attraverso strumenti matematici (elementari) verranno illustrate le equazioni che governano il nostro universo

1. L’Universo di Einstein
Mario Sandri
mario.sandri@gmail.com
http://xoomer.alice.it/mario.sandri
Gruppo Ricerca Radioastronomia Amatoriale Trentino
Italian Amateur Radio Astronomy Group
Sezione di Ricerca Radioastronomia UAI
International Meteor Organization
Società Italiana di Fisica

2. La matematica è il
linguaggio nel quale dio a
scritto l’universo.
Galileo Galilei

3. Cosmologia
La cosmologia si occupa del cosmo nel suo
insieme in cui la scala minima che viene
indagata è il megaparsec. Per confronto il
raggio della materia visibile della nostra
galassia è 15 chiloparsec. La scala massima è
dell’ordine di 3000 megaparsec che
rappresenta il nostro orizzonte attuale.

4. Sul cosmo si hanno due indicazioni
apparentemente contrastanti, ma che la moderna
cosmologia riesce ad inglobare:
• l’universo è omogeneo ed isotropo e ciò viene
avvalorato dalla radiazione fossile di fondo a circa
3 K e dalle abbondanze cosmiche degli elementi;
• l’universo nel suo insieme presenta un certo
ordine, che va inteso in senso statistico e non
deterministico.

5. L’inizio della cosmologia moderna risale
all’inizio di questo secolo. Prima la cosmologia
era dominata dalla speculazione mitologica,
successivamente il piano si é spostato al
mondo fisico-scientifico. La scoperta
fondamentale é stata l’espansione
dell’universo), da cui sono derivate la
previsione e in seguito la scoperta della
radiazione fossile di fondo.

6. Le tappe della cosmologia moderna
• 1916 Einstein – Teoria della Relatività
Generale
• 1929 Hubble – Espansione universo
• 1948 Alpher, Herman e Gamow – Teoria del
Big Bang
• 1948 Bondi, Hoyle e Gold – Teoria dello stato
stazionario
• 1965 Penzias & Wilson – Radiazione fossile di
fondo

7. Modello di
Friedmann-Robertson-Walker
Più conosciuto come Modello Standard
dell’Universo, è la migliore teoria che descrive
il nostro Universo. Arriva fino alla
nucleosintesi, cioè alla formazione degli
elementi leggeri, mentre le speculazioni si
spostano ad istanti più prossimi al cosiddetto
Big Bang.

8. Caratteristiche del modello standard
1. Espansione dell’Universo
2. Costante di Hubble H0
3. Parametro di decelerazione q0
4. Età dell’Universo
5. Composizione,
6. CMB, Cosmic Microwave Background: T0, T/T
7. Altri backgrounds (sono meno importanti perché
prendono informazioni più recenti)
29 3
10 /
densità energia
energia critica g cm
 


9. 8. Abbondanze degli elementi leggeri: D, 3He,
4He, 7Li (sono termometri molto precisi delle
abbondanze di barioni nell’Universo)
9. Abbondanza di barioni
10.Distribuzione spaziale delle galassie
(osservabile fondamentale)
11.Moti peculiari delle galassie

10. Principio cosmologico
L’universo è omogeneo e isotropo su grande
scala, cioè tutti gli osservatori vedono
proprietà identiche (omogeneità) e tali
osservatori non vedono direzioni privilegiate
(isotropia).

11. Metrica di Robertson - Walker
La metrica di Robertson - Walker è una metrica
valida in quelle cosmologie dove si assume essere
valido il principio cosmologico. Sviluppata a
partire dai lavori di Edward Milne, Howard
Robertson e Walker hanno utilizzato l'equazione
di campo di Einstein trascurando la costante
cosmologica. Secondo le ipotesi fatte in
precedenza, la metrica in coordinate sferiche r, φ,
θ è:
   
2
2 2 2 2 2 2 2
2
sin
1
dr
ds c dt a t r d d
Kr
 
 
    
 

12. L’equazione di campo di Einstein
L'equazione di campo di Einstein è il risultato finale
della teoria della relatività generale, sviluppata da
Albert Einstein nel 1915. In breve, le equazioni di
campo di Einstein descrivono la curvatura dello
spaziotempo, in funzione della densità di materia,
dell'energia e della pressione, rappresentati tramite il
tensore energia-impulso T. Nella forma base
l'equazione di campo è
4
1 8
2
ij ij ij
G
R g R T
c

  

13. Le equazioni cosmologiche di
Friedmann
In una metrica di Robertson – Walker,
considerando per il tensore energia-impulso
un fluido perfetto, si ottengono le equazioni di
Friedmann
2
2 2
4
3
3
8
3
p
a G a
c
a Kc G a



  
     

  


14. Le due equazioni non sono indipendenti.
Infatti si può passare da una all’altra attraverso
l’equazione di continuità dell’energia
2
3 0
p a
c a
 
 
   
 

15. La costante cosmologica
Al tempo in cui Einstein formulò la teoria
della Relatività Generale si riteneva che
l’universo fosse statico. Ma dalla prima
equazione di Friedmann ciò comporta che si
abbia
cioè o la densità o la pressione sono negative.
2
3
p
c
  

16. Dato che ciò sembrava non avere significato
fisico, Einstein nel 1917 modificò l’equazione
di campo introducendovi la costante
cosmologica 
4
1 8
2
ij ij ij ij
G
R g R g T
c

    

17. Le equazioni di Friedmann valgono
ugualmente modificando semplicemente i
termini
2
2 2
4
3
3
8
3
p
a G a
c
a Kc G a



  
     

  


18. dove si ha ora
e le considerazioni fatte precedentemente
rimangono ugualmente valide
4
2
8
8
c
p p
G
c
G

 


 

 

19. L’Universo di Einstein
Le equazioni di Friedmann conducono ad un
Universo statico per
2
2 2
3
3
8
p Kc
c Ga


  

20. Per un universo di “polvere” (p = 0), che ben
approssima il nostro universo nella situazione
attuale, si ottiene
2
2 2
4
K Kc
a Ga


  

21. Essendo  > 0, deve risultare K = 1 e
quindi  > 0. Il valore di  che renderebbe
statico l’universo è
2
4
E
G
c
 
 

22. L’Universo di de Sitter
Si usa chiamare modello di de Sitter (1917) il
modello in cui l’universo è assunto vuoto ( =
0; p = 0) e piatto (K = 0).
Si ottiene
4
2
8
c
p c
G



   

23. Da cui si ottiene
tale equazione implica  positivo. La soluzione
dell’equazione è
2 2 2
3
a c a


3
ct
a Ae

