ESCOLA MEDITERRÀNIA revista Sant Jordi 2024__MOSTRA (1).pdf
Teorema del residu
1. TEOREMA
DEL RESIDU
Màster en Formació del Professorat
Complement d’Especialitat 1
Maria del Mar Pérez
23/1/2013
2. 1. ENUNCIAT
Teorema del residu: el residu de la divisió d’un
polinomi P(x) entre x-a és igual a P(a), és a dir, al
valor numèric de P(x) per x=a.
Això vol dir que:
• P(a) = r. Valor numèric d’un polinomi per x=a, és el
residu.
Conseqüències:
• P(x) és divisible entre x-a, si P(a)=0.
• a és una arrel del polinomi P(x), si P(a)=0.
• (x-a) és un factor del polinomi P(x) ↔ P(a) = 0
TEOREMA del FACTOR
3. 2. DEMOSTRACIÓ
- Un polinomi qualsevol P(x), grau n amb n 1
i a R. Com que P(x) és de grau n i el
polinomi (x-a) té grau 1, podem realitzar la
divisió euclidiana del polinomi P(x) entre (x-
a).
- Per al teorema de la divisió euclidiana,
tindrem que existiran dos polinomis c(x) i r(x),
polinomis quocient i residu, respectivament,
tals que:
P(x)=(x-a)·c(x)+r(x)
4. 2. DEMOSTRACIÓ
- El polinomi residu és constant i l’escriurem com a r(x)=C.
Aleshores, tindrem:
P(x)=(x-a)·c(x)+C
- Si substituïm x=a, a l’expressió anterior, tindrem que:
P(a) = (a - a)·c(a) +C = 0·c(a) + C = C
- Per tant, P(a) és el residu de la divisió de P(x) entre (x-
a).
- Així hem demostrat que donat qualsevol polinomi P(x) de
grau n amb n 1 i a R, es verifica que el polinomi P(a)
és el residu de la divisió de P(x) entre (x-a).
5. 3. HISTÒRIA
Entorn el 1600 a.C. : babilonis ja coneixien la manera per trobar la solució
d’algunes equacions quadràtiques.
Segle XVI:
• Scipione del Ferro: fórmula per calcular solucions de qualsevol equació
cúbica.
• Al 1535, Nicoló Tartaglia, també la va obtenir.
• Al 1545, Girolamo Cardano, va publicar la fórmula, “fórmula de Cardano”, en
un tractat sobre la resolució d’equacions titulat “Ars Magna”.
Al 1813, Ruffini va intentar demostrar que les equacions de cinquè grau no
es poden resoldre mitjançant una fórmula.
Al 1824, Niels Henrik Abel va demostrar que no existeix una fórmula que
permeti resoldre les equacions de cinquè grau o superior.
Al 1832, inici de la Teoria de Galois, que permet decidir quan una
determinada equació es pot resoldre per radicals .
6. 3. APLICACIONS
a) Permet calcular el residu d’una divisió entre
polinomis, sense fer-la, sempre i quan el
divisor sigui del tipus x-a.
Tres maneres:
Fer divisió de polinomis. Més
Aplicar regla de Ruffini (divisió d’un polinomi per x-a).
elaborat
i llarg
Aplicar teorema del Residu.
Exemple. Calcular el residu d’aquesta divisió de polinomis:
(x3 – 3x2 + 2x – 8) : (x – 4)
Pel teorema del Residu:
P(4)= 43 – 3·42 + 2·4 – 8 = 64 – 48 + 8 – 8 = 16 = r(x)
7. 3. APLICACIONS
b) Determinar coeficients del dividend, donat
el valor del residu, una arrel, o un divisor.
Exemple. Trobar m perquè el polinomi P(X)= x3 + mx – 4, sigui
divisible per x-2.
Perquè P(x) sigui divisible per x-2, el residu ha de ser zero, per tant,
pel teorema del residu, P(2) ha de ser igual a zero.
23 + 2m – 4 = 0
2m + 4 = 0
2m = – 4
m=–2
8. 3. APLICACIONS
Altra opció: aplicant la regla de Ruffini
4 + 2m = 0
2m = – 4
m=–2
9. 3. APLICACIONS
c) Comprovar la divisibilitat d’un polinomi entre
un altre, o el que és el mateix, comprovar
que una divisió entre polinomis és exacta.
Exemple. Comprova si el polinomi següent és divisible per
x + 2.
P(x) = x3 – x2 + x +14
P(-2) = (-2)3 – (-2)2 – 2 +14 = – 8 – 4 – 2 + 14 = 0 Si ho
és
10. 3. APLICACIONS
d) Comprovar les arrels d’un polinomi. Si a és
arrel de P(x), P(a) = 0.
Exemple. Si tenim el polinomi P(x)=x3 – 2x2 – 5x + 6, esbrina 1, -
1, -2 són arrels del polinomi.
P(x)=x3 – 2x2 – 5x + 6
• P(1) = 13 – 2·12 – 5·1 + 6 = 1 – 2 – 5 + 6 = 0 Si és arrel
• P(-1) = (-1)3 – 2(-1)2 – 5(-1) + 6 = – 1 – 2 + 5 + 6 = 8 No
és arrel
• P(-2) = (-2)3 – 2(-2)2 – 5(-2) + 6 = – 8 – 8 + 10 + 6 = 0 Si
és arrel
11. 4. PER QUÈ ÉS IMPORTANT PER MI?
o Teorema explicat a la unitat corresponent a
polinomis i fraccions algebraiques a 4t de
ESO.
o Inicialment fou complicat : no es sabia quina
era la seva utilitat.
o Una vegada es sap emprar, simplifica molt
la tasca: s’estalvia haver d’aplicar Ruffini en
molts casos.
12. 5. QÜESTIÓ PER ALS OIENTS
Calcular els valors de a, b i c sabent que el
polinomi, P(x) = x3 + ax2 + bx +c, és
divisible entre x – 1, una arrel és x= -2, i que
el residu de la divisió de P(x) entre x + 1 és
8.
D’entrada, quines arrels té el polinomi?
Com calcularíeu a, b i c?
Sol. a=-2, b=-5, c=6.
13. 6. CONCLUSIONS
L’alumne s’ha de demanar,
què convé més?
• Divisió de polinomis.
• Divisió per regla de
Ruffini.
• Aplicar teorema de
Residu.
