Download luận văn thạc sĩ ngành vật lí với đề tài: Các tính chất nhiệt động của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ 50000401

1. i
ĐẠI HỌC HUẾ
TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM
NGÔ THỊ THUẬN
CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA MÀNG MỎNG
CÓ BỀ DÀY VÀI LỚP NGUYÊN TỬ VỚI MÔ HÌNH
HEISENBERG XYZ
Chuyên ngành: VẬT LÝ LÝ THUYẾT VÀ VẬT LÝ TOÁN
Mã số: 8440103
LUẬN VĂN THẠC SĨ VẬT LÝ
THEO ĐỊNH HƯỚNG NGHIÊN CỨU
NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC
TS. PHẠM HƯƠNG THẢO
Thừa Thiên Huế, 2019

2. ii
LỜI CAM ĐOAN
Tôi xin cam đoan đây là công trình nghiên cứu của riêng tôi, các số liệu và kết
quả nghiên cứu nêu trong luận văn là trung thực, được các đồng tác giả cho phép sử
dụng và chưa từng được công bố trong bất kỳ một công trình nghiên cứu nào khác.
Huế, tháng 10 năm 2019
Tác giả luận văn
NGÔ THỊ THUẬN

3. iii
LỜI CẢM ƠN
Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành nhất đến cô giáo TS. Phạm Hương Thảo
đã luôn quan tâm giúp đỡ tôi rất nhiều, tận tình hướng dẫn tôi trong suốt quá trình
học tập, nghiên cứu và hoàn thành Luận văn.
Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn các thầy cô trong khoa Vật lý và phòng Đào tạo sau
Đại học, Trường Đại học Sư phạm – Đại học Huế đã tận tình giảng dạy, hướng dẫn
tôi trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn này.
Bên cạnh đó, không thể không kể đến sự giúp đỡ, động viên của các bạn, các
anh chị Cao học viên khóa 26 cùng gia đình chính là nguồn động lực rất lớn giúp tôi
có thể hoàn thành Luận văn một cách tốt nhất. Một lần nữa, tôi xin chân thành cám
ơn những tình cảm, sự quan tâm và công sức của Quý thầy cô, gia đình và bạn bè đã
giúp tôi có điều kiện tốt nhất để hoàn thành Luận văn.
Huế, tháng 10 năm 2019
Tác giả Luận văn
NGÔ THỊ THUẬN

4. 1
MỤC LỤC
Trang phụ bìa .............................................................................................................i
Lời cam đoan ............................................................................................................ii
Lời cám ơn .............................................................................................................. iii
Mục lục .....................................................................................................................1
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ ................................................................................3
MỞ ĐẦU..................................................................................................................5
1. Lý do chọn đề tài .......................................................................................5
2. Mục tiêu của đề tài.....................................................................................7
3. Nhiệm vụ nghiên cứu.................................................................................7
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu .............................................................7
5. Phương pháp nghiên cứu ...........................................................................8
6. Bố cục luận văn .........................................................................................8
NỘI DUNG ..............................................................................................................9
Chương 1: NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN...................................9
1.1. Cơ sở từ tính trong các loại vật liệu từ ......................................................9
1.1.1. Từ trường .............................................................................................9
1.1.2. Từ độ ..................................................................................................10
1.1.3. Cảm ứng từ.........................................................................................10
1.1.4. Độ từ thẩm và hệ số từ hóa ................................................................11
1.1.5. Mômen từ quĩ đạo của điện tử ...........................................................11
1.1.6. Mômen từ spin của điện tử ................................................................13
1.1.7. Mômen từ nguyên tử..........................................................................14
1.1.8. Tương tác trao đổi..............................................................................15
1.2. Phân loại các vật liệu từ và đường cong từ trễ ........................................17
1.2.1. Phân loại vật liệu từ ...........................................................................17
1.2.2. Đường cong từ trễ trong vật liệu sắt từ và feri từ ..............................20
1.3. Tiêu chuẩn Stoner....................................................................................21
1.4. Vật liệu nanô............................................................................................23
1.4.1. Khái niệm và phân loại ......................................................................23

5. 2
1.4.2. Hiệu ứng kích thước...........................................................................24
Chương 2: NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA MÀNG
MỎNG CÓ BỀ DÀY VÀI LỚP NGUYÊN TỬ VỚI MÔ HÌNH XYZ ............26
2.1. Giới thiệu .................................................................................................26
2.2. Mô hình và các đại lượng nhiệt động ......................................................27
2.2.1. Trong gần đúng trường trung bình.....................................................31
2.2.2. Trong gần đúng thăng giáng spin.......................................................36
2.3. Kết luận....................................................................................................40
Chương 3: KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN .........................................41
3.1. Trong gần đúng trường trung bình (MFA)..............................................41
3.2. Trong gần đúng thăng giáng spin (SFA) .................................................47
3.3. Kết luận....................................................................................................51
KẾT LUẬN............................................................................................................52
TÀI LIỆU THAM KHẢO....................................................................................53

6. 3
DANH MỤC CÁC HÌNH VẼ
1.1 Định nghĩa của moment từ được gây ra bởi một điện tử chuyển động xung
quanh một tâm ở khoảng cách r với vận tốc góc . Moment quỹ đạo Lcủa
điện tử với khối lượng em cũng được chỉ ra............................................. 12
1.2 Chuyển động tự quay quanh trục và sự xuất hiện mômen từ spin của điện tử
………………………..………………………………………………..... 14
1.3 Mô hình tương tác trao đổi trực tiếp.......................................................... 16
1.4 Mô hình tương tác trao đổi gián tiếp......................................................... 16
1.5 Mô hình mô tả tương tác siêu trao đổi ...................................................... 17
1.6 Mô hình về cấu trúc mômen từ cuả chất thuận từ..................................... 17
1.7 Cấu trúc từ của vật liệu phản sắt từ, gồm 2 phân mạng spin đối song và bằng
nhau. .......................................................................................................... 18
1.8 Trật tự mômen từ của các chất (a) nghịch từ, (b) thuận từ, (c) sắt từ, (d) phản
sắt từ, (e) feri từ......................................................................................... 19
1.9 Đường cong từ trễ - Đặc trưng quan trọng nhất của chất sắt từ................ 20
3.1 Sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha vào bề dày của màng mỏng, ở đây h
= 0 và Jb = Js.............................................................................................. 42
3.2 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa của lớp ngoài cùng ứng với các giá
trị khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3 và h = 0. ..... 43
3.3 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của năng lượng tự do khi không có từ trường
ngoài ứng với các giá trị khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây
n = 3........................................................................................................... 43
3.4 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nội năng khi không có từ trường ngoài ứng
với các giá trị khác nhau của của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3
................................................................................................................... 44

7. 4
3.5 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng ứng với các giá trị khác
nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3 ................................. 44
3.6 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa của các đơn lớp khi không có từ
trường ngoài, ở đây n = 3 ......................................................................... 45
3.7 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng ứng với các giá trị khác
nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J và n = 3 . ............................. 46
3.8 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ cảm từ ứng với các giá trị khác nhau của
từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J và n = 3............................................... 47
3.9 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa trong MFA (đường nét liền) và
SFA (đường nét đứt) với các giá trị khác nhau của từ trường ngoài h, ở đây
1,2b SJ J .................................................................................................. 48
3.10 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin vơi các giá trị khác nhau
của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J ...................................................... 48
3.11 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng khi tính đến thăng giáng
spin với các giá trị khác nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J ..... 49
3.12 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin cho mô hình Heisenberg
đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ở đây Jb = Js .......................... 49
3.13 Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin trong mô hình XYZ, ở đây
thay đổi tương tác trao đổi giữa các spin theo phương Ox và Oy, Jb = Js
.. ................................................................................................................. 50
3.14 Sự phụ thuộc vào từ trường ngoài của độ từ hóa và thăng giáng spin trong
mô hình XYZ, ở đây thay đổi tương tác trao đổi giữa các spin theo phương
Ox và Oy, Jb = 0,6 Js, kBT = 1,1Js, S1 = S2 = 1/2 ...................................... 51

8. 5
MỞ ĐẦU
1. Lý do chọn đề tài
Khoa học ngày càng phát triển, đồng nghĩa với việc ngày càng có nhiều nghiên
cứu ứng dụng vào thực tiễn, làm tăng chất lượng cuộc sống con người. Công nghệ
nanô, đặc biệt là nghiên cứu các hệ từ tính thấp chiều như chuỗi spin, màng mỏng,
hạt nanô là một bước đột phá lớn, giúp con người thực hiện được những điều mà
trước đây không thể khám phá được vì sự tiếp cận bị hạn chế. Vật liệu nanô từ là một
nhánh nghiên cứu rất được quan tâm trong thời gian gần đây vì sự cộng hưởng của 2
đặc điểm: kích thước nanô và từ tính của các vật liệu. Chính nhờ những đặc điểm nổi
bật này mà vật liệu nanô từ đang có tiềm năng ứng dụng trong nhiều lĩnh vực.
Với sự tiến bộ của khoa học kĩ thuật hiện nay cũng đòi hỏi các ứng dụng kĩ thuật
hiện đại với các vật liệu có kích thước nhỏ, do đó đã khuyến khích các lĩnh vực nghiên
cứu này ngày càng lớn mạnh trên thế giới cả về lý thuyết lẫn thực nghiệm. Sự phát
triển của các phương pháp thực nghiệm mới cho phép việc chế tạo các hệ thấp chiều
có kích thước nanô với độ chính xác cao và các tính chất từ tương ứng có thể được
nghiên cứu với một độ nhạy cao tới giới hạn nguyên tử. Mô hình Heisenberg là một
trong những mô hình thích hợp nhất trong ngữ cảnh này, mô hình này mô tả một tập
hợp các mômen từ định xứ được ghép cặp bởi tương tác trao đổi. Các hệ từ hai chiều
biểu hiện nhiều hiện tượng thú vị liên quan đến bản chất spin lượng tử của chúng.
Các tính chất nhiệt động lực học của các hệ từ hai chiều là một trong những chủ đề
nghiên cứu được thực hiện nhiều nhất ở cả hai mảng lý thuyết và thực nghiệm, có thể
kể đến một số công trình như sau: sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha TC vào kích
thước của các hệ spin đã được nhóm tác giả H. Mayama và T. Naito nghiên cứu [13],
các tác giả đã đưa ra giả thiết rằng tương tác trao đổi của một spin với tất cả các spin
khác biến thiên theo quy luật phân rã lũy thừa trong mô hình Heisenberg, kết quả chỉ
ra là TC phụ thuộc vào kích thước của hệ spin, tích phân trao đổi và hằng số phân rã;
độ cảm từ và các kích thích tập thể ở nhiệt độ hữu hạn trong màng mỏng spin đơn lớp
được tính toán sử dụng mô hình Heisenberg trao đổi dị hướng XZ cho các giá trị spin

9. 6
khác nhau và phương pháp tích phân phiếm hàm bởi nhóm tác giả Niem T. Nguyen,
Thao H. Pham, Giang H. Bach and Cong T. Bach, kết hợp phép gần đúng trường
trung bình và phép gần đúng Gauss, các kết quả đã cho thấy rằng trường ngang được
gây ra bởi tương tác trao đổi ngang nội tại đã dẫn đến giảm (tăng) năng lượng sóng
spin trong vùng nhiệt độ bên dưới (trên) vùng nhiệt độ định hướng của hệ spin, nhiệt
độ này có cùng bản chất với nhiệt độ tới hạn của mô hình Ising ngang đã được nghiên
cứu trước đây [16]; nhóm tác giả A.-Y. Hu và Y. Chen đã nghiên cứu giản đồ pha
của mô hình Heisenberg sắt từ dị hướng trên một mạng hình vuông hai chiều sử dụng
phương pháp hàm Green trong phép tính gần đúng tách rời Callen, các kết quả chỉ ra
sự phụ thuộc của nhiệt độ Curie TC vào spin S và vào tham số dị hướng ∆ (∆= 0 và 1
tương ứng với mô hình Heisenberg đẳng hướng và mô hình Ising) một cách rõ ràng
[9]; mô hình Heisenberg sắt từ dị hướng một chiều và hai chiều với S=1/2 được nhóm
A.-Y. Hu nghiên cứu sử dụng phương pháp hàm Green trong phép gần đúng pha ngẫu
nhiên [10], độ từ hóa, độ cảm từ và hàm tương quan ngang được tìm thấy phụ thuộc
vào tính dị hướng, kết quả cho thấy rằng vị trí và độ cao của đỉnh cảm ứng từ có liên
quan đến từ trường theo quy luật lũy thừa; các màng mỏng niken (Ni) được nhóm
J.Potočnik lắng đọng bằng phương pháp bay hơi chùm electron của Ni lên bề mặt
thủy tinh với độ dày thay đổi từ 25 nm đến 150 nm, những thay đổi quan sát được
trong cấu trúc vi mô tương quan với sự thay đổi của các tham số từ thu được bằng
các phép đo MOKE, các kết quả đã chỉ ra là đối với các màng Ni mỏng hơn, sự tăng
cường của lực kháng từ là do độ nhám bề mặt của màng Ni, trong khi đó đối với các
màng dày hơn, sự không đối xứng quan sát được của lực kháng từ là do cơ chế tăng
bề dày màng [14].
Những năm gần đây trong nước có nhóm của Bạch Thành Công tại trường Đại
học Khoa học Tự nhiên Hà Nội thực hiện các nghiên cứu về các hệ từ tính thấp chiều
sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm [11], [12], [16]. Tại trường Đại học Sư
phạm Huế có sáu luận văn thạc sĩ đã bảo vệ thành công của tác giả Lê Thị Tường Vi
[8] và tác giả Nguyễn Thị Phương Thảo [6] nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực
học của chuỗi spin với mô hình XXX và mô hình XXZ; tác giả Lương Trí Thành [5]
và tác giả Nguyễn Hữu Cảnh [2] nghiên cứu ảnh hưởng của sự cạnh tranh tương tác

10. 7
J1-J2 lên các tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin zig-zag và chuỗi spin tuyến
tính; tác giả Trang Sỹ Dũ [3] nghiên cứu các tính chất nhiệt động của mạng spin hình
vuông đơn giản với mô hình Heisenberg dị hướng; và tác giả Trịnh Quỳnh Anh [1]
nghiên cứu ảnh hưởng của dị hướng đơn ion lên các tính chất nhiệt động của mạng
spin hình vuông đơn giản với mô hình Heisenberg đẳng hướng. Tuy nhiên nghiên
cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng từ tính có bề dày vài lớp nguyên tử với
mô hình Heisenberg XYZ sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm vẫn chưa được
thực hiện. Chính vì vậy, tôi đã lựa chọn đề tài “Các tính chất nhiệt động của màng
mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ” cho luận văn
Thạc sĩ của mình.
2. Mục tiêu của đề tài
Nghiên cứu các tính chất nhiệt động như năng lượng tự do, nội năng, nhiệt dung
riêng, độ từ hóa và độ cảm từ của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử với mô
hình Heisenberg XYZ.
3. Nhiệm vụ nghiên cứu
 Nghiên cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên
tử với mô hình Heisenberg XYZ;
 Sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm để nghiên cứu các tính chất nhiệt động
của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ;
 Sử dụng phần mềm tính số Matlab để tính số và vẽ đồ thị.
4. Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
4.1. Đối tượng nghiên cứu
Các tính chất nhiệt động của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử.
4.2. Phạm vi nghiên cứu
Đề tài chỉ giới hạn nghiên cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng có bề
dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ trong gần đúng trường trung
bình và gần đúng thăng giáng spin bậc thấp nhất.

11. 8
5. Phương pháp nghiên cứu
 Phương pháp gần đúng trường trung bình;
 Phương pháp tích phân phiếm hàm;
 Phương pháp tính số.
6. Bố cục luận văn
Ngoài mục lục, phụ lục và tài liệu tham khảo, luận văn được chia làm 3 phần:
Phần mở đầu: Trình bày lý do chọn đề tài, mục tiêu của đề tài, lịch sử nghiên
cứu, nội dung nghiên cứu, đối tượng và phạm vi nghiên cứu, phương pháp nghiên
cứu và bố cục luận văn.
Phần nội dung: Gồm 3 chương:
Chương 1: Nghiên cứu lý thuyết tổng quan về từ học nguyên tử, tương tác trao
đổi, đường cong từ trễ và phân loại các vật liệu từ, hiệu ứng kích thước trong các hệ
thấp chiều.
Chương 2: Nghiên cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng có bề dày vài
lớp nguyên tử sử dụng phương pháp gần đúng trường trung bình và phương pháp tích
phân phiếm hàm.
Chương 3: Trình bày kết quả tính số và thảo luận.
Phần kết luận: Trình bày các kết quả đạt được và hướng phát triển của đề tài.

12. 9
NỘI DUNG
Chương 1
NGHIÊN CỨU LÝ THUYẾT TỔNG QUAN
Chương này trình bày một số kiến thức cơ bản về tính chất từ trong
vật liệu bao gồm từ trường, từ độ, cảm ứng từ, độ từ thẩm, hệ số từ
hóa, mômen từ nguyên tử, tương tác trao đổi giữa các ion từ, đường
cong từ trễ, phân loại vật liệu từ, hiệu ứng kích thước trong các vật
liệu nano từ.
1.1. Cơ sở từ tính trong các loại vật liệu từ
1.1.1. Từ trường
Từ trường chính là khoảng không gian trong đó một cực từ chịu một lực tác
dụng, ta lưu ý rằng với các điện tích thì có hai loại là điện tích âm và điện tích dương
và có thể tách biệt chúng, còn đối với trường hợp từ, không có đơn cực từ, tuy nhiên
ta có thể giả thiết là một đầu của nam châm là cực dương còn đầu kia của nam châm
là cực âm và không thể tách riêng hai đơn cực này.
Từ trường có thể được gây ra bởi các điện tích chuyển động, ta có thể sử dụng
các cuộn dây có dòng điện chạy trong dây dẫn hoặc nam châm vĩnh cửu để tạo ra từ
trường. Cường độ từ trường h tạo bởi một số dạng dòng điện khác nhau thì xác định
khác nhau:
 Đối với dòng điện thẳng:
2
I
h e
r



 ;
(1.1)
 Tại tâm dòng điện tròn bán kính R:

13. 10
2
z
I
h e
R

 ;
(1.2)
+ Tại tâm của một cuộn dây solenoid với chiều dài l và số vòng dây N :
z
N
h Ie
l

 .
(1.3)
Nếu I được đo bằng Ampe (A), chiều dài cuộn dây l đo bằng mét (m), thì h có đơn vị
là A/m.
1.1.2. Từ độ
Các vật liệu bị từ hòa nhiều hay ít trong từ trường được gọi là vật liệu từ. Từ độ
hay còn gọi là độ nhiễm từ hoặc độ từ hóa là do vật vật liệu từ tạo ra và được hiểu là
số mômen từ trên một đơn vị thể tích.
Xét một yếu tố thể tích dv của vật liệu với mômen từ tổng cộng là dm thì từ
độ (độ từ hóa) được xác định như sau:
.
dm
M
dv

(1.4)
Đơn vị của từ độ M là A/m.
1.1.3. Cảm ứng từ
Cảm ứng từ B gồm đóng góp của từ trường h

tạo bởi cuộn dây và từ độ M
của vật liệu từ được từ hóa đặt trong lòng cuộn dây. Trong hệ SI, B được đo bằng
tesla (T). Theo lý thuyết trường điện từ, trong chân không cảm ứng từ là một hàm
tuyến tính của từ trường:
0 .B h

 (1.5)
Đối với vật liệu từ:
0 ( )B h M

  ,
(1.6)

14. 11
với 0 là độ từ thẩm chân không, 7
0 4 .10 H/m  
 (hay Wb/A.m ).
1.1.4. Độ từ thẩm và hệ số từ hóa
Độ từ thẩm kí hiệu là  , là hệ số tỷ lệ của cảm ứng từ khi vật liệu được từ hóa.
B h

 . (1.7)
Độ cảm từ xác định cho phép ta xác định “độ nhạy cảm” về từ hóa vật liệu dưới tác
dụng của từ trường ngoài.
M h

 . (1.8)
Đơn vị của  là Henry/mét (H/m) và  là thông số quan trọng để phân biệt các loại
vật liệu từ.
1.1.5. Mômen từ quĩ đạo của điện tử
Ta hãy xét bài toán đơn giản một nguyên tử có 1 điện tử chuyển động quanh hạt
nhân theo mô hình Bohr (xem hình 1.1).
Mô hình Bohr xét điện tử chuyển động trên quỹ đạo bán kính r, vận tốc góc là
. Với chuyển động như vậy, điện tử tạo nên một dòng điện
2
e
I


  . Gọi diện tích
của vòng quỹ đạo là 2
S r , ta có được mômen từ do dòng điện kín sinh ra là
2
0 ,
2
e r
IS

 

 
(1.9)
với 0 là độ tự thẩm của chân không, hoặc với định nghĩa v r  ta có thể viết lại
(1.9) như sau:
 0 .
2
e
r v   
(1.10)
Mômen này vuông góc với quỹ đạo của điện tử như được chỉ ra trong hình 1.1.

15. 12
Hình 1.1. Định nghĩa của moment từ được gây ra bởi một điện tử chuyển động
xung quanh một tâm ở khoảng cách r với vận tốc góc . Moment quỹ đạo L
của điện tử với khối lượng em cũng được chỉ ra.
Mặt khác, mômen quỹ đạo của điện tử được cho bởi
  2
.e eL m r v m r    (1.11)
Kết hợp (1.10) và (1.11) ta có được mối liên hệ cổ điển giữa mômen từ và mômen
quỹ đạo của điện tử
0 .
2 e
e
L
m
   (1.12)
Dấu trừ xuất hiện do điện tử mang điện tích âm. Công thức (1.12) có thể được chuyển
đổi thành công thức trong cơ học lượng tử. Theo cơ học lượng tử, chuyển động của
điện tử quanh hạt nhân bị lượng tử hóa, nhưng vì điện tử quay quanh hạt nhân không
theo quỹ đạo xác định nên ở mỗi trạng thái vectơ L không có hướng xác định, tuy
nhiên nó lại có giá trị xác định: ( 1)L l l  , trong đó l là số lượng tử quỹ đạo l =
0, 1, 2, …, n-1. Ngoài ra, cơ học lượng tử còn chứng minh rằng hình chiếu của mômen
động lượng quỹ đạo L lên một phương z luôn được xác định theo hệ thức zL m ,
trong đó m gọi là số lượng tử từ, có các giá trị 0, 1,...,m l   . Từ đó ta có mối quan
hệ lượng tử giữa mômen từ và mômen quỹ đạo là

16. 13
0 ( 1),
2 e
e
l l
m
    (1.13)
và hình chiếu theo phương z
0 .
2
z
e
e
m
m
   (1.14)
Mối quan hệ cơ học lượng tử (1.14) được sử dụng để xác định hằng số magneton
Bohr- B , là một đơn vị mômen từ cơ bản. Nó thường được định nghĩa:
23 20
0,927 10 [Am ] hay [J/T]
2
B
e
e
m

 
   .
Magneton Bohr thường được sử dụng như một đơn vị đo từ độ của các nguyên tử.
1.1.6. Mômen từ spin của điện tử
Điện tử không chỉ chuyển động xung quanh hạt nhân mà còn tự quay xung
quanh trục của nó. Chuyển động này liên quan đến một mômen spin nội tại. Sự quay
này sinh ra các dòng điện và do đó sinh ra các mômen từ hướng dọc theo trục quay
(hình 1.2). Tuy nhiên, đây chỉ là một cách đơn giản nhất để mô tả spin. Thực tế, spin
cũng là một khái niệm vật lý đặc trưng cơ bản gắn với điện tử, cũng như khối lượng
và điện tích của điện tử.
Tương tự như trong phần 1.1.1, ta có thể biểu diễn được mối liên hệ lượng tử
giữa mômen xung lượng spin SL và mômen từ spin S
S S,
e
e
L
m
   (1.15)
hay
S 0 ( 1),s s
e
e
l l
m
    (1.16)
và hình chiếu theo phương z

17. 14
S 0 B B( ) 2 .z
e
e
s s
m
         (1.17)
Vì s chỉ nhận giá trị 1/ 2 nên mômen từ spin của điện tử có giá trị bằng B1 .
Hình 1.2. Chuyển động tự quay quanh trục và sự xuất hiện mômen từ spin
của điện tử
1.1.7. Mômen từ nguyên tử
Trong một nguyên tử có nhiều điện tử, tổng mômen quỹ đạo và mômen spin là
S S, ,i i
i i
L L L L   (1.18)
và mômen tổng cộng của nguyên tử
S.J L L 
Tương tự với mômen từ của nguyên tử
B S B S
B S
, 2 ,
(2 ).J
L L
L L
   
 
   
  
(1.19)

18. 15
Từ (1.19) ta thấy rằng J không phải là một đại lượng vật lý có thể đo được. Đại
lượng có thể đo được là hình chiếu của J theo phương J ( 0 )
0 J B ,g J   (1.20)
với
S S
J
( 1) ( 1) ( 1)
1 ,
2 ( 1)
J J L L L L
g
J J
    
 

(1.21)
là thừa số Lande. Trong thực tế, người ta thường bỏ qua sự phân biệt thành phần hình
chiếu của J và sử dụng biểu thức (1.21) kết hợp với các qui tắc để tính mômen từ
nguyên tử.
1.1.8. Tương tác trao đổi
Tương tác trao đổi là một hiệu ứng lượng tử xảy ra khi hàm sóng của hai hay
nhiều điện tử phủ nhau, có tác dụng làm tăng hay giảm năng lượng tự do của hệ, làm
cho các spin sắp xếp song song hoặc đối song song với nhau. Về mặt bản chất, tương
tác trao đổi có nguồn gốc từ tương tác tĩnh điện Coulomb do sự xuất hiện của các
spin trong các hạt vi mô. Hiệu ứng này được phát hiện một cách độc lập bởi Werner
Heisenberg và Paul Dirac vào năm 1962.
a. Năng lượng tương tác trao đổi
Khi áp dụng mô hình tương tác trao đổi trong mẫu sắt từ, năng lượng của hệ
các spin (năng lượng tương tác trao đổi) được cho bởi công thức [4]:
 ex
,
2 . ,i jij
i j
E A S S  
với Aij là tích phân trao đổi giữa 2 spin thứ i và j, iS và jS lần lượt là spin thứ i và
spin thứ j. Như vậy, để cực tiểu hóa năng lượng thì 2 spin cạnh nhau phải hoàn toàn
song song với nhau. Với giá trị ij 0A  , ta có hệ ở trạng thái sắt từ, nếu ij 0A  , ta có
hệ ở trạng thái phản sắt từ. Tương tác trao đổi quyết định giá trị của nhiệt độ trật tự
từ và cường độ của tương tác trao đổi giảm rất nhanh khi khoảng cách tăng.

19. 16
b. Tương tác trao đổi trực tiếp
Tương tác trao đổi trực tiếp xảy ra khi hàm sóng của các điện tử của hai nguyên
tử lân cận phủ nhau.
Hình 1.3. Mô hình tương tác trao đổi trực tiếp.
c. Tương tác trao đổi gián tiếp
Hình 1.4. Mô hình tương tác trao đổi gián tiếp
Trao đổi trao đổi gián tiếp ghép cặp các mômen từ của hai ion từ không có sự
phủ nhau của các hàm sóng. Nó là tương tác chiếm ưu thế trong các kim loại, trong
đó có rất ít hoặc không có sự phủ nhau trực tiếp giữa các điện tử lân cận. Do đó nó
hoạt động thông qua một trung gian, mà trong các kim loại là các điện tử dẫn (điện
tử linh động). Một ion từ gây ra một phân cực spin trong các điện tử dẫn trong khu
vực lân cận. Sự phân cực spin này trong các điện tử linh động tác động đến các mômen
của các ion từ tính khác trong phạm vi đó, dẫn đến một liên kết gián tiếp. Trong các
kim loại đất hiếm, các điện tử từ của chúng nằm trong vỏ 4f bị chắn bởi các điện tử
5s và 5p, trao đổi gián tiếp thông qua các điện tử dẫn đưa đến trật tự từ trong các vật
liệu này.

20. 17
d. Tương tác siêu trao đổi
Siêu trao đổi mô tả sự tương tác giữa các mômen trên các ion từ không có sự
phủ nhau trực tiếp của các hàm sóng được thực hiện thông qua sự phủ nhau với hàm
sóng điện tử của các ion nguyên tử trung gian (thường là ion ôxi trong các vật liệu
perovskite).
Hình 1.5. Mô hình mô tả tương tác siêu trao đổi.
1.2. Phân loại các vật liệu từ và đường cong từ trễ
1.2.1. Phân loại vật liệu từ
Việc phân loại các vật liệu từ thường được phân loại dựa vào hệ số từ hóa  .
a. Vật liệu thuận từ
Hình 1.6. Mô hình về cấu trúc mômen từ cuả chất thuận từ

21. 18
Chất thuận từ là chất có độ cảm từ χ > 0 nhưng rất nhỏ, cỡ 10-4
. Các chất thuận
từ khi chưa bị từ hóa đã có mômen từ nguyên tử nhưng do chuyển động nhiệt các
mômen này sắp xếp hỗn loạn và mômen từ tổng cộng của toàn khối bằng 0 (hình 1.7).
Khi đặt chất thuận từ vào từ trường ngoài thì các mômen từ trong chúng định hướng
song song, cùng chiều với từ trường ngoài và do đó chúng có độ từ hóa dương tuy rất
nhỏ. Ở phần lớn các chất thuận từ, độ cảm từ phụ thuộc nhiệt độ theo định luật Curie:
χ =
C
T
với C là hằng số Curie, T là nhiệt độ tuyệt đối (K).
b. Vật liệu nghịch từ
Chất nghịch từ là chất có độ cảm từ có giá trị âm và rất nhỏ so với một, chỉ vào
khoảng 10-5
. Ở điều kiện bình thường các chất nghịch từ không biểu hiện từ tính vì
chúng không có các mômen từ tự phát (không bị phân cực từ), nhưng khi đặt chất
nghịch từ vào trong từ trường ngoài thì ở chúng xuất hiện một từ trường phụ có giá
trị rất nhỏ và hướng ngược với từ trường ngoài. Nguồn gốc tính nghịch từ là chuyển
động của điện tử trên quỹ đạo quanh hạt nhân, tạo ra từ thông có chiều ngược với từ
trường ngoài.
c. Vật liệu sắt từ
Hình 1.7. Vật liệu sắt từ.

22. 19
Sắt từ có độ cảm từ có giá trị rất lớn, cỡ 106
. Sắt từ là vật liệu từ mạnh, trong
chúng luôn tồn tại các mômen từ tự phát, sắp xếp một cách có trật tự ngay cả khi
không có từ trường ngoài. Trong trạng thái khử từ (H = 0) mômen từ tổng cộng của
sắt từ băngf không là do trong vật chia thành những vùng vi mô riêng lẻ, gọi là các
đômen. Bên trong mỗi vùng, mômen từ của các nguyên tử hướng song song với nhau
nhưng mômen từ của các vùng khác nhau hướng khác nhau nên tổng các mômen từ
của cả vật bằng không. Trong quá trình từ hóa vật liệu, từ trường ngoài chỉ có tác
dụng định hướng mômen từ của các đômen. Điều này giải thích vì sao chỉ cần một từ
trường nhỏ cũng có thể từ hóa bão hóa sắt từ. Sắt từ là vật liệu có trật tự từ.
Hình 1.8. Trật tự mômen từ của các chất (a) nghịch từ, (b) thuận từ, (c) sắt từ,
(d) phản sắt từ, (e) feri từ
d. Vật liệu phản sắt từ
Phản sắt từ có χ ~ 10-4
nhỏ. Tương tự như sắt từ, phản sắt từ là các chất được
cấu tạo từ những đômen từ, có trật tự từ và từ tính rất mạnh. Ở phản sắt từ các mômen
từ nguyên tử có giá trị bằng nhau nhưng định hướng đối song song với nhau từng đôi

23. 20
một nên mômen từ tổng cộng của vật luôn luôn bằng không khi không có từ trường
ngoài.
e. Vật liệu feri từ
Ferit có độ cảm từ có giá trị khá lớn, gần bằng của sắt từ (~104
) và cũng tồn
tại các mômen từ tự phát. Tuy nhiên cấu trúc tinh thể của chúng gồm hai phân mạng
mà ở đó có các mômen từ spin (do sự tự quay của điện tử tạo ra) có giá trị khác nhau
và sắp xếp phản song song với nhau, do đó từ độ tổng cộng khác không ngay cả khi
không có từ trường ngoài tác dụng, trong vùng nhiệt độ T < TC.
1.2.2. Đường cong từ trễ trong vật liệu sắt từ và feri từ
Hình 1.9. Đường cong từ trễ - Đặc trưng quan trọng nhất của chất sắt từ

24. 21
Đường cong từ trễ là một đặc trưng dễ thấy nhất ở chất sắt từ. Khi từ hóa một
khối chất sắt từ các mômen từ sẽ có xu hướng sắp xếp trật tự theo hướng từ trường
ngoài do đó từ độ của mẫu tăng dần đến độ bão hòa khi từ trường đủ lớn (khi đó các
mômen từ hoàn toàn song song với nhau). Khi ngắt từ trường hoặc khử từ theo chiều
ngược lại, do sự liên kết giữa các mômen từ và các đômen từ, các mômen từ không
lập tức bị quay trở lại trạng thái hỗn độn như các chất thuận từ mà còn giữ được từ
độ ở giá trị khác không. Có nghĩa là đường cong đảo từ sẽ không khớp với đường
cong từ hóa ban đầu, và nếu ta từ hóa và khử từ theo một chu trình kín của từ trường
ngoài, ta sẽ có một đường cong kín gọi là đường cong từ trễ.
Trên đường cong từ trễ, ta sẽ có các đại lượng đặc trưng của chất sắt từ như sau:
- Từ độ bão hòa: Là từ độ đạt được trong trạng thái bão hòa từ, có nghĩa là tất cả
các mômen từ của chất sắt từ song song với nhau.
- Từ dư: là giá trị từ độ khi từ trường được khử về 0.
- Lực kháng từ: là từ trường ngoài cần thiết để khử mômen từ của mẫu về 0, hay
là giá trị để từ độ đổi chiều. Đôi khi lực kháng từ còn được gọi là trường đảo từ.
Từ thẩm: Là một tham số đặc trưng cho khả năng phản ứng của các chất từ tính dưới
tác dụng của từ trường ngoài. Từ thẩm của các chất sắt từ có giá trị lớn hơn 1 rất
nhiều, và phụ thuộc vào từ trường ngoài.
1.3. Tiêu chuẩn Stoner
Tiêu chuẩn Stoner cho hệ sắt từ có dạng:
 . 1.FI n E  (1.22)
Tiêu chuẩn Stoner chỉ ra sự cạnh tranh giữa tương tác trao đổi thông qua tích phân
trao đổi I (i) và động năng thông qua số hạng n(EF) (ii) là mật độ trạng thái (DOS) ở
mức Fermi EF, xuất hiện trong các trạng thái từ, vùng càng rộng thì mật độ trạng thái
càng nhỏ:
(i) Tích phân trao đổi I thuộc về bản chất bên trong nguyên tử, ta có:
3 4 5d d dI I I  (1.23)
được tìm thấy cho tích phân trao đổi của các chuỗi kim loại chuyển tiếp 3d, 4d và 5d.

25. 22
(ii) Tập trung vào các điện tử phân lớp d như các điện tử cho các hệ từ linh động,
DOS phụ thuộc vào cả hai số tọa độ Zn và các yếu tố ma trận nhảy giữa các điện tử
phân lớp d. Trong gần đúng bậc thấp nhất có thể giả sử là DOS tỉ lệ nghịch với bề
rộng vùng W:
 
1
~ .Fn E
W
(1.24)
Ở giới hạn nguyên tử, bề rộng vùng hội tụ tới 0, tiêu chuẩn Stoner luôn được
thỏa mãn và các mômen luôn được tìm thấy theo các quy tắc Hund. Nói chung, DOS
bao gồm các đóng góp từ các điện tử thuộc các phân lớp s, p, d và f. Đối với kim loại
chuyển tiếp sự đóng góp lớn nhất đến từ các điện tử d và sự lai hóa d-d xác định hình
dạng của mật độ trạng thái.
Yếu tố ma trận nhảy phụ thuộc vào sự phủ nhau của các hàm sóng d. Nó giảm
khi tăng hằng số mạng hoặc tăng khoảng cách giữa các nguyên tử gần nhất và đối với
một hằng số mạng đã cho thì nó tăng theo sự mở rộng của hàm sóng. Số tọa độ Zn
càng nhỏ thì sự lai hóa d-d càng nhỏ và dẫn tới bề rộng vùng nhỏ. Chúng ta hãy thử
đưa ra một ví dụ, số tọa độ của một nguyên tử trong môi trường tinh thể fcc là 12 (a),
của một nguyên tử trong bề mặt (001) của tinh thể fcc là 8 (b) và của một nguyên tử
được đặt trong một màng mỏng đơn lớp (001) (c) hai chiều là 4, giữ không đổi khoảng
cách giữa các nguyên tử lân cận gần nhất và cường độ liên kết, chúng ta có tỉ số của
các bề rộng vùng theo thứ tự (a):(b):(c)=1:0,82:0,58 hay mật độ trạng thái 1:1,22:1,73.
Từ đó ta có thể thấy là số tọa độ giảm dẫn tới sự lai hóa ít, do đó vùng bị hẹp và cuối
cùng là từ tính của hệ được tăng cường một cách đáng kể. Do đó sự giảm của số tọa
độ là nguyên nhân chính cho sự tăng cường từ tính ở các bề mặt.
Sắt từ yếu và mạnh: Mặc dù sự thay đổi số tọa độ và hằng số mạng, mômen của
Ni chỉ thay đổi khoảng 20%. Đây là một trong những sắt từ mạnh (có vùng chính
được điền đầy). Nhìn chung, có thể nói rằng từ tính của các hệ sắt từ mạnh ít bị ảnh
hưởng bởi sự thay đổi của môi trường. Các sắt từ yếu (vùng chính được điền một
phần) nhạy đối với bất kỳ sự thay đổi nào của môi trường với mômen dễ dàng.

26. 23
1.4. Vật liệu nanô
1.4.1. Khái niệm và phân loại
Vật liệu nanô là loại vật liệu có cấu trúc các hạt, các sợi, các ống, các tấm mỏng
có kích thước đặc trưng khoảng từ 1 nanômét đến 100 nanômét.
Có rất nhiều cách phân loại vật liệu nanô, mỗi cách phân loại cho ra rất nhiều
loại nhỏ nên thường hay làm lẫn lộn các khái niệm. Sau đây là một vài cách phân loại
thường dùng.
 Phân loại theo hình dáng của vật liệu: người ta đặt tên số chiều không bị giới
hạn ở kích thước nanômét:
- Vật liệu nanô không chiều là vật liệu có cả ba chiều đều bị giới hạn ở kích thước
nanômét, ví dụ đám nanô, hạt nano.
- Vật liệu nanô một chiều là vật liệu trong đó hai chiều bị giới hạn ở kích thước
nanômét, ví dụ dây nanô, ống nanô.
- Vật liệu nanô hai chiều là vật liệu trong đó hai chiều bị giới hạn ở kích thước
nanômét, ví dụ màng mỏng.
- Ngoài ra còn có vật liệu có cấu trúc nano hay nanocomposite trong đó chỉ có
một phần của vật liệu có kích thước nanômét, hoặc cấu trúc của nó là sự đan
xen lẫn nhau của các nano không chiều, một chiều và hai chiều.
 Phân loại theo tính chất vật liệu thể hiện sự khác biệt ở kích thước nano:
- Vật liệu nanô kim loại
- Vật liệu nanô bán dẫn
- Vật liệu nanô từ tính
- Vật liệu nanô sinh học
Nhiều khi người ta phối hợp hai cách phân loại với nhau, hoặc phối hợp hai khái
niệm nhỏ để tạo ra các khái niệm mới. Ví dụ, đối tượng chính của chúng ta sau đây
là “hạt nanô kim loại” trong đó “hạt” được phân loại theo hình dáng, “kim loại” được
phân loại theo tính chất hoặc “vật liệu nanô từ tính sinh học” trong đó cả “từ tính” và
“sinh học” đều là khái niệm có được khi phân loại theo tính chất.

27. 24
1.4.2. Hiệu ứng kích thước
Hiệu ứng kích thước của vật liệu nanô đã làm cho vật liệu này có các tính chất
vượt trội hơn nhiều so với các vật liệu truyền thống. Đối với một vật liệu, mỗi một
tính chất của vật liệu này đều có một độ dài đặc trưng. Độ dài đặc trưng của rất nhiều
các tính chất của vật liệu đều rơi vào kích thước nanômét. Chính điều này đã làm nên
cái tên “vật liệu nanô” mà ta thường nghe đến ngày nay.
Ở vật liệu khối, kích thước vật liệu lớn hơn nhiều lần độ dài đặc trưng này dẫn
đến các tính chất vật lí đã biết. Nhưng khi kích thước của vật liệu có thể so sánh được
với độ dài đặc trưng đó thì tính chất có liên quan đến độ dài đặc trưng bị thay đổi đột
ngột, khác hẳn so với tính chất đã biết trước đó. Ví dụ, đối với kim loại, quãng đường
tự do trung bình của điện tử có giá trị vài chục nm. Khi chúng ta cho dòng điện chạy
qua một dây dẫn kim loại, nếu kích thước của dây rất lớn so với quãng đường tự do
trung bình của điện tử trong kim loại này thì chúng ta sẽ có định luật Ohm cho dây
dẫn. Định luật cho thấy sự tỉ lệ tuyến tính của dòng và thế đặt ở hai đầu sợi dây. Bây
giờ chúng ta thu nhỏ kích thước của sợi dây cho đến khi nhỏ hơn độ dài quãng đường
tự do trung bình của điện tử trong kim loại thì sự tỉ lệ liên tục giữa dòng và thế không
còn nữa mà tỉ lệ gián đoạn với một lượng tử độ dẫn là e2
/ħ, trong đó e là điện tích của
điện tử, ħ là hằng đó Planck. Lúc này hiệu ứng lượng tử xuất hiện. Có rất nhiều tính
chất bị thay đổi giống như độ dẫn, tức là bị lượng tử hóa do kích thước giảm đi. Hiện
tượng này được gọi là hiệu ứng chuyển tiếp cổ điển-lượng tử trong các vật liệu nanô
do việc giam hãm các vật thể trong một không gian hẹp mang lại (giam hãm lượng
tử).
Khi vật liệu có kích thước nằm trong vùng nanômét thì tỉ số giữa số nguyên tử
trên bề mặt và tổng số nguyên tử của vật liệu gia tăng. Ví dụ, xét vật liệu tạo thành từ
các hạt nanô hình cầu. Nếu gọi ns là số nguyên tử nằm trên bề mặt, n là tổng số nguyên
tử thì mối liên hệ giữa hai con số trên sẽ là:
2/3
4 .sn n

28. 25
Tỉ số giữa số nguyên tử trên bề mặt và tổng số nguyên tử sẽ là:
0
1
3
4
4 ,sn r
f
n rn
  
trong đó r0 là bán kính của nguyên tử và r là bán kính của hạt nano.
Như vậy, nếu kích thước của vật liệu giảm (r giảm) thì tỉ số f tăng lên. Do nguyên
tử trên bề mặt có nhiều tính chất khác biệt so với tính chất của các nguyên tử ở bên
trong lòng vật liệu nên khi kích thước vật liệu giảm đi thì hiệu ứng có liên quan đến
các nguyên tử bề mặt, hay còn gọi là hiệu ứng bề mặt tăng lên do tỉ số f tăng. Khi
kích thước của vật liệu giảm đến nm thì giá trị f này tăng lên đáng kể. Sự thay đổi về
tính chất có liên quan đến hiệu ứng bề mặt không có tính đột biến theo sự thay đổi về
kích thước vì f tỉ lệ nghịch với r theo một hàm liên tục. Chúng ta cần lưu ý đặc điểm
này trong nghiên cứu và ứng dụng. Hiệu ứng bề mặt luôn có tác dụng với tất cả các
giá trị của kích thước, hạt càng bé thì hiệu ứng càng lớn và ngược lại. Ở đây không
có giới hạn nào cả, ngay cả vật liệu khối truyền thống cũng có hiệu ứng bề mặt, chỉ
có điều hiệu ứng này nhỏ thường bị bỏ qua. Tuy nhiên, khi cấu trúc vật liệu nằm trong
giới hạn kịch thước nanô, tính chất của các nguyên tử ở bề mặt cấu trúc hoặc ở bề
mặt tiếp xúc giữa các phần của cấu trúc sẽ có đóng góp quan trọng. Khi đó, sự khác
biệt về tính đối xứng, số các nguyên tử lân cận gần nhất của nguyên tử bề mặt là một
trong các nguyên nhân quan trọng của nhiều hiện tượng vật lý mới lạ trong các vật
liệu nanô.

29. 26
Chương 2
NGHIÊN CỨU CÁC TÍNH CHẤT NHIỆT ĐỘNG CỦA
MÀNG MỎNG CÓ BỀ DÀY VÀI LỚP NGUYÊN TỬ
VỚI MÔ HÌNH XYZ
Trong chương này, mô hình Heisenberg XYZ với tương tác trao đổi
giữa các spin lân cận gần nhất được đưa ra, sau đó áp dụng phương
pháp tích phân phiếm hàm để tính toán và đưa ra các biểu thức giải
tích cho các đại lượng nhiệt động như năng lượng tự do, nội năng,
nhiệt dung riêng, độ từ hóa và độ cảm từ của màng mỏng có bề dày
vài lớp nguyên tử trong gần đúng trường trung bình và gần đúng
thăng giáng spin.
2.1. Giới thiệu
Các tính chất của màng mỏng có bề dày vài lớp nguyên tử gần đây đã thu hút
nhiều sự quan tâm trong cả hai bên lý thuyết và thực nghiệm do các ứng dụng tiềm
năng của chúng. Hơn nữa, sự phát triển trong quá trình chế tạo các vật liệu từ tính đã
thúc đẩy những nghiên cứu về các hệ này ngày càng nhiều và tiên tiến hơn. Các tính
chất của các hệ như vậy bị ảnh hưởng mạnh bởi dao động nhiệt lượng tử. Khi giảm
số chiều của hệ từ tính, các thăng giáng spin nhiệt sẽ được tăng cường làm cho trật tự
từ của hệ bị giảm xuống. Tuy nhiên, một số mô hình đã không tính đến các thăng
giáng spin mặc dù các thăng giáng spin này đóng một vai trò quan trọng trong các hệ
từ tính thấp chiều [9], [10], [13]. Định lý Mermin và Wagner [15] chỉ ra một cách
tổng quát rằng các mô hình Heisenberg đẳng hướng một và hai chiều với các tương
tác trao đổi vùng hữu hạn không thể là sắt từ hoặc phản sắt từ ở nhiệt độ hữu hạn.
Trong phần này, chúng tôi nghiên cứu các tính chất nhiệt động của màng mỏng
sắt từ có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình XYZ sử dụng phương pháp tích phân

30. 27
phiếm hàm có tính đến ảnh hưởng của các thăng giáng spin và tương tác trao đổi dị
hướng giữa các spin.
2.2. Mô hình và các đại lượng nhiệt động
Chúng tôi xét màng mỏng gồm n đơn lớp, mặt phẳng màng nằm trong mặt phẳng
Oxy, trong mỗi đơn lớp có N spin. Hamiltonian của mô hình Heisenberg XYZ với
spin tùy ý S cho màng mỏng sắt từ có bề dày vài lớp nguyên tử trong một từ trường
ngoài nh theo phương Oz có dạng:
   
 
' ' ' ' ' ' ' ' ' '
, , ' , ' , ' , '
' ' ' ' '
, ' , '
1 1
2 2
1
,
2
z x x x y y y
n j vv j j j j vv j j j j
j j j j j
z z z
vv j j j j
j j
H g h S J r r S S J r r S S
J r r S S
        
    
   
 
     
 
  

(2.1)
trong đó: v là chỉ số lớp, v = 1, …, n;  ' ' ' , ' 'vv j j vj v jJ r r J
   là tích phân trao đổi
giữa spin jS
 với spin ' 'jS
 , ở đây  , ,x y z  ; jr là véctơ vị trí của spin thứ j
thuộc đơn lớp v; số hạng thứ nhất trong (2.1) mô tả tương tác giữa các spin với từ
trường ngoài nh Oz ; số hạng thứ 2, thứ 3 và thứ 4 mô tả tương tác trao đổi dị
hướng giữa các spin lân cận gần nhất lần lượt theo ba phương Ox, Oy và Oz.
Trong (2.1), chúng tôi ký hiệu tương tác trao đổi giữa các spin trong cùng một
đơn lớp
   ' ' ' ,vv j j s j jJ r r J r r 
      (2.2)
và giữa các spin thuộc các đơn lớp khác nhau:
   ' ' ' ' ' , ' .vv j j p j jJ r r J r r v v 
       (2.3)
Trong luận văn này, chúng tôi lựa chọn hướng trung bình của các spin là Oz, do
đó các thành phần của các thăng giáng spin được định nghĩa là:
, , .z z z x x y y
j j j j j j jS S S S S S S      (2.4)
Thay (2.4) vào (2.1) ta có:

31. 28
, ' ' , ' '
' '
, '
''
, ', '
'
' ' , ,
'
1
2
1
.
2
j
z z
j
z z
v v j vj v j
jj
vj v j
z z
n j jj j
j
j j
jj x y z
H
J
g h S S SJ J S
S S
  
 
 



 



 


 
 
 
 
 

 
 

(2.5)
Để tiện cho việc tính toán ta đặt
', ' '
' ' , ,2
H
1
,S 1 vj v j
z
j
j x y
j
j
S SJ  

 

 

    (2.6)
, ' '
' '
'
1
2
S 2 ,H z z
vj v j
z
j j
jj
S SJ 

   (2.7)
'
, ',
'
'
, ' .SH3 zz
vj
z
n v j j j
j j
g h S SJ  
 
 
 
    
 
  (2.8)
+ Tính SH1:
Sử dụng khai triển Fourier ta có:
 1
exp ,j vjk
k
S S ikr
N
 
 
   (2.9)
với jr là véctơ chỉ vị trí của spin thứ j thuộc lớp v, véctơ sóng  , ,0x yk k k chỉ lấy
theo phương tuần hoàn là phương Ox và Oy. SH1 được viết lại như sau:
, ' ' '
' ' , , '
' '
1 1
exp( )exp( ' ).
2
1 j j j j
jj x z k
k
y
k
k
S J ikrH S ik r
N
S 



 
 

 

    
Đặt ' 'j jl r r   , viết lại SH1:
   
     
'
, ', , , , '
'
'
,
'
'
', , , , '
'
S
.
1 1
exp( )exp '( )
2
1 1
exp ( ')
2
H1
exp '
j j
j l
k
x y z k k
j
j l x y
k
k
z k k
k
S S
S
J l ikr ik r l
N
lSJ l i k k r ik
N



 
 



 


 


 
 


  
  


  
  

32. 29
Mặc khác ta lại có:
 1
exp ( ') ( '),j
j
i k k r k k
N
  
thay vào biểu thức SH1, ta được:
'
' , , '
'
,
'
1
( ) ( )SH1 '
2 x y z
k k
k k
J k k kS S 


 

  

   
,'
'
'
,
1
( ) ,1
2
SH k
k
k
S SJ k

 
 
 

  
    (2.10)
ở đây
'
( ') 1
k
k k   khi 'k k  và
' '( ) ( )exp( ' ),
l
J k J l ik l 
   (2.11)
do đó ' ' '( 0) (0) ( ).
l
J k J J l  
     
+ Tính SH2
', ' '
' '
1
.
2
2 zz
j
jj
jj
z
jS JH S S 

   
Tương tự ta cũng tính được:
''
'
1
( 0SH ) .
2
2 z zz
N J k S S



  (2.12)
+ Tính SH3
' '
, ', ' ,
, ' ' '
', '
( 0) .3 z z z z
n j j n j j
j j j j
z z
j j vSH g h S S g J SJ h k S     
   
  
   
          


  
   
Đặt  ' '
'
,0z z
n jJ ky g h S

       (2.13)
do đó
,
SH3 .z
j
j
y
S

 
 

33. 30
Đại lượng
 ' '
'
0z z
n j
y
h Jg Sk




   (2.14)
chính là trường toàn phần tác dụng lên các spin ở các đơn lớp của màng mỏng.
Thay các biểu thức SH1, SH2 và SH3 vào phương trình (2.5) ta thu được biểu
thức hàm Hamiltonian của mô hình XYZ với spin tùy ý S cho màng mỏng sắt từ có
bề dày vài lớp nguyên tử đặt trong một từ trường ngoài h Oz :
   '
,'
' ''
'
1 1
( ) ( 0) .
2 2
z z z
j
j
z
k
y
H S k S k k S S SJ k N J
 
 
  
  

 



       (2.15)
Đặt: 0 intH H H  ,
với
0
'
'0 '( 0)
2
z
v
z
v
z
j
jv
zN
H
y
SH J k S S
  
 
 
    
 
    (2.16)
và
' 'int '
'
1
( ) ,
2 k k
k
H J k S S








   
(2.17)
ở đây các dấu    ... Tr e ... Tr eH H  
 có nghĩa là trị trung bình nhiệt động lực
và 1
Bk T
 . Trong luận văn này chúng tôi xét mạng lập phương đơn giản và chỉ
xét tương tác trao đổi giữa các spin lận cận gần nhất, do đó:
    
, 1 , 1
( ) 2 cos cos ,
( ) ( ) .
vv s x y
v v v v b
J k J k a k a
J k J k J
 
  
 
 
 
(2.18)
Viết lại Hamiltonian Hint (2.17) dưới dạng ma trận như sau:
 int ' ',
, ,, ',
1
.
2
vv vk v k
x y zv v k
H J k S S  

  

    (2.19)

34. 31
Trong (2.19)  'vvJ k là các phần tử của ma trận vuông cấp n  J k , một ví dụ của
 J k với n = 3:
 
   
     
   
   
     
   
11 12
21 22 23
32 33
0 0
0 0
s b
b s b
b s
J k J k J k J k
J k J k J k J k J k J k J k
J k J k J k J k
   
      
   
   
   
    
   
   
   
   
(2.20)
và
1 1, 1 2, 1 3,
2 1, 2 2, 2 3,
3 1, 3 2, 3 3,
.
k k k k k k
k k k k k k k k
k k k k k k
S S S S S S
S S S S S S S S
S S S S S S
     
       
     
     
       
     
  
   
  
 
 
  
 
 
 
2.2.1. Trong gần đúng trường trung bình
Trong gần đúng trường trung bình chúng ta bỏ qua các thăng giáng spin, tức là:
0, 0, 0, .z x y z z
j j j j jS S S S S     
Do đó Hamiltonian của hệ trong gần đúng trường trung bình chính là H0 trong công
thức (2.16).
a. Năng lượng tự do
Biểu thức cho hàm năng lượng tự do của hệ trong gần đúng trường trung bình:
  0 0
1
ln Tr exp( ) .s v
v
F H

   (2.21)
 Tính  0Tr exp( )vH
  '0 '
'
' '
'
Tr exp( ) Tr exp (0) exp
2
exp (0) exp .
2
z
z z z
j
j
z z z
j
j
z
v
N
S
H J
N
J Tr
S S y S
S y S



   
   




   
       
    
   
       
     




(2.22)
Ta có:

35. 32
      
     
Tr exp Tr exp exp exp
exp exp 1 ... exp .( )
j
SN N
z z z z
j j j j
j
z z z
S Sj
N
y S y S y S y S
y S y
r
S
T
y S

       
     

    
                 

  
     




 
Để tính được biểu thức trong ngoặc [..] của biểu thức (2.22), ta sử dụng công thức
phép lấy tổng cấp số nhân hữu hạn:
1 1
,
1
n
U U q
T
q



với 1
1
, .y y S
y
q e U e
e
  


  
 ( 1)(2 1) ( 1/2) ( 1/2)
2 21 11
y S y S yy S y S y S y S y S
y y y
y
e e ee e e e e
T
e e e
e
    
         
  

     

 
   
 
 
 
sinh ( 1/ 2)
.
sinh 2
y S
T
y



  (2.23)
Thay (2.23) vào (2.22) ta được:
 
 ,
sinh ( 1/ 2)
exp .
sinh 2
j
j
N
z
y
S
r S
y
T
y


 


    
            
 
Thay vào biểu thức (2.22) ta được:
 
 
 0 '
'
'
sinh ( 1/ 2)
Tr exp( ) exp (0) .
2 sinh 2
z
N
z
v
z y SN
SH SJ
y

 
 


  
     
   

Thay vào biểu thức 0F ở (2.21) ta được biểu thức năng lượng tự do:
 
 0 '
'
' ln .
sh ( 1/ 2)
(0)
2 sh 2
z zz
s
y SN
F J S
y
N
S 



 


   (2.24)
Đối với màng mỏng có bề dày ba lớp nguyên tử chúng tôi có công thức cụ thể
của năng lượng tự do F0s như sau:

36. 33
 
 
 
 
1
0 1 1 1 2
1
2
2
2
ln
ln .
sh ( 1/ 2)
4 (y ) (y ) (y ) (y )
2 sh 2
sh ( 1/ 2)
sh 2
z z
s s b
y SN
F NJ b b J b
N
b
y
y S
y
N



 


(2.25)
b. Nội năng
Nội năng 0U được tính theo công thức:
 0 0
0 0 ,s s
s s
F F
U F


 
 
  
 
(2.26)
trong đó biểu thức của F0s được tính theo công thức (2.25), với
 
 
 
 
 
 
 
0
00
Tr Tr
Tr
Tr
Tr Tr
cosh 1/ 2 cosh / 21 1
2 2 sinh / 2sinh 1/ 2
z z
v vj v vj
j j
z z
v Av vj v vj
j j
y S y S
z
H vz
z
H y S y S
v v
v
v
v
v
v
d
e S e
e S dy
S
e
e e
y S y
S b y
yy S




    
      
     
    
      
   
         
     
và
 
 
sh ( 1
.
/ 2)
h 2
(
s
)g
S
y
y
y 





(2.27)
Thay vào biểu thức (2.25) ta được:
 0 '
'
'( ) ( ) ln(0)
2
( )z
s
N
b y bJ yF y
N
g 

 

  . (2.28)
 Tính 0F



:

37. 34
 
 
   
 
'0
'
'
'
2
'
''
( 0)
2
( 0)
2
1
.
( ) ( ) 1
ln ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
ln ( )
( )
zs
z
b y b y
N g y
b y b y
b
F N
J k
N
J k
N N
y b y
g y
g y
y
yg y




 

 
 




 
 






  

    

 
 

 
  


 






Vậy
   
 
0
'
' '
'
' '
2
( 0) ( 0)
( ) ( )
( ) ( )
( )
l
2 2
1
n ( )
(
.
)
z zs
b y b yy y
b y b y
y y
g y
g y
g y
F N N
J k J k
N N y
y
  
 
 
 
 




  
 
  
   
   









 
Thay vào biểu thức (2.26) tính được:
 
 
' '0 ' '
' '
'
'
'
( )
( ) ( ) ( )( 0) ( 0)
2 2
( ) ( )
( )
(
1
(
)
0) ,
2
z z
s
z
b y y
b y b y b y
y
N N
U J k J k
yN
J k
b y y g y
b y
y g
N
yy
 
  

  
 

 


  



 

 

   

 
 
 
   
 

(2.29)
trong đó:
       
   
'
' ' '
' ' '
'
'
' '
0 0
1 0
z z
z
b y
g h J b y Jk
y y
b y
J
k
k
y

  
   


  
 





 
 


 


 

c. Nhiệt dung riêng
Công thức tính nhiệt dung riêng trong gần đúng trường trung bình:
2 0
0
s
s B
U
C k 


 

. (2.30)
 Tính 0sU



:
Với U0s được cho bởi biểu thức (2.29), ta có:

38. 35
     
   
0
' '
' '
' ' 2
' '
'
'
'
2
'
'
2
'
' '
'
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) ( )
( )
( ) (
2
(0) (0)
2 2
(0) (
(
0)
2
(0) (0)
)
)
2
(
2
z zs
z z
z z
b
U N N
J J
b y b y
b y b y
y y
y b y b y
b y
b y b y
b
N N
J J
N N
J
b y
J y
   
   
 
     
 
   
 
 

 
 
 


 

 
  
 
 
 
 
  
 

 

 


  

 
 
 

 
 
2
2
2
2
2
2
'
)
( ) ( )
( ) ( )
1 1g y g y
g
N
y g y
N 

 
 
 








   
   
0
' '
' '
' '2
'
'
2 2
'
' 2
' '
'
'
2
'
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( ) (
( 0) ( 0)
2 2
( 0) ( 0)
2 2
1
( 0)
( )
z zs
z z
z
b y b y
b y b y
y y
b y b y
b y b y
b y b y g
g
U N N
J k J k
N N
J k J k
N J k N
y
   
   

 
 
 

   
   

 


  


 
 

 

    

   
 
 
 
 
 
 
  

 
 

 
2
2
2
2
)
( )
( )
.
1
y
g y
g y
N









Thay vào biểu thức (2.30) ta được:
   
   3
0 '
'
2 2
2 2
' '
' '
' '2
'
'
2
'
2
' '
2
' 2
'
( ) ( )
( ) ( )
( )
(0) (0)
2 2
(0) (0)
)
1
( )
( ) ( )
(
(
2 2
( )
( )
0
) ( )
z zs
z z
z
B
C b y b y
b y b y
k y y
b y b y
b
N N
J J
N N
J J
N J N
y b y
b y b y g y
g y
N
   
   
 
   
   
    

 
 
 
 


 
  
 
  

 
 
 






 
 






 
 

 
2
2
22
( )
.
( )
1 g y
g y





(2.31)
d. Độ từ hóa
Ta có biểu thức độ từ hóa trong gần đúng trường trung bình:
0 0
z
m S , (2.32)
và  0
z
S b y  , với  b y là hàm Brillouin (2.27).

39. 36
e. Độ cảm từ
Độ cảm từ trong gần đúng trường trung bình có dạng:
0
0s
m
h




.
Ta tính được:
(2.33)
 
 
 
 
 
'
0
'
'
'
'
.
1
0
0
z
z
s
y
g
b
b y
J
y
b y
J
y
y y h
y h


 

  




  





  
 
 






. (2.34)
Như vậy chúng ta có thể thấy trong gần đúng trường trung bình các đại lượng
nhiệt động chỉ phụ thuộc vào tương tác trao đổi giữa các thành phần z của các spin,
do đó trong phép gần đúng này chúng tôi đặt ,z z
s s b bJ J J J  .
2.2.2. Trong gần đúng thăng giáng spin
Biểu thức cho hàm năng lượng tự do của hệ được tính theo công thức sau:
  
      
 
 
0 int
0
0 0
0
0
0 0
1 1
ln Tr exp( ) ln Tr exp( )Texp ( )d
Tr exp( ) ( ) Tr exp( )1 1
ln Tr exp( ) ( ) ln
Tr exp( )
1
ln Tr exp( ) ( ) ,
sF H H H
H H
H
H
H

   
 
   
  
  
  

      
          
      
   
      
  
  

(2.35)
ở đây ˆT là toán tử trật tự “thời gian”  , với
 
int
0
' '
, ,, ',0
( ) exp ( )
1
exp ( , ) ( , ) .
2
vv v v
x y zv v k
T H d
T J k S k S k d


 

   
    

  
  
  
  
  
  

 
(2.36)

40. 37
Các toán tử spin được cho trong biểu diễn tương tác:
0 0( ) exp( ) exp( )vj vjS H S H 
      , (2.37)
và sử dụng khai triển Fourier:
1/2
1
( , ) ( )exp( ).
N
vjv vj
j
S k N S ikr 
   

  (2.38)
Sử dụng phép biến đổi tích phân Stratonovich – Hubbard
2 1/2
, ,
d1 1
exp  exp A
2 22
i
i ij j i i ij j
i j i i ji
y
x x y x y



      
               
    (2.39)
cho số hạng  exp ... dưới toán tử ˆT trong biểu thức (2.36), ở đây A là ma trận đối
xứng, 1/2
Aij là yếu tố ma trận của ma trận 1/2
A , với 1/2 2
(A ) A , chúng tôi nhận được:
 
,c ,s
0
0 0
1/2
' '', '
' ',
0
d ( ) d ( )d ( )
( )
2
1
exp ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
2
1
(d )exp d ( ) ( ) (
2
vk vk
k
vv vvvk v k vk v k
k k
vv vk v k
k
T
J k J k S
J k
 
  
     

  
    
 
  
       
     
  
    


 
   
 
 
   
 
 
    
 
 
 
1/2
' '
0
)
exp d ( ) ( )) ( ) ,vv vk v k
k
T J k S

  
    
  
 
  
  
  
  

(2.40)
ở đây
,c ,s
0
0 0
d ( ) d ( )d ( )
(d )
2
v vk vk
k
 
  
    

  
  
    
 
   
 
      . (2.41)
Thực hiện phép biến đổi Fourier cho biến trường ( )zk

  trong khoảng 0    :
1/2
( ) ( ) ,i
vk vk
e  

    
  (2.42)

41. 38
-1
0
( ) ,i
vq vk
S e S d

  
      (2.43)
ở đây các tần số là
2
, = 0, 1, 2, ...
m
m



   . Từ đó ta có:
 
1/2
'', '
1
( ) (d )exp exp ( ) ,
2
vvvq v q vq v q
q q
T J k S    
      
      
    
      
  (2.44)
với q là véc-tơ sóng ba thành phần ( , , )x yq k k  và
,c ,s
0
0
d dd
(d ) ,
2
vq vqv
k
 

 

  
  
  
      (2.45)
ở đây
,c
q


 
 
 
và
,s
q


 
 
 
là phần thực và phần ảo của biến trường q


 
 
 
,
,c ,s
.q q i q  
  
  
     
      
     
(2.46)
Từ (2.44) và (2.45) chúng tôi biểu diễn được tích phân phiếm hàm cho năng lượng tự
do:
 
 
0
0 0
',
, ,, ',
1/2
' '
, ,, ',
0
1
ln Tr exp( ) ( )
1 1 1
lnTr ln ( )exp
2
exp ( ) ,
s
H
vq v q
x y zv v q
vv vq v q
x y zv v q
F H
e d
T J q S
  

  

  

  
 
 




  
  
    
  
  
  
  
 
 
hay
0 ' int
, ', ,
1 1
ln (d )exp ( ) ( ) [ ] .
2
s s v v
v v q
F F q q I 

   

  
     
  
 (2.47)
với

42. 39
       
   
1 1
1 1 1
1 1 1 1
1
1
1/21/21/2 1/2
1int 1' '
2 , ' , , , , ' , , ,
ir
1
0
1
[ ] ... ...
!
ˆ ... ,
m m
m m m
m m m m
m
m
l ll l
m mv v v v v v
m v v l q v v l q
ll
mv v
I J k J k q q
m
T S q S q
    
 


 

  
(2.48)
ở đây l = +, - , z.
Trong gần đúng Gauss bậc thấp nhất, chúng ta có:
           
             
   
1 2 1 2
1 1 2 2 1 2 1 2
1 1 1 1 2 2 2 2
1 2
ir1/2 1/2
1 2int ' ' 1 2 1 2
0
, ' , , , ' , ,
1/2 1/2
' 1 ' ' 2 1 2
, ', , ,
1/2 1/2
' 1 '
1 ˆ[ ]
2!
, , '
2
,
2
l l l l
v v v v v v v v
v v l q v v l q
z z z z
vv v vv v v
v v k
vv v vv
I J k J k q q T S q S q
J k k J k k b y
J k k J

 
  
     

       

 
 
  

 

     
 
1 2
' 2 1 2
,, ', , , 1
, 4 .v
v
x yv v k v
b y
k k
y i

 
    

  

 
(2.49)
Sử dụng phương pháp tích phân phiếm hàm chúng tôi nhận được biểu thức cuối
cùng cho năng lượng tự do của hệ trong gần đúng Gauss bậc thấp nhất:
 
   
''
'
,
sh( 1/ 2)
(0) ln
2 sh / 2
1 1
ln det - A( ) ln det - B( , ) ,
( ( )
2
)
2
z v
s
v v
k k
S yN N
F yJ
y
I k I
b y b
k






 

 
       
 
 
(2.50)
trong (2.50) I là ma trận đơn vị cấp n, A và B là các ma trận vuông cấp n, một ví dụ
cho A và B với n = 3:
 
       
           
       
1 2
1 2 3
2 3
' ' 0
A ' ' '
0 ' '
s b
b s b
b s
J k b y J k b y
k J k b y J k b y J k b y
J k b y J k b y
 
  
 
 
  
 
 
 
 
 
 
 
 
(2.51)
và

43. 40
 
       
           
       
1 2
1 2
1 2 3
1 2 3
2 3
2 3
0
B .
0
s b
b b b
b b
J k b y J k b y
y i y i
J k b y J k b y J k b y
k
y i y i y i
J k b y J k b y
y i y i
 
  
 
 
 
  
  
 
 
 
 
  
 
 
  
   
 
 
   
 
(2.52)
Nhiệt độ chuyển pha của màng mỏng có thể được rút ra từ điểm kì dị của hàm
ln của năng lượng tự do trong trường không, y = 0, và trong giới hạn bước sóng dài,
0 :k 
det - A( ) 0,I k   
(2.53)
trong (2.53)   
1
C
B C
k T
.
Như vậy chúng ta có thể thấy trong gần đúng thăng giáng spin các đại lượng
nhiệt động phụ thuộc vào sự dị hướng trong tương tác trao đổi giữa các các spin của
mô hình XYZ, tức là phụ thuộc vào cả bat ham số , ,,x y
s b s bJ J và ,
z
s bJ .
2.3. Kết luận
Trong chương này chúng tôi đã sử phương pháp tích phân phiếm hàm để tính
toán và đưa ra các biểu thức giải tích cho các đại lượng nhiệt động như năng lượng
tự do, nội năng, nhiệt dung riêng, độ từ hóa và độ cảm từ của màng mỏng sắt từ có
bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ cho spin S tùy ý, trong mô
hình này các tương tác trao đổi giữa các thành phần spin là tương tác trao đổi vùng
hữu hạn (chỉ xét giữa các spin lân cận gần nhất). Các kết quả được chỉ ra trong gần
đúng trường trung bình và gần đúng thăng giáng spin, nhằm nghiên cứu ảnh hưởng
của thăng giáng spin lên các tính chất nhiệt động của hệ.

44. 41
Chương 3
KẾT QUẢ TÍNH SỐ VÀ THẢO LUẬN
Trong chương này, các kết quả tính số cho các đại lượng nhiệt động
của màng mỏng sắt từ có bề dày vài lớp nguyên tử được chỉ ra, từ đó
tìm ra sự phụ thuộc vào nhiệt độ và vào cường độ từ trường ngoài của
các đại lượng nhiệt động. Bên cạnh đó, ảnh hưởng của thăng giáng
spin lên các tính chất này cũng được nghiên cứu.
Trong chương này, chúng tôi sử dụng hằng số tương tác trao đổi giữa các thành
phần z của các spin lân cận gần nhất trong cùng một đơn lớp, J = Js, như một thang
đo năng lượng mới, cụ thể trường ngoài sẽ được biểu diễn như B ng h
h
J

 , nhiệt độ
là Bk T
J
, độ cảm từ là s J  , năng lượng tự do là F = Fs/J và nhiệt dung riêng là C
= Cs/kB.
3.1. Trong gần đúng trường trung bình (MFA)
Như đã được phân tích trong chương 2, trong MFA các đại lượng nhiệt động
chỉ phụ thuộc vào tương tác trao đổi giữa các thành phần z của các spin, do đó trong
phép gần đúng này chúng tôi đặt z
s sJ J và z
b bJ J .
Trước tiên, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc vào bề dày của màng mỏng của
nhiệt độ chuyển pha rút gọn B C
C
k T
J
  được suy ra từ công thức (2.53). Sự phụ thuộc
này được chỉ ra trong hình vẽ 3.1. Từ hình vẽ này chúng ta có thể thấy là nhiệt độ
chuyển pha tăng khi bề dày của màng mỏng tăng. Kết quả này hoàn toàn phù hợp với
kết quả được chỉ ra cho đa số các màng mỏng có từ tính [4], ví dụ như màng mỏng
Fe/Ir(100), nhiệt độ Curie ứng với 4 đơn lớp là 40K và ứng với 5 đơn lớp là 140K.
Đó là bởi vì nhiệt độ chuyển pha phụ thuộc vào các tương tác trao đổi giữa các spin

45. 42
trong hệ. Khi bề dày của màng mỏng tăng dẫn tới tương tác này tăng lên, do đó trật
tự từ của hệ trở nên bền vững hơn.
Hình 3.1. Sự phụ thuộc của nhiệt độ chuyển pha vào bề dày của màng mỏng, ở
đây h = 0 và Jb = Js.
Tiếp theo, chúng tôi nghiên cứu sự phụ thuộc của các đại lượng nhiệt động
như độ từ hóa, năng lượng tự do, nội năng và nhiệt dung riêng vào nhiệt độ với các
giá trị khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb giữa các spin thuộc các đơn lớp
lân cận gần nhất khi không có từ trường ngoài (h = 0) trong MFA, lần lượt được chỉ
ra trong các hình 3.2 – hình 3.5, các hình vẽ này được thực hiện cho màng mỏng có
bề dày 3 đơn lớp, n = 3. Các kết quả tính số chỉ ra rằng các đại lượng nhiệt động bị
ảnh hưởng đáng kể khi thay đổi nhiệt độ và thay đổi tham số tương tác trao đổi Jb.
Kết quả quan trọng nhất đó là nhiệt độ chuyển pha /C B Ck T J  , ứng với 0 ( ) 0Cm  
trong hình 3.2, tăng theo tương tác trao đổi Jb. Đồng thời có sự chuyển pha bậc hai
trong đồ thị biểu diễn nhiệt dung riêng C0 theo nhiệt độ (xem hình 3.5), tương ứng
các đỉnh của các đường này dịch chuyển tới vùng nhiệt độ cao hơn.

46. 43
Hình 3.2. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa của lớp ngoài cùng ứng với
các giá trị khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3 và h = 0.
Hình 3.3. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của năng lượng tự do khi không có từ
trường ngoài ứng với các giá trị khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở
đây n = 3.

47. 44
Hình 3.4. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nội năng khi không có từ trường ngoài
ứng với các giá trị khác nhau của của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3.
Hình 3.5. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng ứng với các giá trị
khác nhau của tham số tương tác trao đổi Jb, ở đây n = 3.

48. 45
Hình 3.6. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa của các đơn lớp khi không
có từ trường ngoài, ở đây n = 3.
Hình 3.6 chỉ ra sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa của các đơn lớp khác
nhau trong màng mỏng có bề dày ba lớp nguyên tử. Từ hình vẽ này chúng ta có thể
thấy là độ từ hóa của lớp ngoài cùng nhỏ hơn so với độ từ hóa của lớp bên trong, đó
là vì các spin ở bề mặt có ít số các spin lân cận gần nhất hơn so với các spin của lớp
bên trong. Theo mô hình của chúng tôi, đối với màng mỏng có bề dày ba lớp nguyên
tử, spin ở lớp bề mặt tương tác với 4 spin lân cận gần nhất trong cùng một đơn lớp và
tương tác với 1 spin thuộc đợn lớp liền kề, trong khi đó spin ở lớp bên trong tương
tác với 4 spin lân cận gần nhất trong cùng một đơn lớp và tương tác với 2 spin thuộc
các đợn lớp liền kề. Sự giảm số các spin lân cận gần nhất này dẫn tới sự giảm của độ
từ hóa ở lớp bề mặt. Tuy nhiên các kết quả này không phù hợp với các kết quả thực
nghiệm được đưa ra cho các màng mỏng, ví dụ như Fe, Co, Ni [4], đối với Fe, mômen
từ bề mặt (001) của Fe lập phương tâm khối bằng 2,96 B , trong khi đó mômen từ
của Fe kim loại dạng khối là 2,2 B [17]. Đó là bởi vì mô hình Heisenberg được sử
dụng để mô tả tương tác của hệ spin định xứ chỉ phụ thuộc vào bản chất nội tại của

49. 46
nó, tuy nhiên, từ tính của một nguyên tử không chỉ phụ thuộc vào bản chất nội tại của
nó mà còn phụ thuộc vào môi trường xung quanh nguyên tử đó, do đó để giải thích
cho sự tăng cường mômen từ ở bề mặt cần sử dụng mô hình của hệ điện tử linh động,
ví dụ như mô hình Stoner [4].
Hình 3.7. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng ứng với các giá trị
khác nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J và n = 3.
Hình 3.7 và 3.8 chỉ ra sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng và độ cảm
từ của màng mỏng có bề dày 3 lớp nguyên tử khi thay đổi từ trường ngoài h. Các kết
quả của đồ thị cho thấy khi tăng giá trị của từ trường ngoài h Oz , dưới ảnh hưởng
của nhiệt độ, đỉnh của các đường cong nhiệt dung riêng và độ cảm từ cũng dịch dần
về phía tăng của nhiệt độ, kết quả này tương ứng với nhiệt độ chuyển pha tăng dần
khi tăng từ trường ngoài h. Mặc khác chúng ta cũng có thể thấy là khi từ trường ngoài
đủ lớn đỉnh nhọn sẽ biến mất và được thay thế bởi các đỉnh mở rộng, tức là sẽ không
còn xuất hiện các điểm chuyển pha bậc hai trong hệ, tương ứng với trật tự từ của hệ
spin không thể bị phá hủy một cách hoàn toàn bởi một nhiệt độ hữu hạn khi có từ
trường ngoài đủ lớn.

50. 47
Hình 3.8. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ cảm từ ứng với các giá trị khác
nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J và n = 3.
3.2. Trong gần đúng thăng giáng spin (SFA)
Trước tiên, chúng tôi so sánh các kết quả của trật tự từ khi đưa vào các thăng
giáng spin so với các kết quả trong gần đúng trường trung bình. Hình 3.9 chỉ ra sự
phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa trong gần đúng trường trung bình và gần đúng
thăng giáng spin với các giá trị khác nhau của từ trường. Khi so sánh 2 kết quả trong
MFA và SFA, chúng ta có thể thấy trật tự từ đã giảm đáng kể trong SFA do sự xuất
hiện của các thăng giáng spin (xem hình 3.10), dẫn đến trật tự từ dễ bị phá vỡ bởi
nhiệt độ hơn so với trong MFA. Do đó trong SFA cần phải có một từ trường lớn hơn
nhiều so với trong MFA để có thể cố định hoàn toàn các spin dẫn đến không tìm thấy
điểm chuyển pha. Mặc khác, từ hình 3.10 chúng ta cũng có thể thấy là thăng giáng
spin giảm khi từ trường ngoài tăng, như vậy từ trường ngoài có tác dụng làm giảm
các thăng giáng spin, do đó làm tăng trật tự từ của hệ. Sự xuất hiện của các thăng
giáng spin cũng làm tăng độ cao của đường nhiệt dung riêng (xem hình 3.11), tuy
nhiên hành vi phụ thuộc vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài của nhiệt dung riêng
trong SFA cũng tương tự như trong MFA.

51. 48
Hình 3.9. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của độ từ hóa trong MFA (đường nét liền)
và SFA (đường nét đứt) với các giá trị khác nhau của từ trường ngoài h, ở đây
1,2b SJ J .
Hình 3.10. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin vơi các giá trị khác
nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J .

52. 49
Hình 3.11. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của nhiệt dung riêng khi tính đến thăng
giáng spin với các giá trị khác nhau của từ trường ngoài, ở đây 1,2b SJ J .
Hình 3.12. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin cho mô hình
Heisenberg đẳng hướng khi không có từ trường ngoài, ở đây Jb = Js.

53. 50
Khi tính số cho trường hợp mô hình Heisenberg đẳng hướng , , ,
x y z
s b s b s bJ J J 
và không có từ trường ngoài, chúng tôi thu được kết quả cho thăng giáng spin là vô
cùng lớn (hình 3.12) và do đó dẫn tới không tồn tại trật tự từ trong hệ. Kết quả này
hoàn toàn phù hợp với nguyên lý Mermin – Wagner [15], chỉ ra rằng không tồn tại
trật tự từ trong các hệ hai chiều hoặc một chiều với mô hình Heisenberg đẳng hướng
ở nhiệt độ hữu hạn. Như các phân tích ở trên, để làm giảm các thăng giáng spin chúng
ta có thể đặt hệ trong một từ trường ngoài (xem hình 3.10). Bên cạnh đó, theo [9]
chúng ta có thể đưa vào tính dị hướng trong mô hình Heisenberg để làm giảm các
thăng giáng spin, vì vậy chúng tôi tiếp tục đưa ra các kết quả cho mô hình Heisenberg
XYZ, x y z
s s sJ J J  và x y z
b b bJ J J  , trong mô hình này có xét đến sự dị hướng trong
tương tác trao đổi. Hình 3.13 chỉ ra các thăng giáng spin ứng với các giá trị khác nhau
của ,x y
sJ khi không có từ trường ngoài. Như vậy từ hình vẽ này có thể thấy là các
thăng giáng spin đã giảm đáng kể khi đưa vào tương tác trao đổi dị hướng, do đó trật
tự từ của hệ sẽ tăng tương ứng.
Hình 3.13. Sự phụ thuộc vào nhiệt độ của thăng giáng spin trong mô hình XYZ,
ở đây thay đổi tương tác trao đổi giữa các spin theo phương Ox và Oy, Jb = Js.

54. 51
Hình 3.14. Sự phụ thuộc vào từ trường ngoài của độ từ hóa và thăng giáng spin
trong mô hình XYZ, ở đây thay đổi tương tác trao đổi giữa các spin theo phương
Ox và Oy, Jb = 0,6 Js, kBT = 1,1Js, S1 = S2 = 1/2.
Sự phụ thuộc vào từ trường ngoài h của độ từ hóa và thăng giáng spin trong mô
hình XYZ được chỉ ra trong hình 3.14. Từ hình vẽ này chúng ta có thể thấy là thăng
giáng spin giảm khi tăng h và triệt tiêu khi từ trường ngoài đủ lớn, do đó độ từ hóa
tăng tương ứng và đạt giá trị bão hòa khi thăng giáng bằng không.
3.3. Kết luận
Trong chương này, từ các kết quả tính số chúng tôi đã chỉ ra nhiệt độ chuyển
pha tăng khi bề dày của màng mỏng tăng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng so sánh các
kết quả trong MFA và SFA và thấy rằng trong SFA do sự xuất hiện của các thăng
giáng spin nên các tính chất nhiệt động của hệ thay đổi đáng kể. Ngoài ra, chúng tôi
cũng tìm thấy là không tồn tại trật tự từ trong mô hình Heisenberg đẳng hướng khi
không có từ trường ngoài. Để làm giảm các thăng giáng spin và tăng trật tự từ trong
hệ chúng tôi đưa vào từ trường ngoài và tương tác trao đổi dị hướng tương ứng với
mô hình XYZ.

55. 52
KẾT LUẬN
Trong luận văn này chúng tôi đã sử phương pháp tích phân phiếm hàm để
nghiên cứu sự phụ thuộc vào nhiệt độ và vào từ trường ngoài các đại lượng nhiệt động
của màng mỏng sắt từ có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình Heisenberg XYZ,
trong mô hình này các tương tác trao đổi giữa các thành phần spin là tương tác trao
đổi vùng hữu hạn (chỉ xét giữa các spin lân cận gần nhất), chúng tôi thu được các kết
quả sau:
Thứ nhất, chúng tôi đã trình bày được một số lý thuyết cơ bản về từ học nguyên
tử, tương tác trao đổi, phân loại vật liệu từ, một số khái niệm cơ bản của vật liệu nanô
và hiệu ứng kích thước quan trọng trong các vật liệu này.
Thứ hai, chúng tôi đã tính toán và đưa ra các biểu thức giải tích cho các đại
lượng nhiệt động của màng mỏng sắt từ có bề dày vài lớp nguyên tử với mô hình
Heisenberg XYZ. Trong mô hình này, chúng tôi có tính đến sự dị hướng của tương
tác trao đổi thông qua các tham số Jx, Jy và Jz. Từ các biểu thức giải tích thu được
chúng tôi thấy là các đại lượng nhiệt động không phụ thuộc vào Jx và Jy trong MFA.
Thứ ba, từ các kết quả tính số, chúng tôi đã chỉ ra nhiệt độ chuyển pha tăng
khi bề dày của màng mỏng tăng. Bên cạnh đó, chúng tôi cũng so sánh các kết quả
trong MFA và SFA và thấy rằng trong SFA do sự xuất hiện của các thăng giáng spin
nên các tính chất nhiệt động của hệ thay đổi đáng kể.
Thứ tư, khi nghiên cứu các thăng giáng spin, chúng tôi cũng tìm thấy là không
tồn tại trật tự từ trong mô hình Heisenberg đẳng hướng khi không có từ trường ngoài,
để làm giảm các thăng giáng spin và tăng trật tự từ trong hệ, chúng tôi đưa vào từ
trường ngoài và tương tác trao đổi dị hướng tương ứng với mô hình Heisenberg XYZ.
Luận văn có thể được mở rộng để nghiên cứu những hướng sau trong tương
lai: Đưa vào sự cạnh tranh tương tác theo mô hình J1-J2 sử dụng phương pháp tích
phân phiếm hàm và gia tăng bề dày của màng mỏng trong quá trình tính toán số để
mô hình lý thuyết gần hơn với các hệ thực.

56. 53
TÀI LIỆU THAM KHẢO
Tiếng việt
[1] Trịnh Quỳnh Anh (2019), Ảnh hưởng của dị hướng đơn ion lên các tính chất
nhiệt động của mạng spin hình vuông đơn giản với mô hình Heisenberg đẳng
hướng, Luận văn thạc sỹ vật lý, trường Đại học Sư phạm Huế.
[2] Nguyễn Hữu Cảnh (2018), Ảnh hưởng của sự cạnh tranh tương tác J1-J2 lên các
tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin tuyến tính, Luận văn thạc sỹ vật lý,
trường Đại học Sư phạm Huế.
[3] Trang Sỹ Dũ (2019), Nghiên cứu các tính chất nhiệt động của mạng spin hình
vuông đơn giản với mô hình Heisenberg dị hướng, Luận văn thạc sỹ vật lý,
trường Đại học Sư phạm Huế.
[4] Nguyễn Hữu Đức (2008), Vật liệu từ cấu trúc nanô và điện tử học spin, NXB
Đại học Quốc gia Hà Nội.
[5] Lương Trí Thành (2018), Ảnh hưởng của sự cạnh tranh tương tác J1-J2 lên các
tính chất nhiệt động lực học của chuỗi spin zig-zag, Luận văn thạc sỹ vật lý,
trường Đại học Sư phạm Huế.
[6] Nguyễn Thị Phương Thảo (2017), Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học
của chuỗi spin với mô hình XXZ, Luận văn thạc sỹ vật lý, trường Đại học Sư
phạm Huế.
[7] Nguyễn Phú Thùy (2002), Vật lý các hiện tượng từ, NXB Đại học Quốc gia Hà
Nội.
[8] Lê Thị Tường Vi (2017), Nghiên cứu các tính chất nhiệt động lực học của
chuỗi spin với mô hình XXX, Luận văn thạc sỹ vật lý, trường Đại học Sư phạm
Huế.

57. 54
Tiếng anh
[9] A.-Y. Hu, Y. Chen (2008), “Green function method study of the anisotropic
ferromagnetic Heisenberg model on a square lattice”, Physica A, 387, p. 3471.
[10]A.-Y. Hu et al (2007), “The anisotropic Heisenberg ferromagnet in a magnetic
field”, Journal of Magnetism and Magnetic Materials, 313, p. 366.
[11]Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao (2013), “Thickness dependent properties
of magnetic ultrathin films”, Physica B, 426, p. 144.
[12]Bach Thanh Cong, Pham Huong Thao, Nguyen Tu Niem (2014), “Role of
interactions in size-dependent Curie temperature of magnetic ultrathin films”,
Ieee Transactions On magnetics, 50, p. 1100104.
[13]H. Mayama, T. Naito (2009), “Correlation between Curie temperature and
system dimension”, Physica E, 41, p. 1878.
[14]J.Potočnik, M.Nenadović, N.Bundaleski, B.Jokić, M.Mitrić, M.Popović,
Z.Rakočević (2016), The influence of thickness on magnetic properties of
nanostructured nickel thin films obtained by GLAD technique, Materials
Research Bulletin, 84, p. 455.
[15]N.D. Mermin, H. Wagner (1966), Absence of Ferromagnetism or
Antiferromagnetism in One- or Two-Dimensional Isotropic Heisenberg Models,
Physical Review Letters 17, p. 1133.
[16]Niem T. Nguyen, Thao H. Pham, Giang H. Bach and Cong T. Bach (2018),
“Dynamical Susceptibility and Elementary Excitations in Monolayer Ferroic
Films Described by XZ Heisenberg Model”, Materials Transactions, 59, p.
1075.
[17]P. Błonski, A. Kiejna (2007),“Structural, electronic and magnetic properties of
bcc iron surface”, Surface Science, 601, p. 123.