Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan nonlinear melalui proses iterasi. Soal 1.1 Tentukan akar persamaan f(x) = ex – 5x2 menggunakan metode RegulasiFalsi! (nilai e = 2,718282) Penyelesaian:

1. i
MAKALAH METODE NUMERIK
METODE REGULA FALSI
Makalah ini Diajukan untuk Memenuhi Tugas
Mata Kuliah Metode Numerik
Dosen Pengampu: Nendra Mursetya Somasih Dwipa, M.Sc
Disusun oleh:
1. Anisah (14144100046)
2. Endah Supiati (14144100055)
3. Erina Indriyani (14144100144)
Kelas 7A2
PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN
UNIVERSITAS PGRI YOGYAKARTA
2017

2. ii
KATA PENGANTAR
Puji syukur saya panjatkan kehadirat Allah SWT, yang atas rahmat dan
karunia-Nya sehingga penyusun dapat menyelesaikan Makalah Metode Numerik
dengan harapan dapat bermanfaat dalam menambah ilmu dan wawasan kita.
Makalah ini dibuat dalam rangka memenuhi tugas UTS Mata Kuliah
Metode Numerik. Dalam membuat Makalah ini, dengan keterbatasan ilmu
pengetahuan yang penyusun miliki, penyusun berusaha mencari sumber data dari
berbagai sumber informasi, terutama dari media internet dan media cetak. Penyusun
juga ingin mengucapkan terima kasih kepada seluruh pihak yang telah ikut serta
membantu dalam pembuatan Makalah ini dan beberapa sumber yang kami pakai
sebagai data dan acuan.
Dalam penulisan Makalah ini penyusun merasa masih banyak kekurangan -
kekurangan baik pada teknis penulisan maupun materi, mengingat akan
keterbatasan kemampuan yang penyusun miliki. Tidak semua bahasan dapat
dideskripsikan dengan sempurna dalam Makalah ini. Untuk itu kritik dan saran dari
semua pihak sangat penyusun harapkan demi penyempurnaan pembuatan Makalah
ini. Akhirnya kami selaku penyusun berharap semoga Makalah ini dapat
memberikan manfaat bagi seluruh pembaca.
Yogyakarta, 27 November 2017
Penyusun

3. iii
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR ............................................................................................ ii
DAFTAR ISI..........................................................................................................iii
BAB I PENDAHULUAN....................................................................................... 1
A. Latar Belakang ............................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah........................................................................................ 2
C. Tujuan .......................................................................................................... 2
BAB II KAJIAN PUSTAKA.................................................................................. 3
A. Angka Signifikan/Bena................................................................................ 3
B. Deret Taylor ................................................................................................. 7
C. Deret Mclaurin ............................................................................................. 9
D. Error (Galat)............................................................................................... 10
E. Metode Biseksi........................................................................................... 13
BAB III METODE REGULA FALSI................................................................... 16
A. Pengertian Metode Regula Falsi ................................................................ 16
B. Algoritma Metode Regulasi Falsi .............................................................. 18
C. Latihan Soal Dan Pembahasan................................................................... 19
BAB IV STUDI KASUS ...................................................................................... 23
BAB V KESIMPULAN........................................................................................ 28
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 29

4. 1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Tidak semua permasalahan matematis atau perhitungan dapat diselesaikan
dengan mudah atau dapat diselesaikan dengan menggunakan perhitungan
biasa. Contohnya dalam persoalan yang melibatkan model matematika yang
sering muncul dalam berbagai disiplin ilmu pengetahuan, bidang fisika, kimia,
ekonomi, atau pada persoalan rekayasa. Seringkali model matematika tersebut
muncul dalam bentuk yang tidak idealis atau rumit. Model matematika yang
rumit ini adakalanya tidak dapat diselesaikan dengan metode analitik yang
sudah umum untuk mendapatkan solusinya. Metode analitik seringkali hanya
unggul untuk sejumlah persoalan yang memiliki tafsiran geometri sederhana,
padahal persoalan yang mincul dalam dunia nyata sering melibatkan bentuk
dan proses yang rumit. Akibatnya nilai praktis penyelesaian metode analitik
menjadi terbatas. Bila metode analitik tidak dapat lagi diterapkan, maka solusi
persoalan sebenarnya dapat dicari dengan metode numerik. Metode numerik
adalah teknik yang digunakan untuk memformulasikan persoalan matematik
sehingga dapat dipecahkan dengan operasi perhitungan / aritmatik biasa (
tambah, kurang, kali dan bagi ). Secara harafiah metode numerik memiliki arti
sebagai cara berhitung dengan menggunakan angka-angka. Metode numerik
yang berangkat dari pemakaian alat bantu hitung merupakan alternatif yang
baik dalam menyelesaikan persoalan – persoalan perhitungan yang rumit, saat
inipun telah banyak yang menawarkan program-program numerik sebagai alat
bantu perhitungan.
Dalam penerapan matematis untuk menyelesaikan persoalan – persoalan
perhitungan dan analisis, terdapat beberapa keadaan dan metode yang baik :
1. Bila persoalan merupakan persoalan yang sederhana atau terdapat theorem
analisa matematika yang dapat digunakan untuk menyelesaiakan persoalan
tersebut, maka penyelesaian matematis ( metode analitik ) yang digunakan

5. 2
adalah penyelesaian excat yang harus digunakan. Penyelesaian ini menjadi
acuan bagi pemakaian metode pendekatan.
2. Bila persoalan sudah sangat sullit atau tidak mungkin diselesaikan secara
matematis (analitik ) karena tidak ada theorema analisa matematika yang
dapat digunakan , maka dapat digunakan metode numerik.
3. Bila persoalan sudah merupakan persoalan yang mempunyai kompleksitas
tinggi, sehingga metode numerikpun tidak dapat menyajikan penyelesaian
dengan baik, maka dapat digunakan metode-metode simulasi.
B. Rumusan Masalah
Pada makalah ini penyusun mencoba merumuskan permasalahan yang akan
dibahas sebagai berikut:
1. Apa pengertian metode numerik?
2. Apa pengertian metode numerik Regula Falsi?
3. Bagaimanakah algoritma dari metode numerik Regula Falsi?
4. Bagaimanakah contoh dan penyelesaian dengan menggunakan metode
Regula Falsi?
5. Bagaimanakah aplikasi metode numerik Regula Falsi dalam kehidupan
sehari-hari?
C. Tujuan
Tujuan yang ingin dicapai dalam penyusunan makalah ini adalah:
1. Mengetahui pengertian metode numerik.
2. Mengetahui pengertian metode numerik bagi dua (Bisection).
3. Mengetahui algoritma dari metode numerik bagi dua (Bisection).
4. Mengetahui contoh dan penyelesaian dengan menggunakan metode
numerik bagi dua (Bisection).
5. Mengetahui aplikasi metode numerik bagi dua (Bisection) dalam
kehidupan sehari-hari.

6. 3
BAB II
KAJIAN PUSTAKA
A. Angka Signifikan/Bena
1. Pengertian Angka Bena
Konsep angka bena (significant figure) atau angka bermakna telah
dikembangkan secara formal untuk menandakan keandalan suatu nilai
numerik. Angka bena adalah angka bermakna, angka penting, atau angka
yang dapat digunakan dengan pasti. Angka bena terdiri dari angka pasti dan
angka taksiran. Angka taksiran terletak pada akhir angka signifikan.
Ketika melakukan pengukuran atau perhitungan, kita harus
menghindar dari keinginan untuk menulis lebih banyak digit pada jawaban
terakhir dari jumlah digit yang diperbolehkan. Suatu indikasi bagi ketepatan
pengukuran yang diperoleh dari banyaknya angka-angka penting. Angka-
angka penting tersebut memberikan informasi yang aktual (nyata) mengenai
ketelitian pengukuran. Makin banyak angka-angka penting, ketepatan
pengukuran menjadi lebih besar.
2. Aturan-aturan tentang Angka Bena
a. Setiap angka yang bukan nol pada suatu bilangan adalah angka bena.
Contoh:
14569 memiliki 5 angka bena.
b. Setiap angka nol yang terletak diantara angka-angka bukan nol adalah
angka bena.
Contoh:
406 memiliki 3 angka bena.
5000,1003 memiliki 9 angka bena.
c. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir
dan di belakang tanda desimal adalah angka bena.
Contoh:
23,50000 memiliki 7 angka bena
278,900 memiliki 6 angka bena

7. 4
d. Angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang terakhir
dan tanpa tanda desimal bukan merupakan angka bena.
Contoh:
38000000 memiliki 2 angka bena.
e. Angka nol yang terletak di depan angka bukan nol yang pertama
bukan merupakan angka bena.
Contoh:
0,0090 memiliki 2 angka bena
0,001360 memiliki 4 angka bena
f. Semua angka nol yang terletak di belakang angka bukan nol yang
terakhir, dan terletak di depan tanda desimal merupakan angka bena.
Contoh:
800,0 memiliki 4 angka bena.
Komputer hanya menyimpan sejumlah tertentu angka bena. Bilangan
riil yang jumlah angka benanya melebihi jumlah angka bena komputer akan
disimpan dalam sejumlah angka bena komputer itu. Pengabaian angka bena
sisanya itulah yang menimbulkan galat pembulatan.
3. Penulisan angka bena dalam notasi ilmiah
Jika beberapa angka 0 dipakai di bagian ekor suatu bilangan, tidak
jelas berapa banyaknya 0 itu yang signifikan. Misal: 45,300 dapat memiliki
3, 4, atau 5 buah digit signifikan tergantung apakah harga 0 itu telah
diketahui dengan pasti. Ketidakpastian itu dapat diselesaikan dengan
memakai notasi ilmiah. Misalnya tetapan dalam kimia dan fisika atau
ukuran jarak dalam astronomi.
Contoh:
a. 4,3123 × 10 memiliki 5 angka signifikan
b. 1,764 × 10-1
memiliki 4 angka signifikan
c. 2,78300 × 102
memiliki 6 angka signifikan
d. 6,02 × 1023
(bilangan Avogadro) memiliki 24 angka signifikan
e. 1,5 × 107
memiliki 8 angka signifikan (jarak bumi-matahari).

8. 5
4. Aturan Pembulatan
Terkadang kita diminta untuk membulatkan angka ke sejumlah
tempat desimal ( atau ke angka keseluruhan). Ini tidak berarti kita
memindahkan titik desimal tersebut, tetapi menyingkirkan beberapa nomor
di akhir. Pembulatan suatu bilangan berarti menyimpan angka bena dan
membuang yang bukan merupakan angka bena dengan mengikuti aturan-
aturan berikut:
a. Tandai bilangan yang termasuk angka signifikan dan angka tidak
signifikan.
Contoh:
Empat angka bena dari bilangan 16,7321 adalah 16,73 (angka bena) dan
21 (bukan angka bena).
b. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih besar dari 5, maka digit
terakhir dari angka bena ditambah 1. Selanjutnya buang bukan angka
bena.
Contoh:
Jika bilangan 23,472 dibulatkan menjadi tiga angka signifikan, maka
ditulis menjadi 23,5.
c. Jika digit pertama dari bukan angka bena lebih kecil dari 5, maka buang
bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 23,674 dibulatkan menjadi empat angka signifikan, maka
ditulis menjadi 23,67
d. Jika digit pertama dari bilangan bukan angka bena sama dengan 5,
maka:
- Jika digit terakhir dari angka signifikan ganjil, maka digit terakhir
angka signifikan ditambah 1. Selanjutnya buang angka tidak
signifikan.

9. 6
Contoh:
Jika bilangan 37,759 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka
ditulis menjadi 37,8
Jika digit terakhir dari angka bena merupakan bilangan genap, maka
buang bukan angka bena.
Contoh:
Jika bilangan 79,859 dibulatkan menjadi tiga angka bena, maka
ditulis menjadi 79,8.
5. Operasi Angka Penting
Dalam operasi perhitungan dengan menggunakan angka penting ada
suatu aturan umum yang harus diikuti.
a. Penjumlahan dan Pengurangan
Hasil dari penjumlahan atau pengurangan dua bilangan tidak
mempunyai angka signifikan di luar tempat desimal terakhir dimana
kedua bilangan asal mempunyai angka signifikan. Bila jumlah angka
penting dalam hasil penjumlahan atau pengurangan harus dikurangi,
maka megikuti aturan umum untuk membulatkannya.
Contoh:
2,34 + 0,345 = 2,685 (dibulatkan menjadi 2,68)
34,31 + 2,165 = 36,475 (dibulatkan menjadi 36,48)
b. Perkalian dan Pembagian
Jumlah agka signifikan pada hasil perkalian atau pembagian tidaklah
lebih besar daripada jumlah terkecil angka signifikan dalam masing-
masing bilangan yang terlihat dalam perkalian atau pembagian.
Contoh:
(32,1 × 1,234) ÷ 1,2 = 33,0095
Bilangan yang mempunyai angka signifikan paling sedikit adalah 1,2
(2 angka signifikan).
Jadi hasil perkalian dan pembagian di atas dibulatkan menjadi 33 (2
angka signifikan).

10. 7
c. Kombinasi perkalian dan/ pembagian dengan penjumlahan dan/
pengurangan.
“Jika terdapat kombinasi operasi angka penting, maka hasil operasi di
dalam kurung harus dibulatkan terlebih dahulu sebelum melakukan
operasi selanjutnya”
Penerapan angka penting dalam kehidupan sehari-hari salah satunya
ketika seseorang melakukan pengukuran seperti mengukur tinggi badan,
mengukur celana, menimbang benda, spedometer, dan lain-lain. Dalam
pengukuran tersebut tidak pasti tepat sehingga angka penting berperan
dalam pengukuran agar ketepatan pengukuran menjadi lebih besar.
B. Deret Taylor
Deret Taylor pertama dikemukakan oleh matematikawan inggris Brook
Taylor (1685 – 1731) dalam bukunya “Methodus Increamentorum Directaet
Inversa” pada 1715, dimana dia menguraikan fungsi ke dalam deret pangkat
yang kemudian diketahui sebagai deret Taylor.
Andaikan f dan semua turunannya 1
f , 2
f , 3
f ,......, n
f kontinue pada
selang [a, b]. Misalkan  bax ,0  , maka untuk nilai-nilai x di sekitar 0x
(gambar 2.1) dan  bax ,0  , f(x) dapat diperluas (diekspansi) ke dalam deret
Taylor:
...)(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()( 0
0
0
2
2
0
0
10
0 





 xf
n
xx
xf
xx
xf
xx
xfxf n
n
Gambar 1. Nilai-nilai x di sekitar xo

11. 8
Persamaan di atas merupakan penjumlahan dari suku-suku yang disebut
deret. Perhatikan bahwa deret Taylor ini panjangnya tidak berhingga sehingga
untuk memudahkan penulisan suku-suku selanjutnya kita menggunakan tanda
elipsis ( ... ). Jika dimisalkan hxx  0 , maka f(x) dapat juga ditulis sebagai.
...)(
!
...)(
!2
)(
!1
)()( 00
2
2
0
1
0  xf
n
h
xf
h
xf
h
xfxf n
n
Untuk alasan praktis, proses komputasi dilakukan sampai suku ke n saja.
Artinya ada bagian atau beberapa suku yang sisanya dipotong dan tidak
dimasukan ke dalam proses komputasi. Suku-suku yang diabaikan tersebut
dikenal sebagai residu, dan merupakan galat karena pemotongan. Jika faktor
residu dimasukan ke dalam deret Taylor, maka persamaan 2.1 menjadi,
)()(
!
)(
...)(
!2
)(
)(
!1
)(
)()( 0
0
0
2
2
0
0
10
0 xRxf
n
xx
xf
xx
xf
xx
xfxf n
n
n







dalam hal ini,
xcxcf
n
xx
xR n
n
n 


 

0
)1(
)1(
0
,)(
)!1(
)(
)(
Disebut galat atau sisa (residu).
Dengan demikian deret Taylor yang dipotong sampai suku orde ke-n dapat
ditulis sebagai :
)()()( xRxPxf nn 
Yang dalam hal ini,
)(
!
)(
)( 0
1
0
xf
k
xx
xP k
n
k
k
n 


xcxcf
n
xx
xR n
n
n 


 

0
)1(
)1(
0
,)(
)!1(
)(
)(
Contoh:
Hampiri fungsi f(x) = sin x ke dalam deret Taylor di sekitar
10 x
.
Penyelesaian :
Terlebih dahulu kita menentukan turunan sin x terlebih dahulu sebagai berikut.

12. 9
xxf
xxf
xxf
xxf
xxf
sin)(
cos)(
sin)(
cos)(
sin)(
4
3
2
1





Dan seterusnya
Maka berdasarkan persamaan 2.1, sin x dihampiri dengan deret Taylor sebagai
berikut:
    ...)1(sin
!4
)1(
)1(cos
!3
)1(
)1(sin
!2
)1(
)1cos(
!1
)1(
)1(sinsin
432









xxxx
x
Misalkan hx 1 , maka berdasarkan persamaan 2.2 diperoleh:
...0351,00901,04208,05403,08415,0
...)1(sin
24
)1(cos
6
)1(sin
2
)1cos(
1
)1(sinsin
432
432


hhhh
hhhh
x
C. Deret Mclaurin
Deret Mclaurin adalah kasus khusus dimana bila fungsi diperluas sekitar
00 x yang disebut juga deret Taylor baku. Kasus 00 x paling sering
muncul dalam praktek.
Contoh:
Uraikan sin x kedalam deret Mclaurin.
Penyelesaian:
Beberapa turunan sin x sudah dihitung pada contoh 2.1. Deret Mclaurin dari
sin x adalah :
   
...
!5!3
...)0(sin
!4
)0(
)0(cos
!3
)0(
)0(sin
!2
)0(
)0cos(
!1
)0(
)0(sinsin
53
432










xx
x
xxxx
x

13. 10
Deret Taylor dan deret Mclaurin ini sangat bermanfaat dalam Metode
Numerik untuk menghampiri nilai-nilai fungsi yang susah dihitung secara
manual seperti nilai sin x, cos x , dan log x. Tentu kita tidak akan bisa
menghitung nilai-nilai fungsi tersebut tanpa menggunakan bantuan kolkulator
atau tabel.
D. Error (Galat)
Menganalisis galat sangat penting di dalam perhitungan yang
menggunakan metode numerik. Galat berasosiasi dengan seberapa dekat solusi
hampiran terhadap solusi sejatinya. Semakin kecil galatnya, semakin teliti
solusi numerik yang didapatkan. Untuk itu kita harus memahami dua hal:
1. Bagaimana menghitung galat, dan
2. Bagaimana galat timbul. Galat dapat berasal dari :
a. Simplifikasi dan asumsi yang digunakan untuk merubah peristiwa alam
ke dalam formula matematik.
b. Kesalahan/Keteledoran atau kesalahan aritmatik dan programming.
c. Ketidakpastian dalam data
d. Kesalahan mesin
e. Kesalahan matematis dalam kesalahan pemotongan
Hampiran, pendekatan atau aproksimasi (approximation) didefinisikan
sebagai nilai yang mendekati solusi sejati (exact solution). Galat atau kesalahan
(error) sebenarnya ( ) didefinisikan sebagai selisih solusi sejati (a) dengan
solusi hampiran ( aˆ ). Misalkan aˆ adalah nilai hampiran terhadap nilai sejati a,
maka selisihnya:
aa ˆ ( Disebut galat )
Sebagai contoh, jika 5,10ˆ a adalah nilai hampran dari 45,10a , maka
galatnya adalah 01,0 . Jika tanda galat (positif atau negatif) tidak
dipertimbangkan, maka galat mutlak dapat didefinisikan sebagai :
aa ˆ
Sayangnya, ukuran galat e kurang bermakna sebab ia tidak menceritakan
seberapa besar galat itu dibandingkan dengan nilai sejatinya. Sebagai contoh,

14. 11
seorang anak melaporkan panjang sebatang kawat 99 cm, padahal panjang
sebenarnya 100 cm. Galatnya adalah 100 - 99 = 1 cm. Anak yang lain
melaporkan panjang sebatang pensil 9 cm, padahal panjang sebenarnya 10 cm,
sehingga galatnya juga 1 cm. Kedua galat pengukuran sama-sama bernilai 1
cm, namun galat 1 cm pada pengukuran panjang pensil lebih berarti daripada
galat 1 cm pada pengukuran panjang kawat. Jika tidak ada informasi mengenai
panjang sesungguhnya, kita mungkin menganggap kedua galat tersebut sama
saja. Untuk mengatasi interpretasi nilai galat ini, maka galat harus dinormalkan
terhadap nilai sejatinya. Gagasan ini melahirkan apa yang dinamakan galat
relatif.
Galat relatif didefinisikan sebagai:
a
R

 
Atau dalam presentase:
%100
a
R


Karena galat dinormalkan terhadap nilai sejati, maka galat relatif tersebut
dinamakan juga galat relatif sejati. Dengan demikian, pengukuran panjang
kawat mempunyai : galat relatif sejati 01,0
100
1
 , sedangkan pengukuran
panjang pensil mempunyai galat relatif sejati 1,0
10
1

Dalam praktek kita tidak mengetahui nilai sejati a, karena itu galat e
seringkali dinormalkan terhadap solusi hampirannya, sehingga galat relatifnya
dinamakan galat relatif hampiran:
a
RA
ˆ

 
Contoh:
Misalkan nilai sejati
3
10
dan nilai hampiranya 3,333. Hitunglah galat, galat
mutlak, galat relatif, dan galat relatif hampiran.
Diketahui :

15. 12
3
10
a
333,3ˆ a
Penyelesaian :
Galat = ...000333,0
3000
1
1000
3333
3
10
333,3
3
10

Galat mutlak = ...000333,00003333,0 
Galat relatif = 0001,0
1000
1
3
10
3000
1

Galat relatif hampiran =
9999
1
333,3
3000
1

Faktor-faktor yang menyebabkan kesalahan pada metode numerik antara
lain:
1. Galat Inheren (Inheren Error)
Galat inheren merupakan galat bawaan akibat penggunaan suatu
metode numerik. Akibat perhitungan numerik yang sebagian besar adalah
tidak eksak, dapat menyebabkan data yang diperoleh adalah data
aproksimasi. Selain itu, keterbatasan dari alat komputasi seperti tabel
matematika, kalkulator atau komputer digital juga membuat perhitungan
numerik tidak eksak. Karena keterbatasan tersebut, bilangan-bilangan yang
diperoleh adalah hasil pembulatan. Di dalam perhitungan, galat inheren
dapat diperkecil melalui penggunaan data yang besar, pemeriksaan galat
yang jelas dalam data, dan penggunaan alat komputasi dengan ketelitan
yang tinggi.
2. Galat Pemotongan (Truncation Error)
Galat ini disebabkan oleh adanya penghilangan sebarisan suku dari
suatu deret/ekspansi untuk tujuan peringkasan pekerjaan perhitungan.
Galat pemotongan adalah galat yang tak dapat dihindarkan.

16. 13
3. Galat Pembulatan (round-off error)
Kesalahan karena pembulatan (round-off error) terjadi karena tidak
kita memperhitungkan beberapa angka terakhir dari suatu bilangan; artinya
solusi hampiran digunakan untuk menggantikan solusi sejati (eksak).
Contoh:
Tulis bilangan 8632574 dan 3,1415926 menjadi tiga angka bena.
Penyelesaian:
8632574 dapat dibulatkan menjadi 8630000
3,1415926 dapat dibulatkan menjadi 3,14
Dalam praktek sehari-hari, misalnya dalam bidang teknik dan bisnis,
sering terdapat kasus gagalnya pencarian penyelesaian eksak suatu masalah
aritmatika. Sehingga pendekatan dengan metode numerik sering digunakan
dalam perhitungan. Metode numerik adalah perhitungan yang dilakukan secara
berulang-ulang dengan suatu pertimbangan agar memperoleh hasil yang
semakin mendekati nilai penyelesaian. Dengan menggunakan metode
pendekatan semacam ini, tentunya setiap nilai hasil perhitungan akan
mempunyai galat (error) atau nilai kesalahan. Kesalahan ini penting artinya,
karena kesalahan dalam pemakaian algoritma pendekatan akan menyebabkan
nilai kesalahan yang besar, tentunya hal seperti ini tidak diharapkan dalam
perhitungan di bidang apapun. Sehingga dengan dengan mengetahui galat suatu
perhitungan kita dapat mengetahui kesalahan dan faktor apa yang mempegaruhi
perhitungan.
E. Metode Biseksi
Ide awal metode ini adalah metode tabel, di mana area dibagi menjadi N
bagian. Hanya saja metode biseksi ini membagi range menjadi 2 bagian, dari
dua bagian ini dipilih bagian mana yang mengandung akar dan bagian yang
tidak mengandung akar dibuang. Hal ini dilakukan berulang-ulang hingga
diperoleh akar persamaan.
Dinamakan metode biseksi (Bi Section) didasarkan atas teknis metode ini
adalah “belah dua”. Metode Biseksi diformulasikan berdasarkan Teorema 1.1
yang menyatakan bahwa bila fungsi 𝑓(x) kontinu dalam selang/interval (a,b),

17. 14
dan 𝑓(𝑎) dan 𝑓(b) berlawanan tanda, maka 𝑓(𝑎) = 0 untuk suatu bilangan α
sedemikian hingga 𝑎 < α < b .
Dengan metode Biseksi, nilai α pertama kali diaproksimasi dengan
memilih x0 yang didefinisikan dengan x0 =
𝑎+𝑏
2
. Bila 𝑓(x0) = 0 atau 𝑓(x0)
“dekat” kepada nilai 0 untuk suatu nilai toleransi yang diberikan maka x0
adalah nilai akar dari 𝑓(x0) = 0. Sebaliknya bila 𝑓(x0) ≠ 0 atau 𝑓(x0) “dekat”
kepada nilai 0 tetapi tidak memenuhi suatu nilai toleransi yang diberikan,
maka berdasarkan Teorema 1.1 ada dua kemungkinan yakni nilai akar berada
di antara 𝑎 dan xo atau nilai akar berada di antara xo dan b. Dari salah satu
kemungkinan ini, metode Biseksi kembali akan digunakan. Secara geometris,
metode Biseksi yang dikemukan di atas diilustrasikan melalui gambar grafik
berikut ini.
Gambar 2. Grafik Metode Biseksi
1. Langkah menggunakan metode biseksi
a. Untuk menggunakan metode biseksi, terlebih dahulu ditentukan batas
bawah (a) dan batas atas (b). Kemudian dihitung nilai tengah : x =
𝑎+𝑏
2
b. Dari nilai x ini perlu dilakukan pengecekan keberadaan akar. Secara
matematik, suatu range terdapat akar persamaan bila f(a) dan f(b)
berlawanan tanda atau dituliskan : f(a) . f(b) < 0

18. 15
c. Setelah diketahui dibagian mana terdapat akar, maka batas bawah dan
batas atas di perbaharui sesuai dengan range dari bagian yang
mempunyai akar.
2. Algoritma Metode Biseksi
a. Definisikan fungsi f(x) yang akan dicari akarnya
b. Tentukan nilai a dan b
c. Tentukan torelansi e dan iterasi maksimum N
d. Hitung f(a) dan. f(b)
e. Jika f(a) . f(b) > 0 maka proses dihentikan karena tidak ada akar, bila
tidak dilanjutkan
f. Hitung x =
𝑎+𝑏
2
g. Hitung f(x)
h. Bila f(x) . f(a) < 0 maka b = x dan f(b) = f(x), bila tidak a = x dan f(a)
= f(x)
i. Jika |b-a| < e atau iterasi > iterasi maksimum maka proses dihentikan
dan didapatkan akar = x, dan bila tidak, ulangi langkah 6.
Contoh
Carilah nilai akar dari persamaan 𝑓(𝑥) = 𝑥3
− 𝑥 − 1 = 0.
Penyelesaian :
Pilih a = 1 dan b = 2. Karena 𝑓(1) negatif dan 𝑓(2) positif, maka salah satu
akar terletak diantara 1 dan 2. Oleh karena itu xo =
1+2
2
=
3
2
= 1,5. Kemudian,
karena 𝑓 (
3
2
) = (
3
2
)
3
−
3
2
− 1 =
7
8
(positif) maka akar karakteristik terletak
antara 1 dan 1,5.
Kondisi ini memberikan 𝑥1 =
1+1,5
2
= 1,25. Karena 𝑓(𝑥1) = 𝑓(1,25) = −
19
64
(negatif), nilai akar yang dicari terletak diantara 1,25 dan 1,5. Sehingga
diperoleh 𝑥2 =
1,25+1,5
2
= 1,375. Bila prosedur di atas diulang kembali hingga
𝑥5 diperoleh nilai-nilai aproksimasi berikut: 𝑥3 = 1,3125, 𝑥4 = 1,34375, 𝑥5 =
1,328125.

19. 16
BAB III
METODE REGULA FALSI
A. Pengertian Metode Regula Falsi
Metode regula falsi disebut juga metode Interpolasi Linear atau metode
Posisi Salah adalah metode yang digunakan untuk mecari akar-akar persamaan
nonlinear melalui proses iterasi. Metode regula falsi merupakan metode
pencarian akar persamaan dengan memanfaatkan kemiringan dan selilih tinggi
dari dua titik batas range. Solusi akar (atau akar-akar) dengan menggunakan
metode Regula Falsi merupakan modifikasi dari Metode Bisection dengan cara
memperhitungkan ‘kesebangunan’ yang dilihat pada kurva berikut:
Gambar 3. Representasi grafis metode Regula-Falsi
Metode Regula Falsi menetapkan hampiran akar sebagai perpotongan
antara garis yang melalui titik [a, f(a)] dan titik [b, f(b)] dengan sumbu-x. Jika
titik potong tersebut adalah tersebut adalah c, maka akar terletak antara (a,c)
atau (c, b).
Perhatikan kesebangunan antara Pcb dan PQR pada Gambar 1 ,
sehingga didapatkan persamaan berikut dapat digunakan:

20. 17
RQ
PR
bc
Pb

Diketahui :
Tabel 1. Koordinat titik-titik pada Gambar 1
Koordinat Titik koordinat
a (a, 0)
b (b, 0)
c (c, 0)
P (b, f(b))
Q (a, f(a))
R (c, f(c))
Dari persamaan di atas diperoleh:
ab
afbf
cb
bf




 )()(0)(
Sehingga
 
 )()(
)(
afbf
abbf
bc



Persamaan di atas disebut sebagai persamaan rekursif dari metode
Regula Falsi. Nilai c merupakan nilai akar x yang dicari. Sehingga jika
dituliskan dalam bentuk yang lain, nilai akar x adalah sebagai berikut:
 
 )()(
)(
afbf
abbf
bx



Dengan kata lain titik pendekatan x adalah nilai rata- rata range berdasarkan
F(x).
Pada kondisi yang paling ekstrim |b – ar | tidak pernah lebih kecil dari 
, sebab salah satu titik ujung selang, dalam hal ini b, selalu tetap untuk iterasi r
= 1,2,3,..... Titik ujung selang yang tidak berubah itu dinamakan titik mandek
(stagnan point). Pada titik mandek,
|br – ar | = |b – ar | , dimana r = 1,2,3,...

21. 18
Yang dapat mengakibatkan program mengalami looping. Untyk
mengatasi hal ini, kondisi berhenti pada algoritma Regula-Falsi harus ditambah
dengan memeriksa apakah nilai f(x) sudah sangat kecil hingga mendekati nol.
B. Algoritma Metode Regulasi Falsi
Langkah pertama : Asumsi awal yang harus diambil adalah ‘menebak’
interval awal [a, b] dimana f(x) adalah kontinu padanya, demikian pula interval
tersebut harus terletak ‘mengapit’ (secara intuitif) nilai akar  , hitung pula
nilai )(af dan )(bf sedemikian rupa sehingga:
0)().( bfaf
a disebut batas atas dan b adalah batas bawah.
Langkah kedua : tentukan toleransi ( ) dan iterasi maksimum (n)
Langkah ketiga : adalah mencari nilai x dengan persamaan P 1. 4 yaitu :
 
 )()(
)(
afbf
abbf
bx



Langkah keempat : mencari nilai f (c)
Langkah kelima : melakukan iterasi untuk mendapatkan akar yang dicari,
kemudian tentukan akar persamaan x. Kriteria penghentian iterasi | f(xn)|
 .
Algoritma Metode Regula Falsi secara singkat dapat dijelaskan sebagai
berikut:
1. Definisikan fungsi f(x)
2. Tentukan batas bawah (a) dan batas atas (b)
3. Tentukan toleransi error ( ) dan iterasi maksimum (n)
4. Tentukan nilai fungsi f(a) dan f(b)
5. Untuk iterasi I = 1 s/d n
 
 )()(
)(
afbf
abbf
bx




22. 19
 Hitung nilai f(x)
 Hitung error = | f(x)|
 Jika 0)().( xfaf maka a = c jika tidak b = c
 Jika | f(x)|   , hentikan Iterasi
6. Akar persamaan adalah x
Adapun tabel kerja dari metode ini (sesuai dengan algoritmanya), dapat
disajikan secara sistematis sebagai berikut.
Tabel 2. Tabel kerja Regula Falsi
C. Latihan Soal Dan Pembahasan
Soal 1.1
Tentukan akar persamaan f(x) = ex – 5x2 menggunakan metode Regulasi
Falsi! (nilai e = 2,718282)
Penyelesaian:
Langkah pertama : menentukan batas bawah a dan batas bawah b, misalkan
diambil :
a = 0 dan b = 1
sehingga nilai )(af dan )(bf adalah :
281718,21.5)1(
10.5)0(
21
20


ef
ef
281718,2281718,2.1)().( bfaf
Karena 0)().( bfaf , maka di sekitar a dan b terdapat titik penyelesaian.

23. 20
Langkah kedua : tentukan toleransi ( ) dan iterasi maksimum (n)
Misalkan  = 10-6
, dan n = 5
Langkah ketiga : mencari nilai x dengan persamaan:
 
 
 
 
30472,0
69528,01
173694,3
281718,2
1
0,891976281718,2
01281718,2
1
)()(
)(









x
x
x
x
afbf
abbf
bx
Iterasi selanjutnya mencari nilai an dan f(an) dan begitu seterusnya sampai
didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-6
. Sehingga diperoleh data seperti
pada tabel berikut.
Tabel 3. Tabel kerja Regulasi Falsi untuk f(x) = ex
– 5x2
n a b x f(a) f(b) f (x)
1 0 1 0,30472 1 -2,28172 0,891976
2 0,30472 1 0,50013 0,89198 -2,28172 0,398287
3 0,50013 1 0,57442 0,39829 -2,28172 0,126319
4 0,57442 1 0,59674 0,12632 -2,28172 0,035686
5 0,59674 1 0,60295 0,03569 -2,28172 0,00975
6 0,60295 1 0,60464 0,00975 -2,28172 0,002639
7 0,60464 1 0,60510 0,00264 -2,28172 0,000713
8 0,60510 1 0,60522 0,00071 -2,28172 0,000192
9 0,60522 1 0,60525 0,00019 -2,28172 5,19E-05
10 0,60525 1 0,60526 5,2E-05 -2,28172 1,4E-05
11 0,60526 1 0,60527 1,4E-05 -2,28172 3,78E-06
12 0,60527 1 0,60527 3,8E-06 -2,28172 1,02E-06
13 0,60527 1 0,60527 1E-06 -2,28172 2,75E-07

24. 21
Nilai | f(x)| = 2,75 × 107
maka hentikan Iterasi karena | f(x)|   . Sehingga
diperoleh nilai akar x = 0,60527 dengan  = | f(x)| = 2,75 × 10-7
Soal 1.2
Carilah penyelesaian dari persamaan nonlinear berikut ini dengan metode
Regula Falsi:
033)( 23
 xxxxf
Penyelesaian:
Langkah 1:
Menentukan dua titik nilai f(a) dan f(b) dan harus memenuhi hubungan
f(x1) . f(x2)<0. Misalkan nilai a =1 dan b =2.
43)1(311)( 23
af
33)2(322)( 23
bf
Di dapat f(a). f(b)<0 maka titik penyelesaian berada diantara nilai a=1 dan b=2
Misalkan diambil  = 10-8
Langkah 2:
Mencari nilai x dengan persamaan:
3644314869.13)57142.1(357142.157142.1)(
5714285714.1)12(
)4(3
3
2)(
)()(
)(
23






xfdan
ab
afbf
bf
bx
Langkah 3:
Melakukan iterasi dengan persamaan 2.1 pada hasil langkah 2 nilai f(x)
hasilnya negative, dan untuk menentukan nilai x4 harus f(a). f(b)<10 maka yang
memenuhi syarat nilai yang digunakan yaitu x2 dan x3 karena nilai f(a). f(b)<0
maka:
247745.03)70541.1(370541.170541.1)(
7054108216.1)57142.13(
3644.13
3
2
23
2
2




xfdan
x

25. 22
Iterasi selanjutnya mencari nilai an dan f(an) dan begitu seterusnya sampai
didapatkan nilai error lebih kecil dari 10-8
. Sehingga diperoleh data seperti pada
tabel berikut.
Tabel 4. Tabel kerja Regulasi Falsi untuk 033)( 23
 xxxxf
n a b x f(a) f(b) f (x)
1 1 2 1,57143 -4 3 -1,36443
2 1,57143 2 1,70541 -1,36443 3 -0,24775
3 1,70541 2 1,72788 -0,24775 3 -0,03934
4 1,72788 2 1,73140 -0,03934 3 -0,00611
5 1,73140 2 1,73195 -0,00611 3 -0,00095
6 1,73195 2 1,73204 -0,00095 3 -0,00015
7 1,73204 2 1,73205 -0,00015 3 -2,3E-05
8 1,73205 2 1,73205 -2,3E-05 3 -3,5E-06
9 1,73205 2 1,73205 -3,5E-06 3 -5,4E-07
10 1,73205 2 1,73205 -5,4E-07 3 -8,4E-08
11 1,73205 2 1,73205 -8,4E-08 3 -1,3E-08
12 1,73205 2 1,73205 -1,3E-08 3 -2E-09
Nilai | f(x)| = 2 × 10-9
maka hentikan Iterasi karena | f(x)|   . Sehingga
diperoleh nilai akar x = 1,73205 dengan  = | f(x)| = 2 × 10-9
.

26. 23
BAB IV
STUDI KASUS
Didalam usaha mendapatkan penyelesaian matematika yang menjabarkan
model dari suatu persoaalan nyata di bidang rekayasa, sering solusi yang dicari
berupa suatu nilai variabel x sedemikian rupa sehingga terpenuhi persamaan f(x) =
0 yang digunkan dalam model. Dalam beberapa kasus, melalui faktorisasi f(x) = 0
dapat diperoleh penyelesaian seperti yang diinginkan, akan tetapi lebih banyak
jabaran persamaan dalam model mempunyai bentuk yang rumit, sehingga teknik
analisa matematika murni tidak dapat memberikan solusi.
Persamaan non linier sebagai model matematika bagi solusi masalah rekayasa
sipil dengan metode numerik merupakan salah satu alternatif prosedur pemecahan
yang digunakan apabila tidak dimungkinkan perolehan bentuk closed form dari
permodelan. Persamaan non linier akan selalu ditemuai pada hampir seluruh bidang
kekhususan rekayasa sipil, sebagai contoh:
1. Persamaan frekuensi alami getaran balok uniform yang terjepit pada salah satu
ujungnya yang bebas dan bebas pada ujungnya yang lain untuk bidang teknik
struktur.
2. Persamaan kelengkungan jalan untuk bidang transportasi.
3. Persamaan koefisien gesek untuk aliran turbulen dalam sebuah pipa untuk
bidang teknik tumber air.
4. Persamaan untuk menentukan kedalaman pemancangan akibat pengaruh
tekanan tanah aktif dan pasif untuk bidang geoteknik.
5. Perhitungan tentang kebutuhan akan produksi optimal suatu komponen
struktur untuk bidang manajemen konstruksi.
Salah satu contoh permasalahan yang dapat diselesaikan dengan Metode
Regula Falsi adalah sebagai berikut.

27. 24
Permasalahan:
Akan ditentukan letak garis netral pada sebuah kolom pendek dengan menggunakan
metode bisection dan metode secant . Setelah letak garis netral diperoleh
dilanjutkan dengan pembuatan gambar diagram interaksi. Dimensi kolom adalah
30 x 50 cm dan diberi tulangan 6Φ25 seprti pada gambar 2. Tegangan leleh baja
direncanakan fy = 4000 kg/cm2, sedangkan tegangan tekan beton fc’ = 300 kg/cm2
.
Jarak tepi luar beton ke inti tulangan adalah 5 cm.
Gambar 4. Penampang kolom, Regangan dan Tegangan
Dalam perumusan, notasi-notasi yang dipakai h adalah sebagai berikut:
B : lebar penampang (mm)
H : tinggi penampang (mm)
C : lokasi garis netral dari serat atas (mm)
dcs : jarak tulangan tekan dari serat atas (mm)
dts : jarak tulangan tarik dari serat atas (mm)
ecs : regangan tulangan tekan
ets : regangan tulangan tarik
ey : regangan leleh baja (0.002)
a : kedalaman stress block (mm)
Cc : gaya tekan yang disumbangkan penampang beton (N)
Cs : gaya tekan yang disumbangkan tulangan tekan (N)
Ts : gaya tekan yang disumbangkan tulangan tarik (N)
Acs : luas tulangan tekan (mm2)

28. 25
Ats : luas tulangan tarik (mm2)
lcc : jarak titik berat stress block ke plastic centre penampang (mm)
lcs : jarak tulangan tekan ke plastic centre penampang (mm)
lts : jarak tulangan tarik ke plastic centre penampang (mm)
fy : tegangan leleh tulangan (MPa)
fc’ : tegangan karakteristik penampang (MPa)
P : gaya dalam normal yang bekerja pada penampang (N)
M : momen lentur yang bekerja pada penampang (Nmm) terhadap plastic
centroid kolom
E : modulus elastisitas baja (= 200000 MPa)
Gaya dalam P dan M pada penampang dapat diturunkan sebagai fungsi dari
c. Komponen-komponen yang menyumbangkan P dan M berasal dari gaya tekan
beton serta gaya tulangan tekan dan tarik. Sera umum perumusannya adalah
P = Cc + Cs + Ts
M = Cc*lcc + Cs*lcs + Ts*lts
Komponen Cc, Cs, Ts dan lcc merupakan fungsi dari c, sedangkan lcs dan lts
merupakan konstanta, sehingga persamaan tersebut dapat juga ditulis:
P = Cc ( c ) + Cs ( c ) + Ts ( c )
M = Cc ( c )*lcc ( c ) + Cs*lcs + Ts*lts
Asumsi-asumsi yang dipakai pada kondisi batas adalah:
1. Regangan tekan batas adalah 0.003
2. Hukum Navier-Bernauli berlaku, sehingga diagram regangan berbentuk
segitiga dapat dipakai
3. Distribusi tegangan beton pada kondisi batas berbentuk segi empat, yang
besarnya adalah 0.85fc’ dengan tinggi block “a”

29. 26
Perumusan gaya sumbangan beton Cc (c), gaya sumbangan tulangan tarik
Ts(c), gaya sumbangan tulangan tekan Cs(c) dan jarak titik berat stress block ke
plastic centre penampang (lcc) dapat di formulasikan berdasarkan kondisi-kondisi
yang lazim. Formula yang didapat adalah sebagai berikut:
P (c) = 6502 c + (c-50)/c * (882000) – 625485
M (c) = (6502 c – 37845 ) ( 250 – 0.85c/2) + (c-50)/c * (882000)(200) – (-
588200)(200)
Pencarian Akar Dengan Metode Bisection + Regula Falsi
P( c ) = 6502 c + ( c - 50 )/c * (882000) - 625485
P'( c ) = 6502 c + 44100000/ c^2
M( c ) = (6502 c - 37845)( 250 - 0.85c/2) + ( c-50)/c * (882000)*(200) - (-
588200)*(200)
Tabel 5. Pencarian Akar Dengan Metode Bisection + Regula Falsi
Setelah terdefinisinya komponen komponen Cc(c), Ts(c), Cs(c) dan lcc(c)
sebagai fungsi c, maka P(c) dan M(c) dapat didefinisikan sebagai fungsi c. Masing-
masing komponen mempunyai pernyataan fungsi yang interval domainnya terbagi-
bagi, sehingga jika digabungkan. P(c) dan M(c) pun mempunyai interval domain
yang terbagi-bagi. Ada 9 interval c yang menghasilkan formulasi fungsi yang
berbedabeda, hasilnya ditabelkan sebagai berikut:

30. 27
Tabel 6. P(c) dan M(c) sebagai fungsi c.
Dari formulasi berdasarkan interval-interval tersebut dapat digambarkan
diagram interaksi kolom beton bertulang tersebut
Gambar 5. Hasil Diagram Interaks

31. 28
BAB V
KESIMPULAN
Metode numerik merupakan teknik untuk menyelesaikan masalah yang
berkaitan dengan pengoprasian aritmatika (hitungan) dan metode penyelesaian
model matematika dengan rumus-rumus aljabar yang sudah baku atau lazim.
Penyelesaian yang digunakan dalam metode numerik adalah penyelesaian
pendekatan, oleh karena itu biasanya timbul galat (error). Pada penyelesaiannya
diusahakan untuk mendapatkan error yang sekecil mungkin.
Metode numerik digunakan untuk mencari penyelesaian persoalan-persoalan
secara lebih singkat yang apabila dikerjakan menggunakan metode analitik
membutuhkan langkah-langkah yang lebih panjang.
Dalam menyelesaikan persamaan non-linier kita sering menemukan fungsi
yang rumit, sehingga untuk mencari penyelesaiannya atau untuk mencari f(x) = 0,
kita perlu menggunakan cara pendekatan atau cara dengan metode numerik. Salah
satunya dengan metode Regula Falsi. Metode Regula Falsi dapat mempermudah
kita dalam mencari akar fungsi non linier, dengan metode ini kita dapat menemukan
suatu nilai akar pendekatan dari sebuah fungsi non-linier yang rumit.

32. 29
DAFTAR PUSTAKA
E. B. Shaff, A. D. Snider, Fundamental of Complex Analysis for Mathematics,
Science, and Engineering, Prentice Hall , Inc, New Jersey, 1976.
Guspari, Oni. 2007. “ Penerapan Metode Bisection dan Metode Secant Dalam
Rekayasa Sipil”. Rekayasa Sipil, Vol. III (2) : 68-74.
Luknanto, Djoko .(2001). Metoda Numerik. Yogyakarta. [online]
(http://luk.staff.ugm.ac.id/numerik/MetodaNumerik.pdf, diakses tanggal 5
November 2017).
Moh. Toifur. 1998. Fisika Matematika. Yogyakarta: Universitas Ahmad Dahlan.
Pahursip, Hanna A.(2015). Modul Metode Numerik. Salatiga: Tisara Grafika.
Sangadji. 2008. Metode Numerik. Yogyakarta: Graha ilmu.
Serway, Raymond A & Jewett, John. 2014. FISIKA untuk Sains dan Teknik.
Edisi ke 6. Diterjemahkan oleh: Chriswan Sungkono. Jakarta: Salemba
Teknika.
Slamet Hw,dkk. 2010. Kalkulus 1 Edisi Kedua. Surakarta: Muhammadiyah
Sudiardi, dan Rizani Teguh. 2015. Metode Numerik. [Online]
(http://eprints.mdp.ac.id/1630/1/DIKTAT-Metode%20Numerik.pdf, diakses
tanggal 5 November 2017)
University Press.
http://aris_gunaryati.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/37350/irfan_metode_
numerik1.pdf (diakses pada tanggal 26 November 2017)
http://zai.lecturer.pens.ac.id/Kuliah/Workshop%20Metode%20Numerik/Teori/Me
tode%20Regula%20Falsi.pdf (diakses pada tanggal 26 November 2017)
http://sutedjo.staff.gunadarma.ac.id/Downloads/files/11886/bahan+kuliah+ke+3+
metoda+numerik.pdf (diakses pada tanggal 26 November 2017)