35
FisikaFisikaII
BerapakahBerapakahtitiktitikterjauhterjauhyangyangbisabisadicapaidicapai????
()tcosvtvx
tvxx
00x
0x0
θ==
+=
GerakGerakPeluruPeluru
TitikTitikterjauhterjauhdiperolehdiperolehpadapadatembakantembakandengandengansudutsudut4545°°°°°°°°

14. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakPeluruPeluru
SeseorangSeseorangmelemparkanmelemparkanbatubatudaridariatasatasgedunggedungdengandengansudutsudut3030°°°°°°°°
terhadapterhadaphorizontal.horizontal.LemparanLemparantersebuttersebutmemberikanmemberikanlajulajuawalawalbatubatu2020
m/s.m/s.JikaJikatinggitinggigedunggedung45m,45m,tentukantentukan::
(a)(a)waktuwaktuyangyangdibutuhkandibutuhkanbatubatuuntukuntuksampaisampaikeketanahtanah
(b)(b)kecepatankecepatanbatubatusesaatsesaatsebelumsebelumsampaisampaikeketanahtanah
(c)(c)ketinggianketinggianmaksimummaksimumyangyangdicapaidicapai
JikaJikapadapadasaatsaatmelemparmelemparadaadaanginanginyangyang
berhembusberhembussecarasecarahorizontalhorizontalsearahsearah
dengandengangerakangerakanbatubatu,,dandan
menyebabkanmenyebabkanbatubatudipercepatdipercepatdalamdalam
araharahhorizontalhorizontalsebesarsebesar0,5m/s,0,5m/s,makamaka
tentukantentukansepertiseperti(a)(a)dandan(b)(b)

15. 22:57:35
FisikaFisikaII
LatihanLatihan
SebuahSebuahbolabolagolfgolfdipukuldipukulsehinggasehinggamemilikimemilikikecepatankecepatanawalawal150150m/sm/s
padapadasudutsudut4545oodengandenganhorizontalhorizontal..TentukanTentukan::
a.a.TinggiTinggimaksimummaksimumyangyangdapatdapatdialamidialamibolabolagolfgolftersebuttersebutdaridari
permukaanpermukaantanahtanah
b.b.LamaLamawaktuwaktubolabolaberadaberadadidiudaraudara
c.c.JarakJarakdaridarisaatsaatbolaboladipukuldipukulsampaisampaikembalikembalikeketanahtanah
PeluruPeluruditembakkanditembakkandengandengankecepatankecepatanawalawalvvoo=(3=(3ii+4j)m/s+4j)m/sdaridari
ketinggianketinggian10m.10m.TentukanTentukan::
a.a.PosisiPosisitinggitinggimaksimummaksimum
b.Lamab.Lamapelurupelurudidiudaraudara
c.c.PosisiPosisisaatsaatpelurupelurusampaisampaitanahtanah
d.d.KecepatanKecepatanpelurupelurusaatsaatsampaisampaitanahtanah

16. GerakGerakMelingkarMelingkar22:57:35
FisikaFisikaII
Gerakmelingkaradalahgerakpadabidangdenganlintasan
berupalingkaran.Posisibendadarigerakpadabidangdapat
dinyatakandalambentukvektor:
()()[]jtitrtrˆsinˆcos)(00θωθω+++=
r
=
r
Konstantaωmenyatakankecepatansudut,θomenyatakan
sudutawal,danermenyatakanvektorsatuandarir(t).r
menyatakanjari-jarilintasanyangbesarnyakonstan.Pada
saat=0,berlaku:
rertrˆ)(=
r
[]jirtrˆsinˆcos)(000θθ+=
r

17. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Berlaku:xo=rcosθo
yo=rsinθo
Dengan(xo,yo)adalahposisiawal.
Arahputaranberlawananarahjarumjam.
r
xo
yo
θo
xo
Untukmemudahkanperhitungandalam
mencaripersamaangerakrotasi,suatu
posisidapatdinyatakandalamkoordinat
polar.
Padasistemkoordinatpolarposisidarisuatutitikdinyatakan
olehjarakdarititiktersebutterhadaptitikpusatkoordinatdan
sudutyangdibentukdengansumbuxpositif.

18. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Vektorposisidalamkoordinatpolardinyatakandalam:
Denganr(t)menyatakanjarakobjekterhadaptitikpusat
koordinatsebagaifungsiwaktudanvektorsatuaner
menyatakanarahdarivektorr(t)yangarahnyaberubah
retrtrˆ)()(=
r
menyatakanarahdarivektorr(t)yangarahnyaberubah
terhadapwaktu.
r
er
xo
yo
θo
Untukgerakmelingkar,jarakr(t)
besarnyakonstanyang
dinyatakansebagaijari-jari
lintasanr.

19. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Kecepatandarigerakmelingkardinyatakanoleh:
()()jtiter
ˆsinˆcos00θωθω+++=
r






==
dt
ed
r
dt
trd
tvr
rr
r)(
)(
Denganeeradalah:
Padaθ=0,diperoleh:
()()jtiter
ˆsinˆcosωω+=
r
()jtit
dt
edrˆ)cos(ˆ)sin(ωωω+−=
r
()θωωωωejtit
dt
edrr
r
=°++°+=ˆ)90sin(ˆ)90cos(

20. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
()()jtiter
ˆsinˆcos00θωθω+++=
r
jtiteˆ)90sin(ˆ)90cos(°++°+=ωωθ
r
er
eθθθθ
Vektorsatuaneθθθθmenyatakanarah
tegaklurusdenganvektorsatuane
jtiteˆ)cos(ˆ)sin(ωωθ+−=
r
atau:
R
er
xo
yo
θo
θθθθθθθθ
tegaklurusdenganvektorsatuaner
sepertipadagambar.
Dengandemikiankecepatandalam
gerakmelingkarsamadengan:
θωertv
rr
=)(

21. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Dengandemikianbesarkecepatanv=ωrdenganarahtegak
lurusvektorposisi.Arahdarikecepatanmerupakangaris
singgungdarilintasanlingkaran.
er
eθθθθ
Vektorsatuaneθθθθmenyatakanarah
tegaklurusdenganvektorsatuaner
sepertipadagambarsamping.
r
r
xo
yo
θo
sepertipadagambarsamping.
Percepatandarigerakmelingkar
dinyatakanoleh:






==
dt
ed
r
dt
tvd
taθωˆ)(
)(
r
r

22. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Gerakmelingkarberaturanterjadijikaωyangmenyatakan
kecepatansudutkonstan.Kecepatansudutadalahturunan
sudutterhadapwaktu.
ωθω
θ
=+=)(
)(
0t
dt
d
dt
td
dtdt
Jikaωkonstanmakapercepatan:






==
dt
ed
r
dt
tvd
taθ
ω
ˆ)(
)(
r
r
()
()
reˆ-
ˆ)sin(ˆ)cos(
ˆ)cos(ˆ)sin(
ω
ωωω
ωωθ
=
+−=
+−=
jtit
jtit
dt
d
dt
ed
r
Dengandemikianbesarpercepatana=ω2rdenganarah
berlawananvektorposisi(-er).

23. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Percepatanyangdemikiandisebutpercepatansentripetal,
yangdicirikanarahnyamenujutitikpusat.
Jikaωtidakkonstan,makapercepatanmenjadi:
θ
θω
ωer
dt
d
dt
ed
r
dt
tvd
taˆ
ˆ)(
)(





+





==
r
r
Denganαmenyatakanpercepatansudutyangmerupakan
turunanpertamadarikecepatansudutterhadapwaktu.
Percepatanyangsearahdenganarahkecepatan(eθ)disebut
percepatantangensial.
θ
θ
αω
ω
erer
er
dtdt
r
dt
ta
r
ˆˆ-
ˆ)(
2
+=




+



==

24. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakMelingkarMelingkar
Sebuahrodaberotasimurnimengelilingiporosnya.Sebuahtitik
Pyangberjarak0,2mdarisumburotasimenempuhsudut
(dalamradian)sebagaiberikut:
θ=(πt3)/3–(πt2)/2−2πt(tdalamsekon)
Tentukan:
ContohContoh
Tentukan:
KecepatandanpercepatansuduttitikPpadat=2s
LajutitikPpadat=2s
PercepatantangensialdansentripetaltitikPpadat=2s
a.
b.
c.

25. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakRelatifRelatif
••KecepatanKecepatansuatusuatubendabendabergerakbergeraktidaktidakabsolutabsolut,,bergantungbergantungpadapadasisi
pengamatpengamat..
••ContohContoh::DuaDuaorangorang(A(AdandanB)yangB)yangmenaikimenaikieskalatoreskalator..BBnaiknaikeskalatoreskalator
sambilsambilberjalanberjalandengandengankecepatankecepatankonstankonstan..AdaAdasatusatuorangoranglagilagi(C)(C)
sebagaisebagaipengamatpengamatyangdiam.yangdiam.
AB••A:BA:BbergerakbergerakdengandenganAB
C
••A:BA:Bbergerakbergerakdengandengan
kecepatankecepatannormalnormal
••C:BC:BlebihlebihcepatcepatdaridariAA
AAdandanCCbenarbenar,,karenakarena
ituitukecepatankecepatanbersifatbersifat
relatifrelatif

26. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakRelatifRelatif
ContohContohlainlain

27. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakRelatifRelatif
BagaimanaBagaimanamenghitungmenghitungkecepatankecepatanrelatifrelatif??
••JikaJikaduaduabuahbuahbendabendabergerakbergeraksegarissegaris((searahsearahatauatauberlawananberlawanan),),makamaka
kecepatankecepatanrelatifrelatifhanyahanyatinggaltinggalmengurangimengurangiatauataumenjumlahkanmenjumlahkan..
••ContohContoh::
1.1.sebuahsebuahmobilmobilAAdengandengankecepatankecepatan90km/jam90km/jammendahuluimendahuluimobilmobilBB
yangyangbergerakbergerakdengandengankecepatankecepatan60km/jam,60km/jam,makamakamobilmobilAAyangyangbergerakbergerakdengandengankecepatankecepatan60km/jam,60km/jam,makamakamobilmobilAA
memilikimemilikikecepatankecepatanrelatifrelatifterhadapterhadapmobilmobilBBsebesarsebesar30km/jam.30km/jam.
2.2.SamaSamadengandenganno.1,no.1,namunnamunkeduakeduamobilmobilbergerakbergerakberlawananberlawananaraharah,,
makamakamobilmobilAAmemilikimemilikikecepatankecepatanrelatifrelatifterhadapterhadapmobilmobilBBsebesarsebesar
150km/jam.150km/jam.
••KecepatanKecepatanrelatifrelatifditulisditulismemberikanmemberikanindeksindeks..
=ABv
r
kecepatankecepatanAArelatifrelatifterhadapterhadapBB
=BAv
r
kecepatankecepatanBBrelatifrelatifterhadapterhadapAA

28. 22:57:35
FisikaFisikaII
GerakGerakRelatifRelatif
SebuahSebuahperahuperahubergerakbergerakkekeutarautara(N)(N)menyeberangimenyeberangisungaisungaidengandengan
kecepatankecepatan1010km/jamkm/jamrelatifrelatifterhadapterhadapairair..AirAirbergerakbergerakkekearaharahtimurtimur
dengandengankecepatankecepatan55km/jamkm/jamrelatifrelatifterhadapterhadapbumibumi..BerapakahBerapakahkecepatankecepatan
relatifrelatifperahuperahuterhadapterhadappengamatpengamatyangyangberdiriberdirididipelabuhanpelabuhan??

29. 22:57:35
FisikaFisikaII
1.1.SebuahSebuahbendabendabergerakbergerakdaridariposisiposisi00dengandenganpercepatanpercepatankonstankonstanpadapada
bidangbidangxyxy..PadaPadat=0t=0kecepatannyakecepatannyaadalahadalah:m/s,:m/s,
dandanpadapadat=3t=3bendabendabergerakbergerakdengandengankecepatankecepatan:m/s:m/s
TentukanTentukanpercepatanpercepatanbendabendatersebuttersebutdandankecepatankecepatansertasertaposisiposisibendabendapadapada
setiapsetiapsaatsaat
jiˆ2ˆ3−
jiˆ7ˆ9+
TugasTugas
2.2.UntukUntukmerobohkanmerobohkansuatusuatudindingdindingbukitbukit,,sebuahsebuahgranatgranatdilemparkandilemparkandengandengan
kecepatankecepatanawalawal300m/s300m/sdandansudutsudut5555°°°°°°°°terhadapterhadaphorizontal.horizontal.GranatGranat
meledakmeledakpadapadasisisisibukitbukit4242detikdetiksetelahsetelahdilemparkandilemparkan..PadaPadaposisiposisixxdandanyy
berapaberapagranatgranattersebuttersebutmeledakmeledak,,relatifrelatifterhadapterhadaptitiktitikasalasal..
3.3.SebuahSebuahobjekobjekpadapadasuatusuatuposisiposisitertentutertentumemilikimemilikipercepatanpercepatana=3a=3jjm/sm/s22dandan
kecepatankecepatanawalawalvvii=500=500iim/s.m/s.
(a)(a)TentukanTentukanvektorvektorposisiposisidandankecepatankecepatansebagaisebagaifungsifungsiwaktuwaktu..
(b)(b)TentukanTentukankoordinatkoordinatposisiposisidandanlajulajupadapadat=2st=2s