Dokumen ini membahas tentang algoritma sebagai serangkaian langkah untuk menyelesaikan masalah, termasuk kriteria algoritma yang baik, pembuktian kebenaran melalui induksi matematika, dan berbagai jenis pemodelan algoritma. Penjelasan juga mencakup metode konversi model matematis menjadi kode program, serta pentingnya memahami fakta relevan dan langkah-langkah alami dalam mengatasi masalah. Terakhir, dokumen menawarkan panduan untuk menerapkan model solusi ke dalam program komputer dengan menggunakan pseudocode.

1. &
Analisis algoritma

2. Apakah itu Algoritma??
Algoritma merupakan langkah-langkah
(prosedur) yang harus
dilakukan untuk menyelesaikan
sebuah masalah.

3. Algoritma harus memiliki....
Masalah, yaitu sebuah persoalan yang ingin
diselesaikan oleh sebuah algoritma.
Masukan, yaitu contoh data atau keadaan yang
menjadi permasalahan.
Keluaran, yaitu bentuk akhir dari data atau keadaan
setelah algoritma diimplementasikan ke masukan.
Keluaran merupakan hasil ideal yang diinginkan dan
dianggap telah menyelesaikan masalah.

4. Contoh Solusi Algoritma

5. Bagaimana algoritma yang baik??
Benar
di mana algoritma menyelesaikan masalah dengan
tepat, sesuai dengan definisi masukan / keluaran
algoritma yang diberikan.
Efisien
menyelesaikan masalah tanpa memberatkan bagian lain dari
apliikasi. Sebuah algoritma yang tidak efisien akan menggunakan
sumber daya (memori, CPU) yang besar dan memberatkan aplikasi
yang mengimplementasikan algoritma tersebut.
Mudah
artinya sebuah algoritma yang baik harus dapat dimengerti dengan
mudah sehingga implementasi algoritma dapat dilakukan siapapun
dengan pendidikan yang tepat, dalam waktu yang masuk akal

6. Pembuktian Kebenaran Algoritma
Sebuah algoritma dikatakan telah benar jika
algoritma tersebut dapat memberikan
keluaran yang benar jika menerima masukan
sesuai dengan definisi algoritma tersebut, dan
algoritma tersebut terbukti akan selalu dapat
diterminasi (berakhir).

7. Bagaimana pembuktian kebenaran
algoritma??
Induksi
Matematika
Pembuktian
Kontradiktif
Pembuktian
Kontrapositif
Metode
Formal
Tapi dalam pembuktian kebenaran algoritma ini, kita hanya menggunakan
INDUKSI MATEMATIKA

8. Induksi
Matematika
Induksi matematika merupakan alat pembuktian
matematis yang digunakan untuk membuktikan
pernyataan atau proses yang melibatkan
perhitungan bilangan asli yang berulang
Pembuktian kebenaran algoritma dengan
Induksi Matematika dapat dilakukan dengan 2
cara, yaitu:
Melakukan pembuktian kasus dasar (base case), yaitu membuktikan
bahwa sebuah pernyataan (fungsi) matematika atau algoritma
bernilai benar jika diaplikasikan pada bilangan pertama yang sah
sesuai dengan spesifikasi fungsi atau algoritma tersebut.
1
2 fungsi jika kebenaran fungsi diketahui.
Melakukan induksi, yaitu membuktikan bahwa kebenaran dari

9. Dengan membuktikan kedua hal tersebut, kita dapat
mengambil kesimpulan bahwa sebuah fungsi matematika
atau algoritma bernilai benar untuk semua bilangan asli.
Jika diimplementasikan dengan tepat, induksi matematika
dapat juga digunakan untuk membuktikan kebenaran
algoritma rekursif seperti penelusuran pohon (tree).

10. Contoh 1. Deret Aritmatika
karena hasil akhir dari ruas
kanan dan ruas kiri adalah
sama (1 ), maka dapat
dikatakan bahwa kasus
dasar telah terbukti.

11. dan seperti yang dapat dilihat, ruas kiri dari p(k + 1) telah menjadi sama
dengan ruas kanannya, sehingga dapat dikatakan bahwa tahap induksi
telah berhasil dibuktikan benar.
Dengan pembuktian kasus dasar dan induksi yang bernilai
benar, kita dapat menyimpulkan bahwa P(n) bernilai benar
untuk n ≥ 1.

12. Contoh 2. Pembuktian Hipotesa

15. dan secara otomatis tentunya pernyataan matematis
tersebut dapat kita buktikan dengan menggunakan induksi
matematika. Pembuktian perulangan yang lebih kompleks
sendiri dapat dilakukan dengan teknik yang dikenal
dengan nama loop invariant, yang tidak akan dijelaskan
pada pembahasan ini.

16. Pemodelan Masalah

17. Jenis-jenis Pemodelan Algoritma
1. Model Numerik
Model numerik merupakan model
matematis yang paling sederhana, yang
dibuat untuk mendeskripsikan jumlah atau
ukuran dari sesuatu
2. Model Simbolik
Terdapat empat buah simbol dasar untuk
pemrosesan angka, yaitu +,−,×,dan÷. Simbol = juga
digunakan untuk menandakan kesamaan nilai
antara ruas kiri dan ruas kanan dari =.

19. 3. Model Spasial
Tidak semua permasalahan yang diselesaikan oleh matematika atau
komputer selalu berhubungan langsung dengan angka. Terkadang
kita menjumpai juga masalah-masalah yang berhubungan dengan
representasi dunia nyata seperti perhitungan jarak dua objek atau
pencarian jalur terdekat untuk kendaraan. Secara tradisional, model
untuk penyelesaian masalah seperti ini digambarkan dengan peta,
graph, dan gambar-gambar teknis lainnya.

21. 4. Model Logis
Model logis merupakan cara memodelkan masalah
berdasarkan logika matematika. Terdapat empat
cabang utama dari logika matematika, yaitu teori
himpunan, teori model, teori rekursif, dan teori
pembuktian
Masing-masing teori memiliki cara pemodelan yang
berbeda-beda, untuk merepresentasikan masalah
yang berbeda. Pembahasan ini hanya akan
membahas pemodelan logis pada bidang himpunan,
dan relevansinya dengan salah satu sistem yang
paling populer di dunia komputer: basis data.

22. Himpunan, seperti namanya, memodelkan sekumpulan
entitas yang memiliki atribut (ciri khas) tertentu. Dalam
menentukan atribut tujuan dari pengunaan himpunan lebih
penting daripada kesamaan ciri khas dari entitas, sehingga
terkadang atribut dari elemen-elemen dalam himpunan tidak
selalu dapat dilihat dengan mudah.
Misalnya, kita dapat mendeklarasikan sebuah himpunan
dengan nama “Himpunan Barang dalam Handbag” dengan isi
berupa “handphone, gunting kuku, alat make-up, tissue,
dompet, alat tulis, dan karet gelang”. Secara sekilas semua
entitas yang ada di dalam himpunan tidak terlihat memiliki
atribut yang jelas, meskipun himpunan ini adalah himpunan
yang valid.

25. 5. Model Statistik
Terdapat banyak permasalahan di dunia nyata yang tidak dapat
dimodelkan dengan mudah menggunakan keempat model matematis
yang telah kita bahas sebelumnya. Terkadang kita dihadapkan dengan
permasalahan yang sangat kompleks, sampai-sampai memodelkan dan
menganalisa setiap situasi yang mempengaruhi masalah tersebut akan
menjadi sangat mahal, memerlukan banyak orang, dan banyak waktu.
Sebagai contoh, bayangkan jika kita diminta untuk melakukan prakiraan
cuaca. Dengan menggunakan model matematis yang ada, kita akan
memerlukan sangat banyak kalkulasi, yang saling mempengaruhi satu
sama lainnya. Praktisnya, kita harus mampu melakukan simulasi terhadap
seluruh elemen yang ada di bumi untuk melakukan prakiraan cuaca
dengan tepat. Hal ini tentunya sangat tidak efektif untuk dilakukan. Lalu
bagaimana para ahli sekarang melakukan prakiraan cuaca?

27. 6. Pseudocode
Semua model matematis yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan model
matematika yang digunakan dan dimengerti oleh manusia. Jika ingin
menggunakan model matematis tersebut di komputer, terlebih dahulu kita
harus melakukan konversi menjadi kode program yang dapat dibaca dan
dimengerti oleh komputer. Kode program sendiri dimodelkan dengan banyak
cara, dan yang paling relevan dengan algoritma ialah pseudocode.
Semua model matematis yang telah dijelaskan sebelumnya merupakan model
matematika yang digunakan dan dimengerti oleh manusia. Jika ingin
menggunakan model matematis tersebut di komputer, terlebih dahulu kita
harus melakukan konversi menjadi kode program yang dapat dibaca dan
dimengerti oleh komputer. Kode program sendiri dimodelkan dengan banyak
cara, dan yang paling relevan dengan algoritma ialah pseudocode.

28. Pengembangan Model
Apakah masalah yang dihadapi merupakan masalah yang memerlukan solusi matematis? Jika
masalahnya merupakan masalah numerik (perhitungan angka) atau logis, maka jawabannya sudah pasti
“ya”. Jika solusi dari masalah berupa pendapat, maka kemungkinan jawabannya adalah “tidak”.
Fakta-fakta relevan apa saja yang diketahui? Masalah umum yang dihadapi saat akan membangun
solusi adalah informasi yang terlalu banyak, yang terkadang mencuri fokus kita dari akar masalah.
Pisahkan antara fakta (informasi) yang relevan dari keseluruhan informasi yang didapatkan.
Fakta atau informasi tambahan apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah? Di mana atau
bagaimana cara agar kita mendapatkan fakta-fakta tersebut?
Adakah langkah atau metode alami untuk menyelesaikan masalahnya? Metode alami artinya metode
yang umumnya digunakan oleh manusia. Misalnya, untuk menghitung total dari sekumpulan nilai kita
dapat menambahkan seluruh bilangan yang ada di dalam kumpulan nilai tersebut.

29. Apakah fakta-fakta yang ada dapat direpresentasikan oleh simbol matematis dan dikategorikan menjadi
fakta yang “diketahui” dan “tidak diketahui”?
Apakah terdapat model lama yang dapat digunakan atau disesuaikan untuk menyelesaikan masalah
kita?
Jika terdapat model yang telah dikembangkan sebelumnya untuk masalah kita, apakah model tersebut
dapat diaplikasikan pada komputer?
Bagaimana kita dapat mengaplikasikan model dari solusi kita sehingga model tersebut dapat dibuat
menjadi program komputer dengan mudah?

30. Apakah masalah yang dihadapi merupakan masalah yang memerlukan solusi
matematis?
Ya. Perhitungan total bunga bunga jelas akan melibatkan matematika.
Fakta-fakta relevan apa saja yang diketahui?
Bunga pinjaman sebesar 15% per tahun.

31. Fakta atau informasi tambahan apa yang kita perlukan untuk menyelesaikan masalah?
Beberapa fakta tambahan yang harus ada tetapi tidak disebutkan secara eksplisit pada
deskripsi masalah:
1. Jumlah pinjaman awal. Untuk menghitung total pinjaman dengan bunganya jelas kita
harus mengetahui jumlah pinjaman awal terlebih dahulu.
2. Lama pinjaman. Tanpa adanya lama pinjaman, kita tidak dapat mengetahui dengan
pasti total bunga yang harus ditambahkan.
Adakah langkah atau metode alami untuk menyelesaikan masalahnya?
Ya, lakukan perhitungan bunga tiap tahunnya, dan tambahkan hasil kalkulasi tersebut
sampai tahun pinjaman terakhir.
Apakah fakta-fakta yang ada dapat direpresentasikan oleh simbol matematis?
Dari fakta-fakta yang kita dapatkan pada langkah kedua dan ketiga, kita dapat
mendefinisikan simbol matematis seperti berikut:

32. Apakah terdapat model lama yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah kita?
Ya, perhitungan bunga majemuk yang dimodelkan dengan rumus: T=p(1+b)^t.
Apakah model yang ada sebelumnya pada langkah 6 dapat diaplikasikan pada
komputer?
Kemungkinan tidak, karena perhitungan bunga majemuk merupakan perhitungan yang
tidak banyak diketahui orang (terutama pada bidang pemrograman), dan juga memiliki
banyak aturan kompleks yang harus dimengerti terlebih dahulu.
Karena kasus yang sederhana, kita akan lebih mudah mengimplementasikan algoritma
kita sendiri, yang cukup melakukan iterasi dan menambahkan total pinjaman setiap
tahunnya. Mari kita coba kembangkan model iterasi yang dapat digunakan.

33. yang kemudian akan kita implementasikan sebagai fungsi penghitung total
pinjaman.

34. Bagaimana kita dapat mengaplikasikan model dari solusi kita sehingga model tersebut
dapat dibuat menjadi program komputer dengan mudah?
Pseudocode yang ada sudah sangat jelas, dan baris per barisnya dapat
diimplementasikan secara langsung menggunakan bahasa pemrograman apapun.
Setelah mendapatkan model penyelesaian masalah sampai pada pseudocode-nya, kita
kemudian dapat mengimplementasikan solusi yang dikembangkan menggunakan bahasa
pemrograman yang diinginkan.